绝对值的性质及化简
专题突破：绝对值化简问题专项探究(3大题型)(解析版)—24-25学年七年级数学上册单元(浙教版)
专题突破：绝对值化简问题专项探究绝对值化简常见问题方法总结1、根据绝对值的性质化简（1）牢记绝对值的性质：⎪⎩⎪⎨⎧-==)a(a a )a(a a 0000＜）（＞或⎩⎨⎧≤-≥=)a(a )a(a a 00（2）在”“=的组合中，当“=”左边的部分未知时，求“| |”内部的数，需要分类讨论；当“=”右边的部分未知时，求“=”右边的值，结果只有一个。
（3）绝对值的非负性应用：当“| |+| |=0”时，则“| |”内部的式子整体=02、已知范围的绝对值化简基本步骤第1步：判断绝对值内部式子的正负；第2步：把绝对值改为小括号；第3步：去括号；第4步：化简合并。
3、绝对值化简与最值问题对应规律（1）当x=a 时，|x-a|的最小值=0；（2）当a ≤x ≤b 时，|x-a|+|x-b|的最小值=|a-b|；（3）若a ＜b ＜c ，当x=b 时，|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a；题型一 根据绝对值的性质化简【例1】．（2024春•肇源县期中）若|a |+a ＝0，则a 是（ ）A ．零B ．负数C ．负数或零D ．非负数【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：若|a |+a ＝0，则a 是负数或零，故选：C ．【变式1-1】．（2024•碑林区校级模拟）如果，那么x ＝（ ）A ．B ．或2C ．D ．2【分析】根据绝对值的意义求解即可．【解答】解：∵∴．故选：C ．【变式1-2】．（2023秋•|m |＝|n |，那么m ，n 的关系（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．都是0D ．互为相反数或相等【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到m 与n 的关系．【解答】解：∵|m |＝|n |，∴m ＝n 或m ＝﹣n ，即互为相反数或相等，故选：D ．【变式1-3】．（2023秋•渑池县期末）若|a +2|+|b ﹣7|＝0，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．5D ．﹣5【分析】根据非负数的性质分别求出a 、b ，计算即可．【解答】解：∵|a +2|+|b ﹣7|＝0，∴|a +2|＝0，|b ﹣7|＝0，∴a+2＝0，b﹣7＝0，解得，a＝﹣2，b＝7，则a+b＝5，故选：C．【变式1-4】．（2023秋•东莞市月考）若|x﹣1|+|2﹣y|＝0，求2x﹣y的值．【分析】根据非负数的性质得出x﹣1＝0，2﹣y＝0，即可求出x、y的值，从而求出2x﹣y的值．【解答】解：∵|x﹣1|+|2﹣y|＝0，又∵|x﹣1|≥0，|2﹣y|≥0，∴x﹣1＝0，2﹣y＝0，∴x＝1，y＝2，∴2x﹣y＝2×1﹣2＝0．【变式1-5】．（2023•南皮县校级一模）若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．【解答】解：∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，+＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，+＝﹣1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，+＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，+＝﹣1+1＝0；综上所述，+的值为：±2或0．故选：C．题型二已知范围的绝对值化简【例2】．（2023•成都模拟）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝ ．【分析】因为π≈3.414，所以π﹣4＜0，3﹣π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π﹣4|+|3﹣π|．【解答】解：∵π≈3.414，∴π﹣4＜0，3﹣π＜0，∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1．故答案为1．【变式2-1】．（2024春•松江区期中）如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝ ．【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．【解答】解：∵a＞3，∴|1﹣a|﹣|a﹣3|＝a﹣1﹣（a﹣3）＝a﹣1﹣a+3＝2．故答案为：2．【变式2-2】．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（ ）A．2m﹣3B．﹣1C．1D．2m﹣1【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果．【解答】解：∵|m|＝﹣m，∴m≤0，∴m﹣1＜0，m﹣2＜0，∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1．故选：B．【变式2-3】．（2022秋•市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣2【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0，∴a＝±5．