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函数值域的十种求法
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函数值域的十种求法
1、通过定义域的极限来求函数值域:由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域,而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。
2、通过函数定义关系来求函数值域:由于函数在定义域内有一定的定义关系,所以可以根据函数定义关系来求函数值域。
3、由于函数在定义域内有一定的性质,所以可以根据函数性质来求函数值域。
4、由于函数在定义域内有一定的对称性,所以可以根据函数的对称性来求函数值域。
5、由于函数在定义域内有一定的单调性,所以可以根据函数的单调性来求函数值域。
6、根据函数的奇偶性来求函数值域:如果函数在定义域内具有奇偶性,则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。
7、由于函数在定义域内有一定的常数性,所以可以根据函数的常数性来求函数值域。
8、根据函数增减性来求函数值域:如果函数在定义域内具有增减性,则可以根据函数的增减性来求函数值域。
9、由于函数在定义域内有一定的循环性,所以可以根据函数的循环性来求函数值域。
10、根据函数的图像形状来求函数值域:如果函数在定义域内具有特定的图像形状,则可以根据函数的图像形状来求函数值域。
求值域的10种方法
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求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围,并且在数学和计算中都是非常重要的。
以下是求值域的10种方法:1.列举法列举法是最简单直接的方法。
通过观察函数的定义,给出一组有序的输出值,并将这些值组成一个集合。
这些值将构成函数的值域。
例如,对于函数f(x)=x^2,我们可以通过进行一系列的替换运算,然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。
2.图像法在图像法中,我们首先绘制函数的图像,然后找到图像上所有纵坐标的值。
这些纵坐标的集合构成了函数的值域。
例如,对于函数f(x)=x^2,我们可以绘制一个抛物线形状的图像,然后观察所有纵坐标的值。
3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。
例如,对于函数f(x)=x^2,我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。
然后通过解这个方程,我们可以得到y可能的取值范围,即函数的值域。
4.图像逼近法在图像逼近法中,我们通过绘制函数的图像,并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。
这些纵坐标的集合构成函数的值域。
5.猜测法猜测法是一种直觉方法,凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。
这种方法通常需要一定的数学背景和经验,并且在实践中被广泛应用。
6.极值法在极值法中,我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。
极大值是函数图像的局部最高点,极小值是函数图像的局部最低点。
函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。
7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数(夹逼函数)来夹住待求函数,然后确定待求函数的值域。
待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。
8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。
求函数的对数在一些问题中很有用,因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。
9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集,然后从全体实数集中去除差集的元素,得到函数的值域。
(完整word版)求函数定义域和值域方法和典型题归纳,推荐文档
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<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是:(1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。
(2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
(1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。
(2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。
二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
(1)常见要是满足有意义的情况简总:①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0;②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。
