分析力学教学课件 PPT
合集下载
分析力学PPT课件
则约束方程为：
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
分析力学ppt课件
例如：x y(可化为完整约束) x y(不完整约束)
完整系：只受几何约束的力学体系。(主要内容)
不完整系：约束中包括不完整约束的力学体系。
二、 广义 坐标
二、广义坐标
N 个质点，k 个约束
f ( x 1 ,y 1 ,z 1 ； x 2 ,y 2 ,z 2 ； ； x N ,y N ,z N ； t ) 0(1,2,,k)
广义坐标：相互独立的 s 个坐标 q1, q2, …，qn
不一定是长度，可以是角度等其他物理量。
例：质点(x,y,z) 限制在球壳 x2+y2+z2 = r2 上运动。
广义坐标： 和 x r si cn , o y r s si sn , iz n r cos
§5.
§5.2 虚功原理
2 虚 功 原
理
一、
实
位
一、实位移与虚位移
移 与 虚
位
移
1. 实位移：质点由于运动实际上所发生的位移，以 dr 表示
x x(t) y y(t) z z(t)
轨迹
dr
(在dt时间内)
y dr 轨迹 (在dt时间内) x
2. 虚位移：不是由于时间变化而引起，仅仅是根据质点 位置和约束条件而可能发生的位移。以 dr 表示
轨迹
dr
(没有约束)
y dr
轨迹
(平面约束)
x
dr
(线约束)
(只有两个可能方向)
3. 特点：
☆ 实位移具有唯一性，而虚位移则不唯一，甚至无限多； ☆ 在稳定约束的情况下，实位移是虚位移的一种情况； ☆ 在非稳定约束下，虚位移并不包含实位移。
二、 理 想 约 束
分析力学四一.ppt
在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到
推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标， 则系统的拉格朗日函数为
设：q0 ——系统的平衡位置，则
对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有
——二阶小量 (势能：平滑不陡峭； 若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动)
则 a(q)只需展开到零阶小量，即
略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于 选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)， 且令
则
由拉格朗日方程
得到运动方程
注：参见《理论物理基础教程》P383－388“量子谐振子”
二、自由振动方程的解
自由振动：无强迫力、无阻尼的振动
方程
的解为
积分常数：A—振幅； 角频率； —初相位。其中振 幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
时，振幅c取极大值，发生共振(并不
随t的增长而 无限增长)。
四、通过共振时的相位变化和能量吸收率
接近共振时，令
( 很小
小量)
共振时：
远离共振时
：
由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变
共振点相位：
振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有 振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量
通过吸收外力源能量来补充。
频率 。设S在 0时达到共振，则
S ( )
S0
(
2 /
0 )2
4
2
/
4
——布雷特－维格纳分布(共振曲线的普遍分布)
一维阻尼振动方程另外的推导方法 定义耗散函数：
——瑞利耗散函数 由此得到
而
这样，广义力可以写为
对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，
推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标， 则系统的拉格朗日函数为
设：q0 ——系统的平衡位置，则
对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有
——二阶小量 (势能：平滑不陡峭； 若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动)
则 a(q)只需展开到零阶小量，即
略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于 选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)， 且令
则
由拉格朗日方程
得到运动方程
注：参见《理论物理基础教程》P383－388“量子谐振子”
二、自由振动方程的解
自由振动：无强迫力、无阻尼的振动
方程
的解为
积分常数：A—振幅； 角频率； —初相位。其中振 幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
时，振幅c取极大值，发生共振(并不
随t的增长而 无限增长)。
四、通过共振时的相位变化和能量吸收率
接近共振时，令
( 很小
小量)
共振时：
远离共振时
：
由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变
共振点相位：
振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有 振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量
通过吸收外力源能量来补充。
频率 。设S在 0时达到共振，则
S ( )
S0
(
2 /
0 )2
4
2
/
4
——布雷特－维格纳分布(共振曲线的普遍分布)
一维阻尼振动方程另外的推导方法 定义耗散函数：
——瑞利耗散函数 由此得到
而
这样，广义力可以写为