b＝7，当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；故a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：B．【变式2-4】．（2023秋•文登区期末）如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（ ）A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b【分析】先根据数轴判断﹣3﹣a和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1，∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0，∴|﹣3﹣a|﹣|b+1|＝（3+a）﹣（b+1）＝3+a﹣b﹣1＝2+a﹣b．故选：B．【变式2-5】．（2023秋•青羊区校级期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|b|＞|a|，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝ ．【分析】由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，进一步判断出a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，再根据绝对值的意义化简即可．【解答】解：由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，∴a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，∴|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c）＝a+b﹣b+c+a﹣c＝2a，故答案为：2a．【变式2-6】．（2023秋•思明区校级期末）如图，化简|a﹣1|＝ ．【分析】判断出a﹣1的取值，再根据绝对值性质计算即可．【解答】解：由题得a＜1，∴a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝1﹣a，故答案为：1﹣a．【变式2-7】．（2023秋•余干县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．题型三绝对值化简与最值问题【例3】．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案．【解答】解：当绝对值最小时，式子有最小值，即|x﹣2|＝0时，式子最小值为0+1＝1．故选：B．【变式3-1】．（2023秋•邵阳县校级月考）当a＝ 时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为 ．【分析】分a＜1、a＝1和a＞1三种情况讨论求出5﹣|a﹣1|≤5，问题随之得解．【解答】解：当a＜1时，a﹣1＜0，即5﹣|a﹣1|＝5﹣（1﹣a）＝4+a，∵a＜1，∴5﹣|a﹣1|＝4+a＜5；当a＝1时，a﹣1＝0，即5﹣|a﹣1|＝5；当a＞1时，a﹣1＞0，即5﹣|a﹣1|＝5﹣（a﹣1）＝6﹣a，∵a＞1，∴﹣a＜﹣1，∴5﹣|a﹣1|＝6﹣a＜5；综上：5﹣|a﹣1|≤5，当且仅当a＝1时，5﹣|a﹣1|有最大值，最大值为5，解法二：∵|a﹣1|≥0，∴5﹣|a﹣1|≤5，∴当a＝1时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为5．故答案为：1，5．【变式3-2】．（2023秋•西安校级月考）当x满足 条件时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是 ．【分析】根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．【解答】解：由题意可知：当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是5．故答案为：﹣3≤x≤2，5．【变式3-3】．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知m是有理数，则|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是 ．【分析】根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值．【解答】解：∵绝对值最小的数是0，∴分别当|m﹣2|，|m﹣4|，|m﹣6|，|m﹣8|等于0时，有最小值．∴m的值分别为2，4，6，8．∵①当m＝2时，原式＝|2﹣2|+|2﹣4|+|2﹣6|+|2﹣8|＝12；②当m＝4时，原式＝|4﹣2|+|4﹣4|+|4﹣6|+|4﹣8|＝8；③当m＝6时，原式＝|6﹣2|+|6﹣4|+|6﹣6|+|6﹣8|＝8；④当m＝8时，原式＝|8﹣2|+|8﹣4|+|8﹣6|+|8﹣8|＝12；∴|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是8．故答案为：8．【变式3-4】．（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数a的绝对值可分为两种情况：．请用你所学的知识解决下面的问题：（1）若|a﹣3|＝5，求a的值；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），化简|a﹣2|﹣|a|；（3）当a＝ 时，|a﹣5|+|a﹣1|+|a+3|取到最小值，最小值是 ．