多元线性回归拟合分析
多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
多元线性回归分析案例
多元线性回归分析案例1. 引言多元线性回归分析是一种用于探究多个自变量与一个连续型因变量之间关系的统计分析方法。
本文将以一个虚构的案例来介绍多元线性回归分析的应用。
2. 背景假设我们是一家电子产品制造公司，我们想了解哪些因素会对产品销售额产生影响。
为了解决这个问题，我们收集了一些数据，包括产品的价格、广告费用、竞争对手的产品价格和销售额。
3. 数据收集我们采集了100个不同产品的数据，其中包括以下变量：- 产品价格（自变量1）- 广告费用（自变量2）- 竞争对手的产品价格（自变量3）- 销售额（因变量）4. 数据分析为了进行多元线性回归分析，我们首先需要对数据进行预处理。
我们检查了数据的缺失情况和异常值，并进行了相应的处理。
接下来，我们使用多元线性回归模型来分析数据。
模型的方程可以表示为：销售额= β0 + β1 × 产品价格+ β2 × 广告费用+ β3 × 竞争对手的产品价格+ ε其中，β0、β1、β2、β3是回归系数，ε是误差项。
5. 结果解释我们使用统计软件进行回归分析，并得到了以下结果：- 回归系数的估计值：β0 = 1000, β1 = 10, β2 = 20, β3 = -5- 拟合优度：R² = 0.8根据回归系数的估计值，我们可以解释模型的结果：- β0表示当产品价格、广告费用和竞争对手的产品价格都为0时，销售额的估计值为1000。
- β1表示产品价格每增加1单位，销售额平均增加10单位。
- β2表示广告费用每增加1单位，销售额平均增加20单位。
- β3表示竞争对手的产品价格每增加1单位，销售额平均减少5单位。
拟合优度R²的值为0.8，说明模型可以解释销售额的80%变异程度。
这意味着模型对数据的拟合程度较好。
6. 结论根据我们的多元线性回归分析结果，我们可以得出以下结论：- 产品价格、广告费用和竞争对手的产品价格对销售额有显著影响。
多元线性回归分析与变量选择
多元线性回归分析与变量选择在统计学和机器学习领域，线性回归是一种常见的回归分析方法，用于建立变量之间的线性关系模型。
当我们需要考虑多个自变量对一个因变量的影响时，就需要使用多元线性回归。
本文将介绍多元线性回归的基本概念、模型建立的步骤，并讨论如何选择合适的变量。
一、多元线性回归的基本原理多元线性回归是一种通过最小化误差平方和来拟合自变量和因变量之间的线性关系的方法。
其数学表达可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，Xi是自变量，β是回归系数，ε是误差项。
通过调整β的值，使得拟合值与观测值之间的误差最小化，从而找到最佳的回归模型。
二、多元线性回归的模型建立步骤1. 收集数据：获取包括自变量和因变量的一组数据集。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值填充和异常值处理等操作，确保数据的质量。
3. 变量选择：根据问题的背景和领域知识，选择与因变量相关性较高的自变量，剔除与因变量无关或相关性较低的自变量。
变量选择的方法包括前向选择、后向选择和逐步回归等。
4. 模型建立：利用选择的自变量，建立多元线性回归模型。
5. 参数估计：通过最小二乘法或其他方法，估计回归系数的值。
6. 模型诊断：对回归模型进行检验，包括残差分析、正态性检验、多重共线性检验等。
7. 模型评估：通过各种指标，如R方、调整R方、AIC和BIC等，评估模型拟合程度和预测能力。
三、变量选择方法1. 前向选择：从一个空模型开始，逐渐添加最相关的自变量，直到变量的显著性不再提高。
2. 后向选择：从包含所有自变量的模型开始，逐渐剔除与因变量相关性较低的自变量，直到剔除的变量不再影响模型的显著性。
3. 逐步回归：结合前向选择和后向选择的方法，先进行前向选择，然后进行后向选择，直到模型满足某个停止准则。
4. 正则化方法：通过引入惩罚项，如岭回归和LASSO回归，对回归系数进行约束，从而实现变量选择。
多元线性回归分析的流程
多元线性回归分析的流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by theeditor. I hope that after you download them,they can help yousolve practical problems. The document can be customized andmodified after downloading,please adjust and use it according toactual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types ofpractical materials,such as educational essays, diaryappreciation,sentence excerpts,ancient poems,classic articles,topic composition,work summary,word parsing,copy excerpts,other materials and so on,want to know different data formats andwriting methods,please pay attention!多元线性回归分析是一种用于研究多个自变量与一个因变量之间关系的统计方法。
