圆周运动
圆周运动的基本概念
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CONTENTS
01 圆周运动的定义 02 圆周运动的参数 03 圆周运动的向心加速度 04 圆周运动的周期和频率
05 圆周运动的向心力
圆周运动的定义
第一章
圆周运动的定义
圆周运动是指物体 沿着一个圆形的轨 迹进行的运动。
公式：a = v²/r
影响因素：线速度的大小和 半径的大小
方向：与线速度的方向垂直， 指向圆心
向心加速度的方向
圆周运动中，向心加速度的方向始 终指向圆心
向心加速度的方向始终与线速度的 方向垂直，与角速度的方向垂直
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
向心加速度的大小与线速度的大小 成正比，与角速度的大小成正比
频率的定义和计算公式
频率的定义：单位时间内完成圆周 运动的次数
单位：赫兹（Hz）
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算公式：频率 = 周期的倒数， 即 f = 1/T
意义：描述圆周运动的快慢程度
周期和频率的关系
周期是完成一次圆周运动所需的时间，单位是秒。
频率是单位时间内完成圆周运动的次数，单位是赫兹。
圆周运动的向心加速度
第三章
向心加速度的定义
公式：a = v²/r，其中v是 线速度，r是圆周运动的半径。
定义：向心加速度是描述物 体做圆周运动时，速度方向 变化快慢的物理量。
单位：米/秒²。
物理意义：向心加速度越大， 物体速度方向变化越快。
向心加速度的计算公式
意义：描述物体做圆周运动 时速度方向改变的快慢
圆周运动的基本概念与公式
圆周运动的基本概念与公式圆周运动是物体在一个平面上绕着固定轴旋转的运动形式。
在物理学中，我们通常使用一些基本概念和公式来描述圆周运动的性质和特征。
本文将对圆周运动的基本概念和公式进行详细介绍。
一、基本概念1. 圆周运动的轴：圆周运动的轴是指物体绕其旋转的直线。
这条直线被称为圆周运动的轴线，也称为转轴。
2. 半径：半径是指轴到物体运动轨迹上某一点的距离。
在圆周运动中，物体的运动轨迹是一个圆形，因此我们可以用半径来描述圆周运动的性质。
3. 角度和弧长：角度是指两条射线之间的夹角，常用度（°）作为单位。
而弧长是沿着圆周的一段弧的长度，常用单位是米（m）或者弧度（rad）。
4. 角速度和角频率：角速度是描述物体在圆周运动中角度变化快慢的物理量，通常用符号ω表示，单位是弧度/秒（rad/s）。
角频率是描述物体圆周运动的频率，即每秒通过的弧长与半径之比，用符号ν表示，单位是赫兹（Hz）或者弧度/秒（rad/s）。
二、基本公式1. 弧长公式：物体运动经过的弧长与半径之间的关系可以用以下公式表示：弧长（s） = 半径（r） ×弧度数（θ）2. 角速度与角频率的关系：角速度和角频率之间存在下列关系：角速度（ω） = 角频率（ν）× 2π3. 周期和频率的关系：周期是指物体从一个位置回到该位置所需的时间，频率是指每秒钟完成的周期数。
周期和频率之间存在下列关系：周期（T） = 1 / 频率（f）三、应用实例为了更好地理解圆周运动的基本概念和公式，我们来看几个具体的实例：1. 风扇转动：当我们打开风扇时，风叶开始绕转轴线旋转。
这个旋转运动可以看作是圆周运动。
我们可以测量风叶的半径和角速度，利用弧长公式计算风叶移动的弧长。
2. 地球自转：地球自转是一个经典的圆周运动例子。
地球围绕自身的轴线旋转一圈所需的时间是24小时。
根据周期和频率的关系，我们可以计算出地球自转的频率。
3. 行星公转：行星绕太阳公转是一种圆周运动。
圆周运动名词解释
圆周运动名词解释圆周运动是指一个物体沿着一个固定的圆形轨道运动的现象。
在这种运动中，物体保持相对于圆心的距离不变，同时围绕圆心做匀速运动。
1.圆周运动的基本概念圆周运动是一种有规律的运动方式，它的特点是物体在运动过程中保持与圆心的距离不变，同时沿着圆形轨道做匀速运动。
这种运动通常出现在天体运动、机械运动和粒子运动等领域。
2.圆周运动的要素圆周运动包括以下要素：2.1圆心：圆周运动的轨道中心点，物体围绕圆心做匀速运动。
2.2半径：圆周运动的轨道半径，表示物体与圆心之间的距离，不随时间变化。
2.3角速度：物体在圆周运动中的角位移与时间的比值，通常用符号ω表示。
2.4周期：物体绕圆心一周所需要的时间，通常用符号T表示。
2.5频率：物体绕圆心做一周所产生的频率，是周期的倒数，通常用符号f表示。
3.圆周运动的公式圆周运动中，角速度、周期和频率之间存在以下关系：ω=2π/Tf=1/T4.圆周运动的应用圆周运动在实际生活和科学研究中有广泛应用，以下是其中几个例子：4.1天体运动：行星绕太阳的轨道就是圆周运动，圆周运动的规律性使得我们能够预测天体运动和观测天文现象。
4.2机械运动：例如风扇的叶片绕中心旋转、电动车轮的转动等都是圆周运动，圆周运动的规律性使得我们能够设计和控制机械装置。
