成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：10.中国剩余定理

成都七中高一竞赛数论专题

10.中国剩余定理

1.(中国剩余定理)设12,,

,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,,k a a a ,一次同余方程组

(mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1

k

j

j m m

==

∏的意义下解101

(mod )k

j

j j j x x M

M a m -=≡=

∑唯一.

其中1,j j j

m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1

1(mod ).j j j M M m -≡

2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪

≡⎨⎪≡⎩

.

3.设*,n N ∈证明：存在*

,m N ∈使得同余方程2

1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.

(请对比拉格朗日定理).

4.证明：对任意给定的正整数n,均有连续n个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.

5.证明：对任意正整数n,存在n个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂.

6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数.

7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.l m n =

高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理解答

1.(中国剩余定理)设12,,

,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,

,k a a a ,一次同余方程组

(mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k

j

j m m ==

∏的意义下解1

01

(mod )k

j j j j x x M M a m -=≡=∑唯一. 其中1,j j j

m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1

1(mod ).j j j M M m -≡

证明：因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm +=

1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s -=于是1

1(mod ).j j j M M m -≡另一方面,

,j j

m

M m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是

111

(mod )(1,2,

,).k

j

j j i i i

i i j M

M a M M a a m i k --=≡≡=∑即1

1

(mod )k

j j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程

组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解.

若00

,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00

(mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00

|m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证.

2.解同余方程组1(mod 7)

1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪

≡⎨⎪≡⎩

.

解：7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解.

123789504,72,63,56.M M M M =⨯⨯==== 1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡

2631(mod8),M =≡-取1

21(mod8).M -≡-

3562(mod 9),M =≡取135(mod 9).M -≡

所以x ≡724163(1)156********(mod504).⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡≡

3.设*,n N ∈证明：存在*

,m N ∈使得同余方程2

1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.

(请对比拉格朗日定理).

证明：对于任意的素数p ,同余方程2

1(mod )x p ≡可化为(1)(1)0(mod )x x p -+≡.所以恰好有两个不同的解1,1(mod )x p p ≡-. 现在任取s 个不同的奇素数12,,,.s p p p ,这里的s 满足2.s n ≥令12s m p p p =.

考虑2s

个不同的数组12(,,

,)s a a a ,其中{1,1}j j a p ∈-.

由中国剩余定理方程组1122

(mod )(mod )(mod )

s s x a p x a p x a p ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩有唯一解12(,,

,)s x a a a (在模m 的意义下).

此解满足212

221(mod )

1(mod )1(mod )

s x p x p x p ⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩,也就是满足2

1(mod ).x m ≡

若两个不同的数组1212(,,

,),(,,,)s s

a a a a a a ''',则必存在j 使得.j j a a '≠不妨设1, 1.j j j a a p '==- 于是1(mod )j j x a p ≡=与1(mod )j j j x a p p '≡=-不同解. 于是1212(,,,)(,,,)(mod )s s

j x a a a x a a a p '''≡/. 从而1212(,,

,)(,,,)(mod )s s

x a a a x a a a m '''≡/. 这就证明了2

1(mod )x m ≡至少有2s

个解.2.s n ≥

所以存在存在*

,m N ∈使得同余方程2

1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.

4.证明：对任意给定的正整数n ,均有连续n 个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.

证明：由于素数有无穷多个,我们可取出n 个互不相同的素数12,,

,n p p p ,