对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，
力学受力分析之力的分解分析课件
个分力。
力的分解可以通过力的平行四边 形法则或三角形法则来实现，这 些法则在解决实际工程问题中具
有广泛的应用。
力的分解有助于深入理解力的作 用效果和物体运动状态的变化， 是解决力学问题的重要手段之一。
力的正交分解
力的正交分解是将一个力按照正交坐 标系的方向进行分解，得到若干个分 力。
在正交分解时，应注意各个分力的正 负号，以便正确地表示力的方向和大 小。
感您的 看
THANKS
在建筑设计时，需要对建筑物的结构进行 受力分析，将外力分解为各个方向的力， 以确定建筑物的安全性和稳定性。
04
受力分析的方法
隔离法
总结词
将研究对象从其周围物体中隔离出来，分析它受到的力。
详细描述
隔离法是受力分析中最常用的方法之一。通过将研究对象从 其周围物体中隔离出来，可以单独分析研究对象的受力情况， 从而确定每个力的作用点和方向。这种方法有助于我们清晰 地理解物体的运动状态和受力关系。
合力和分力是替代关系，即它们 在分析中可以互相替代。
合力和分力不一定是实际存在的 力，它们可以是虚拟的力。
06
及解析
基础习题
基础习题1
一个物体受到两个力F₁和F₂的 作用，这两个力的大小分别为 3N和5N，求它们的合力大小。
答案
合力大小为8N。
基础习题2
一个物体受到三个力F₁、F₂和 F₃的作用，这三个力的大小分 别为2N、3N和4N，求这三个 力的合力大小。
详细描述
假设法是一种基于逻辑推理的受力分析方法。根据已知的运动状态，我们可以假设某些 力存在或不存在，然后通过牛顿第二定律等力学原理进行逻辑推理，验证假设的正确性。
这种方法在解决一些复杂的动力学问题时非常有效，可以帮助我们快速找到解题思路。
力的分解可以通过力的平行四边 形法则或三角形法则来实现，这 些法则在解决实际工程问题中具
有广泛的应用。
力的分解有助于深入理解力的作 用效果和物体运动状态的变化， 是解决力学问题的重要手段之一。
力的正交分解
力的正交分解是将一个力按照正交坐 标系的方向进行分解，得到若干个分 力。
在正交分解时，应注意各个分力的正 负号，以便正确地表示力的方向和大 小。
感您的 看
THANKS
在建筑设计时，需要对建筑物的结构进行 受力分析，将外力分解为各个方向的力， 以确定建筑物的安全性和稳定性。
04
受力分析的方法
隔离法
总结词
将研究对象从其周围物体中隔离出来，分析它受到的力。
详细描述
隔离法是受力分析中最常用的方法之一。通过将研究对象从 其周围物体中隔离出来，可以单独分析研究对象的受力情况， 从而确定每个力的作用点和方向。这种方法有助于我们清晰 地理解物体的运动状态和受力关系。
合力和分力是替代关系，即它们 在分析中可以互相替代。
合力和分力不一定是实际存在的 力，它们可以是虚拟的力。
06
及解析
基础习题
基础习题1
一个物体受到两个力F₁和F₂的 作用，这两个力的大小分别为 3N和5N，求它们的合力大小。
答案
合力大小为8N。
基础习题2
一个物体受到三个力F₁、F₂和 F₃的作用，这三个力的大小分 别为2N、3N和4N，求这三个 力的合力大小。
详细描述
假设法是一种基于逻辑推理的受力分析方法。根据已知的运动状态，我们可以假设某些 力存在或不存在，然后通过牛顿第二定律等力学原理进行逻辑推理，验证假设的正确性。
这种方法在解决一些复杂的动力学问题时非常有效，可以帮助我们快速找到解题思路。
大学物理优质课件精选——分析力学拉格朗日方程课件
在其名著分析力学中把数学分析应用于质点和刚体力学提出了运用于静力学和动力学的普遍方程引进广义坐标的概念建立了拉格朗日方程把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式改变为以能量为基本概念的分析力学形式奠定了分析力学的基础为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路哈密顿hamiltonwilliamrowan18051865爱尔兰人他的研究工作涉及不少领域成果最大的是光学力学和四元数
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。
分析力学基础PPT课件
f
k(r1 ,
r2
,
rn
)
0
k 1,2,,s
用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标： N 3n s
对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。
ri
ri
(q1
,
q2
,,
q
N
)
进行变分计算：
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标； 完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。
×
若质点限定在半球面上运动，球半 径为R，是具有1个质点的空间质点 系，自由度数为3，有1个约束方程：
z l2 (x2 y2)
n 1, s 1
z
M
y 自由度数为： N 3n s 3 1 2
F1
y A
2
(F2
y B
2
F xA )
2
F1l2 sin 2 F2l2 sin 2 Fl2 cos2
0
×
F1l1 sin1 F2l1 sin1 Fl1 cos1 0 F1l2 sin2 F2l2 sin2 Fl2 cos2 0 ri q N来自q NN
ri
k 1 qk
qk
×
xi xi (q1, q2 ,, qN ) yi yi (q1, q2 ,, qN ) zi zi (q1, q2 ,, qN )
ri xii yi j zik
ri
xii yi
1
l1
第五章 分析力学ppt课件
或
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
5.1
约束与广义坐标
第5章 分析力
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可 表示为
f r , r , r , , t 0 1 2 3
§5.0
引言
