成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义:10.中国剩余定理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
成都七中高一竞赛数论专题
10.中国剩余定理
1.(中国剩余定理)设12,,
,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,,k a a a ,一次同余方程组
(mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1
k
j
j m m
==
∏的意义下解101
(mod )k
j
j j j x x M
M a m -=≡=
∑唯一.
其中1,j j j
m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1
1(mod ).j j j M M m -≡
2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪
≡⎨⎪≡⎩
.
3.设*,n N ∈证明:存在*
,m N ∈使得同余方程2
1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.
(请对比拉格朗日定理).
4.证明:对任意给定的正整数n,均有连续n个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.
5.证明:对任意正整数n,存在n个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂.
6.证明:存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数.
7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.l m n =
高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理解答
1.(中国剩余定理)设12,,
,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,
,k a a a ,一次同余方程组
(mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k
j
j m m ==
∏的意义下解1
01
(mod )k
j j j j x x M M a m -=≡=∑唯一. 其中1,j j j
m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1
1(mod ).j j j M M m -≡
证明:因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm +=
1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s -=于是1
1(mod ).j j j M M m -≡另一方面,
,j j
m
M m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是
111
(mod )(1,2,
,).k
j
j j i i i
i i j M
M a M M a a m i k --=≡≡=∑即1
1
(mod )k
j j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程
组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解.
若00
,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00
(mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00
|m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证.
2.解同余方程组1(mod 7)
1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪
≡⎨⎪≡⎩
.
解:7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解.
123789504,72,63,56.M M M M =⨯⨯==== 1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡
2631(mod8),M =≡-取1
21(mod8).M -≡-
3562(mod 9),M =≡取135(mod 9).M -≡
所以x ≡724163(1)156********(mod504).⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡≡
3.设*,n N ∈证明:存在*
,m N ∈使得同余方程2
1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.
(请对比拉格朗日定理).
证明:对于任意的素数p ,同余方程2
1(mod )x p ≡可化为(1)(1)0(mod )x x p -+≡.所以恰好有两个不同的解1,1(mod )x p p ≡-. 现在任取s 个不同的奇素数12,,,.s p p p ,这里的s 满足2.s n ≥令12s m p p p =.
考虑2s
个不同的数组12(,,
,)s a a a ,其中{1,1}j j a p ∈-.
由中国剩余定理方程组1122
(mod )(mod )(mod )
s s x a p x a p x a p ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩有唯一解12(,,
,)s x a a a (在模m 的意义下).
此解满足212
221(mod )
1(mod )1(mod )
s x p x p x p ⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩,也就是满足2
1(mod ).x m ≡
若两个不同的数组1212(,,
,),(,,,)s s
a a a a a a ''',则必存在j 使得.j j a a '≠不妨设1, 1.j j j a a p '==- 于是1(mod )j j x a p ≡=与1(mod )j j j x a p p '≡=-不同解. 于是1212(,,,)(,,,)(mod )s s
j x a a a x a a a p '''≡/. 从而1212(,,
,)(,,,)(mod )s s
x a a a x a a a m '''≡/. 这就证明了2
1(mod )x m ≡至少有2s
个解.2.s n ≥
所以存在存在*
,m N ∈使得同余方程2
1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.
4.证明:对任意给定的正整数n ,均有连续n 个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.
证明:由于素数有无穷多个,我们可取出n 个互不相同的素数12,,
,n p p p ,