上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案).

合集下载

2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报

2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报

2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷)参考答案及评分标准一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。

分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=.2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 22=+αα,得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα.3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则=2015z .答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+.4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,边DC 上(包含点D 、C )的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q 满足条件BQ DP =,则PQ PA ⋅的最小值为 . 答案34. 解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l) (其中02t ≤≤),则由||||DP BQ =得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t P Q t t =--=---,因此,22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥.当12t =时,min 3()4PA PQ ⋅=.5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 .答案:255.解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即 AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能.当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH .由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为8222055=.6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 . 答案:24.解:设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤. 先考虑1K 在第一象限中的部分,此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知,1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部.同理,设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤,则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知,K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S .由于直线CD 的方程为36x y +=,直线GH 的方程为36x y +=,故它们的交点P 的坐标为33(,)22.由对称性知,138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=.7.设ω为正实数,若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ,使得2sin sin =+b a ωω,则ω的取值范围为 . 答案:9513[,)[,)424w ∈+∞.解:2s in s in =+b a ωω知,1s in s in ==b a ωω,而]2,[,ππωωw w b a si ∈,故题目条件等价于:存在整数,()k l k l <,使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤. ①当4w ≥时,区间]2,[ππw w 的长度不小于π4,故必存在,k l 满足①式. 当04w <<时,注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ,故仅需考虑如下几种情况:(i) ππππw w 2252≤<≤,此时21≤w 且45>w 无解; (ii) ππππw w 22925≤<≤,此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤,此时29413≤≤w ,得4413<≤w . 综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4≥w 亦满足条件,可知9513[,)[,)424w ∈+∞.8.对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ,),若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数;若d c c b b a <><,,,则称abcd 为Q 类数,用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数,则N(P)-N(Q)的值为 .答案:285.解:分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ,再将个位数为零的P 类数全体记为0A ,个位数不等于零的尸类数全体记为1A .对任一四位数1A abcd ∈,将其对应到四位数dcba ,注意到1,,≥><>d c c b b a ,故B dcba ∈.反之,每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd .这建立了1A 与B 之间的一一对应,因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=.下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1,…,9,对其中每个b ,由9≤<a b 及9≤<c b 知,a 和c 分别有b -9种取法,从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑.因此,()()285N P N Q -=.二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)

上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)

上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍,则这三个素数为________.解答:设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数,从23()abc a b c =++,可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数,所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图,圆1O 与圆 2O 外切于点P ,从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB , B 是切点,连接AP 并延长,与圆2O 交于点C .已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1,则ACAB=________.解答:做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=,则2.PA k = 应用切割线定理有:223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

A 'B AM NPQ6、 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴.点A (6,5),B (10,2)是MON内的两个定点,点P 、Q 分别是MON两边上的动点,则四边形ABQP 周长的最小值是________.解答:本题主要就是应用对称。

应为四边形ABQP ,其中一个边AB 为定值。

要求四边形 ABQP 周长的最小值,只要求另外三边的最小值。

从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。

//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。

2015大同杯复赛试卷及答案

2015大同杯复赛试卷及答案

上海市第二十九届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试题(2 0 1 5年)说明:1.本试卷共有五大题,答题时间为120分钟,试题满分为150分。

2.答案及解答过程均写在答卷纸上。

其中第一、二大题只要写出答案而不写解答过程: 第三~第五大题按题型要求写出完整的解答过程。

解答过程中可以使用计算器。

3.考试完毕将试卷、一答题纸、草稿纸分开上交。

4.本试卷中常数g 取9.8牛/千克,水的比热容4.2×103焦/千克·℃,水的密度1.0×103千克/米3,大气压强1.01×1 05帕,水银密度13.6×103千克/米3。

一、选择题(以下每小题只有一个选项符合题意,每小题4分,共3 2分)1.5 0年前华裔物理学家高锟在光导纤维通信领域取得突破性的进展并因此获得2009年的 诺贝尔物理学奖。