【分析】（1）根据绝对值可得：a﹣3＝±5，即可解答；（2）根据已知范围，化简绝对值，再合并即可；（3）分四种情况讨论，即可解答．【解答】解：（1）∵|a﹣3|＝5，∴a﹣3＝±5，解得：a＝8或a＝﹣2；（2）∵数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），∴﹣3≤a≤0，∴|a﹣2|﹣|a|＝﹣（a﹣2）+a＝﹣a+2+a＝2；（3）当a≥5时，原式＝a﹣5+a﹣1+a+3＝3a﹣3，此时的最小值为3×5﹣3＝12；当1≤a＜5时，原式＝﹣a+5+a﹣1+a+3＝a+7，此时的最小值为1+7＝8；当﹣3＜a≤1时，原式＝﹣a+5﹣a+1+a+3＝9﹣a，此时的最小值为9﹣1＝8；当a≤﹣3时，原式＝﹣a+5﹣a+1﹣a﹣3＝﹣3a+3，这时的最小值为﹣3×（﹣3）+3＝12；综上所述当a＝1时，式子的最小值为8，故答案为：1，8．【变式3-5】．（2023秋•芙蓉区校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：（1）|5﹣（﹣2）|＝ ；（2）x是所有符合|x+5|+|x﹣2|＝7成立条件的整数，则x＝ ；（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 ；（4）当x为整数时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为 ；（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|的最小值．【分析】（1）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可；（2）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可；【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7；（2）∵|x+5|+|x﹣2|＝7表示的是在数轴上x所对应的点到﹣5，2两点之间的距离之和等于7，又∵x为整数，∴x＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|表示的是在数轴上x所对应的点到3，6两点之间的距离之和，当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3．故答案为：3；（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和，∵x为整数，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取得最小值，∴x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为2．故答案为：2；（5）由（4）的结论可知：当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取得最小值，最小值为2×（1+2+...+998）＝997002．。
初一数学绝对值知识点与经典例题
初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】数字a的绝对值是数字轴上代表数字a的点与原点a之间的距离的绝对值记作a.（距离具有非负性）[绝对值的代数意义]正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的对立面；0的绝对值是0.注：① 取绝对值也是一种操作。
运算符号是“|”，求一个数的绝对值是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的本质：一个正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相位反数；0的绝对值是0.③ 绝对值为非负，取绝对值的结果始终为正或0④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：?5符号是负绝对值是5【求字母a的绝对值】? a（a？0）？a（a？0）？a（a？0）？①A.0（a？0）②A.③A.?a(a?0)?a(a?0)????a(a?0)?利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果几个非负数之和为0，那么这些非负数必须为0，例如：如果a？BC0，那么a？0，b？0，c？0【绝对值的其它重要性质】（1）任何数字的绝对值不小于该数字或该数字的相反数字，即a?a，且a??a；（2）如果是？b、然后是a？B还是a？？b、（3）ab？A.B222aa(b?0)；?bb（4）|a|?|a|?a；（5）||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|a的几何意义：在数字轴上，它表示从该数字的点到原点的距离a?b的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．[消除绝对值符号]基本步骤：在区域之间找到零点，确定正负，并消除符号。
[绝对值不等式]（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数输入要解决的问题；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：a）去掉绝对值符号，将其转化为一般不等式证明：元素交换法、讨论法和平方法；b）利用不等式：|a |-|b | Q | a+b | Q | a |+| b |，该方法用于对绝对值中的公式进行除法和组合、加减项，以及将要证明的公式与已知公式连接起来。