多元线性回归模型拟合优度假设检验
− nY 2 = Y′ − nY 2 Y
将上述结果代入R2的公式，得到：
′ − nY 2 − (Y′ −Y′ β ) Y′ β − nY 2 Xˆ Σe2 YY Y Xˆ 2 = R =1− 2 = 2 Y′ − nY 2 Y Σ(Y −Y ) Y′ − nY Y
这就是决定系数R2 的矩阵形式。
判定系数
1、t统计量 、 统计量
由于
ˆ) Cov(β = σ 2 ( X′X) −1
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素， 于是参数估计量的方差为： ˆ Var ( β ) = σ 2 c
i ii
其中σ2为随机误差项的方差，在实际计算 时，用它的估计量代替:
ˆ σ2 =
∑e
2 i
n − k −1
注意：一元线性回归中， 检验与F 注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 一方面 H0：β1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系： 另一方面
F= ˆ ∑y
2 i 2 i
∑ e ( n − 2)
ei2 ∑
=
ˆ β12 ∑ xi2
∑ e ( n − 2)
1、方程显著性的 检验 、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ … +βkXki+µi i=1,2, …,n
中的参数βj是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： β0=β1=β2= … =βk=0 H1： βj不全为0
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： 检验的思想 TSS=ESS+RSS
t 1 = 7.378, t 2 = 2.201
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
多元线性回归 名词解释
多元线性回归名词解释多元线性回归（MultipleLinearRegression）是一种统计学模型，主要用来分析自变量和因变量之间的关系，它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它是回归分析法的一种，是以线性方程拟合多个自变量和一个因变量之间的关系，是统计分析中用来探索和预测因变量之间自变量的变化情况的常用方法之一。
例如，可以利用多元线性回归来分析教育水平，收入水平和住房价格之间的关系，以及社会状况下的因素对收入水平的影响等等。
多元线性回归有两种形式：一种是多元普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），另一种是多元最小平方根法（Root Mean Square）。
多元普通最小二乘法是将解释变量和因变量之间的关系用线性函数来拟合，从而求解最优模型参数；而多元最小平方根法是将解释变量和因变量之间的关系用一条曲线来拟合，从而求解最优模型参数。
多元线性回归可以用于描述一个变量与多个自变量之间的关系，并可以用来预测一个变量的变化情况。
它的优势在于可以计算出各自变量对因变量的相对贡献度，从而更有效地分析它们之间的关系，以及对复杂的数据更好地进行预测。
然而，多变量线性回归也存在一些缺点，其中最常见的是异方差假设，即解释变量和因变量之间观察值的方差相等。
此外，多元线性回归也受到异常值的干扰，存在多重共线性现象，可能引发过拟合或欠拟合等问题。
因此，在使用多元线性回归时，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，这样才能更准确地预测和分析数据。
总之，多元线性回归是一种分析多个自变量与一个因变量之间关系的统计学模型，可以有效地检验假设，从而预测和分析数据。
它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它也有许多缺点，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，以准确地预测和分析数据。
多元线性回归模型案例分析报告
多元线性回归模型案例分析报告多元线性回归模型是一种用于预测和建立因变量和多个自变量之间关系的统计方法。
它通过拟合一个线性方程，找到使得回归方程和实际观测值之间误差最小的系数。
本报告将以一个实际案例为例，对多元线性回归模型进行案例分析。
案例背景：公司是一家在线教育平台，希望通过多元线性回归模型来预测学生的学习时长，并找出对学习时长影响最大的因素。
为了进行分析，该公司收集了一些与学习时长相关的数据，包括学生的个人信息（性别、年龄、学历）、学习环境（家乡、宿舍）、学习资源（网络速度、学习材料）以及学习动力（学习目标、学习习惯）等多个自变量。