光纤传播信息利用的原理是( )(A)光的全反射 (B)光的折射 (C)光的衍射 (D)光的散射 2.对以下物理现象的分析和解释正确的是( )①在有雪的路面上撒些食盐,使冰雪的熔点升高,更容易融化。

②在加油站,有“禁止使用手机”警告语,这是由于手机发射的电磁波会引起汽油燃烧,发生危险事故。

③通常冰冻的肉在水中比在同温度的空气中解冻得快,烧烫的东西放入水中比在同温度的空气中冷却得快,这些物理现象都说明水的比热容比空气大。

④从高处落下的薄纸片,即使无风,纸片下落的路线也曲折多变,是由于纸片表面各处的气流速度不同,导致纸片上各处受力不均匀。

(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④3.为了节能,商场安装了智能化的电动扶梯。

无人乘行时,扶梯运转得很慢;有人走近扶 梯时,它会先慢慢加速,再匀速运转。

要实现这样的功能,需要安装传感器,则一般采用的 传感器为( )(A)位移传感器 (B)电压传感器 (C)光电传感器 (D)温度传感器4.某同学站在圆心O 处用细绳拉着小球,使球跟着身体在水平面内作逆时针运动,俯视图如图所示。

2015年全国高中数学联赛试题答案

2015年全国高中数学联赛试题答案
1≤i ≤ k
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个.又由于 A1 ⊆ Ci ( i = 1, , t ) ,故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ,即在剩下的 n − s − t 个集合中, k
包含 a1 ,因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t (利用 k ≥ 2 ) = +t ≥ k k k n . ……………40 分 ≥ (利用 t ≥ s ) k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 , i =1 所以①得证,从而本题得证.
…………………40 分
证法二:首先,由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性,可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an .此 n 外,若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号,则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减,而右边的 ∑ ai2 不变,并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取,因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j (柯西不等式) …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j (利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ) ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j (利用 [ x ] ≤ x ) n = i =1 j +1 2

2015年第29届大同杯初赛试卷及答案

2015年第29届大同杯初赛试卷及答案

初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2015年3月8日上午9:00一l 0:30说明:1、本试卷共分两部分,第一部分为单项选择题,每题3分,共30题,计90分:第二部分为多项选择题,每题5分,全对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分,共l2题,计60分。

全卷满分l50分。

2、考试时间为90分钟。

3、考生使用答题纸(卡),把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。

允许使用计算器,考试完毕后,请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。

4、水的比热容:c水=4.2×103焦/(千克·℃)第一部分:单项选择题1,最早提出物体运动不需要力来维持的物理学家是( )(A)亚里士多德(B)焦耳(C)牛顿(D)伽利略2.如图所示,以下现象中通过做功改变物体内能的是((A)搓手取暖(B)水被加热(c)勺子烫手(D)曝晒钢瓶3.如图所示,能正确表示小磁针指向的是()4.有的工厂的烟囱里会冒出“白烟”,主要原因是( )(A)排出的气体中含有C02气体遇冷凝结,形成“白烟”(B)排出的热气体与空气中的水滴混合,形成“白烟”(C)排出的气体中含有大量的C0、C02等混合气体,形成“白烟”(D)排出的气体中含有水蒸气遇冷凝结成小水滴,形成“白烟”5.把一个带正电的物体A,靠近一个原来不带电的验电器的金属小球,然后用手去触摸金属小球(人体是通大地的导体),再移开手,这时( )(A)金属小球和金属箔都不带电(B)金属小球带负电,金属箔不带电(C)金属小球带负电,金属箔带正电(D)金属小球带负电,金属箔也带负电6.如图所示,在水平的两根平行筷子中间放上两只乒 乓球,通过空心塑料管向两球间用力吹气,会发现两只 乒乓球( )(A)相互靠近 (B)相互远离(C)静止不动 (D)向同一方向运动7.如图所示的日食现象,又称为日蚀,是一种天文现象。

