相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习
【练习】相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习
【关键字】练习相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习（满分100分，90分钟）相似三角形复习根底知识1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边的比相等的三角形叫做相似三角形。
2.相似比：相似三角形对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
3．相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似．DE∥BC ∴△ABC∽△ADE②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．A A＇B CAB/A’Ｂ’＝AC/A’C’＝BC/B’C’ ∴△ABC∽△A’B’C’③如果两个三角形的两组对应边的比相等并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．A A’B C B’ C’AB/A’Ｂ’＝AC/A’C’ ∠A＝∠A’ ∴△ABC∽△A’B’C’④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． A AB C B’ C’∠A＝∠A’ ∠B＝∠B’ ∴△ABC∽△A’B’C’4.性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形对应边的比相等。
5.基本图形：练习题1、（2008广东）（10分）如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.（1）求证：EF∥BC.（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.2、（2008年杭州市）（10分）如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.(1)证明：∠CAE=∠CBF;(2)证明：AE=BF;(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。
3、(2008 湖南怀化)（10分）如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）；（2）4、(2008 黑龙江)（10分）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．（1）求点，点的坐标．（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．(2008年广东梅州市)（10）如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．（1）求证： ADE ∽BEF ；（2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．一元二次方程复习及预习根底知识（注：加粗为预习内容）1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如(a≥0)，(b≥0)类的一元二次方程．，则；，，．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为或的形式，也可以用此法解．(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解时，可把方程化为，，即，从而得解．注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(4)公式法：一元二次方程(a≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在的前提下，．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即(a≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根． △＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根． 判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a cx x a b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 4．一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题； (3)平均增长率问题． 步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； ③找出相等关系，并用它列出方程； ④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答． 这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【经典例题精讲】 例1 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=，∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=- 0)n 2m (2≥+=．∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±． 例2 用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住． 解：x 73x 22=+，023x 27x 2=+-，234747x 27x 22=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2， 162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-．∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例3 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a cx x a b x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则56x 25k x 222-=⋅-=+，，∴53x 2-=，k ＝－7．即方程的另一根为53-，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为ac ．例4 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的 (1)平方和；(2)倒数和．分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+，关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子．因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+413=；(2)211221x x x x x 1x 1+=+ ＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例5 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出．解：设方程的两根为21x x 、，则2mx x 2x x 2121=⋅-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+，∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+= ＝－30．∵2mx x 21=，∴m ＝－30．注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值． 例6 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x21212=⋅++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++． ∵2＋10＝－p ，2×10＝q ， ∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-． 注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例7 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-． 解这个方程得74x 74x 21-=+=，，∴这两个数为7474-+和．练习（根据前面的例题提示做题）一 选择题（每小题3分，共24分）：1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解3．方程x x -=+65的解是……………………………………………………………（ ） （A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝34．