数据分析方法：通过建立多元线性回归模型，我们可以找到与学习时长最相关的因素，并预测学生的学习时长。
首先，我们将根据实际情况对数据进行预处理，包括数据清洗、过滤异常值等。
然后，我们使用逐步回归方法，通过逐步添加和删除自变量来筛选最佳模型。
最后，我们使用已选定的自变量建立多元线性回归模型，并进行系数估计和显著性检验。
案例分析结果：经过数据分析和模型建立，我们得到了如下的多元线性回归模型：学习时长=0.5*年龄+0.2*学历+0.3*学习资源+0.4*学习习惯对于系数估计，我们发现年龄、学历、学习资源和学习习惯对于学习时长均有正向影响，即随着这些变量的增加，学习时长也会增加。
其中，年龄和学习资源的影响较大，学历和学习习惯的影响较小。
在显著性检验中，我们发现该模型的拟合度较好，因为相关自变量的p值均小于0.05，表明它们对学习时长的影响具有统计学意义。
案例启示：本案例的分析结果为在线教育平台提供了重要的参考。
公司可以针对年龄较大、学历高、学习资源丰富和有良好学习习惯的学生，提供个性化的学习服务和辅导。
同时，公司也可以通过提供更好的学习资源和培养良好的学习习惯，来提升学生的学习时长和学习效果。
总结：多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
通过对因变量和多个自变量之间的关系进行建模和分析，我们可以找到相关影响因素，并预测因变量的取值。
1 多元线性回归分析
1、自变量筛选的标准与原则
① 残差平方和SSE缩小与确定系数增大 ② 残差均方缩小与调整确定系数增大 ③ Cp统计量
2、自变量筛选的常用方法
① 所有可能自变量子集选择 ② Forward：前进法（向前选择法） ③ Backward：后退法（向后剔除法） ④ Stepwise：逐步回归法
♦ 是选择变量的有效方法。
前进法、后退法、逐步回归法的侧重点不
同。
当自变量之间不存在简单线性相关关系时，三种方法计算结果 是一致的。 当自变量之间存在简单线性相关关系时，前进法侧重于向模型 中引入单独作用较强的变量，后退法侧重于引入联合作用较强 的变量，逐步回归法则介于两者之间。
注意：剔除变量的标准（0.1）应 大于或等于引入变量的标准 （0.05）。
ANOVA b
Model
Sum of Squares
1
Regression 133.711
Residual Total
88.841 222.552
df Mean Square
4
33.428
22
4.038
26
F 8.278
Sig. .000a
a.Predictors: (Constant), 糖化血红蛋白, 甘油三酯, 胰岛素, 总胆固醇
总变异 23 0.08123
R2=0.06396/0.08123=0.7874
确定系数的取值范围为0≤R2≤1。直接反映了 回归方程中所有自变量解释了反应变量总变异 的百分比。其值越接近于1，表示回归模型的拟 合效果越好。
3、调整的确定系数
调整的R2：记为
R2 = R 2 k(1 R2 )
SPSS多元线性回归结果分析
SPSS多元线性回归结果分析输出下⾯三张表第⼀张R⽅是拟合优度对总回归⽅程进⾏F检验。
显著性是sig。
结果的统计学意义，是结果真实程度（能够代表总体）的⼀种估计⽅法。
专业上，p 值为结果可信程度的⼀个递减指标，p 值越⼤，我们越不能认为样本中变量的关联是总体中各变量关联的可靠指标。
p 值是将观察结果认为有效即具有总体代表性的犯错概率。
如 p=0.05 提⽰样本中变量关联有 5% 的可能是由于偶然性造成的。
即假设总体中任意变量间均⽆关联，我们重复类似实验，会发现约 20 个实验中有⼀个实验，我们所研究的变量关联将等于或强于我们的实验结果。
（这并不是说如变量间存在关联，我们可得到 5% 或 95% 次数的相同结果，当总体中的变量存在关联，重复研究和发现关联的可能性与设计的统计学效⼒有关。
）在许多研究领域，0.05 的 p 值通常被认为是可接受错误的边界⽔平。
F检验：对于多元线性回归模型，在对每个回归系数进⾏显著性检验之前，应该对回归模型的整体做显著性检验。
这就是F检验。
当检验被解释变量y t与⼀组解释变量x1, x2 , ... , x k -1是否存在回归关系时，给出的零假设与备择假设分别是H0：b1 = b2 = ... = b k-1 = 0 ,H1：b i, i = 1, ..., k -1不全为零。
⾸先要构造F统计量。
由（3.36）式知总平⽅和（SST）可分解为回归平⽅和（SSR）与残差平⽅和（SSE）两部分。
与这种分解相对应，相应⾃由度也可以被分解为两部分。
SST具有T - 1个⾃由度。
这是因为在T个变差 ( y t -), t = 1, ..., T，中存在⼀个约束条件，即 = 0。
由于回归函数中含有k个参数，⽽这k个参数受⼀个约束条件制约，所以SSR具有k -1个⾃由度。
因为SSE中含有T个残差，= y t -, t = 1, 2, ..., T，这些残差值被k个参数所约束，所以SSE具有T - k个⾃由度。
第八讲多元线性回归分析-精选文档
ˆ Y 5 . 9433 0 . 1424 X 0 . 3515 X 0 . 2706 X 0 . 63 X 1 2 3 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法： H 0， 0 : 1 2 m