绝对值化简十种方法
绝对值化简十种方法绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数与0的距离，因此它的值总是非负的。
在数学中，我们经常需要对绝对值进行化简，以便更好地理解和计算问题。
下面将介绍十种常见的绝对值化简方法。
1. 绝对值的定义：|x| = x (x≥0) 或 |x| = -x (x<0)。
根据这个定义，我们可以将绝对值化为一个简单的表达式。
2. 绝对值的性质：|x| = |-x|。
这个性质告诉我们，绝对值的值与它的符号无关，只与它的绝对值大小有关。
3. 绝对值的加法：|x+y| ≤ |x| + |y|。
这个不等式告诉我们，两个数的绝对值之和不会超过它们的和的绝对值。
4. 绝对值的减法：|x-y| ≥ |x| - |y|。
这个不等式告诉我们，两个数的绝对值之差不会小于它们的差的绝对值。
5. 绝对值的乘法：|xy| = |x| |y|。
这个公式告诉我们，两个数的绝对值之积等于它们的绝对值的积。
6. 绝对值的倒数：1/|x| ≤ 1/x。
这个不等式告诉我们，一个数的倒数的绝对值不会超过它本身的绝对值的倒数。
7. 绝对值的平方：|x|² = x² (x≥0) 或 |x|² = (-x)² (x<0)。
这个公式告诉我们，一个数的绝对值的平方等于它本身的平方。
8. 绝对值的立方：|x|³ = x³ (x≥0) 或 |x|³ = -x³ (x<0)。
这个公式告诉我们，一个数的绝对值的立方等于它本身的立方或相反数的立方。
9. 绝对值的导数：d/dx |x| = x/|x|。
这个公式告诉我们，一个数的绝对值的导数等于它本身除以它的绝对值。
10. 绝对值的积分：∫|x|dx = x|x|/2 + C。
这个公式告诉我们，一个数的绝对值的积分等于它本身乘以它的绝对值除以2再加上一个常数C。
以上是十种常见的绝对值化简方法，它们在数学中的应用非常广泛。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业4
化简：
．
答案 原式
．
解析 ①当 原式
②当 原式
③当 原式
时
； 时
； 时
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：零点分段法 作业5
化简：
．
答案 ．
解析 ①当 原式 ②当 原式 ③当 原式 ④当 原式
时， 时， 时，
时，
．
综上所得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
已知 、 、 为有理数，且
A.
B.
，
，则
C. 或
的值为（ ）． D.
答案 B
解析
，
∵
，
，
∴ ， ， 为三个负数，或有其中两个为正数，一个为负数，
则原式
可能出现的结果为 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简
二、课后创新培养
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
，
绝对值化简ppt课件
例3 化简 （1） （2）
1
2
随手练习：化简下列绝对值式子 （1） （2）
当 时，
1/2
0
解（2）：由 ，得 ，得
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
回味战果
这节课你有哪些收获？
思维之战
解：（1）
（2）
a
b
0
1
解：由数轴分析： 且
， ，
例2 已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示， 试化简
类型一 已知未知数取值范围，利用定义直接化简
思维之战
类型二 不知道未知数取值范围，根据代数式的零点分段讨论， 按不同情况去绝对值化简
例3 化简 （1） （2）
解（1）：由 ，解得
当 时，
x
1
0
-3
0
4
x
-3
0
4
x
-3
0
4
x
1
0
x
说明：当绝对值内的代数式为一元一次代数式，且未知数系数为1时，可根据绝对值几何定义，借用数轴数形结合分析去绝对值符号。
解答：（1） （2）
随手练习：化简下列绝对值式子 （1） （2）
性质 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 。
0
a
b
a
类型一 已知未知数取值范围，利用定义直接化简
例1 化简 （1） （2）
1、已知 ，化简 ；
2 、已知 a<b ,化简 。
3 、化简 （1） （2）
4、如果x<0，化简 = 。
a
b
0
c
绝对值的性质绝对值的化简方法口诀绝对值符号的去掉法则
绝对值化简步骤：（1）先根据数轴“从左到右数增大”的原则比较绝对值里面字母的大小关系；（2）再根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负；（3）然后根据“一个整数的绝对值等于它本身”把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来，根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来；（4）最后，绝对值符号全都去掉了之后，再进行加减运算（有的可能需要先去括号再运算），得到最简结果。
绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，就是0；③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；④互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。