第5章 分析力
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
牛顿力学 矢量力学 力学第一原理 拉格朗日方程 拉格朗日力学 （相当于“几何公理” ） 哈密顿力学 哈密顿原理
三者本质上相同，可以相互证明 利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
5.1
约束与广义坐标
分析力学教学ppt课件
精选ppt课件
37
5. 虚位移的几何意义
f (x, y, z) 0 ——约束方程
f (x x, y y, z z) 0
f (x x, y y, z z) f (x, y, z) f x f y f z 0
M
dre
在dt内，斜面位移为dre，物块的实 位移为dr 。根据合成运动理论，有
v0
drr
dr M'
dr = dre + drr = MM‘ dre = v0dt ---牵连位移 drr ---物块相对斜面的位移
dre
δr2
M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面向下的 δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为 δr1，δr2都是约束所容许的。
y
o
x
φl
A
ωr
l
o
B x
y
M
x2 y2 l2
x
2 A
y
2 A
r2
(xA xB )2 ( yA yB )2 l2
y 0 精选ppt课B 件
23
运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束(非完整约束)。
• 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制， 而且有速度或角速度方面的限制。
• 如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线
运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）
y
r
C Mφ
M
o xC
ω
C
轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
vC
yC = r
或 yC = r
P
x
vC－rω=0
xC r 0
瞬心 精选ppt课件
分析力学-清华大学基科班课件
分析力学讲义
2010－2011 学年秋季学期 基科 91－98 使用
2011－09
目
录
1 1
目录 绪论 §0．1．经典力学发展简史 §0．2． 理论力学和本课程的内容简介 §0．3．分析力学的特点 §0．4．经典力学的基本概念 §0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议
第一部分
第一章
矢量力学
由于各专业的不同要求，同样名为理论力学的课程有不同的类型；同样名为理论力学 的教材或专著也有不同的侧重面。除了力学专业的理论力学课程有其自身的专业要求以外， 工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分； 对于物理专业而言， 阐述经典力学普遍规 律的理论力学课程， 是物理专业的专业基础课四大力学之一， 是普通物理课程力学部分的继 续和加深， 也是许多后续课程的必备基础。 目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析力学 两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数 学工具，后者采用更多数学分析的方法。 由于矢量力学大部分内容已在普通物理课程中讲授，本课程内容以分析力学为主，主 要讲授分析力学的基本概念和基本原理、 拉格朗日力学和哈密顿力学等内容， 课程名称也改 称分析力学。但也要讲一些矢量力学的内容，既为梳理矢量力学的基础知识，又作内容上的 必要补充，但更着重于方法上的更新，为学习分析力学作好准备。 根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的一个特例，不作为教学的重 点。因此本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的一个特例。 由于课时的关系，在本课程里不涉及相对论力学和非线性力学。 §0．3．分析力学的特点 数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。 分析力学的理论概括性比较强，能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，也 能对多样化的力学问题作统一的程式化的处理； 因而便于阐述力学的普遍原理， 也便于处理 更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。正因为如此，分析力学也 比较抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自 己能构造一些实例以加深理解当然更好。 分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力） ，因此分析力学的方法便于推广，对于物 理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。 分析力学着眼于整个力学体系 （而矢量力学中往往采用隔离体图， 着眼于各个组成部分 的受力和运动情况） ，因而界定一个力学体系的范围，分清体系的内和外显得格外重要。 分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法， 所得结果当然应该一致。 在矢量 力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解， 但是两者不可能得到相互矛盾 的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表 示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。 §0．4．经典力学的基本概念 1．经典力学的时空观 参考系 经典力学的任务是研究机械运动的规律。 机械运动是物体在空间的位置和取向随时间发 生变化，是物理学所研究的各种运动形式中最简单，也是最基本的一种。为此我们先对经典 力学的时空观作一简单的说明。(参阅[3]32 页) 空间和时间不仅是一个物理概念， 而且具有深刻的哲学意义。 空间和时间是物质存在的