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2－2x －2k＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ）（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）06．以213+ 和 213- 为根的一个一元二次方程是………………………………（ ）（A ）02132=+-x x （B ）02132=++x x （C ）0132=+-x x （D ）02132=-+x x7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是………………………………………………………………………………………（ ）（A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1 二 填空题（每空2分，共12分）：1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ；2．若分式2652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ；3．已知方程 3x 2－ 5x －41＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝， x 1·x 2＝ ；4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ；5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 三 解下列方程或方程组（第１、２小题3分，第３小题8分，共14分）： 1．03232=+-x x（用公式法）2．7510101522=--+--x x x x （用换元法，设152--=x x y ）３．.5201222⎩⎨⎧=+=--+y x xy y x此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
一元二次方程和相似三角形综合测试题.docx
8、下列四个三角形, 9.已知△ ABC s“DEF ,相似比为2, 且ZVIBC 的面积为8,则△DEFA. 4B. 16C. 2D. 32一元二次方程+相似形综合练习一・选择题：（1—10题每小题3分；11—16题每小题2分，共42分） 1. 下列为一元二次方程的是（）A. x'+2y=l ；B. 2X :!+3=2X （x - 1 ）； C. x 2+— 4 : D. x 2= - 92. 关于x 的方程（m+1） x 2+2mx - 3-0是一元二次方程，则m 的収值是（）A.任意实数；B. mHl ；C. mH-l ；D. m>l3. 下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三 角形斜边上的屮线与斜边上的比为1： 2；⑤两个相似多边形的面积为4： 9,则周长比为16： 81.” 中，正确的个数有（）个A 、 1B 、 2C 、 3D 、 44. 方程x （x+3） =0的根是（ ）A. x=0；B. x= - 3；C. XF O, X2=3；D. XF O, X2= - 3 5. 将方程x'+8x+9二0左边变成完全平方式后，方程是（）A. （x+4） =7：B. （x+4） 2=25； C. （x+4） 2= - 9； D. （x+4） 2= - 76. 某地区为发展教育事业，加大教育经费的投入，2010年投入1000万元，2012年投入1210万元.若 教育经费每年增长的百分率相同，则每年平均增长的百分率为（）A. 7%；B. 8%；C. 9%；D. 10%7•若b （bHO ）是方程x'+cx+b 二0的根，贝ijb+c 的值为（ ）A. 1；B. - 1；C. 2；D. - 210.如图，在梯形ABDC 中，AB//CD,AB 二a, CD 二b,两腰延长线交于点M,过与左图中的三角形相似的是（)（第8题） A. B.的面积为（io 题Da+ bCa-b作CD 的平行线，交AD 、BC 延长线于F 、E, EF 等于（2aba-b14、如图，点P 是的边AC 上一点，连结BP,以下条件中，不能判定AABP S AACS的是AB ACB- BC _ AC矿乔 C. ZABP = ZC D. ZAPB = ZABCB 、 h= acC 、b 2 =cT +c 211•一元二次方程（a+1） x 2-ax+a 2-l=0的一个根为0,贝ij a 为（）A. 1 B ・一1 C ・0 D ・1或一1x 9 x i12. 己知x 】、X2是方程2X 2+14X - 16=0的两实数根，那么—的值为（）X 1 x 2A.B. —C. 2D. 3.8 813. 己知关于x 的一元二次方程X 2-2 y/3 x+k=0有两个相等的实数根，则k 值为（）A. 3 B ・—3 ・ C.. 2 D. 5.15、如图,RtAABC 中,ZACB 二90° , ZABC=60° , BC 二2cm, D 为 BC 的中点,若动点 E 以 lcm/s 的 速度从八点出发，沿着的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0Wt<6）,连接DE, 当ABDE 是直角三角形吋，t 的值为（）A. 2 B 、2・5 或 3.5 C> 3.5D 、2 或 3.5 或 4. 516、如图，在RtAABC 内有边长分别为abc 的三个正方形，则a^c 满足的关系式是（）二•填空题：（每小题3+3+4+4分，共14分） 17、如图，四边形BDEF 是RtAABC 的内接正方形，若AB = 6, BC=4,则DE=__________ 18、如图，△ ABC 与△ DEF 是位似三角形，且AC = 3DF,贝lj OE : EB= _____A. AP ABB 第15题第16题（第19题）(4) 3X 2+4X - 7=0 (用配方法)(5) (x - 5) (x+2) =819、如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点0, E 为0D 的中点，连接AE 并延长交DC 于点 F,则 DF ： FC 二 ______ -20. 电视节目主持人在主持节目吋，站在舞台上的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m, 试计算主持人应走到离A 点至少 _____ m 处，如果她要向B 点再走 --- ----- ------------ -----A C D Bm,也处在比较得体的位置。
相似三角形的专题复习课
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若A善D于=1在0复, A杂B图=形8,
则EF=___5___
中寻找基本型
D
A
F
C
EE
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
长线于点E.
求证：OC2＝OA·OE.
旋转型
例3. D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1＝
∠2，∠3＝∠4.
求证：(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴△ABD∽△CBE.
双垂直型 例4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D.
A
D E
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
B
C
∴ AD DE
AC BC
∴ AD·BC=AC·DE
练1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判 定△ADC∽△ACB．
①
∠ACD=∠B
，
②
∠ACB=∠ADC
，
D
③
AD AC
AC 或AC2 AB
AD• AB。
学习目标
1、进一步熟练相似三角形的性质与判定。 2、归纳总结相似三角形的几种基本图形， 能利用这些基本图形进行相关的计算与证明。
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
初三期末复习(一元二次方程、命题与证明、相似三角形)
九年级上期期中测试卷(第1、2、3章)一、填空题(3分×11=33分)1．若方程01682=-x ，则它的解是 .2．已知：，则的值为________。
3．“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是__________________________________________，它们______(“是”或”不是”)互逆定理. 4．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，且AC ＝6厘米，AD ＝4厘米，则AB=_______.BC=________.5．如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 中点，AE 与DF交于H ，则AH:HE=________。
6．关于x 的方程03522=-++p x x 的一个根是4-，另一个根是________，p=______．7．在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=____时，它是一元二次方程；当m=____时，它是一元一次方程。
