简单弹塑性力学问题

D2 0 D1 0 D3 0
杆1和杆2加载，仍保持塑性状态，而杆3卸载
D1 D 2 0
D 3
ED3
Eu 2l
D 3
2
DQ
A
DP DQ
1
* 1
D1
s,
2
* 2
D
2
s
3
* 3
D 3
s
2 DQ A
不同的加载路径：
当 DQ 2s A
P Ps DP s A, Q
2
s
A
1 cos2
e
与采用弹塑性材料假定的结果相同 当P P1 时，结构的变形仍属于弹性变形的量级
当 P > P1 时，3根杆全部进入强化阶段
由于强化效应，结构不会进入 塑性流动状态，变形将会有较 大增长
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5.1 简单桁架问题
3 加载路径对桁架变形的影响
考虑同时受竖直力P和水平力Q作用的三杆桁架，假定材料是理想弹塑性的。 将P和Q按不同的加载方案施加在桁架上，讨论当荷载的最终数值一样，而 加载路径不同时对桁架变形的影响。
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1 梁的弹塑性纯弯曲
(1) 弹性阶段（0 < M ≤ Me）
u xy ay bz c
v
x2 2
(
y2 2
z2
)
ax
iz
g
w yz bx iy k
一次项与常数项分别表示梁的
刚体转动和平动。假定：
(u)x yz0 0, (v)x yz0 0, (w)x yz0 0
3
P A
1 2
2
2
最大 压应力
当σ1＝σs时，杆1发生屈服，此时对应的荷载、应力和位移为
P* 2 3
2 2
s
A
* 1
s,
* 2
2 3
2 s,
* 3
1 3
u* l
(4 2 3
2 2
)
s
,
v* l
2 3
2 s
2 2
s
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5.1 简单桁架问题
(1) 比例加载 P : Q 1: 2
1 2 s , 3 s
u v
u* v*
Du Dv
4ls 2ls
荷载值相同 应力值相同 节点位移不同
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5.2 梁的弹塑性弯曲问题
1 梁的弹塑性纯弯曲
考察一根不计自重的矩形截面梁，假定梁的材料为理想弹塑性的。 设梁的跨度为l，截面尺寸为b×h。梁的两端受到大小相等、方向 相反的弯矩M的作用，并假设这两个弯矩作用在梁的对称平面内。 采用逆解法，求梁在纯弯曲情况下内部的应力场和位移场。
1
D1
(P / Pe 1) s 2 cos
0(拉应力)
0 2
2
D 2
(1
P
/
Pe ) s
0
(压应力)
残余应变：10
0 3
1
D1
0 1
E
0
对于超静定结构，卸去外荷载后，
残余应变≠塑性应变，它含有
0 2
2
D2
10 cos2
0
弹性应变。
只有静定结构卸载后的残余应变才是 塑性应变。
NN12//AA
3 N3/A
1 3 21 cos
2
P
/
A
(1)
小变形 1 ，2 3 cos
3
➢ 几何关系
1
3
1 l1
l
c
os2
(2)
2
l
➢ 变形协调关系
1 3 2 cos2 (3)
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4
5.1 简单桁架问题
(1) 弹性阶段（0＜P ≤ Pe）
Hooke定律
节点O的残余变形：
0
*
D
10 cos2
l
0
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5.1 简单桁架问题
(4) 重复加载——弹塑性内力重分布现象
从P*卸载至零的过程为弹性变形过程， 从零再重复加载到P* （P* >Pe）的过程仍为 弹性过程。
这相当于将弹性范围由扩大了。
在结构内部产生某种有利的残余应力状态可以 提高它的弹性范围，这种状态称为安定状态。
v ( xy )x yz0
0,
w ( x )x yz0
0,
w ( y )x yz0
0
弹性位移解
u xy
v
x2 2
(y2 2
z2)
w yz
中性轴上各点的弹性位移解
u w 0
v
x2 2
c g k 0, a d 0, b h 0, i e 0
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1 2
E1 E 2
联立(1) (2) (3)
3
E
3
(4)
1
3
P A
cos2 (1 2 cos3 )
弹性应力解
2
P A
(1
1 2 cos3 )
2 1 当P增加时，杆2首先屈服
2 s 时 桁架初始屈服 Pe s A(1 2 cos3 ) ——弹性极限荷载
1 2
