安徽省亳州市涡阳四中2013-2014学年高二下学期期末测试数学(文)试题Word版含答案

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共1小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 2．下列命题中是假命题的是（ ）
A.
π0,,
2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭x x sin > B ． ,x ∃∈R 2cos sin 00=+x x C ．,x ∀∈R 03>x D ． ,
x ∃∈R 0lg 0=x
3设i 是虚数单位，若复数a －
10
3－i
(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
4执行如图所示的程序框图，如果输出的a ＝341，那么判断框中可以是
(
)
A ．k <4?
B ．k <5?
C ．k <6?
D ．k <7?
5． 设α、β都是锐角，且cos α＝
55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β等于
( )
A.25
25
B.255
C.2525或255
D.55或525
6观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于
( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
7．已知0a b <<，且1a b +=，则下列不等式中，正确的是（ ）
A ．2
log 0a > B ． 1
22
a b -< C ．12
2
a b b a
+< D ．22log log 2a b +<-
8．已知函数()log x a f x a x =+(0a >且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为
log 26a +，则a 的值为（ ）
A.
12
B.
1
4
C. 2
D.4
9．设偶函数()f x 对任意x ∈R ，都有1
(3)()
f x f x +=-
，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =,则(107.5)f = A.10 B.
110 C.10- D.110
- 10若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2
x ，x >0，log 12
(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是
( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0,1)
二、填空题（本大题共5小题，每小题45分，共25分.将答案填在答题卷相应位置上） 11．命题“2
,2390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为 ． 12．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________．
13．若对任意0x >，
2
31
x
a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ． 14．若将函数5sin()(0)6y x πωω=+>的图象向右平移3
π
个单位长度后，与函数sin()4
y x π
ω=+
的图象重合，则ω的最小值为 ．
15．下列说法正确的为 . ①集合A = {}
2
|3100x x x --≤，B ={|121x a x a +≤≤-}，若B ⊆A ，则-3≤a ≤3；
②函数()y f x =与直线x =l 的交点个数为0或l ；
③函数y =f （2-x ）与函数y =f （x -2）的图象关于直线x =2对称； ④a 4
1
(∈，+∞）时，函数)lg(2
a x x y ++=的值域为R ；
⑤与函数2)(-=x f y 关于点（1，-1）对称的函数为f y -=（2 -x ）.
三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知集合{|37}A x x =≤<, {|210}B x x =<<,{|}C x x a =<.
（1）求;A
B （∁)A B R ;
（2）若A C ≠∅,求a 的取值范围.
17．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数
12()22
x x b
f x +-+=+是奇函数.
（1）求b 的值； （2）判断函数
()
f x 的单调性;
（3）若对任意的t ∈R ，不等式恒成立22(2)(2)0f t t f t k -+-<，求k 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知向量2
(2cos ,sin ),(1,2cos )x x x ==m n . （1）若⊥m n 且0πx <<，试求x 的值；
（2）设(),f x =⋅m n 试求()f x 的对称轴方程，对称中心，单调递增区间．
19（本小题满分13分）涡阳电视台为了了解涡阳县城观众对世界杯足球赛节目的收视情况，
随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“球迷”，已知“球迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“球迷”与性别有关？
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观
众称为“超级球迷”，已知“超级球迷”中有2名女性，若从“超级球迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20. （本小题满分13分）已知函数f (x )＝－a
a x ＋a
(a >0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的
图象关于点(12，－1
2
)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．
21．（本小题满分13分）已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解
集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f (x )
x －4ln x 的零点个数．
文科参考答案仅供参考
10解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．
显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．故选C. 方法二 对a 分类讨论：
当a >0时，log 2a >log 1
2a ，即log 2a >0，∴a >1.
当a <0时，log 1
2(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，
∴－1<a <0，故选C. 二、填空题
11]22,22[- 12.0 13 1
5
a ≥ 14. 7
4 15.②③⑤
部分解析
11．【答案】]22,22[-
【解析】根据题意需满足2(3)720a ∆=--≤，可求得a 的范围为]22,22[- 12．【答案】0
【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，
即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |⇒||x ＋a ＝||x －a ，∴a ＝0． 13.【答案】15
a ≥
【解析】因为>0x ，所以1
2x x
+
≥（当且仅当x=1时取等号），所以有 21
11
131235
3
x x x x x
=
≤=+++++，即2
31x x x ++的最大值为15，故15a ≥． 14. 【答案】7
4
【解析】依题意，将函数5sin()(0)6y x πωω=+
>的图象向右平移3
π
个单位长度后得5sin()(0)63y x ππωωω=+
->，它的图象与函数sin()4
y x π
ω=+的图象重合，所以 52634k πππωπ-=+（k ∈Z ），解得764
k ω=-（k ∈Z ）.因为0ω>， 所以min 7
4ω=.
三、解答题 16．解：（1）{|210}A
B x x =<<；
∁{|37}A x x x =<≥R 或,
（∁{|23710}A B x x x =<<≤<R ）或. ; (2)若A
C ≠∅, a ＞3.
17. 解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，
即
1
11201,().2222x
x b b f x +--=⇒=∴=++ （2）由（1）知
11211
()22221x x x f x +-==-+
++， 设12x x <，则
21
121
2
121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++. 因为函数y =2x
在R 上是增函数且
12x x <， ∴2122x x ->0.
又
12(21)(21)x x ++>0 ，∴12()()f x f x ->0，即12()()f x f x >， ∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. （3）因为()f x 是奇函数，从而不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，
因为()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-．即对一切t ∈R 有2320t t k -->，
从而判别式1
4120.3
k k ∆=+<⇒<-
18解：（１）2
02cos 2sin cos 0cos 2sin 10
x x x x x ⊥⇒=⇒+=⇒++=m n m n
)1sin(2)442x x ππ⇒+=-⇒+=-
．
ππ9ππ5π7ππ3π
0π,2,,244444424
x x x x ⎛⎫<<∴+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭或，或．
（2）由题意得())14
f x x π
=
++．
令
2.4
2
2828k k x k x x π
π
πππππ+
=+
=
+∴=+可得对称轴方程为；
令
2.4
2828k k x k x π
ππππ
π+
==
∴可得－对称中心坐标为（－，1).
令πππ2π22π242k x k -
≤+≤+可得3ππ
ππ,88
k x k -≤≤+ ()f x ∴单调递增区间为3πππ,π,88k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ．
19解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“球迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2K 2
＝100×(30×10－45×15)2
75×25×45×55
＝100
33
≈3.030. 因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“球迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级球迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2. Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝7
10
.
20.解：(1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－1
2
)对称的点
的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知，y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a x
a x ＋a
.,f (1
－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x
＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a x
a x ＋a .
∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－1
2
)对称．
(2)由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )．即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.
21解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ， ∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x
＝x －3
x
－4ln x －2 (x >0)，
∴g ′ (x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)
x 2.
x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：
又g(e5)＝e5－3
e5－20－2>2
5－1－22＝9>0.
故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．。