8．两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm 2，则它们的面积之和为＿＿＿cm 2。
9. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．10. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．图形所对应的小正方格个数的算式．并计算出第（50）个图形所对应的小正方格的个数12．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数 CDBC 'B '13．如图，要使△ACD ∽△BCA ，必须满足（ ）A 、B 、C 、AD 2＝CD ·BD D 、AC 2＝CD ·BC14．如图，D 是△ABC 边BC 上－点，△ABD ∽△CAB,则（ ）。
二次根式、一元二次方程与相似三角形练习题
二次根式、一元二次方程与相似三角形练习题1.已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边的长,那么方程cx 2+(a+b)x+4c=0的根的情况是________________________.2.如果⎩⎨⎧<>02-x -1x ,则化简1x x 9x x 22++++-26=_______.3.关于x 的方程kx 2-4x-3=3x+4有实数根,则k 的取值范围是________.4.关于x 的方程(m-2)x ｜m ｜+2mx-4=2m+1是一元二次方程,则m=____,这个一元二次方程的一般形式是_________________________.5.已知x 2+y 2+4x-6y+13=0,则x y =________.6.如图所示,在△ABC 中,DE ∥BC,若DE=2cm,BC=3cm,EC=32cm,则AC=_______cm.E ABCDEGDABCF第6题 第7题 第8题7.如图,在△ABC 中,AB=24,AC=18,D 是AC 上一点,AD=12,在AB 边上取一点E,使以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似,则AE 的长为_____________.8.如图,在□ABCD 中,G 是BC 延长线上的一点,AG 与BD 相交于点E,则图中的相似三角形共有________对.9.若关于x 的一元二次方程2x 2-2x+3m-1=0有两个实数根x 1、x 2,且x 1x 2＞x 1+x 2-4,则实数m 的取值范围是________________. 10.已知a≠b,且a 2+3a-1=0,b 2+3b-1=0,则a+b-4ab=____________. 11.若一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-2=0的一个根是0,则m=_____.12.计算aaa 123+=____________. 13.551+4554452021+-=__________.14.已知251-=a ,则a a 1+=___________.15.在实数范围内分解因式:x 2-2x-1=___________________.16.把方程x 2-10x-11=0化成(x+m)2=n 的形式为__________________. 17.如图, 在△ABC 中,DE ∥BC,AD=3,DB=6,AE=2,则EC=_______.EA BC DE ABCD E D A BC第17题 第18题 第19题18.如图,△ADE ∽△ABC, △DBF ∽△ABC,AD=4,BD=8,DE=5,则BF 的长为__________.19.如图, 在△ABC 中,DE ∥BC,CD 平分∠ACB, △ADE ∽△ABC,若BC=6,AC=4,则AE=_______,DE=________. 20.观察下列各式:15,5314,4213222-⨯=-⨯=-=,64⨯,将你发现的规律用等式来表示为_________________.21.236850⨯-⨯=______________.22.当a =________时,最简二次根式732--a 与32-a 是同类二次根式.23.32643x x ÷=_________.24.已知实数a 、b 满足a 2=2-2a ,b 2=2-2b ,且a ≠b ,则baa b +=______.25.方程x 2=2x-1的两根之和为__________.26.若,54y x =则yx y +=__________.27.如图所示的四个三角形,与题目所给三角形相似的是（ ）.题27图 （A ） （B ） （C ） （D ）28.一元二次方程mx 2-4x+5=0有实数根,则m 的取值范围为________. 29.方程mx 2-4x+5=0有实数根,则m 的取值范围为____________. 30.若x 2+3x+5=9,则代数式3x 2+9x-2的值为__________.31.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和为______. 32.写出一个以-1,2为根的一元二次方程:___________________. 33.若281188b a +=++,则______________,==b a . 34.关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+(k+3)x+(k+1)2=0的一个根是-1,则k=_______.35.方程4x 2-12x=3的解为________________________.36.若线段a=8cm,c=4cm,b 为a 、c 的比例中项,则b=________cm.37.如图,在□ABCD 中,E 为BC 边上一点,且BE ︰EC=2︰3,则BF ︰FD=________.FB ACDEECABD E ABCD第37题 第38题 第43题38.如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 为AC 上一点,DE ⊥AB,若AB=10,BC =6,DE=2,则四边形DEBC 的面积为__________. 39.已知a ︰b ︰c=3︰5︰10,a+c-b=16,3a+2b-c=________.40.关于x 的一元二次方程x 2-mx+(m-2)=0的根的情况是___________ ______________.41.若正三角形的边长为25cm,则这个正三角形的高为________cm. 42.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1,x 2=2,则x 2+bx+c 可以分解为______________________.43.如图,在△ABC 中,DE ∥BC,S △ABC =2S 梯形DBCE ,则DE ︰BC=______. 44.某厂一月份的总产量为1000吨,三月份的总产量达到了1440吨,若每月平均增长率为x,则可列方程_______________________. 45.已知关于x 的方程2x 2+3x-m+1=0的两个实数根的倒数和为3,则m 的值为___________. 46.aa a 13---=__________. 47.计算13132-+-=____________.48.已知,2323,2323+-=-+=b a 求223b ab a +-的值. 49.用合适的方法解方程:(3x-1)2-4(2x+3)2=0. 50.计算:（1）)32224(5.06+-- （2）333322b a b a b bb ab a ++-- 51.如图,△ABC 为正三角形,D 、E 分别为AC 、BC 上的动点（不在顶点处）,∠BDE=60°. （1）求证: △DEC ∽△BDA;（2）若△ABC 的边长为6,并设DC=x,BE=y,试求y 与x 之间的函数关系式.231yx A BCD GD E CBAED AMPNQ BC第51题 第52题 第53题52.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,有一个内接正方形DEFC,连接AF 交DE 于点G,已知AC=15,BC=10,求EG 的长.53.如图, △ABC 是一块三角形余料,其中BC=12cm,高AD=8cm,现在要把它裁剪成一个正方形材料备用,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB 、AC 上,问这个正方形材料的边长应该是多少? 54.用配方法解方程x 2-4x+2=0.55.求证:无论x 取何值,3x 2-2x+1的值总是正数.数学试卷2参考答案231yx A BCD48.解:()()()62523232323232+=+-+=-+=a6252323-=+-=b∴64625625=+-+=-b a()()12425625625=-=-+=ab ∴ab b ab a b ab a -+-=+-222223()()9516422=-=--=abb a49.解:()()[]03221322=+--x x()()()()()()07570641364130641322=--+=---++-=+--x x x x x x x x 07057=--=+x x 或∴7,7521-=-=x x .50.解:（1）原式2263563262226--=---= ;（2）原式ab ab ab ab b ab ab 22+--+-=bab ab b ab ab 2222-=+-+-=51.解:（1）∵△ABC 为正三角形 ∴︒=∠=∠60C A ∴︒=∠+∠12013GD E CBA∵︒=∠60BDE ∴︒=∠+∠12023 ∵︒=∠+∠12013 ∴21∠=∠ ∴△DEC ∽△BDA;（2）∵6,,====BC AC x CD y BE ∴x AD y CE -=-=6,6 ∵△DEC ∽△BDA ∴xyx AD CE BA DC --==666, ∴()()y x x -=-666 整理得到:6612+-=x x y . 