当月球运行至太阳与地球之 间时,对地球上的部分地区来说,月球挡住了太阳的一部分或全部光线,看起来好像是太阳 的一部分或全部消失了,这就是日食现象。

2015大同杯初赛试卷及参考答案

2015大同杯初赛试卷及参考答案

上海市第二十九届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2015年3月8日上午9:00一l 0:30说明:1、本试卷共分两部分,第一部分为单项选择题,每题3分,共30题,计90分:第二部分为多项选择题,每题5分,全对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分,共l2题,计60分。

全卷满分l50分。

2、考试时间为90分钟。

3、考生使用答题纸(卡),把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。

允许使用计算器,考试完毕后,请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。

4、水的比热容:c水=4.2×103焦/(千克·℃)第一部分:单项选择题:1,最早提出物体运动不需要力来维持的物理学家是( )(A)亚里士多德(B)焦耳(C)牛顿(D)伽利略2.如图所示,以下现象中通过做功改变物体内能的是( )(A)搓手取暖(B)水被加热(c)勺子烫手(D)曝晒钢瓶3.如图所示,能正确表示小磁针指向的是()4.有的工厂的烟囱里会冒出“白烟”,主要原因是( )(A)排出的气体中含有C02气体遇冷凝结,形成“白烟”(B)排出的热气体与空气中的水滴混合,形成“白烟”(C)排出的气体中含有大量的C0、C02等混合气体,形成“白烟”(D)排出的气体中含有水蒸气遇冷凝结成小水滴,形成“白烟”5.把一个带正电的物体A,靠近一个原来不带电的验电器的金属小球,然后用手去触摸金属小球(人体是通大地的导体),再移开手,这时( )(A)金属小球和金属箔都不带电(B)金属小球带负电,金属箔不带电(C)金属小球带负电,金属箔带正电(D)金属小球带负电,金属箔也带负电6.如图所示,在水平的两根平行筷子中间放上两只乒乓球,通过空心塑料管向两球间用力吹气,会发现两只乒乓球( )(A)相互靠近(B)相互远离(C)静止不动(D)向同一方向运动7.如图所示的日食现象,又称为日蚀,是一种天文现象。

当月球运行至太阳与地球之间时,对地球上的部分地区来说,月球挡住了太阳的一部分或全部光线,看起来好像是太阳的一部分或全部消失了,这就是日食现象。

2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2k 2 1 m2 .②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知,
y1 x1 1
y2 2k x2 1
,又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ,所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ,化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8,故所求概率为 8 2 . 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域(如图所示)的面积为
◆答案: 24 ★解析:设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} . 先考虑 K1 在第一象限中的部分,此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知, K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部.
同理,设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ,则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部.
由点集 K 的定义知,K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4

cos 2 sin 2 sin
sin 2

(1 sin )(1 cos2 )

2 sin
cos2

2.
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1,zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ,其中 i 为虚数单位,zn 表

2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

AB AC , EF BC ,则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M , FN BC 于点 N , FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心,∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ,∴ PF MN 1 BC 1 EF ,∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数,则符合条件的所有正整数 n 的和是( )
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数,∴ 5 | (5n2 3n 5) ,∴ 5 | 3n ,∴ 5 | n ,设 n 5m ( m 是正整数),
∴符合条件的所有正整数 n 的和是(2+8+14+…+86+92+98)+(4+10+16+…+82+88+94)
=1634. 二、填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分) 1.题目和解答与(A)卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11, GE 10 ,∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点,位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上,位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上,且 OA OB ,则 tan ABO 的值为 x
同理可知: C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此,第三列所填 6 个数字之和 A + B + C + D + E + F 3 6 9 12 15 18 63.