绝对值定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做ab 的绝对值，记作|ab|。
◎绝对值的知识扩展1、定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
2、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
3、绝对值的有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0；（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当
中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且
绝对值的化简与求值
绝对值的化简与求值一、绝对值的几何意义一个有理数a 的绝对值是数轴上表示a 的点到原点的距离，记作a 。
二、绝对值的几何意义1、内容：正数的绝对值为它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值为它的相反数。
2、字母表示：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0()1(a a a a a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0()0()2(a a a a a 或⎩⎨⎧≤->=)0()0()3(a a a a a三、绝对值的性质ba b a b a b a b a b a bab a b a b a a +≤+≤-+≤-≤-=∙=∙≥、；、；、；绝对值的非负性、432)(01四、相关题型（一）化简问题（有取值范围） 思路：绝对值的代数定义.2202-1-++≤≤a a a ，试化简：、若答案：4.2102--+≤<x x aax a ，试化简：，且、设答案：-3.3a a b a b b a b a --+-++所示，试化简：在数轴上对应的点如图，、数答案：bxx xx x ---<3204，试化简：、若答案：-x（二）化简问题（无取值范围） 思路类型一：先分类讨论，再利用绝对值的代数定义。
类型二：零点分段法。
∙零点：使绝对值内的式子为零的未知数的值。
∙零点分段法：找出零点确定讨论范围的方法。
步骤：（1）找零点； （2）确定讨论范围； （3）分段化简。
xx xx 52321--、化简：（分类讨论）答案：75031-0=<=>时，原式当时，原式当x x32-+x x 、化简：3253-++x x 、化简：1553324+--+-x x x 、化简：（三）求值题型 ∙一般题型的值。
，求，、已知b a b a +==321答案：1或5()2240322y x y y x +=-++，求、已知答案：3()的值互为相反数，试求与、若2018213y x y x ++-答案：1..004的值求，、已知acac bc bc ab ab cc bb aa cb a abc +++++>++<答案：0的取值范围。
绝对值代数式化简
绝对值代数式化简是数学中的一个重要概念，它涉及到对绝对值表达式进行简化的过程。
绝对值是一个数值的非负值，即一个数与零的距离。
在代数式中，绝对值通常用两个竖线表示，例如|x|表示x的绝对值。
要化简绝对值代数式，首先需要了解绝对值的性质和运算规则。
以下是一些常见的绝对值性质和运算规则：1. 绝对值的定义：对于任意实数a，有|a| = a - (-a)。
这意味着绝对值表示一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数a，有|a| ≥0。
这意味着绝对值总是非负的，即它不会小于零。
3. 绝对值的乘法性质：对于任意实数a和b，有|ab| = |a||b|。
这意味着两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积。
4. 绝对值的加法性质：对于任意实数a和b，有|a+b| ≤|a| + |b|。
这意味着两个数的和的绝对值不会大于这两个数的绝对值之和。
基于以上性质和运算规则，我们可以对绝对值代数式进行化简。
下面是一些常见的化简方法：1. 去绝对值符号：如果一个代数式中的绝对值符号可以去掉，那么可以直接去掉绝对值符号。
例如，对于代数式|x-y|，如果x-y ≥0，那么可以去掉绝对值符号得到x-y。
2. 利用绝对值的性质：根据绝对值的性质，我们可以将绝对值代数式转化为更简单的形式。
例如，对于代数式|x+y|，如果x+y ≥0，那么可以去掉绝对值符号得到x+y；如果x+y < 0，那么可以去掉绝对值符号得到-(x+y)。
3. 利用绝对值的乘法性质：根据绝对值的乘法性质，我们可以将绝对值代数式转化为更简单的形式。
例如，对于代数式|xy|，如果xy > 0，那么可以去掉绝对值符号得到xy；如果xy < 0，那么可以去掉绝对值符号得到-xy。
绝对值的化简方法口诀
绝对值的化简方法口诀绝对值是一个数距离零点的距离，它可以用来表示一个数的大小，无论这个数是正数、负数还是零。
在数学中，我们经常会遇到需要对绝对值进行化简的情况，下面我将为大家介绍一些化简绝对值的方法，并总结成口诀，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、绝对值的定义。
首先，我们需要明确绝对值的定义：对于任意实数a，其绝对值记作|a|，它有以下几条性质：1. 当a≥0时，|a|=a；2. 当a<0时，|a|=-a。
基于这个定义，我们可以得出绝对值的化简方法。
二、绝对值的化简方法口诀。