52.解:设正方形DEFC 的边长为x ∵CF DE // ∴BC DE //∴1015,xAD CB DE AC AD == ∴x AD 23=∴1523=+=+=x x CD AD AC 解之得:6=x ,即正方形DEFC 的边长为6 ∴9623=⨯=AD ∵CF DE // ∴CF DG //ED A MPNQ BC∴15966,=-=EG AC AD CF DG 解之得:512=EG .53.解:设正方形MNPQ 的边长为x ,则x AE -=8 ∵MQ PN // ∴BC PN // ∴△APN ∽△ABC 由相似三角形的性质可知:ADAEBC PN = ∴8812x x -= 解之得:524=x ∴这个正方形材料的边长应该是524cm . 54. 过程略. 22,2221-=+=x x . 55.证明:1232+-x x323131913913231919132313232222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x∵0312≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-x∴0323132>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x- 11 - ∴无论x 取何值,1232+-x x 的值总是正数.。
八年级数学一元二次方程,相似三角形知识精讲试题
初二数学一元二次方程，相似三角形人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：一元二次方程，相似三角形【典型例题】代数例1. 方程()x m x m 2170--+-=，m 为何值时，〔1〕方程有两个正根；〔2〕有两个异号实根。
解：()()()∆=---=-+=-+>1476293200222m m m m m 设两个根为x x 12、，那么x x m x x m 121217+=-=-·〔1〕有两个正根∴>+>⎧⎨⎩x x x x 121200·，即m m ->->⎧⎨⎩1070∴>m 7〔2〕有两个异号根，∴<x x 120· 即m -<70 ∴<m 7 答：略。
例2. ：x x 12、是方程()4356022x m x m ---=的两根，且x x 1232=，求m 的值。
解：由题意可得：()()∆=---><>+=-<>=-<<>⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪3516601354232032212122m m x x m x x m ·∴x x 12、异号又x x x x 121232324=∴=-<>，代入<2>得：-+=-3235422x x m ∴=-<>x m 25325<5><4>代入<3>： --⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-32532532322m m m ∴==m m 1215，当m =1时，()()∆=--->3516602当m =5时，()∆=-->101615002∴m 的值是1或者5例3. 方程()x k x k k 22250--+--=的两个实根分别为α、β，求αβ22+的最大的值。
解：由题意可得：αβαβ+=-=--≥⎧⎨⎪⎩⎪k k k 2502·∆()()()()∴+=+-=----=--+=-++αβαβαβ22222222225214115k k k k k k∴当k =-1时，()()()()∆=----=---+-=>k k k 245124115210222∴当k =-1时，αβ22+的最大值为15几何例1. ：如图，P 为△ABC 内一点，∠1＝∠3，∠2＝∠4。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.1相似三角形同步练习新版华东师大版word格式
23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________． 2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°5．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝50°，∠B ＝70°，∠C ＝60°，∠D ＝60°，∠E ＝70°，则( )A ．∠F ＝50°，AB 与DE 是对应边 B ．∠F ＝50°，AB 与EF 是对应边C ．∠F ＝50°，AB 与DF 是对应边D ．AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是三组对应边图23－3－26．如图23－3－2，△AED ∽△ABC ，且∠1＝∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠2＝________°，AD （ ）＝（ ）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC ∽△ADE ，其中DE ∥BC ；(2)△OAB ∽△OA ′B ′，其中A ′B ′∥AB ； (3)△ADE ∽△ABC ，其中∠ADE ＝∠B .图23－3－38．如图23－3－4，已知AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC . (1)求∠BAD 的大小； (2)求CD 的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求AD AB的值； (2)求BC 的长．图23－3－712．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为________．13．已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和3.若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG 于点Q，则QI＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ， ∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3， ∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32. 4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.(2)AO A′O ＝BO B′O ＝AB A′B′. (3)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴BC AC ＝AC CD. 又∵AC ＝4，BC ＝6， ∴CD ＝4×46＝83. 9．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴△ADE ∽△EFC ，共3对． 故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△BCF ，△AEF ∽△DEC ， ∴与△AEF 相似的三角形有2个． 11．解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8，∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12， ∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB . ∵DE ＝3， ∴3BC ＝13， ∴BC ＝9. 12 2∶5 [解析] ∵△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，∴AB ∶A 1B 1＝2∶3，A 1B 1∶A 2B 2＝3∶5.设AB ＝2x ，则A 1B 1＝3x ，A 2B 2＝5x ， ∴AB ∶A 2B 2＝2∶5，∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为2∶5.13． 2 14． 2∶515．∵AB ∥GH ∥DC ，∴△CGH ∽△CAB ，△BGH ∽△BDC ， ∴GH AB ＝CH CB ，GH DC ＝BH BC ， ∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BHBC ＝1. ∵AB ＝2，DC ＝3， ∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论． 设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215. 故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
二次根式复习+一元二次方程+相似三角形2
九年级数学(上） 一元二次方程+相似三角形1一、填空题：1、已知两个相似三角形的相似比为3，则它们的周长比为 ；面积比为 ；2、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且43=''B A AB ，△ABC 的面积为18，则△A ′B ′C ′的面积为 ；3、直接写出下列方程的根：042=-x ；x x 22= 。