2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)

2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)

二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
9.(本题满分 16 分)若实数 a, b, c 满足 2a 4b 2c , 4a 2b 4c ,求 c 的最小值. 解:将 2a , 2b , 2c 分别记为 x, y, z ,则 x, y, z 0 . 由条件知, x y2 z, x2 y z2 ,故
因此必有
x1
x2
2
0
,故由方程①及韦达定理知,
4km 2k2 1
( x1
x2
)
2
,即
mk 1 .

2k
由②、③知,
2k
2
1
m2
k
1 2k
2
,化简得
k
2
1 4k
2
,这等价于
k
2 .
2
2 反之,当 m, k 满足③及 k 2 时,l 必不经过点 F1(否则将导致 m k ,与③矛盾),
而此时 m, k 满足②,故 l 与椭圆有两个不同的交点 A 、 B ,同时也保证了 AF1 、 BF1 的斜率
当 0 4 时,注意到[, 2] (0, 8) ,故仅需考虑如下几种情况:
(i ) 5 2 ,此时 1 且 5 ,无解;
22
2
4
(ii) 5 9 2 ,此时有 9 5 ;
22
4
2
(iii) 9 13 2 ,此时有 13 9 ,得 13 4 .
依次成等差数列知, y1 x1 1
y2 x2 1
2k

又 y1 kx1 m, y2 kx2 m ,所以
(kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) .

2015年全国高中数学联赛试卷解析

2015年全国高中数学联赛试卷解析

2015 年全国高中数学联合竞赛参考答案及评分标准一试一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=.2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 22=+αα,得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα.3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则=2015z .答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+.4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,边DC 上(包含点D 、C )的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q =,则PQ PA ⋅的最小值为 . 答案34. 解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l) (其中02t ≤≤),则由||||DP BQ =得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此,22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥.当12t =时,min 3()4PA PQ ⋅=.5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 答案:255.解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即 AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能.当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH .由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为8222055=.6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 . 答案:24.解:设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤. 先考虑1K 在第一象限中的部分,此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知,1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部.同理,设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤,则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知,K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S .由于直线CD 的方程为36x y +=,直线GH 的方程为36x y +=,故它们的交点P 的坐标为33(,)22.由对称性知,138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=.7.设ω为正实数,若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ,使得2sin sin =+b a ωω,则ω的取值范围为 . 答案:9513[,)[,)424w ∈+∞.解:2sin sin =+b a ωω知,1sin sin ==b a ωω,而]2,[,ππωωw w b a si ∈,故题目条件等价于:存在整数,()k l k l <,使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤. ① 当4w ≥时,区间]2,[ππw w 的长度不小于π4,故必存在,k l 满足①式. 当04w <<时,注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ,故仅需考虑如下几种情况:(i) ππππw w 2252≤<≤,此时21≤w 且45>w 无解;(ii) ππππw w 22925≤<≤,此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤,此时29413≤≤w ,得4413<≤w .综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4≥w 亦满足条件,可知9513[,)[,)424w ∈+∞.8.对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ,),若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数;若d c c b b a <><,,,则称abcd 为Q 类数,用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数,则N(P)-N(Q)的值为 .答案:285.解:分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ,再将个位数为零的P 类数全体记为0A ,个位数不等于零的尸类数全体记为1A .对任一四位数1A abcd ∈,将其对应到四位数dcba ,注意到1,,≥><>d c c b b a ,故B dcba ∈.反之,每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd .这建立了1A 与B 之间的一一对应,因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=.下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1,…,9,对其中每个b ,由9≤<a b 及9≤<c b 知,a 和c 分别有b -9种取法,从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑. 因此,()()285N P N Q -=.二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案

2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案

上海市大同杯(原新知杯、宇振杯)初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题 3 2017年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题11 2016年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题18 2015年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题29 2014年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题35 2013年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题43 2012年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷50 2011年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷59 2010年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷68 2009年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷752008年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷81 2007年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷87 2006年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷94 2005年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷99 2004年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷104 2003年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷107 2002年上海市初中数学竞赛(宇振杯)试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛(弘晟杯)试题110 2000年上海市初中数学竞赛(弘晟杯)试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛(大同中学杯)试卷一、 填空题(每题10分,共80分)1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点(0,0),(22.5,2020.5),(62.5,1812.5),则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 (精确到0.001)。