1. 当绝对值内部是一个非负数时，去掉绝对值符号；2. 当绝对值内部是一个负数时，去掉负号，取相反数。
口诀解释：首先，我们来看第一条。
如果绝对值内部是一个非负数，根据绝对值的定义，绝对值就等于这个非负数本身。
因此，我们可以直接去掉绝对值符号，得到化简后的结果。
举例说明：|5|=5，|7|=7，|0|=0。
接下来，我们来看第二条。
如果绝对值内部是一个负数，根据绝对值的定义，绝对值等于这个负数的相反数。
所以，我们去掉负号，然后取这个数的相反数，得到化简后的结果。
举例说明：|-3|=3，|-6|=6，|-8|=8。
三、绝对值的化简实例。
现在，让我们通过一些具体的实例来练习绝对值的化简。
例1，化简|3|。
根据口诀，3是一个非负数，所以|3|=3。
例2，化简|-5|。
根据口诀，-5是一个负数，所以|-5|=5。
例3，化简|2x-1|。
根据口诀，2x-1可能是非负数，也可能是负数，所以我们需要分情况讨论：当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。
四、绝对值的化简练习。
现在，让我们来做一些练习，加深对绝对值的化简方法的理解。
练习1，化简|4|。
练习2，化简|-7|。
练习3，化简|3x+2|。
练习4，化简|-2y+5|。
练习5，化简|2z-3|。
五、总结。
通过本文的介绍和练习，相信大家对绝对值的化简方法有了更深入的理解。
绝对值的化简方法口诀
绝对值的化简方法口诀绝对值在数学中是一个非常重要的概念，它常常在代数、几何和数学分析等领域中被广泛应用。
化简绝对值表达式是解决各种数学问题的基础，因此掌握绝对值的化简方法是十分必要的。
下面我将为大家介绍一些化简绝对值表达式的口诀，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、绝对值的定义。
首先，我们需要了解绝对值的定义。
对于任意实数x，它的绝对值记作| x |，其定义如下：当x≥0时，| x |=x；当x<0时，| x |=−x。
这个定义告诉我们，绝对值是一个数到原点的距离，所以它永远是非负数。
二、绝对值的基本性质。
接下来，我们来看一些绝对值的基本性质，这些性质是化简绝对值表达式的基础。
1. | x | ≥0，即绝对值永远是非负数。
2. | x |=0 的充要条件是 x=0。
3. | x |·| y |=| xy |，即绝对值的乘积等于绝对值的积。
4. | x ± y |≤| x |+| y |，即绝对值的加减法不等式。
这些性质可以帮助我们在化简绝对值表达式时更加灵活地运用。
三、绝对值的化简方法口诀。
现在，让我们来总结一些化简绝对值表达式的口诀，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
1. 当绝对值内部是一个数时，直接去掉绝对值符号。
例如，| 5 |=5。
2. 当绝对值内部是一个变量时，根据变量的取值范围进行讨论。
若x≥0，则| x |=x；若x<0，则| x |=−x。
3. 当绝对值内部是一个复合表达式时，根据表达式的取值范围进行讨论。
若表达式≥0，则去掉绝对值符号；若表达式<0，则将表达式取相反数后去掉绝对值符号。
4. 当绝对值内部是一个不等式时，根据不等式的取值范围进行讨论。
若不等式的解集为[x, y]，则| x |≤y；若不等式的解集为(-∞, x]∪[y, +∞)，则| x |≥y。
通过这些口诀，我们可以更加清晰地把握化简绝对值表达式的方法，从而更好地解决各种数学问题。
初一数学绝对值典型例题精讲
第三讲 绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|[例1]（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1） 结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
绝对值化简十种方法
绝对值化简十种方法
1. 定义法则：绝对值表示取其绝对数，即正数（包括0）。
2. 分段函数法则：将绝对值函数分为两段，一段为正数，一段为负数，用代数表达式表示。
3. 取反法则：绝对值的相反数等于原数的相反数。
4. 加法法则：绝对值的和等于两个数的绝对值之和。
5. 减法法则：绝对值的差等于两个数的绝对值之差。
6. 乘法法则1：绝对值与正数相乘等于这个数本身。
7. 乘法法则2：绝对值与负数相乘等于这个数的相反数。
8. 对数法则：绝对值可以用对数函数表示。
9. 计算法则：绝对值可以通过计算一个数到另一个数的距离得到。
10. 图像法则：绝对值的图像是一个V型曲线，以y=x轴对称。
绝对值的性质及化简(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解绝对值的基本概念。绝对值是一个数在数轴上与原点的距离，它是非负的。绝对值在数学运算中非常重要，它可以帮助我们简化问题，避免考虑正负号。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何运用绝对值的性质来化简表达式，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“绝对值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.丰富教学手段，除了数轴演示，还可以利用多媒体、实物等教学资源，增强学生对绝对值的感知。
3.注重培养学生的逻辑思维能力，通过问题驱动，引导学生自主发现和总结绝对值的性质。
4.在课堂练习环节，增加一些综合性的题目，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
五、教学反思