H （ = 1 , 2 , , m ) 不 全 为 0 ， 1:各 j j
总胆固醇 （mmol/L） X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
2 2 ˆ b X b X ) 01 1 2 2 m m
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l b l b l b l 21 1 22 2 2m m 2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
多元线性回归分析及其应用
多元线性回归分析及其应用一、本文概述《多元线性回归分析及其应用》这篇文章旨在深入探讨多元线性回归分析的基本原理、方法以及在实际应用中的广泛运用。
文章首先将对多元线性回归分析的基本概念进行阐述，包括其定义、特点以及与其他统计分析方法的区别。
随后，文章将详细介绍多元线性回归分析的数学模型、参数估计方法以及模型的检验与优化。
在介绍完多元线性回归分析的基本理论后，文章将重点探讨其在各个领域的应用。
通过具体案例分析，展示多元线性回归分析在解决实际问题中的强大作用，如经济预测、市场研究、医学统计等。
文章还将讨论多元线性回归分析在实际应用中可能遇到的问题，如多重共线性、异方差性等，并提出相应的解决方法。
文章将对多元线性回归分析的发展趋势进行展望，探讨其在大数据时代背景下的应用前景以及面临的挑战。
通过本文的阅读，读者可以全面了解多元线性回归分析的基本理论、方法以及实际应用，为相关领域的研究与实践提供有力支持。
二、多元线性回归分析的基本原理多元线性回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（一个或多个）和自变量（一个或多个）之间的关系。
这种技术通过建立一个包含多个自变量的线性方程，来预测因变量的值。
这个方程描述了因变量如何依赖于自变量，并且提供了自变量对因变量的影响的量化估计。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量和自变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合加上一个误差项。
这个误差项表示了模型中未能解释的部分，通常假设它服从某种概率分布，如正态分布。
多元线性回归模型的参数估计通常通过最小二乘法来实现。
最小二乘法的基本思想是通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来求解模型的参数。
这个过程可以通过数学上的最优化方法来完成，例如梯度下降法或者正规方程法。
除了参数估计外，多元线性回归分析还需要进行模型的诊断和验证。
这包括检查模型的拟合优度（如R方值）、检验自变量的显著性（如t检验或F检验）、评估模型的预测能力（如交叉验证）以及检查模型的假设是否成立（如残差的正态性、同方差性等）。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
多元线性回归分析
求解后得 b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
各变量均值分别为： X1 5.8126 ， X 2 2.8407 ， X 3 6.1467 ， X 4 9.1185 ，Y 11.9259 ， 则常数项：
b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185
sY 123 m 表示。
公式为： sY123 m
MS剩余
SS剩余 n m 1
剩余标准差越小，说明回归效果越好
3、剩余标准差
剩余标准差除与剩余平方和有关外，还与自由度 有关，因此剩余标准差与决定系数对回归效果优 劣的评价结果有时不一致。研究者通常希望用尽 可能少的自变量来最大限度地解释因变量的变异， 从这个意义上来说，用剩余标准差作为评价回归 效果的指标比决定系数更好。
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
1、对模型的假设检验—F检验
SS总=lyy=222.5519；ν总=n-1=26 SS剩余= SS总- SS回归=222.5519-133.7107=88.8412 ν剩余=n-m-1=22
= = MS回归 SS回归/ν回归； MS剩余 SS剩余/ν剩余；
标准化偏回归系数b’j
0.07758 0.30931 -0.33948 0.39774
bj b j
l jj lYY
bj
l jj /(n 1) lYY /(n 1)
bj
Sj SY
偏回归系数
偏回归系 数标准误
标准偏回归系数
（三）计算相应指标，对模型的拟合效果进行评价
多元线性回归拟合分析
楚雄师范学院2012年数学建模竞赛第一次实战训练（一）第一题论文题目多元非线性回归拟合模型姓名郜红霞杨环刘发稳2012年8月20日多元非线性回归拟合模型摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型,利用最小二乘法和极值原理,导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。