2010－2011 学年秋季学期 基科 91－98 使用
2011－09
目
录
1 1
目录 绪论 §0．1．经典力学发展简史 §0．2． 理论力学和本课程的内容简介 §0．3．分析力学的特点 §0．4．经典力学的基本概念 §0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议
第一部分
第一章
矢量力学
由于各专业的不同要求，同样名为理论力学的课程有不同的类型；同样名为理论力学 的教材或专著也有不同的侧重面。除了力学专业的理论力学课程有其自身的专业要求以外， 工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分； 对于物理专业而言， 阐述经典力学普遍规 律的理论力学课程， 是物理专业的专业基础课四大力学之一， 是普通物理课程力学部分的继 续和加深， 也是许多后续课程的必备基础。 目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析力学 两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数 学工具，后者采用更多数学分析的方法。 由于矢量力学大部分内容已在普通物理课程中讲授，本课程内容以分析力学为主，主 要讲授分析力学的基本概念和基本原理、 拉格朗日力学和哈密顿力学等内容， 课程名称也改 称分析力学。但也要讲一些矢量力学的内容，既为梳理矢量力学的基础知识，又作内容上的 必要补充，但更着重于方法上的更新，为学习分析力学作好准备。 根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的一个特例，不作为教学的重 点。因此本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的一个特例。 由于课时的关系，在本课程里不涉及相对论力学和非线性力学。 §0．3．分析力学的特点 数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。 分析力学的理论概括性比较强，能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，也 能对多样化的力学问题作统一的程式化的处理； 因而便于阐述力学的普遍原理， 也便于处理 更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。正因为如此，分析力学也 比较抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自 己能构造一些实例以加深理解当然更好。 分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力） ，因此分析力学的方法便于推广，对于物 理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。 分析力学着眼于整个力学体系 （而矢量力学中往往采用隔离体图， 着眼于各个组成部分 的受力和运动情况） ，因而界定一个力学体系的范围，分清体系的内和外显得格外重要。 分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法， 所得结果当然应该一致。 在矢量 力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解， 但是两者不可能得到相互矛盾 的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表 示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。 §0．4．经典力学的基本概念 1．经典力学的时空观 参考系 经典力学的任务是研究机械运动的规律。 机械运动是物体在空间的位置和取向随时间发 生变化，是物理学所研究的各种运动形式中最简单，也是最基本的一种。为此我们先对经典 力学的时空观作一简单的说明。(参阅[3]32 页) 空间和时间不仅是一个物理概念， 而且具有深刻的哲学意义。 空间和时间是物质存在的
王振发版-分析力学-课件-第4章-力学的变分原理
(4 - 1b)
变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分 的变分.
（3）变分法 设泛函J 为定积分 J
t2 t1
, t )dt F ( q, q
现欲求通过两固定点 A (t1 , q1 ) 和 B (t 2 , q2 ) 的一条曲线 q q(t ) ， 如图 实线所示，这条曲线使泛函 J 具有极 值。 为表示通过A，B两固定点的与 q (t )
非常接近的一族函数，我们将这族
函数表示为依赖于参数 当 0 时， q ( , t ) q (t ) ，就是欲求的函数 q q (t ) 。
的函数 q( , t ) q(t ) (t ) ；
因
可为不同的值，因此泛函 J 也是 ( , t ), t ]dt J ( ) F [q( , t ), q
a (1 cos )d dx 2
积分后得 由
xA 0, y A 0
a x ( sin ) C 2
得
C0 。
于是最后得
a x ( sin ) 2 a y ( cos ) 2
这是以
为参数的旋轮线的曲线方程。其中
xB, y B
给定一个由任何对象组成的集合D，这里所说的任 何对象可以是数、数组、点、线、面，也可以是函数或 某系统的状态等。设集合D中的元素用 x 表示，如果对 于集合中的每一个元素 x 对应一个数 y，则称 y 是x的泛 函，记为 y=F (x).