在本次《绝对值的性质及化简》的教学过程中，我发现学生们对绝对值的概念和性质的理解程度参差不齐。有些同学能够迅速抓住绝对值的本质，但也有一些同学在理解上存在困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，因材施教。
在导入新课环节，通过提问日常生活中的实例，我发现大多数同学能够积极参与，这表明实例导入法对于激发学生的学习兴趣和好奇心是有效的。但在新课讲授环节，我发现在解释绝对值性质时，部分同学显得有些迷茫。为此，我及时调整了教学方法，通过数轴的直观演示，帮助他们更好地理解绝对值的性质。
在总结回顾环节，我发现大部分同学能够掌握绝对值的基本概念和化简方法，但仍有部分同学在应用上存在困难。这说明我在教学中需要更多地关注学生的实际运用能力，通过设置更多具有挑战性的问题，促使他们学以致用。
绝对值的化简
绝对值的化简在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数离原点的距离，无论这个数是正数还是负数，它的绝对值总是正数。
在实际生活中，我们经常会遇到需要化简绝对值的情况，这不仅在数学课堂上有用，也在解决实际问题时非常有帮助。
本文将介绍绝对值的概念和化简方法，希望能帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，让我们来回顾一下绝对值的定义。
对于一个实数x，它的绝对值通常表示为| x |，其定义如下：当x大于等于0时，| x | = x；当x小于0时，| x | = -x。
这个定义很容易理解，也很容易应用。
例如，对于-5这个数，它的绝对值就是5；对于3这个数，它的绝对值还是3。
这个概念在解决不等式、绝对值方程等数学问题时非常有用。
接下来，让我们来看一些化简绝对值的常见方法。
化简绝对值的关键在于分析绝对值内部的表达式，根据其正负情况进行讨论。
下面是一些常见的情况：1. 当绝对值内部的表达式为正数时，直接去掉绝对值符号即可。
例如，| 3 | = 3。
2. 当绝对值内部的表达式为负数时，去掉绝对值符号的同时改变表达式的符号。
例如，| -4 | = 4。
3. 当绝对值内部的表达式为变量时，需要根据变量的取值范围进行讨论。
例如，| x | = x 或 -x，具体取决于x的取值范围。
4. 当绝对值内部的表达式为复合表达式时，可以先化简内部的表达式，然后再根据上述规则进行化简。
例如，| 2x 3 | = 2x 3 或 -(2x 3)，具体取决于2x 3的正负情况。
通过上述方法，我们可以化简各种复杂的绝对值表达式，从而更好地理解和应用绝对值的概念。
除了上述常见的方法外，还有一些特殊情况需要特别注意。
例如，当绝对值内部的表达式为一个平方时，可以利用平方的非负性进行化简。
具体来说，对于任意实数a，有a²≥ 0，即a²的绝对值为| a² | = a²。
这个性质在化简一些复杂的绝对值表达式时非常有用。
七年级绝对值化简的解题技巧
绝对值化简的解题技巧
绝对值化简是初中数学中的一个重要知识点，主要涉及到有理数的绝对值、相反数等概念。
以下是一些七年级绝对值化简的解题技巧：
1. 理解绝对值的定义：一个数的绝对值等于它到0的距离。
例如，|3| = 3，|-3| = 3，|0| = 0。
2. 利用绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
3. 利用绝对值的性质进行化简：当一个数与另一个数相加或相减时，如果它们的符号相同，那么它们的绝对值也相同；如果它们的符号不同，那么它们的绝对值之和或之差就是它们的绝对值。
4. 利用绝对值的性质进行比较：当两个数的绝对值相等时，这两个数可能相等，也可能互为相反数。
例如，|3| = |-3|，但3 ≠-3。
5. 利用绝对值的性质进行化简加减法：当一个数与另一个数相加或相减时，可以先去掉绝对值符号，然后按照有理数的加减法法则进行计算。
6. 利用绝对值的性质进行化简乘除法：当一个数与另一个数相乘或相除时，可以先去掉绝对值符号，然后按照有理数的乘除法法则进行计算。
7. 利用绝对值的性质进行化简混合运算：当一个算式中既有加减法又有乘除法时，可以先去掉绝对值符号，然后按照有理数的混合运算法则进行计算。
8. 利用绝对值的性质进行化简方程：当一个方程中含有绝对值时，可以先去掉绝对值符号，然后按照一元一次方程的解法求解。
9. 利用绝对值的性质进行化简不等式：当一个不等式中含有绝对值时，可以先去掉绝对值符号，然后按照一元一次不等式的解法求解。
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绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-；
（3）ab a b =⋅；
a a
b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；
（5）a b a b a b -≤+≤+，
对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；
对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．
绝对值几何意义
当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分化简求值．
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．
例题精讲 绝对值的性质及化简
一、绝对值的概念
【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．
x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．
⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．
二、绝对值的性质
【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．
【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．
【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．
【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )
A. 00a b <<，
B. 00a b ><，
C. 00a b <>，
D. 0ab <
【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( ) A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b >
C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2
2a b =-
【例5】 如果2a ＞2b ，则 ( )
A ．a b >
B ．a ＞b
C ．a b <
D a ＜b
【例6】 （4级）若a b >且a b <，则下列说确的是（ ）
A ．a 一定是正数
B ．a 一定是负数
C ．b 一定是正数
D ．b 一定是负数
【巩固】 下列式子中正确的是 ( )
A ．a a >-
B ．a a <-
C ．a a ≤-
D ．a a ≥-
【例7】 对于1m -，下列结论正确的是 ( )
A ．1||m m -≥
B ．1||m m -≤
C ．1||1m m --≥
D ．1||1m m --≤
【例8】 已知2332x x -=-，求x 的取值围
【例9】 下列说法中正确的个数是( )
①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；
②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；
③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；
④只有负数的绝对值等于它的相反数．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例10】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个
【例11】 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
【例12】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，.
【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，
共有
【例13】 已知123a b c ===，
，，且a b c >>，那么a b c +-=
【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或
“D ”）
【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．
【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则
a d += ．
【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且
25a b c d --+=，则b a d c ---= ．
【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且
（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；
（2）d a a c d c -+-=-；
（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是
【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．
【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
【例20】 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）．
A ． 2001m -
B ． 2001m --
C ． 2001m +
D ． 2001m -+
【例21】 已知0ab <，求22()a b b a ab a b -+-的值.
【例22】 已知a 、b 是有理数，有以下三个不等式：
① ||||a b a b +<-；② 22||||10a b a b ++++<；③ 222||2||10a b a b +--+<． 其中一定不成立的是______（填写序号）．
1. 若220x x -+-=，求x 的取值围．
2.
有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确( ) A ．a b > B ．a b = C ．a b < D ．无法确定
3.
若a b c d ，，，为互不相等的有理数，且c 最小，a 最大，且a c b c b d a d ---+-=-．请按a b c d ，，，从小到大的顺序排列．
4.
如果有理数a ，b ，c 满足26a b -≤，7b d -≤，13a b d --=，求2a b b d -+-的值．
课后练习。