掌握工程两类平面问题的特征及其应力函数解法 掌握简单问题的求解
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3
5.1 简单桁架问题
1 简单桁架的弹塑性受力分析
三杆对称桁架，假定材料是理想弹塑性的。设桁架受竖直力P作用， 各杆截面积均为A，中间杆2的长度为l 。
➢ 平衡关系
N1 N1
N3
cos
N2
N3
cos
P
1 2
7
5.1 简单桁架问题
(3) 卸载——残余应力和残余变形
卸载服从弹性规律。设荷载变化量为DP，可得
D 1
D 3
DP Pe
s
c os2
D
2
DP Pe
s
D1
D 3
D 1 E
D 2
D 1 E
D D2l
若加载至P*（ Pe< P* Ps ），再卸载至零，即DP=P*，则
残余应力：
0 1
0 3
Ps s A(1 2 cos ) ——塑性极限荷载（极限承载力）
塑性极限状态，节点O的位移：
Ps与材料的弹性模量无关。 方便结构的极限分析。
s
E
s cos2
l
sl cos2
——塑性极限位移
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5.1 简单桁架问题
弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：
Ps Pe
s e
1 2 cos 1 2 cos3
✓ 梁的侧表面：X Y Z 0 l1 0 满足静力边界条件
✓ 梁的两端面：
xdydz 0
A
x zdydz 0
当
x
My I
或
1 M
EI
时
满足边界静力条件
A
x ydydz
A
E
A
y 2dydz
M
(I 1 bh3) 12
✓
弹性应力解满足Beltrami-Michell方程
与理想弹塑性材料模型相比， 采用强化材料模型得到的塑性 极限荷载没有很大提高
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5.1 简单桁架问题
2 强化效应的影响
当Pe P P1 时，节点O的位移
l1 cos2
l1 E cos2
P
/
A E1
s (1 E1 / 2E cos2
E
)
l
当
P
=
P1
时， 1
l s E cos2
22
1 梁的弹塑性纯弯曲
(1) 弹性阶段（0 < M ≤ Me）
s
2
DP A
当
DP s A 3 2
时，σ2 = σs，σ3 = -σs 整个桁架达到塑性极限状态
荷载： P P* DP s A, Q 2P 2 s A
应力： 1 2 s , 3 s
节点位移：
u u* Du ls (4 2 3 2
2) (5 3
2 )l s 2
➢ 平衡关系
1 2
1
2
1 2
3
P A
1 2
(1
3
)
Q A
➢ 几何关系
1
u 2l
v 2l
2
v l
3
v 2l
u 2l
➢ 变形协调关系 2 1 3
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v u
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5.1 简单桁架问题
(1) 比例加载 P : Q 1: 2
弹性阶段
1
P A
3 2
2 2
2
P2 A 2
2
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1 梁的弹塑性纯弯曲
(1) 弹性阶段
纯弯下的弹性应力解： x
Ey
,
y z xy yz xz 0
（——梁弯曲后轴线的曲率半径）
校核弹性应力解是否满足平衡微分方程和静力边界条件
✓ 体力X = Y = Z =0 满足平衡微分方程 ij, j X i 0
y2 v
(x, z),
w yz (x, y)
2
代入后3式 f x , z , f 0 x y y z z x
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1 梁的弹塑性纯弯曲
(1) 弹性阶段（0 < M ≤ Me）
求偏导
2 f
2 f
y2 0, z2 0
2 2 f 2 2 2 2 f ( ) 0 2 f 0
(1) 加载方案1：比例加载 在整个加载过程中，保持 P : Q 1: 2 单调增加， 直到桁架达到塑性极限状态
(2) 加载方案2：非比例加载 先只加P使桁架达到极限荷载Ps，然后保持节点 竖直位移v不变，从零开始增加Q直到Q = Qs
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5.1 简单桁架问题
(1) 比例加载 P : Q 1: 2
应变增量