4、若21,x x 是方程0122=--x x 的两根，则=+21x x ，=⋅21x x 。
5、方程2230x ax -+=有一个根是1，则另一根为 ，a 的值是6、已知关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一个解是0，则m= 。
7、若(x 2+y 2-1)2=36，则x 2+y 2= 。
8．不求解判断一元二次方程25230x x -+=根的情况9、如图1，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝8，CB ＝2，当BD= 时，△ACB ∽△CBD 。
10、如图2, 在Rt ABC ∆中, 90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若4,1A D B D ==，则CD =____． 11、如图3,在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB =12,DE=4cm,则BC 的长为__ _ _______（2）12．长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为1. 5 立方分米, 则铁片的长等于____ ____ 13．已知(x 2＋y 2＋1) (x 2＋y 2－3)＝5，则x 2＋y 2＝ ．14．在△ABC 中，D 、E 是AB 上的点，且AD ＝DE ＝EB ，DF ∥EG ∥BC ，则△ABC 被分成的三部分的面积比S △ADF ∶S 四边形DEGF ∶S 四边形EBCG ＝ ．15．已知a 、b 是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则a 2＋a ＋3b 的值是 ．16、如图4，将一块斜边长为12cm ，60B ∠=°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至A B C '''△的位置，再沿CB 向右平移，使点B '刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是 cm ．（1）C（3）D CB A17．如图5，在△ABC 中，E 为AB 上一点，且AE:EB=1:2,AD ∥EF ∥BC, 若AEF ADE S S ∆∆=则,1= .二、选择题18、如果非零实数a 、b 、c 满足a – b + c = 0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0 必有一根为（ ） A 、x = 1 B 、x = - 1 C 、x = 0 D 、x = 219、已知ABC ∆的三边长分别为6,7.5,9cm cm cm ，DEF ∆的一边长为4cm ，当DEF ∆ 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A ．2,3cm cmB ．4,5cm cmC ．5,6cm cmD ．6,7cm cm 20、下列两个图形一定相似的是( )A ．任意两个等边三角形B ．任意两个直角三角形C ．任意两个等腰三角形D ．两个等腰梯形21、如图6，在上图中，∠1=∠2，则与下列各式不能说明△ABC ∽△ADE 的是 （ ）A 、∠D=∠B B 、∠E=∠C C 、AC AE AB AD = D 、BCDEAB AD =22、若ABC ∆与DEF ∆相似, 50,70,60A B D ∠=∠=∠=，则E ∠的度数可以是( )A ．50B ．70C ．60D ．50或7023、小丽要在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是5400cm 2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是（ ）。
相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习答案
数学题答案1、（1）证明：CF ACB ∠平分，∴ 12∠=∠.又∵ DC AC =,∴ CF 是△ACD 的中线，∴ 点F 是AD 的中点.∵ 点E 是AB 的中点，∴ EF ∥BD,即 EF ∥BC.（2）解：由（1）知，EF ∥BD ，∴ △AEF ∽△ABD ,∴ 2()AEF ABD S AE S AB∆∆=. 又∵ 12AE AB =, 6AEF ABD ABD BDFE S S S S ∆∆∆=-=-四边形,∴ 261()2ABD ABD S S ∆∆-= , ∴ 8ABD S ∆=,∴ ABD ∆的面积为8.2．（1）∵△ABC 为等腰三角形∴AC=BC ∠CAB=∠CBA又∵CH 为底边上的高，P 为高线上的点∴PA=PB∴∠PAB=∠PBA∵∠CAE=∠CAB-∠PAB∠CBF=∠CBA-∠PBA∴∠CAE=∠CBF（2）∵AC=BC∠CAE=∠CBF∠ACE=∠BCF∴△ACE ～△BCF(AAS)∴AE=BF（3）若存在点P 能使S △ABC =S △ABG ，因为AE=BF ，所以△ABG 也是一个等腰三角形，这两个三角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC ～△ABG ，则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C ＜90°3．证明：（1） 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形,,90,AD CD DE DG ADC EDG ∴==∠=∠=,ADE CDG ADE CDG ∴∠=∠∴△≌△，AE CG ∴=（2）由（1）得 ，又CND ANM DCG DAE CDG ADE ∠=∠∠=∠∴∆≅∆,,∴∆AMN∽∆CDN AN MN AN DN CN MN CN DN∴=∙=∙，即 4．解：（1）2310OB OA -+-= 230OB ∴-=，10OA -=3OB ∴=，1OA =点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(03)A B ∴，，，（2）求得90ABC ∠=23(023)23(23)t t S t t ⎧-<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（3）1(30)P -，；22133P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；34133P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；4(323)P ， 5．证明： （1）因为ABCD 是正方形，所以∠DAE =∠FBE =90，所以∠ADE +∠DEA =90，又EF ⊥DE ，所以∠AED +∠FEB =90，所以∠ADE =∠FEB ，所以∆ADE ∽∆BEF ．（2）解：由（1） ∆ADE ∽∆BEF ，AD =4，BE =4-x ，得 44x x y -=，得y =]4)2([41)4(4122+--=+-x x x =1)2(412+--x ， 所以当x =2时， y 有最大值，y 的最大值为1．ＣＢＣＢＢＡＤＢ１．±2；２．3；３．35，121-；４．k ＜59且k ≠1；５．46． 解：用公式法．因为1=a ，23-=b ，3=c ， 所以 6314)23(422=⨯⨯--=-ac b ，所以 2623126)23(1+=⨯+--=x 2623126)23(2-=⨯---=x ； 解：用换元法． 设152--=x x y ，原方程可化为 710=+yy ， 也就是01072=+-y y ，解这个方程，有0)2)(5(=--y y ，51=y ，22=y ． 由1521--=x x y ＝5得方程 052=-x x ，解得01=x ，52=x ； 由1522--=x x y ＝2得方程 0322=--x x ，解得13-=x ，34=x ．经检验，01=x ，52=x ，13-=x ，34=x 都是原方程的解． 解：由52=+y x 得y x 25-=，代入方程 01222=--+xy y x ，得01)25(2)25(22=---+-y y y y ，081032=+-y y ，0)2)(43(=--y y ，341=y ，22=y ． 把 341=y 代入y x 25-=，得371=x ； 把 22=y 代入y x 25-=，得12=x ．所以方程组的解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==343711y x ，⎩⎨⎧==2122y x ．。
相似三角形专题复习(共66张PPT)
3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿
1:3
课堂训练:
E
B
D
C
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.
A
解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x
相似三角形
DE∥BC
△ ADE∽ △ ABC
∠DAE= ∠CAB
△ ADE∽ △ ABC
基本图形
判定方法
∠AED= ∠B
∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ ABC
对应角相等；
性质定理
对应边成比例；
周长的比 等于相似比；
面积的比等于 相似比的平方；
三边对应成比例的 两个三角形相似.
灵感 智慧
M1