有时泛函可以看做是函数，函数也可看做是泛数。
譬如，如果集合D中的元素是数 x ，则泛函y=F (x)可 视为函数 y=f (x) ； 如果集合D中的元素是数组（x1, x2, …xn），则泛函 y=F (x) 可视为函数 y=f (x1, x2…xn)。
《分析力学基础》课件
容
哈密顿-雅可比 方程可以描述 系统的运动状 态和能量变化
哈密顿-雅可比 方程在分析力 学中具有重要
地位
正则方程的定义和性 质
正则方程的求解方法
正则方程在分析力学 中的应用
正则方程与拉格朗日 方程的关系
正则方程在工程中的 应用实例
课件结构
● 引言：介绍分析力学的基本概念和重要性 ● 第一部分：牛顿力学 ● 牛顿三定律 ● 动量守恒定律 ● 角动量守恒定律 第二部分：拉格朗日力学
弹性模量：描述固体材料弹 性性质的物理量
胡克定律：描述固体材料在弹 性范围内的应力与应变关系
泊松比：描述固体材料在弹性 范围内的横向应变与纵向应变
的关系
弹性力学基本方程：描述固体 材料在弹性范围内的应力、应
变和位移之间的关系
哈密顿原理：描述系统演化的普遍 规律，适用于经典力学和量子力学
哈密顿原理的应用：求解力学问题， 如求解运动方程、求解哈密顿量等
分析力学基础PPT课 件大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
课件简介
课件内容
课件结构
课件效果
课件使用说明
添加章节标题研究物体在力作用下的运动规律
课件旨在帮助学生理解分析力学的基本概念、原理和方法
课件适用于物理专业学生、教师和相关研究人员
课件内容涵盖了分析力学的主要内容，包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力 学等
页脚：包括作者、日期、版权等信息
背景：选择与主题相关的背景图片或颜 色
课件效果
课件内容：包括基 本概念、原理、公 式、应用等
教学方法：采用案 例分析、实验演示、 互动讨论等方式
学习效果：提高分 析力学知识水平， 增强解决问题的能 力
哈密顿-雅可比 方程可以描述 系统的运动状 态和能量变化
哈密顿-雅可比 方程在分析力 学中具有重要
地位
正则方程的定义和性 质
正则方程的求解方法
正则方程在分析力学 中的应用
正则方程与拉格朗日 方程的关系
正则方程在工程中的 应用实例
课件结构
● 引言：介绍分析力学的基本概念和重要性 ● 第一部分：牛顿力学 ● 牛顿三定律 ● 动量守恒定律 ● 角动量守恒定律 第二部分：拉格朗日力学
弹性模量：描述固体材料弹 性性质的物理量
胡克定律：描述固体材料在弹 性范围内的应力与应变关系
泊松比：描述固体材料在弹性 范围内的横向应变与纵向应变
的关系
弹性力学基本方程：描述固体 材料在弹性范围内的应力、应
变和位移之间的关系
哈密顿原理：描述系统演化的普遍 规律，适用于经典力学和量子力学
哈密顿原理的应用：求解力学问题， 如求解运动方程、求解哈密顿量等
分析力学基础PPT课 件大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
课件简介
课件内容
课件结构
课件效果
课件使用说明
添加章节标题研究物体在力作用下的运动规律
课件旨在帮助学生理解分析力学的基本概念、原理和方法
课件适用于物理专业学生、教师和相关研究人员
课件内容涵盖了分析力学的主要内容，包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力 学等
页脚：包括作者、日期、版权等信息
背景：选择与主题相关的背景图片或颜 色
课件效果
课件内容：包括基 本概念、原理、公 式、应用等
教学方法：采用案 例分析、实验演示、 互动讨论等方式
学习效果：提高分 析力学知识水平， 增强解决问题的能 力
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 1788年 拉格朗日 《分析力学》 世界上最早的一本分析力学的著作。虚功原理和 达朗贝尔原理两者结合，可得到动力学普遍方程， 从而导出分析力学各种系统的动力学方程。
• 1834年，哈密顿 正则方程 用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程。 哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的 点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问 题。
• 近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研 究分析力学的原理和方法。它广泛用于结构分析、 机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器 人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学。
• 五 研究意义
分析力学是经典物理学的基础之一， 也是整个力学的基础之一。
•六 分析力学与理论力学比较
y
o
x
φl
A
ωr
l
o
B x
y
M
x2 y2 l2
xA2
y
2 A
r2
(xA xB )2 ( yA yB )2 l2
yB 0
运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束(非完整约束)。
• 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制， 而且有速度或角速度方面的限制。
• 如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线
运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）
y
r
C Mφ
M
o xC
ω
C
轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
vC
yC = r
或 yC = r
P
x
vC－rω=0
xC r 0
瞬心
运动约束方程
⒉双面约束和单面约束
• 双面约束：如果约束不仅限制质点在某一方向的 运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为 双面约束。
4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。
• 例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面 公法线方向指向物体。
• 在支座约束中，固定铰支座，约束反力过 销中心，方向不能确定，通常用正交的两 个分力表示。
• 解除约束原理
• 当受约束的物体在某些主动力的作用下处 于平衡，若将其部分或全部约束解除，代 之以相应的约束反力，则物体的平衡不受 影响。
• 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大 量运用几何方法和矢量作为研究工具，因 此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿 力学”）。