③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0.④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1)⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1.(2()log (1)x f x x =-)注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。
【高中数学讲义】函数求值域的十种方法
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前言:总有人求助如何学好数学,这个问题很宽泛,并非寥寥数语能够厘清。
有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。
高中数学可以归结为两个“三位一体”:教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。
知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。
三要素之间的关系:典型习题归纳数学思想,数学思想指导数学方法,数学方法解决典型习题。
数学思想举例:数形结合的思想等。
数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。
典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。
教学体系的三位一体:教、学、练。
老师教什么:数学思想和数学方法。
熟练掌握各种方法的是优秀学生,深入理解各种思想的是顶尖学生。
学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。
如何做练习:01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只会告诉你多做题。
多做题没用,多做类型才有用。
典型习题,做一顶百。
02,做题:一题多解。
对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决,然后比较各个方法的优劣,归纳出某类型题对应的最佳方法。
03,总结:针对错题。
大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。
通过总结,避免两次踏入同一条水沟。
由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。
工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。
总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。
说不出?有思路才怪!言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”(高中数学最重要就是函数,函数之于高中数学好比力学之于高中物理。
高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。
三要素中的求值域就是本讲的主题)方法一:配方法用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简单),但常与其他方法综合使用。
y=ax2+bx+c(a≠0)经过配方得到 y=a(x-m)2 +n 的形式,可直接观察出值域。
方法二:函数性质法高中阶段函数六性:奇偶性,单调性,周期性,对称性,凸凹性,有界性(前三为重点)。
(完整word版)求函数值域的方法
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例析求函数值域的方法函数的值域是函数三要素之一,求函数的值域是深入学习函数的基础,它常涉及多种知识的综合应用,下面通过例题讲解,多方探寻值域的途径。
一、直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)例1.求函数2+=x y 的值域。
解:因为0≥x ,所以22≥+x , 所以函数2+=x y 的值域为[)+∞,2。
二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。
解:2242(2)6y x x x =-++=--+,因为[1,1]x ∈-,所以2[3,1]x -∈--,所以21(2)9x ≤-≤所以23(2)65x -≤--+≤,即35y -≤≤所以函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。
例:求函数的值域:y解:设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为:y 又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y =的值域为[]0,2.三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例4.求函数125x y x -=+的值域。
解:因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++, 所以72025x ≠+,所以12y ≠-, 所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法求解.例4.求函数2y x =+.解:令t =0t ≥),则212t x -=, 所以22151()24y t t t =-++=--+ 因为当12t =,即38x =时,max 54y =,无最小值。
高中数学--函数值域求法十一种(详解).docx
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函数值域求法十一种在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下,供参考。