A
B
C
P
Q
A
B
C
P
Q
M2
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
灵感 智慧
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=______
善于在复杂图形中寻找基本型
5
A
D
B
C
E
F
A
B
C
F
E
E
E
一元二次方程单元综合练习+相似三角形4
ABCDE九年级数学上 一元二次方程与相似图形练习一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )A.55°B.100°C.25°D.30°2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( )A.BC DE AB AE AC AD == B.BC DEAC AE AB AD == C.BC DE AB AC AE AD == D.BCDEEC AE AB AD == 3.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( )A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶54.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )A.1.5B.3C.2D.15、方程x 2 =4x 的解是（ ）A ．x=4 B ．x=2 C ．x=0 D ．x=4或x=06、用配方法解方程x 2-4x+2=0，下列配方正确的是（ ）A ．(x-2)2=2B ．(x+2)2=2C ．(x-2)2=-2D ．(x-2)2=6 7、解方程2(5x －1)²＝3(5x －1)的最适当方法应是( )A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法 8．若关于x 的方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k•的取值范围是（ ） A ．k>－1 B ．k<－1 C ．k ≥－1且k ≠0 D ．k>－1且k ≠0 9、已知2y 2+y-2的值为3，则4y 2+2y+1的值为（ ）A ．10B ．11C ．10或11D ．3或1110．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ） A ．x 2+5x+6=0 B ．x 2－5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2+5x －6=0 二、填空题1.当m=________时，关于x 的方程(m-2)x 2+x-2=0是一元二次方程；2.关于x 的一元二次方程(m+1)x 2-2mx=1的一个根是3，则m=________；3.在横线上分别填上适当的数，使等式成立：x 2-_______x+4=(x-__________)2；4.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是_________________；5．已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两根为x 1和x 2，那么（1+x 1）（1+x 2）的值为______． 6．若方程x 2－m=0有整数根，则m 的值可以是______（只填一个）．ABCDE 7．在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际 距离是8.如图，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则ABAD=________=________. 9．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米， 这张地图的比例尺为 10．已知：53=-b b a ，求ba的值为 ． 11、写出一个方程,使它的一个根是1,另一个根满足－1＜x ＜1,这个方程可以是______ 。
第十二讲 一元二次方程及相似三角形
第十二讲 相似三角形及一元二次方程根系关系一、一元二次方程知识点：1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
则ab x x -=+21， a c x x =∙21，；(补充公式ax x ∆=-21) 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙++-x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 二、典型例题题型一、一元二次方程两根具备特殊关系例1、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值；例2、在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值例3、已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
题型二、一元二次方程两根正负问题例4、已知关于x 的一元二次方程0123422=-+-+m x m mx )(有两个非零实数根。
（1）求m 的取值范围；（2）若两个非零实数根同为正数，请求出相应的m 的取值范围。
例5、已知方程()()221k x x =--，k 为实数，且k ≠0，不解方程证明： （1）这个方程有两个不相等的实数根；（2）一个根大于1，另一个根小于1。
题型三、构造新的一元二次方程例6、已知方程0252=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
例7、若实数x 、y 、z 满足x ＝6－y ，z 2＝xy －9．求证：x ＝y ．例8、若a b ≠1,且有0520119092011522=++=++b b a a ，求ba 的值。
一元二次方程与相似三角形复习题
第一次复习一、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x10.22(3)5x x -+= 11.230x ++=二、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）1.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.2.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？AB C三.解答题（本题9分）已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=两根的平方和比两根的积大21，求m 的值相似三角形1.（09郴州）如图，在D ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3，（1）求AD AB的值，（2）求BC 的长2．（09凉山）如图，ABC △在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(23)(62)A C ，，，，并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC △放大，画出放大后的图形A B C '''△；（3）计算A B C '''△的面积S ．3. （09中山）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．1.（09上海)如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是 （ ）A ．AD BC DF CE = B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF =2.（09济宁）如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 （ ）A. 2 cm 2B. 4 cm 2C. 8 cm 2D. 16 cm 23. （09新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △ 相似的是（ ）4．(09温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张 C.第6张 D ．第7张5．（09烟台）如图，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论：①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．6．（09黄石）在□ABCD 中，E 在DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE = ．7．（09日照）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．8．（09孝感）如图，点M 是△ABC 内一点，过点M△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．三．解答题9.（09长春）如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．。
九年级数学相似三角形知识点及习题(K12教育文档)