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5.1 简单桁架问题
(1) 比例加载 P : Q 1: 2
几何关系
Dv
l D 2
(1
2 )DP EA
l
位移增量
Du
Dv
2l D 3
(5
2 )DP EA
l
P > Pe时
1 s
2
* 2
D
2
2 3
2 s
(1
2)
DP A
弹塑性应力解
3
* 3
D 3
1 3
2 2
1
3
P sA 2 A cos
有约束塑性变形阶段： 杆2已屈服，杆1、3仍为弹性
弹塑性应力解
(4)
1
3
P s A 2EA cos
(2)
2
P sA 2EAcos3
弹塑性应变解
(3)
节点O的位移： P s A l 2EAcos3
弹塑性位移解
无限制塑性变形阶段： 三根杆全部进入塑性流动阶段
1 3 s
工程弹塑性力学
第五章 简单弹塑性力学问题
5.1 简单桁架问题 5.2 梁的弹塑性弯曲问题 5.3 平面问题
2020/10/25
2
第五章 简单弹塑性力学问题
本章学习要点：
掌握弹塑性力学问题理论求解的一般步骤 掌握以下一些基本概念：
弹性极限荷载（位移） 塑性极限荷载（位移） 极限承载能力 有约束塑性变形与无限制塑性变形
3l
s
v
v*
v
2l s 3 2
(1 2)ls 3 2
ls
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5.1 简单桁架问题
(2) 非比例加载 P：0Ps，Q：0 Qs
当 P Ps s A(1 2), Q 0
* 1
* 2
* 3
s
u* 0, v* 2ls
保持v不变，Δv=0，施加Q，则Δu >0 ，由几何关系得到 :
➢ P>Pe时，杆2进入强化阶段
1 3 E1 2 s E1(2 s )
当 1 3 s 时，杆1和杆3开始屈服
P1
s A1
2 c os
E1 E
1 cos2
1
Ps
E1 E
1 cos2
1
s
A
若取E1/E = 1/10，当 = 30时， P1 = 1.012Ps 当 = 45时， P1 = 1.041Ps
1 cos2
30时, Ps / Pe 1.19,s / e 1.33
45时, Ps / Pe 1.41,s / e 2
桁架的塑性极限荷载总比弹性极限荷载大， 而塑性极限变形与弹性极限变形同量级。 采用塑性分析更能发挥结构的潜力， 尤其当桁架的超静定次数更高时，将提高得更多。
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当P继续增加，杆1进入塑性变形阶段，保持σ1＝σs不变，即Dσ1＝0 杆2和杆3仍处于弹性阶段
平衡关系
D 2 (1
2)DP
A
D 3
2DP A
(DP——屈服后的荷载增量) 应力增量
本构关系 变形协调方程
D 2
(1
2 )DP EA
D 3
2DP EA
D1
D 2
D 3
(3
2 )DP EA
yz xz xy yz x z y
yz
2 f y 2
0,
2 f 0, yz
2 f z 2
0
2 x2
1,
2 0,
zx
2 z 2
2 x2
0,
2 0, yx
2 y 2
0
f ( y, z) ay bz c
( x,
z)
x2
2
z2
2
dx
ez
g
(x, y) hx iy k
3 P
Pe
P Pe
s
s
cos2
(4)
1 2
3 1
E
1 P E Pe
P Pe
s
s
cos
2
弹性应变解
(2)
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2l
1 E
Pl Pe
s
弹性位移解
P = Pe
e
s
E
l
sl
——弹性极限位移
5
5.1 简单桁架问题
(2) 弹塑性阶段（ Pe ＜ P ≤ Ps ）
(1)
理想弹塑性材料 2 s
2 ij
1
1
,ij
Байду номын сангаас
0
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1 梁的弹塑性纯弯曲
(1) 弹性阶段（0 < M ≤ Me）
将弹性应力解代入 本构方程和几何方程
u y , v u 0 x x y
v y , y
w y
v z
0
w y , z
u w 0 z x
积分
u
xy
f ( y, z),
在超静定结构中，常利用这种塑性应力重分布规律， 对各构件受力进行合理的调整。
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卸载 重新加载
后继屈服应力
= σ20 + σs
9
5.1 简单桁架问题
2 强化效应的影响
假设材料是线性强化的，不考虑卸载时，其本构关系为
E， s E1(
s
当 )，当
时
s
时
s
➢ PPe时，弹性阶段，符合弹性解