相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习

A B

C D

E

C

B

A

D

E

A

B C A

B

C

A B

C

A

B

C

A

B C

A

B

C 相似三角形的复习与一元二次方程的练习

及预习

（满分100分，90分钟）

相似三角形复习

基础知识

1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边的比相等的三角形叫做相似三角形。

2.相似比：相似三角形对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 3．相似三角形的判定

①平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似．

DE ∥BC ∴△ABC ∽△ADE

②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

A

A ＇

B C

AB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’＝BC/B ’C ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ ③如果两个三角形的两组对应边的比相等并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． A A ’ B C

B ’

C ’

AB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’ ∠A ＝∠A ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’

④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． A A

B C B ’ C ’

∠A ＝∠A ’ ∠B ＝∠B ’ ∴ △ABC ∽△A ’B ’C ’

A B

C D C B A D E A B

C

D

E A B C

D E A

B D C

4.性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形对应边的比相等。

5.基本图形：

练习题

1、（2008广东）（10分）如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平

分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.

2、 （2008年杭州市）（10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;

(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC

和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

F C A

B

P

E H

3、(2008 湖南 怀化)（10分）如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE

与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =；

（2）.MN CN DN AN •=•

4、 (2008 黑龙江)（10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2

310OB OA -+-=．

（1）求点A ，点B 的坐标．

（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．(2008年广东梅州市)（10）如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．

（1）求证： ∆ADE ∽∆BEF ；

（2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．

y x

A

O C B

一元二次方程复习及预习

基础知识（注：加粗为预习内容）

1．一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，

b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；

b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2

=或

b )a x (2=-的形式，也可以用此法解．

(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来

解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．

(3)配方法：任何一个形如bx x 2

+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2

=++时，可把方程化

为7x 6x 2-=+，2

22

26726x 6x ⎪⎭⎫

⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即

2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

(4)公式法：一元二次方程0c bx ax 2

=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在

0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac

4b b x 2-±-=

．用公式法解一元二次方程的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2

=++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；

③计算0ac 4b 2

<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2

-的值来确定．因此ac 4b 2

-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2

=++的根的判别式．

△>0⇔方程有两个不相等的实数根． △＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根． 判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用

定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c

x x a b x x 2121=⋅-=+，．

应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；