1.直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
1y1. 求函数x 的值域。
解:∵x01∴x显然函数的值域是:(,0)(0,)2. 求函数y3x的值域。
解:∵x 0x 0,3x 3故函数的值域是:[,3]2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
3.求函数yx 22x5, x[ 1,2] 的值域。
解:将函数配方得:y(x1) 24∵ x [1,2]由二次函数的性质可知:当 x=1时,ymin4,当 x1时, y max 8故函数的值域是:[4,8]3.判别式法y1 x x 24.1x 2求函数的值域。
解:原函数化为关于 x 的一元二次方程( y 1)x2( y 1) x 0 (1)当 y 1时,x R( 1) 2 4( y 1)( y1)解得:1y3 22(2)当 y=1时, x 0 ,而11 , 3 故函数的值域为 1,3222 25. 求函数 y xx( 2 x )的值域。
解:两边平方整理得:2x22(y 1) x y2(1)∵ x R∴4(y 1) 28y解得:12 y 1 2但此时的函数的定义域由x( 2x)0 ,得0x 2由0 ,仅保证关于 x 的方程:2x22(y 1) x y 2在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 0求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 1 ,3。
求函数值域的十种方法
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求函数值域的常用方法函数的值域是指函数能够取到的所有可能的输出值。
确定一个函数的值域有很多常用的方法,下面将介绍其中一些常用的方法。
1.求极限。
当自变量趋于无穷大或无穷小时,函数的极限可以帮助确定函数的值域。
如果一个函数的极限存在,并且随着自变量的增大或减小而无限接近一些确定的值,那么该函数的值域一定包含该极限值。
2.分析函数的定义域。
函数的定义域是指函数的自变量的取值范围。
如果函数在定义域上是连续的,并且没有间断点,那么函数的值域可以通过分析函数在定义域上的取值范围来确定。
3.分析函数的图像。
函数的图像是函数在坐标平面上的表示。
通过观察函数的图像可以初步估计函数的值域。
如果函数的图像在一些区间上单调递增或递减,并且没有振荡现象,那么该函数的值域将是该区间的闭区间。
4.求函数的导数。
函数的导数描述了函数的变化趋势。
通过求函数的导数可以确定函数的极值点,从而确定函数的值域。
当函数的导数在一些点处为零,并且在该点的左侧和右侧具有不同的符号,那么该点就是函数的极值点。
函数在极值点取到最大值或最小值时,该值一定属于函数的值域。
5.利用奇偶性。
一些函数具有奇偶性,即在定义域内满足一定的对称性。
如果函数是偶函数,则函数的值域在对称轴上具有对称性,可以根据对称轴的函数值确定其值域。
如果函数是奇函数,则函数的值域在原点上具有对称性。
6.利用函数的周期性。
一些函数具有周期性,即在定义域内满足重复性。
如果函数是周期函数,那么其值域也是周期性的,可以通过分析一个周期内的函数值来确定其值域。
7.求函数的反函数。
有些函数存在反函数,通过求反函数可以确定函数的值域。
反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。
8.利用已知的数学性质。
根据一些已知的数学性质来确定函数的值域,例如三角函数的取值范围是[-1,1],对数函数的定义域是正实数,指数函数的值域是正实数等。
以上是常用的一些方法来确定函数的值域。
在实际问题中,可以结合多种方法来确定函数的值域。
函数值域的10种求法(已编辑,适合高一、二年级使用)
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函数值域的10种求法在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ;反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)(3x 1x 32)(≤≤-=x f练习:求下列函数的值域1. x 1y = 2. x 3y -= 3.y=-3x+4(-3≤x ≤1) 4.y=e x -12、配方法配方法求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
练习:求下列函数的值域①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ;注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3、单调性法利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
高中数学教师备课必备系列(函数的概念及性质):专题五函数的值域及求法含解析.doc
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£9-相关概念1、值域:函数y=/0), XG A,我们把函数值的集合{f(x)/xe A}称为函数的值域。
2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的授小(大)值。
因此,求函数的授值和值域,其实质是相同的,只是提问不同而已。
J二确定函数值域的原则1、当函数y = /(x)用表格给出时,函数的值域指表格中实数y的集合;则值域为{1, 2, 3, 4}2、数J = /U)的图像给出时,函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;3、数y = f(x)用解析式给出时,函数的值域由两数的定义域及其对应法则唯一确定;4、由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定。