• 拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义 坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效 的力学表述方法。
• 同矢量力学相比，分析力学的表述方法具 有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为 复杂的问题，运用分析力学可以较为简便 的解决。
内容
第一章 虚位移原理 第二章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 第三章 哈密顿正则方程 第四章 力学的变分原理 第五章 一个自由度系统的振动 第六章 两个自由度系统的振动 第七章 狭义相对论的拉格朗日方法和……
第一章 虚位移原理
1.约束及约束方程 2.自由度和广义坐标 3.虚位移 4.虚位移原理 5.虚位移原理的应用举例 6.用广义力表示的质点系平衡条件 7.在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性
• 二 研究对象
• 它的研究对象是质点系。质点系可视为宏 观物体组成的力学系统的理想模型，例如 刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都 可看作质点系。
• 工程上的力学问题大多数是约束的质点系， 由于约束方程类型的不同，就形成了不同的 力学系统。例如，完整系统、非完整系统、 定常系统、非定常系统等。
• 三 发展历史
分析力学
致童鞋们
之学生虐我千百遍，我待学生如初恋
• 教书是一场盛大的暗恋，你费劲心思去爱 一群人，最后却只感动了自己。
• 曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人 考不好。
• 你若不离不弃 我必生死相依 你若自我放弃 我也无能无力
绪论
• 一 什么是分析力学？
分析力学是理论力学的一个分支，是对经 典力学的高度数学化的表达。
• 主动力——作用于被约束物体上的除了约束以外的 力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压 力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。
• 约束反力是主动力引起的，故它是一种被动力。
• 约束反力的特点：
1.约束反力取决于约束本身的性质、主动力和物体 的运动状态。
2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。 3.作用点在物体与约束相接触的那一点。
1-2 约束方程
• 用数学方程来表示的限制条件称为约束方 程。
f (x, y, z, x, y, z,t) 0
1-3 约束的分类
⒈几何约束和运动约束 ⒉双面约束和单面约束 ⒊定常约束和非定常约束
⒈几何约束和运动约束
• 几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置， 这种约束称为几何约束(完整约束)。
• 1894年 赫兹 首次将系统按约束类型分为完整约束和非完整约 束两大类。
• 20世纪至今 分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统 作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广 泛的研究。
• 四 应用
• 分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动 力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重 要应用。
理论力学分析力学相来自点对象不 同方法
点 基础
同属经典力学
力 几何法 牛顿定律
能量 分析法 变分原理
分析力学
分析静力学 分析动力学
• 分析静力学
• 以一般质点系为力学模型，应用达朗伯原理和虚位 移原理方法得出平衡的普遍规律。
• 分析动力学
• 在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用动力 学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系 的动力学问题。
非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束
• 注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。
• 实现这些约束条件的物体称为约束体。 受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯上， 把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体。
• 主动力和约束力（或约束反力）
• 约束力（或约束反力）——把约束对物体的作用力 称为约束力。
1.约束及约束方程
1-1 约束的定义
• 质点系分为自由质点系和非自由质点系。 • 若质点的运动状态（轨迹、速度等）只取决 于作用力和运动的初始条件，则这种质点系 称为自由质点系；它的运动称为自由运动。 • 若质点系的运动状态受到某些预先给定的限 制（运动的初始条件也要满足这些限制条 件），则这种质点系称为非自由质点系；它 的运动称为非自由运动。
• 1834年，哈密顿 正则方程 用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程。 哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的 点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问 题。
• 近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研 究分析力学的原理和方法。它广泛用于结构分析、 机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器 人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学。
• 五 研究意义
分析力学是经典物理学的基础之一， 也是整个力学的基础之一。
•六 分析力学与理论力学比较
y
o
x
φl
A
ωr
l
o
B x
y
M
x2 y2 l2
xA2
y
2 A
r2
(xA xB )2 ( yA yB )2 l2
yB 0
运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束(非完整约束)。
• 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制， 而且有速度或角速度方面的限制。