解析:2015年大同杯初赛解析最新修正版

解析:2015年大同杯初赛解析最新修正版

上海市第29届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷解析(兼区县物理竞赛试卷)2015年3月8日上午9:00---l 0:30说明:1、本试卷共分两部分,第一部分为单项选择题,每题3分,共30题,计90分:第二部分为多项选择题,每题5分,全对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分,共l2题,计60分。

全卷满分l50分。

2、考试时间为90分钟。

3、考生使用答题纸(卡),把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。

允许使用计算器,考试完毕后,请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。

4、水的比热容:c水=4.2×103焦/(千克·℃)第一部分:单项选择题1,最早提出物体运动不需要力来维持的物理学家是( )(A)亚里士多德(B)焦耳(C)牛顿(D)伽利略【答案】D【分析】伽利略通过理想斜面实验,假设没有摩擦,物体将一直运动下去不会停止,提出“力不是维持物体运动的原因”,从而推翻“力是维持物体运动的原因”,并用斜面实验结合推理对这一观点进行了验证.2.如图所示,以下现象中通过做功改变物体内能的是( )(A)搓手取暖(B)水被加热(c)勺子烫手(D)曝晒钢瓶【答案】A【分析】A、搓手能发热,是因为克服摩擦做功,使手的内能增加、温度升高,属于做功改变物体的内能,符合题意.B、加热水能沸腾,是通过热传递改变物体的内能,不符合题意.C、勺子会烫手,是手从勺子吸收热量,内能增加,温度升高,属于热传递改变物体的内能,不符合题意.D、曝晒钢瓶危险,是通过热传递改变物体的内能,不符合题意.3.如图所示,能正确表示小磁针指向的是()【答案】C【分析】判断依据:螺线管磁场方向由安培定则判断,小磁针N极的指向为磁场方向通电直导线中的安培定则(安培定则一):用右手握住通电直导线,让大拇指指向电流的方向,那么四指的指向就是磁感线的环绕方向;通电螺线管中的安培定则(安培定则二):用右手握住通电螺线管,使四指弯曲与电流方向一致,那么大拇指所指的那一端是通电螺线管的N极。

2015年全国重点高中数学联合竞赛一式参考参考答案及平分标准

2015年全国重点高中数学联合竞赛一式参考参考答案及平分标准

2015年全国高中数学联合竞赛一试一.填空题:本大题共8小题,没小题8分,满分64分。

1.设a 、b 为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则)2(f 的值为2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为类数;若d c c b b a <><,,则称abcd 为Q 类数.用)(),(Q N P N 分别表示P 类数和Q 类数的个数,则)()(Q N P N -的值为二.解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.(本小题满分16分)若实数c b a ,,满足c b a c b a 424,242=+=+,求c 的最小值。

10.(本小题满分20分)设4321,,,a a a a 是4个有理数,使得{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i a a j i 求4321a a a a +++的值。

11.(本小题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆2015年全国高中数学联合竞赛加试一、(本小题满分40分)设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数,证明:可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε,使得:))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i n i i i n i i a n a a ε 二、(本小题满分40分)设{}n A A A S ,,,21⋅⋅⋅=,其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不x四、(本小题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数n ,1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn2015年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分;其他各题的评阅,请严格按照本标准评分档次给给分,不要增加其他中间档次。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

C2015年上海初三数学竞赛(大同中学杯)(2015年12月6日) 解答本题可以使用科学计算器一填空题(每小题10分,共80分)1、已知AB 为圆O 的直径,AB =1,延长AB 到点C,使得BC =1,CD 是圆O 的切线,D 是切点,则ABD ∆的面积为______________。