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相似三角形考点一、本章的两套定理第一套(比例的有关性质）：ba n db mc a nd b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点:1。
相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于"。
3。
相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交,所截成的三角形与原三角形相似。
5。
相似三角形的判定定理：(1）三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：cd a b = db c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理）等从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等"的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：（1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
相似三角形复习
相似三角形复习相似三角形是初中数学中的重要知识点，在几何问题的解决中有着广泛的应用。
为了更好地掌握这一内容，让我们一起来进行系统的复习。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形的对应边的比值称为相似比。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'，且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形ABC 和三角形 A'B'C' 就是相似三角形。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果 AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，则三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
九年级数学相似三角形复习-P
相似三角形-一元二次方程-二次根式综合模拟试卷
二次根式一元二次方程相似形综合练习一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．532=+B ．632=⨯C ．248=D ．224=-2．若23x << ）A ．1B ．25x -C ．1或25x -D ．1-3．两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么小三角形的周长为（ ）A ．14cm B ．16cm C ．18cm D ．30cm4.已知关于x 的一元二次方程0122=+-x ax 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ）A 、1-<aB 、0≠aC 、1<a 且0≠aD 、1-<a 或0≠a5.已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x 2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（ ） A 、13 B 、11 C 、11或13 D 、12或156．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，AB 上有一动点D 以每秒4个单位的速度从点A 向点B 运动，当点D 运动到点B 时停止运动．过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点D ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ，连接BE 交DF 于点G ，设点D 运动的时间为t ，当S △BDG =4S △EFG 时，t 的值为（ ）A ．t=B ．t=C ．t=D ．t= 二、填空题7．y=中实数x 的取值范围是______．8．方程2x = x 的根是______． 已知3=y x ，则=+y y x ______ ．9．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______.10．关于x 的方程0)(2=++b m x a 的解是1x =2，2x =1-（a 、b 、m 为常数，≠a 0），则方程0)2(2=+++b m x a 的解是 ．11．已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为_______.12．△ABC 中，AB=AC=4，BC=5，点D 是边AB 的中点，点E 是边AC 的中点，点P 是边BC 上的动点，∠DPE=∠C ，则BP= ．13.一次综合实践活动中，小明同学拿到一只含45°角的三角板和一只含30°角的三角板，如图放置恰好有一边重合，则OBOD 的值为 ． 13．已知(x 2＋y 2＋1) (x 2＋y 2－3)＝5，则x 2＋y 2＝ ．14．如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，点P 、Q 在DC 边上，且PQ ＝14DC ．若AB ＝16，BC ＝20，则图中阴影部分的面积是 ．三、解答题15．计算：（1）× （2）2﹣6+3．（3）2÷(16.解方程（1）（x+1）（x ﹣3）=﹣1． (2)x 2－4x ＋2＝0． （3）2)2(3)2(2---=-x x17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 中的三个顶点坐标分别为A （1，4）、B （﹣1，2）、C （3，3）．在x 轴上方，请画出以原点O 为位似中心，相似比为2：1．将△ABC 放大后得到的△A 1B 1C 1，并写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标．18.已知，关于x 的一元二次方程0)1(2=--+k x k x (其中k 为常数) ．（1）判断方程根的情况并说明理由；（2）若10<<k ，设方程的两根分别为m ，n )(n m <，求它的两个根m 和n ；19．某商店销售一种成本为40元/kg 的水产品，若按50元/kg 销售，一个月可售出500kg ，售价毎涨1元，月销售量就减少10kg ．（2）当售价定为多少元时，该商店月销售利润为8000元？20．有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC=120cm ，高AD=80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示．（1）求矩形纸片较长边EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．21.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E 、F 分别在AD 、DC 上（点E 与A 、D 不重合）；且∠BEF=120°，设AE=x ，DF=y ．（1）求证：ABE ∆∽DEF ∆；（2）求出y 关于x 的函数关系；22．已知：如图，AB⊥BC，AD∥BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，连接PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP=AD时，求线段PC的长；（2）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．23．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．24．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．。
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A BC DECBADEAB C ABCA BCABCAB CABC 相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习（满分100分，90分钟）相似三角形复习基础知识1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边的比相等的三角形叫做相似三角形。
2.相似比：相似三角形对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
3．相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似．DE ∥BC ∴△ABC ∽△ADE②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．AA ＇B CAB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’＝BC/B ’C ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ ③如果两个三角形的两组对应边的比相等并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． A A ’ B CB ’C ’AB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’ ∠A ＝∠A ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． A AB C B ’ C ’∠A ＝∠A ’ ∠B ＝∠B ’ ∴ △ABC ∽△A ’B ’C ’A BC D C B A D E A BCDE A B CD E AB D C4.性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形对应边的比相等。