• 如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线
运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）
y
r
C Mφ
M
o xC
ω
C
轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
vC
yC = r
或 yC = r
P
x
vC－rω=0
xC r 0
瞬心
运动约束方程
⒉双面约束和单面约束
• 双面约束：如果约束不仅限制质点在某一方向的 运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为 双面约束。
4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。
• 例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面 公法线方向指向物体。
• 在支座约束中，固定铰支座，约束反力过 销中心，方向不能确定，通常用正交的两 个分力表示。
• 解除约束原理
• 当受约束的物体在某些主动力的作用下处 于平衡，若将其部分或全部约束解除，代 之以相应的约束反力，则物体的平衡不受 影响。
• 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大 量运用几何方法和矢量作为研究工具，因 此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿 力学”）。
• 拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义 坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效 的力学表述方法。
• 同矢量力学相比，分析力学的表述方法具 有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为 复杂的问题，运用分析力学可以较为简便 的解决。
内容
第一章 虚位移原理 第二章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 第三章 哈密顿正则方程 第四章 力学的变分原理 第五章 一个自由度系统的振动 第六章 两个自由度系统的振动 第七章 狭义相对论的拉格朗日方法和……
第一章 虚位移原理
1.约束及约束方程 2.自由度和广义坐标 3.虚位移 4.虚位移原理 5.虚位移原理的应用举例 6.用广义力表示的质点系平衡条件 7.在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性
• 二 研究对象
• 它的研究对象是质点系。质点系可视为宏 观物体组成的力学系统的理想模型，例如 刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都 可看作质点系。
• 工程上的力学问题大多数是约束的质点系， 由于约束方程类型的不同，就形成了不同的 力学系统。例如，完整系统、非完整系统、 定常系统、非定常系统等。
• 三 发展历史
分析力学
致童鞋们
之学生虐我千百遍，我待学生如初恋
• 教书是一场盛大的暗恋，你费劲心思去爱 一群人，最后却只感动了自己。
• 曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人 考不好。
• 你若不离不弃 我必生死相依 你若自我放弃 我也无能无力
绪论
• 一 什么是分析力学？
分析力学是理论力学的一个分支，是对经 典力学的高度数学化的表达。
• 主动力——作用于被约束物体上的除了约束以外的 力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压 力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。
• 约束反力是主动力引起的，故它是一种被动力。
• 约束反力的特点：
1.约束反力取决于约束本身的性质、主动力和物体 的运动状态。
2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。 3.作用点在物体与约束相接触的那一点。
1-2 约束方程
• 用数学方程来表示的限制条件称为约束方 程。
f (x, y, z, x, y, z,t) 0
1-3 约束的分类
⒈几何约束和运动约束 ⒉双面约束和单面约束 ⒊定常约束和非定常约束
⒈几何约束和运动约束
• 几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置， 这种约束称为几何约束(完整约束)。
• 1894年 赫兹 首次将系统按约束类型分为完整约束和非完整约 束两大类。
• 20世纪至今 分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统 作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广 泛的研究。
• 四 应用
• 分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动 力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重 要应用。
理论力学分析力学相来自点对象不 同方法
点 基础
同属经典力学
力 几何法 牛顿定律
能量 分析法 变分原理
分析力学
分析静力学 分析动力学
• 分析静力学
• 以一般质点系为力学模型，应用达朗伯原理和虚位 移原理方法得出平衡的普遍规律。
• 分析动力学
• 在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用动力 学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系 的动力学问题。
非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束
• 注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。
• 实现这些约束条件的物体称为约束体。 受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯上， 把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体。
• 主动力和约束力（或约束反力）
• 约束力（或约束反力）——把约束对物体的作用力 称为约束力。
1.约束及约束方程
1-1 约束的定义
• 质点系分为自由质点系和非自由质点系。 • 若质点的运动状态（轨迹、速度等）只取决 于作用力和运动的初始条件，则这种质点系 称为自由质点系；它的运动称为自由运动。 • 若质点系的运动状态受到某些预先给定的限 制（运动的初始条件也要满足这些限制条 件），则这种质点系称为非自由质点系；它 的运动称为非自由运动。