解答:依据切割线定理可以得到:2CD CB CA =⋅⇒因为可以得到BD CDCD CBD A AD AC∆⇒=∆∽因此有BD AD ==。

因为AB 为圆O 的直径,所以ABD ∆时直角三角形。

依据勾股定理有222221133AB BD AD BD BD =+⇒=⇒=。

而21226ABD S BD AD BD ∆=⋅==2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球,从中任取3个小球,则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。

解答:从七个小球任意取出三个小球的取法为3735C =种,因为没有小球的数字不同,这样这三个球的数字和有35和结果。

要使用和为奇数。

应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数,也就是从1,3,5,7四个数中取三个,取法为344C =第二种,一个奇数,两个偶数,也就是从1,3,5,7的四个数中取1个,从2,4,6三个数中取两个,取法有224312C C ⋅=.这样和为奇数一共有41216+=种。

从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为16353、实数,x y 满足24x =,24y=,x y ≠,则x yy x+的值为____________。

解答:因为2244x y ⎧+=-----⎪⎨+=-----⎪⎩①②上述①②两个相减,得到:()())0x y x y x y -+-=。

因为x y ≠所以有x y+=上述①②相加得到222)4()2)4x y x y x y xy x y ++=⇒+-+=所以1xy =。

因此2()21x y x y xyy x xy +-+==4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍,则这三个素数为________.解答:设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数,从23()abc a b c =++,可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a =这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯ 因为,b c 为素数,所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图,圆1O 与圆 2O 外切于点P ,从圆1O 上点A 作圆2O 的切线AB , B 是切点,连接 AP 并延长,与圆2O 交于点C .已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1,则ACAB=________. 解答:做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PCk =,则2.PA k = 应用切割线定理有:223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

6、 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,MON 的两边分别是射线 y x (x与x轴正半轴.点A (6,5),B (10,2)是MON 内的两个定点,点P 、Q 分别是MON 两边上的动点,则四边形ABQP 周长的最小值是________. 解答:本题主要就是应用对称。

应为四边形 ABQP ,其中一个边AB 为定值。

要求四边形ABQP从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -. 四边形另外三边的最小值为//A B 依据两点间距离公式有。

//A B ==AB ==。

7. 不定方程2222x y xy x y +=++的整数(,y)x 解共有________组。

解答:设x y k +=,所以从2222x y xy x y +=++,可以得到222k xy xy k -=+所以222233k kk k xy xy --=⇒=。

这样,y x 是方程22203k kt kt --+=的两个根,并且根为整数。

所以2222()40803k kk k k -∆=--⨯≥⇒-≤。

因此有08k ≤≤。

同时要保证22(2)33k k k k xy --==为整数。

这样就有0k =,3,5,6,8 当0k =时,(,y)(0,0)x =当3k =时,方程为方程2310t t -+=没有整数解。

当5k =时,方程为方程2550t t -+=没有整数解。

当6k =时,方程为方程2680t t -+=,有整数解为2,4。

所以(,y)(2,4)x =或(4,2)当8k =时,方程为方程28160t t -+=,有整数解为4,4。

所以(,y)(4,4)x =整数(,y)x 解共有4组C8. 设a 是给定的正实数,n 是给定的大于 1 的整数,实数123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅ 满足2222123nx x x x a +++⋅⋅⋅+=,则 2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-21()n n x x -+⋅⋅⋅+-的最大值________________。

