圆周运动

命题点一 圆周运动的运动学问题
1.对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比.
当ω一定时，v与r成正比.
当v一定时，ω与r成反比.
2.对an＝vr2 ＝ω2r的理解
图3
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比.
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线
⑵若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
变式3
过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨 道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最 低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R 1 =2.0m、R 2 =1.4m、。一个质 量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度v 0 =12.0m/s沿轨道向右运动，A、B间距L 1 =6.0m。小球与水平轨道间的动摩 擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相 互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时
绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图象如图乙所示，
√则A.轻质绳长为
mb a
√B.当地的重力加速度为
a m
C.当 v2＝c 时，轻质绳最高点拉力大小为 abc＋a
图11
√D.若 v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为 6a
轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹
√力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是 A.当 ω> 23KLg时，A、B 相对于转盘会滑动
√B.当 ω> K2Lg，绳子一定有弹力
图14
Байду номын сангаас
C.ω 在 K2Lg<ω< 23KLg范围内增大时，B 所受摩擦力变大
A.A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
√B.B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增
大后减小再增大
√C.当ω2>
μg r
时整体会发生滑动
√D.当
μg 2r
<ω<
μg r
时，在ω增大的过程中B、C间的拉力不断增大
2 3 4 516 7 8 9
综合练习1 (多选)(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图11甲所示，用一轻质绳拴着一
√A.此时绳子张力为3μmg
B.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
√C.此时圆盘的角速度为
2μg r
D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
图16
变式2：如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的 可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴 OO′转动.三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦 力等于滑动摩擦力.三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现 将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力.当圆盘 从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程， 下列说法正确的是
或等于零
等于零或向上
最 高 受力示意图 点
力学特征
临界特征 过最高点条件
mg＋FN＝m
v2 r
FN＝0，vmin＝ gr v≥ gr
mg±FN＝m
v2 r
竖直向上的FN＝mg，v＝0 v≥0
速度和弹 力关系讨 论分析
①恰好过最高点时，v＝ gr，mg＝ ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支
m vr2，FN＝0，绳、轨道对球无弹力
物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别
为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.
2.与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零. (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力.
三、离心运动和近心运动
周期和转 (T)
②n的单位r/s，r/min
速
②转速是物体在单位时间内转过的 ③f的单位：Hz f＝
1
圈数(n)，也叫频率(f)
T
向心加 ①描述速度方向变化快慢的物理量(an) 速度 ②方向指向圆心
①an＝vr2＝ω2r
②单位：m/s2
相互 关系
①v＝rω＝2Tπr＝2πrf ②an＝vr2＝rω2＝ωv＝4Tπ22r＝4π2f2r
综合练习2 (多选)(2018·江西省吉安市模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系
于一轻质细杆的A点和B点，如图17所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方
向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周
运动，则下列说法正确的是
√A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
v2， r
FN指向圆心并随v的增大而增大
命题点三 圆周运动中的两类临界问题（水平面与斜面相关的圆周运动问题）
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力.
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝mv，2 静摩擦力的方向一定
指向圆心.
r
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个
变式1：
一根不可伸长的长为l的细绳一端固定在O点，另一端 连接一个质量为M的沙摆，沙摆静止。如图3所示，一 个质量为m的子弹以初速度沿水平方向射入沙摆而未 穿出，若子弹射入时间忽略不计，求沙摆上摆的最大 高度。
变式2：
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物 体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l，现将该弹簧水平放置 ，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道 ，B端与半径l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径RD竖直，如图所示，物 块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然 后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g． ⑴若P的质量为m，求P到达B点时的速度的大小，以及它离开圆轨道后落回 到AB上的位置与B点之间的距离；
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运
动所需向心力的情况下，就做 逐渐远离 圆心的运动.
2.受力特点(如图1)
(1)当F＝0时，物体沿 切线 方向飞出；
(2)当F<mrω2时，物体逐渐远离 圆心；
(3)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做 近心 运动.
图1
3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力 小于 做匀速
√C.当角速度ω>
g ltan
θ
，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
图17
综合训练3
过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨 道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最 低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质 点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与 水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形 轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
√D.ω 在 0<ω< 23KLg范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大
变式1 (多选)如图16所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳
相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA ＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好 要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少； （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形 轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离
练二：
(多选)如图14所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用
长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少； （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形 轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离
速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所
示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时
，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
图4
(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ ωB，由v＝ωr知v与r成正比.
图5
圆周运动的动力学问题
Fn=man
an＝v2/r＝rω2＝ωv＝(4π 2r)/T2=4π2f2r
圆周运动需要的向心力.
练一：
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的 A点和C点，如图所示，当轻质木架绕轴BC以角速度ω 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在 竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时 ，绳b被烧断的同时木架停止转动，则
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大 C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的 竖直平面内摆动 D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动
第五章 曲线运动
第 三 节 圆周运动
圆周运动的运动学问题
一、圆周运动分类
1.合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
匀速圆周运动：线速度大小不变的圆周运动．
2.合力方向不指向圆心
合力沿半径方向的分量Fn
合力沿速度方向的分量Ft
非匀速圆周运动：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动
2.描述圆周运动的运动学参量
Fn为向心力，根据效果而命名的，可能是重力或弹力 或摩擦力，或者是某个力的分力，还可能是它们的合 力.
分析思路
命题点二 竖直平面内的圆周运动
1.两类模型比较
实例
球—绳模型
球—杆模型
如球与绳连接、沿内轨道运动 如球与轻杆连接、球在内壁光滑
的球等
的圆管内运动等
最高点无支撑
最高点有支撑
图示
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下 重力、弹力，弹力方向向下、
线速度
定义、意义
①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v) ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) 角速度 ②中学不研究其方向
公式、单位 ①v＝ΔΔst＝2Tπr
②单位：m/s
①ω＝ΔΔθt ＝2Tπ ②单位： rad/s
①周期是物体沿圆周运动一圈的时间 ①T＝；单位：s
②能过最高点时，v≥ gr，FN＋mg
＝m
v2 r
，绳、轨道对球产生弹力FN
持力，沿半径背离圆心
②当0<v< gr 时，－FN＋mg ＝m vr2，FN背离圆心，随v的增 大而减小
③不能过最高点时，v< gr，在到
达最高点前小球已经脱离了圆轨道 做斜抛运动
③当v＝ gr时，FN＝0
④当v>
gr 时，FN＋mg＝m