三基本函数的值域1、一次函数y = kx + b (QH O)的值域为R;2、二次函数y=a^+hx-^-c。
>0时,值域是[地土,+OO);GV O时,值域是(-co严%] 3、反比例函数),二土仏北0)的4a 4ax值域为{y / y工()}; 4、数函数y=a\a>Q^a^l)的值域为{y/y>0}; 5、对数函数y = 1)的值域为R。
6,函数y二sinx、y=cosx 的值域是[-1,1]$四求函数值域的方法1、观察法:“直线类,反比例函数类”用此方法;2、配方法.:“二次函数”用配方法求值域;例1.求函数y = 3^2 一兀+ 2 xe (-3, 5]的值域;解:求函数"3— + 2=3(计+寻I 73 1画出图像(图略)从图可知,兀=三时斷=百;兀=5时,y吨=3(5--)2+ —=72.o 12 o 12所以此函数的值域为[巻~,72 ].例2.求函数y = V- x2 - 6x - 5的值域;解:设// = 一兀2—6兀一5,贝(J// > 0; jn = -x2 -6x-5 = -(x + 3)2 +4<4;又/.0<//<4. 攸丘[0, 2],・••值域为[0, 2],2.换元法:形如y = © + b土』cx+d(a、b、c、d为常数,且GH O)的函数; * •'常用换元法求值域’例3.求函数y = 2x + 4A/1-x的值域解:设/ = 贝吹=1 一尸,・・・丿=一力2+生+2=_2(『_1)2+454,・•・值域为(—co, 4].3、判别式法:形如歹=山「+勺兀+5(①,血不同时为零)的函数用判别式法求值域;a2X^ +/?2 兀 +(2例4求函数y = x +丄的值域;X解:y=x+—= X + =>x2-yx+l = 0要上圓的方程有实数根〉A = (—J)2— 4xlxl=j?2—4>0 X X求出y>2^y<-l,所以函数的值域为(YD, - 2] Y [2? + oo>4、反函数法:玄接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
求函数值域的方法
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求函数值域的方法第一篇:求函数值域的方法求函数值域的求法:①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;②逆求法(反求法):通过反解x,用y 来表示,再由x的取值范围,通过解不等式,得出 y的取值范围;④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式法:利用均值不等式公式来求值域;⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
第二篇:求函数的值域的常见方法求函数的值域的常见方法王远征深圳市蛇口学校求函数的值域是高中数学的重点学习内容,其方法灵活多样,针对不同的问题情景,要求解题者,选择合适的方法,切忌思维刻板。
本文就已知解析式求函数的值域,这类问题介绍几种常用的方法。
一、直接法函数值的集合叫做函数的值域,根据定义,由函数的映射法则和定义域,直接求出函数的值域。
例1.已知函数y=(x-1)-1,x∈{-1,0,1,2},求函数的值域。
2解:因为x∈{-1,0,1,2},而f(-1)=f(3)=3,f(0)=f(2)=0,f(1)=-1 所以:y∈{-1,0,3},注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该例的定义域为x∈R,则函数的值域为{y|y≥-1}。
请体会两者的区别。
二、反函数法反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。
例2.求函数y=1-x5的值域。
2x+1x分析与解:注意到2>0,由原函数求出用y表示2的关系式,进而求出值域。
由y=1-x5x2=,得:x2+1因为2>0,所以y+4>0⇒-4<y<1, 1-y值域为:{y|-4<y<1}三、函数的单调性例3.求函数y=x+1在区间x∈(0,+∞)上的值域。
x分析与解答:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1),因为0<xx1x2<x2,所以:x1-x2<0,x1x2>0,当1≤x1<x2时,x1x2-1>0,则f(x1)>f(x2);当0<x1<x2<1时,x1x2-1<0,则f(x1)<f(x2);而当x=1时,ymin=2 于是:函数y=x+在区间x∈(0,+∞)上的值域为[2,+∞)。
高中数学求函数值域的10种常见方法
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高中数学求函数值域的10种常见方法
一、显函数法:
须先将函数写成显函数的形式,然后通过分析函数表达式的特征,确定其值域。
二、图像法:
一般通过函数的图像来确定其值域,可以在纸上绘制函数的图像,或者利用数学软件进行绘图分析。
三、函数增减性:
通过函数的增减性来确定其值域,即分析函数在定义域上的单调性。
四、函数的周期性:
若函数具有周期性,则值域受周期性的限制。
五、函数的有界性:
若函数在定义域上有上下界,则其值域也受到该有界性的限制。
六、反函数法:
通过求函数的反函数,获得原函数的值域。
七、导数法:
通过求函数的导数,分析其在定义域内的极值和拐点,得出值域的上下界。
八、极限法:
通过求函数在定义域两端的极限,确定函数值域的范围。
九、变量替换法:
可将复杂的函数转化为简单的函数,通过分析简单函数的值域,确定复杂函数的值域。
十、函数值的性质:
根据函数的性质和定义,通过推理和证明,确定函数值域。
以上是求函数值域的十种常见方法,根据不同的题目和函数形式,我们可以选择适用的方法来解决问题。
在实际应用中,经常需要综合运用多种方法来确定函数的值域。
21函数值域的几种求法.docx