并用矩阵形式对规范方程组进行表述,在所表述的诸矩阵中,结构矩阵是其基础。
用它可方便地转化出其他矩阵,这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。
计算机根据输入数据自变量的个数和实验所作次数的多少,求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程质量的数据。
关键字：规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对称矩阵；数据分析；计算机拟合；矩阵形式自变量。
1 问题重述要求：1.检验强影响点；2.正态性检验；3.相关性检验；4.自变量的多重共线性检验；5.残差的相关性分析，模型的合理分析。
x=（470 81 82 50 13.7 225）'。
6.预测2 问题分析先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或其他更优模型，反复进行判断和优化，最后得到较理想的预测方程。
并用一定的评价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。
3 基本假设与符号说明Q 残差平方和 E拟合误差 ε无偏估计值 2s方差 R 复相关系数 SE标准误差4 模型建立3.1 问题分析 3.2 模型建立（1）我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元线性回归模型。
{),0(~ (2)''110'σεεβββN x x Y m m ++++=(2)为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。
《应用回归分析 》---多元线性回归分析实验报告
《应用回归分析》---多元线性回归分析实验报告
二、实验步骤：
1、计算出增广的样本相关矩阵
2、给出回归方程
Y=-65.074+2.689*腰围+（-0.078*体重）3、对所得回归方程做拟合优度检验
4、对回归方程做显著性检验
5、对回归系数做显著性检验
三、实验结果分析：
1、计算出增广的样本相关矩阵相关矩阵
2、给出回归方程
回归方程：Y=-65.074+2.689*腰围+（-0.078*体重）
3、对所得回归方程做拟合优度检验
由表可知x与y的决定性系数为r2=0.800,说明模型的你和效果一般，x与y 线性相关系数为R=0.894，说明x与y有较显著的线性关系，当F=33.931，显著性Sig.p=0.000，说明回归方程显著
4、对回归方程做显著性检验
5、对回归系数做显著性检验
Beta的t检验统计量t=-6.254，对应p的值接近0，说明体重和体内脂肪比重对腰围数据有显著影响
6、结合回归方程对该问题做一些基本分析
从上面的分析过程中可以看出腰围和脂肪比重以及腰围和体重的相关性都是很大的，通过检验可以看出回归方程、回归系数也很显著。
其次可以观察到腰围、脂肪比重、体重的数据都是服从正态分布的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用spss13.0录入数据结果如下：
序号
马氏距离
cook距离
序号
马氏距离
cook距离
1
3.48134
0.00124
21
2.85948
0.00919
2
6.76013
0.00118
22
5.82088
0.00797
3
14.18495
0.00081
23
5.13328
0.00125
4
3.1681
9
143
32
366
71
34
56
8
9
162
33
493
88
30
87
13
0
207
34
648
112
105
123
5
12
34
35
449
57
69
72
5
4
200
36
340
61
35
55
13
0
152
37
292
29
45
47
13
13
123
38
688
82
105
81
20
9
268
39
408
80
55
61
11
1
197
40
461
82
88
450
54
100
50
11
15
205
24
335
53
55
60
8
0
170
25
459
61
53
79
6
5
193
26
630
60
108
104
17
8
273
27
483
83
78
71
11
8
233
28
617
74
125
66
16
4
265
29
605
89
121
71
8
8
283
30
388
64
30
81
10
10
176
31
351
34
44
65
7
（8）回归系数的检验
判断每个自变量 对 的影响是否显著。
其中，
（9）相关系数检验
复相关系数R是衡量y与 相关程度的指标，R的值越接近于1，它们的相关程度越密切。
5问题求解
问题1.首先用spss13.0画出箱图，粗略分析出强影响点有3,12,34。
然后再用马氏距离和cook精确的计算强影响点。
马氏距离公式：
楚雄师范学院
2012年数学建模竞赛
第一次实战训练（一）第一题论文
题目多元非线性回归拟合模型
姓名郜红霞杨环刘发稳
2012年8月20日
多元非线性回归拟合模型
摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型,利用最小二乘法和极值原理,导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。并用矩阵形式对规范方程组进行表述,在所表述的诸矩阵中,结构矩阵是其基础。用它可方便地转化出其他矩阵,这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。计算机根据输入数据自变量的个数和实验所作次数的多少,求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程质量的数据。
（5）参数估计
在得出函数关系后，我们要对其进行参数估计。
假设有n个独立观测的数据 要确定回归系数
由最小二乘法，即
求出估计值
Y的估计值为：
拟合误差 称为残差平方和
（6）统计分析
首先，求残差平方和Q,并由此得 的无偏估计。
然后，对Y的样本方差 进行分解。
（7）假设检验
构造F-统计量及检验 的拒绝域：
拒绝域
1632ຫໍສະໝຸດ 2629631
54
34
14
11
119
7
453
105
60
47
5
10
212
8
617
114
85
84
17
20
285
9
514
98
72
71
12
-1
242
10
400
15
59
99
15
11
174
11
473
62
62
81
9
1
207
12
157
25
11
7
9
9
45
13
440
45
65
84
19
13
195
14
480
92
75
0.0093
24
3.47549
0.04237
5
4.82977
0.00097
25
1.98853
0.01923
6
4.19383
0
26
6.97558
0.00032
7
7.0377
0.0028
27
0.47806
0.00485
8
10.62387
0.00036
28
7.33676
0.00398
9
4.66919
0.03478
54
14
7
225
要求：1.检验强影响点；
2.正态性检验；
3.相关性检验；
4.自变量的多重共线性检验；
5.残差的相关性分析，模型的合理分析。
6.预测 =（470 81 82 50 13.7 225）'。
2 问题分析
先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或其他更优模型，反复进行判断和优化，最后得到较理想的预测方程。并用一定的评价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。3 基本假设与符号说明
29
5.26468
0.00278
10
9.56781
0.00002
30
2.54373
0.00128
11
2.74957
0.00155
{
(2)为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。
设随机变量X、Y、Z之间彼此存在着相关关系，为了研究X和Y之间的关系，就必须在假定Z不变的条件下，计算和Y的偏相关系数，记为 。
关键字：规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对称矩阵；数据分析；计算机拟合；矩阵形式自变量。
1 问题重述
行
Y
X1
X2
X3
X4
X5
X6
1
443
49
79
76
8
15
205
2
290
27
70
31
6
6
129
3
676
115
92
130
0
9
339
4
536
92
62
92
5
8
247
5
481
67
42
94
63
9
20
232
15
136
27
26
82
4
17
134
16
530
111
52
93
11
13
256
17
610
78
102
84
5
7
266
18
617
106
87
82
18
7
276
19
600
97
98
71
12
8
266
20
480
67
65
62
13
12
196
21
279
38
26
44
10
8
110
22
446
56
32
99
16
8
188
23
在考察多个变量时， （i=1，2...，p）之间的p-1阶偏相关关系可由如下的递推式定义：
计算得出输出变量的相关性检验。
（3）我们建立部分多元非线性回归模型，来判断在Y与 的模型中有交互作用的 的形式。
其中，
在判断出的形式的形式后，我们建立所有 与Y的多元非线性回归模型。
(4)
将数据录入后，用SPSS13.0软件得出未知系数，从而得出之间的函数关系。然后再进行参数估计，统计分析，假设检验，回归系数检验，相关系数检验，如果通过检验，则得到较优模型，若未通过检验，则进行进一步调整优化。
符号
说明
多元线性回归的输入变量
多元线性回归的输出变量
多元非线性回归的输入变量
多元线性回归的输出变量
回归系数
回归系数估计值
输出变量估计值
Q
残差平方和
E
拟合误差
无偏估计值
方差
R
复相关系数
SE
标准误差
4 模型建立
3.1 问题分析
3.2 模型建立
（1）我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元线性回归模型。