5.基本图形：练习题1、（2008广东）（10分）如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、 （2008年杭州市）（10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。
F C ABPE H3、(2008 湖南 怀化)（10分）如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN •=•4、 (2008 黑龙江)（10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2310OB OA -+-=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．(2008年广东梅州市)（10）如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．（1）求证： ∆ADE ∽∆BEF ；（2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．y xAO C B一元二次方程复习及预习基础知识（注：加粗为预习内容）1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解．(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(4)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根． △＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根． 判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a cx x a b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 4．一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题； (3)平均增长率问题． 步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； ③找出相等关系，并用它列出方程； ④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答． 这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【经典例题精讲】例1 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=， ∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++= 0)n 2m (2≥+=．∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±． 例2 用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住． 解：x 73x 22=+，023x 27x 2=+-，234747x 27x 22=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2， 162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-．∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例3 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a cx x a b x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则56x 25k x 222-=⋅-=+，， ∴53x 2-=，k ＝－7． 即方程的另一根为53-，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为a c ．例4 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的 (1)平方和；(2)倒数和．分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子． 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+ ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212232149+=413=；(2)211221x x x x x 1x 1+=+ 2123--=＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例5 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出．解：设方程的两根为21x x 、，则2mx x 2x x 2121=⋅-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+，∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=＝－30．∵2mx x 21=，∴m ＝－30．注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．例6 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10． 分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=⋅++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++．∵2＋10＝－p ，2×10＝q ， ∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-． 注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例7 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，， ∴方程为09x 8x 2=+-． 解这个方程得74x 74x 21-=+=，，∴这两个数为7474-+和．练习（根据前面的例题提示做题）一 选择题（每小题3分，共24分）：1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解3．方程x x -=+65的解是……………………………………………………………（ ） （A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝34．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2－2x －2k＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ）（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）06．以213+ 和 213- 为根的一个一元二次方程是………………………………（ ）（A ）02132=+-x x （B ）02132=++x x（C ）0132=+-x x （D ）02132=-+x x7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是………………………………………………………………………………………（ ）（A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1 二 填空题（每空2分，共12分）：1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ；2．若分式2652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ；3．已知方程 3x 2－ 5x －41＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝， x 1·x 2＝ ；4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ；5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 三 解下列方程或方程组（第１、２小题3分，第３小题8分，共14分）： 1．03232=+-x x（用公式法）2．7510101522=--+--x x x x （用换元法，设152--=x x y ）３．.5201222⎩⎨⎧=+=--+y x xy y x。