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函数值域的若干求法一.函数值域的几点解读在函数y = f(x)中,与自变量兀的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合即为函数的值域。
实质上1 •当函数〉,=/(兀)用表格给出吋,其值域指表格中实数y的集合。
2.当函数y二于仏)的图象给出时,其值域即为图象在y轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。
3•当函数=/(%)用解析式给出吋,其值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
4.当函数由实际问题给出时,其值域由问题的实际意义确定。
二•求函数值域的几种方法(-)观察法:对于一些简单的函数,可以通过定义域及对应法则,用观察的方法来确定函数的值域。
例1:求下列函数的值域(1). y = 2x + l *{1,2,3,4,5}(2). y = 4x + 1解:(1).・・・歹=2兀 + 1且兀&{1,2,3,4,5}・•・ yw {3,5,7,9,11}所以函数的值域是:{3,5,7,9,11}(2). •・• Vx > 0 ・•・-y/x + 1 > 1所以函数歹=頁+1的值域是[l,+oo)(二)配方法:对于二次三项式有关问题,常根据求解问题的要求,采用配方法来解决。
对于含有二次三项式的函数,也常用配方法来求其值域。
例2:求下列函数的值域(1). y = x2 -4x + 6(2). y = J5 + 4兀一兀2解:(1).配方得:^=(X-2)2+2 /. y > 2所以函数的值域是:[2,+oo)(2). •・• y = A /5 + 4X -X 1 2 = J-(x-2)? +9显然5 + 4x-x 2的最大值是9函数y = J5 + 4兀-,的最大值是3 JI y > 0所以函数的值域是:[0,3](三)图象法就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法 例3:求函数y = |x+l| + |x-2|的值域x-2|化为分段函数:(x<-l) (-l<x<2) U>2)函数图象如图不:显然:..:■ I ■ I ・ I ■I所以函数 y = |x + l| + |x-2| 的值域是:[3, +oo ) <——I ——j-j ------ *——土~TX(四)换元法:对于一些无理函数或超越函数,通过换元把它们化为有理函数,然后利用有 理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。
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前言:总有人求助如何学好数学,这个问题很宽泛,并非寥寥数语能够厘清。
有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。
高中数学可以归结为两个“三位一体” :教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。
知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。
三要素之间的关系:典型习题归纳数学思想,数学思想指导数学方法,数学方法解决典型习题。
数学思想举例:数形结合的思想等。
数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。
典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。
教学体系的三位一体:教、学、练。
老师教什么:数学思想和数学方法。
熟练掌握各种方法的是优秀学生,深入理解各种思想的是顶尖学生。
学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。
如何做练习:01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只会告诉你多做题。
多做题没用,多做类型才有用。
典型习题,做一顶百。
02,做题:一题多解。
对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决,然后比较各个方法的优劣,归纳出某类型题对应的最佳方法。
03,总结:针对错题。
大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。
通过总结,避免两次踏入同一条水沟。
由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。
工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。
总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。
说不出?有思路才怪!言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”(高中数学最重要就是函数,函数之于高中数学好比力学之于高中物理。
高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。
三要素中的求值域就是本讲的主题)方法一:配方法用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简单),但常与其他方法综合使用。
y=ax2+bx+c(a≠0)经过配方得到 y=a (x-m)2 +n 的形式,可直接观察出值域。
方法二:函数性质法高中阶段函数六性:奇偶性,单调性,周期性,对称性,凸凹性,有界性(前三为重点)。
巧用函数性质,往往可以大幅简化过程,最常用的性质是单调性(熟练掌握导数工具)。
方法三:换元法换元法分为:代数换元与三角换元。
前者针对非齐次,后者针对齐次。
(详见例题)方法四:判别式法常用于二次分式或无理式求值域。