解答:因为2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-21()n n x x -+⋅⋅⋅+-22212123234211(1)()2()2()2()2n n n n x n n nn x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅+-++⋅⋅+-⋅⋅⋅-+-123234211(1)2()2()2()2n n n x n n n n a x x x x x x x x x x x x x ---=--++⋅⋅+-++⋅⋅+-⋅⋅⋅-+-有这样的一个结论,因为222222222222()2x y x y x y xy x y x y xy x y +=+≥⇒≤+⇔-+≤-≤+而1232342112()2()2()2n n n x n n n x x x x x x x x x x x x x ----++⋅⋅+-++⋅⋅+-+-22222222222212131232422222222222223435321212222221212[()()()][()()()][()()()][()()]()](1)(1)(1)(1)(n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x n x x x ----≤++++⋅⋅+++++++⋅⋅+++++++⋅⋅++⋅⋅⋅++++++=-+-+⋅⋅+-=-++⋅⋅+)(1)n a=-所以最大值为2(1)n a -二、解答题(第9、10 题,每题15 分,第11、12 题,每题20 分,共70 分) 9. 如图,在△ABC 中,BC a ,CA b ,ACB ,△ABD 是正三角形,P 是其中心,求CP 的长度.解答:分析作D 点关于AB 的对称点/D 。

则/AD B ∆为等边三角形,这样就有/060AD B ∠=,已知ACB所以/,,,A C DB 四点共圆。

这个圆过P点。

连接AP ,BP 。

因为P 是正三角形ABD 的中心,所以02sin 603AP BP AB AB ===因为A ,C ,B ,P 四点共圆,也就是四边形ACBP 为 圆内接四边形,应用圆内接四边形托勒密定理 可以得到AB PC BP AC AP BC ⋅=⋅+⋅所以)PC a b =+。

10. 在1,2,… ,2015 这2015 个正整数中选出k 个数,使得其中任意两个不同的数的和 都不是50 的倍数,求k 的最大值.解答:因为所有的整数,被5除余数为0,1,2,3,4,… ,47,48,49。

共50中情况。

而2015504015÷=⋅⋅⋅。

下面吧从1,2,… ,2015这2015个数被50除,余数的情况列表如下。

第1行取1到25这25个数,取50这个个数,任意两个数的和都不能被50整除。

第2行取51到74这24个数,和第一组取得的数组成新的数集,则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。

以后每行都取前24个数,取到第40行位置。

最后一行取15个数。

这样正整数集合最大数值个数为2624(4021)15977+⨯-++= 这样集合为这样式样{1,2,,25,50,51,52,,74,101,102,,124,151,152,,174,,1951,1952,,1974,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2001,,2015}⋅⋅⋅50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。

因此k 的最大值为977.11. 已知△ABC 的三边长均为正整数,周长为 35,G 和I 分别为△ABC 的重心和内心,CACA且GIC ,求边AB 的长度.解答:本题有一定难度,但是抓住内心和重心的特征 还是能够找到解题的路径的。

由题意知道GIC,并且平分ACB ∠,的特征。

这样可以构造出三角形。

为此延长GI 很容易得到CMN ∆为等腰三角形,也就是CM CN = 过垂心G 和内心I 分别做AC 和BC 边的垂线。

设ABC ∆的半径为r 。

由面积法得到:CGM CGN CIM CIN S S S S ∆∆∆∆+=+也就是1112222CM GP CN GF rCN ⋅+⋅=⨯ 所以2GP GF r +=因为G 为三角形ABC 的重心,可以得到11233B AC A BC d d r --+= 用面积法有:12122233S S S b a a b c⨯+⨯=++ 化简为116b a a b c +=++也就是635a b ab += 635()ab a b =+,因为,a b 为正整数所以得到35ab k =,则6a b k +=为此,a b 为方程26350t kt k -+=的两个根。

235(6)43509k k k ∆=--⨯≥⇒≥有356356a b k k +=<⇒<。

因此4,5k = 当4k =时,方程为2243540(14)(10)014,10t t t t t -+⨯=⇒--=⇒=所以此时10,14a b ==。

因此11AB =。

当5k =时,方程为2303550t t -+⨯=没有整数解。

因此11AB =。

12. 设,a b 是正整数,22a b - 不是 4的倍数,求证:(3)(57)a b a b ++不是完全平方数. 证明:22()()a b a b a b -=+-,当,a b 为同奇数,或者同偶数时,可以得到22()()a b a b a b -=+-一定是4的倍数。

相关文档
最新文档