将y 视为系数,整理为关于 x 的二次方程。
由于方程有解,所以判别式大于等于零,得到一个关于 y 的不等式,解之。
利用判别式法时,要注意自变量的取值范围。
判别式法运算往往较为繁琐,请优先考虑其他方法。
方法五:不等式法均值不等式:两个正数(可以拓展到 N个)的平方平均值≥代数平均值≥ 几何平均值≥ 调和平均值。
利用特殊不等式的性质来求值域,要注意等号成立的条件。
方法六:分离常量法常用于分式求值域,利用多项式除法分离出常数,从而简化问题。
方法七:反函数法原函数的值域等于反函数的定义域,求原函数值域可以转化为求反函数定义域问题。
使用本方法的前提是原函数存在反函数。
方法八:函数图象法基础函数值域易求,经过变换得到的新函数的值域亦可由此得到。
常见的函数图象变换:平移,对称,伸缩,翻折。
方法九:几何意义法(来源于数形结合的思想)常用的几何意义有距离和斜率。
方法十:综合法综合使用以上九种方法中的若干种,废话一句,但考题往往需要综合法解决。
例题不难但很典型且可利用多种方法求解,重点为方法的应用条件与注意事项。
例1: y=x+ x-1解法一,代数换元法(题目中包括 x 的一次及二分之一次,属于非齐次)设 t= x-1(t ≥0)易得 x=t 2+1,则 y=t 2+t+1=(t+ 1)2+ 3,易犯错误 y ≥3 244实际上由于 t ≥0,t不可能取到 -1,因此 y 不可能取到3(换元后24要注意新变量的取值范围)。
正确解法:易得t=0 时, y 取到最小值 1解法二,函数性质法(单调性)∵x-1∴x ≥1易知 y=x 与 y= x-1均为增函数,则 y=x+ x-1亦为增函数当x=1 时, y 取到最小值 1可见性质法简单得多,几乎目测可得结果。
例 2: y = x+ 1 x2解法一,判别式法移项 y-x=1x 2平方 y 2-2xy+x 2=1-x 2整理 2x 2-2yx+y 2-1=0关于 x 的方程在区间 [-1,1] 上有解,除判别式大于等于零外,还需考虑其他条件,较为繁琐。
解法二,三角换元( +前后 x 的最高次均为一次,属于齐次)设 x=sin θ则1x 2=cosθ由于 sin θ无符号限制,而cosθ大于等于零,可以设θ∈[-,]22(换元后要注意新变量的取值范围)则 y=sin θ+cosθ= 2 sin (θ +)4∵θ∈ [-,]22∴θ +π/4 ∈[-,3]4 4∴y ∈[-1 ,2 ]例3: y = x+1x解法一:函数性质法(单调性,奇偶性)1当 x>0 时,求导 y '= 1-x2x∈( 0,1)时,导数小于零,单调递减。
x∈(1,+∞)时,导数大于零,单调递增。
x=1 时,取到最小值 2 因此 x>0 时, y≥2根据奇函数性质, x<0 时, y≤-2综上 y∈( - ∞, -2] ∪[2 ,+∞)解法二:不等式法当 x>0 时, y=x+ 1≥ 2x .1= 2 x x根据奇函数性质, x<0 时, y≤-2综上 y ∈( - ∞, -2] ∪[2 ,+∞)例 4: y=x 2 x 1x 21解法一: 判别式法,不再赘叙解法二: 分离常量法x=0 时, y=1x ≠0 时x 2 x 1 x1 y= x2 1 =1+ x 21 =1+ x1 x∵ x1∈( - ∞, -2] ∪[2,+∞)x∴ y ∈[ 1 ,1 )∪( 1, 3]22综上 y ∈[ 1 , 3]2 2可见某些形式的二次分式求值域,分离常量法比判别式法简便得多。
1sinx例5: y=2cosx解法一:万能公式 +判别式法设 tan x=t sinx=2t cosx=1t222 21t1tt22t1y=t 23下略解法二:辅助角公式 +函数性质法(有界性)2y+ycosx=1+sinxsinx-ycosx=2y-11 y2six(x+ θ)=2y-1six(x+2y1θ)=y21利用正弦函数的有界性,得到2y 1∈[-1 ,1]1y 24解得 y∈[0 ,3 ]解法三:几何意义法(斜率)y=sin x ( 1) cosx2该式的几何意义为 (cosx,sinx)与(-2,-1)两点连线的斜率(cosx,sinx)为单位圆上的任意一点,画图。
通过几何方法确定单位圆上的动点与定点(-2,-1) 连线斜率的取值范围,过程略。
完整使用三种方法得到正确答案的童鞋可以自行比较三种方法的繁简程度。
例 6: y= x 3 x 1解法一:函数图像法(分类讨论去绝对值,化为分段函数,画草图观察值域)解法二:几何意义法(距离)x 3 x 1 的几何意义为数轴上一个动点到-3 及+1 两个定点距离之和,易得 y≥4例 7: y= x 2 4 x 22x 10解法:几何意义法(距离)2222y= x 0 2 0x 1 3 0上式的几何意义为 x 轴上的动点(x,0)到两个定点(0,2 )与(1,3 )的距离之和画图:A 点为(0,2 ),B 点为(1,3 ),做出 A 点关于 x 轴的对称点 A'。
连结 A'与 B 线段的距离即为y 的最小值。
线段与 x 轴交点的横坐标即为y 取最小值时 x 的取值。
例8: y=5 x3 x解法一:函数图象法5xx x388y= 3x = -3= -1+ x+38据上式可知所求函数可由函数y=向左平移3个单位,向下平移1x个单位得到。
据图像易得 y ∈(- ∞, -1) ∪(-1 ,+∞)解法二:反函数法5x∵y= 3 x∴xy+3y=5-x∴xy+x=5-3y53y∴ x=1y53x∴原函数的反函数为y=x 1∵反函数的定义域为 (- ∞, -1) ∪(-1 ,+∞)∴原函数的值域亦为 (- ∞, -1) ∪(-1 ,+∞)x2 1解法一:分离常量法2y=1- 2x1∵2 x>0∴2 x+1>1∴2∈(0 ,2) 2x1∴y ∈(-1 ,1)解法二:反函数法y·2x+y=2x-1y+1=(1-y) ·2xy 1x2 = 1y1x原函数的反函数为 y=log 21 x反函数的定义域为 (-1 ,1)原函数的值域为 (-1 ,1)例 10:y=sin 3x+cos3x,x∈[0 ,3]4解法:综合法提示:换元法 +函数性质法(单调性),接下来的过程请童鞋们完成。