4.3粒子运动：粒子在磁场中的运动、电子在原子轨道中的运动等都是圆周运动，圆周运动的规律性使得我们能够研究微观领域的现象和性质。
总结：圆周运动是物体沿着一个固定的圆形轨道做匀速运动的现象。
它具有一定的规律性和应用价值，在天体运动、机械运动和粒子运动等领域都有广泛应用。
了解圆周运动的基本概念、要素和公式，可以帮助我们更好地理解和应用这一运动形式。
大学物理-圆周运动
圆周运动是曲线运动的一个重要特例 圆周运动中质点的速度的大小和方向都在改变
存在两个加速度
法向加速度（速度方向变化引起） 用 an 表示 切向加速度（速度大小变化引起） 用 at 表示
一．匀速率圆周运动
质点作匀速率圆周运动时，速
度大小不变，方向改变，只有 法向加速度用 an
a
a
lim v lim sv
解：v dS / dt b ct
a dv / dt c t
a b ct2 / R n
根据题意： at= an
c b ct2 / R
t Rb cc
三、一般曲线运动
总加速度
a
a
n
a
t
v2 R
e
n
dv
dt
e
t
用曲率半径 代替R
在曲线上某一点找到一个 和它内切的半径最大的圆， 这个圆的半径就定义为曲 率半径。
v vn vt
lim
vn
lim
v t
t t 0
t t 0
a a
n
t
法向加速度
an
v2 RΒιβλιοθήκη v2 v1or
v vt v2vn v1
切向加速度
at
lim vt t vt
t 0
t
dv dt
a t 大小
at
dv dt
a t 方向
v 当 v2 v1 时, a t 与 方向一致
v2 v1
o
r
v 当 v2 v1 时, a t 与 方向相反
总加速度
aa a
n
t
v2
e
dv
e
R n dt t
圆周运动的概念是什么意思
圆周运动的概念是什么意思圆周运动指的是物体绕着一个中心点以圆形轨迹运动的现象。
在这种运动中，物体围绕着中心点进行连续的循环运动，形成一个闭合的轨迹。
圆周运动是一种常见的机械运动，可以在日常生活中的许多场景中观察到，比如地球绕太阳的公转运动、月球绕地球的运动、钟摆的摆动等。
此外，在物理学和工程学领域中，圆周运动也扮演着重要的角色，比如粒子加速器中粒子的环形加速运动、车轮的旋转等。
在圆周运动中，物体的速度会随着位置的变化而发生改变。
需要注意的是，即使物体的速度大小保持不变，由于物体的位置在不断变化，所以速度的方向也会不断变化，导致物体发生加速度。
因此，圆周运动是一种加速运动。
圆周运动中，物体的加速度方向指向圆心。
由于物体在每个时间点都改变了运动方向，因此需要有一个力来提供向心的加速度。
这个力被称为向心力，它的大小与物体的质量、速度以及运动半径有关。
向心力的方向始终指向圆心，使物体保持在轨道上，并保证圆周运动的稳定性。
圆周运动的周期和频率是物体围绕圆周运动一周所需要的时间和次数。
周期是圆周运动所需的时间，通常用T表示，单位是秒。
频率是每秒钟圆周运动发生的次数，用f表示，单位是赫兹。
它们之间有以下关系：f = 1/T。
圆周运动还有一个重要的物理量是角速度。
角速度指的是物体在圆周运动中角度的变化速率。
角速度通常用符号ω表示，单位是弧度/秒。
角速度与圆周运动的周期之间有以下关系：ω= 2π/T。
在圆周运动中，还有一个重要的物理量是角加速度。
角加速度指的是角速度的变化率。
如果角速度的大小发生改变，那么物体将加速或减速。
角加速度通常用符号α表示，单位是弧度/秒²。
角加速度与角速度的关系可以用以下公式表示：α= ∆ω/∆t。
圆周运动的动力学原理可以由牛顿第二定律给出。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与施加在物体上的力的大小和方向成正比，与物体的质量成反比。
在圆周运动中，向心力提供了物体的向心加速度，因此可以将物体的向心加速度表示为向心力除以物体的质量。
圆周运动的基本概念
圆周运动的基本概念圆周运动是物体在绕定点旋转的过程中所描述的运动形式。
在这种运动中，物体沿着一个固定的轨道以相同的速度绕圆心旋转。
下面将详细介绍圆周运动的基本概念。
一、圆周运动的定义圆周运动是指一个物体围绕一个固定轴进行的运动，该物体在运动过程中保持相对于轴点的距离恒定。
二、圆周运动的特征1. 轨道形状：圆周运动的轨道为一个圆，物体在圆形轨道上做匀速运动。
2. 运动方向：物体的运动方向始终与径向方向（从物体到旋转中心的方向）垂直。
3. 周期与频率：圆周运动的周期是指物体完成一次完整运动所需要的时间，频率则是指单位时间内物体完成的运动次数。
三、圆周运动的相关参数1. 半径：圆周运动的轨道是一个圆，半径表示物体离圆心的距离。
2. 角速度：角速度是指物体单位时间内绕圆心转过的角度，通常用弧度/秒（rad/s）表示。
3. 线速度：线速度是指物体的运动速度，即物体单位时间内沿圆周轨道走过的线段长度。
线速度与角速度之间存在简单的线性关系。
四、保持物体做圆周运动的力1. 向心力：向心力是指使物体保持圆周运动的力，它的方向指向圆心。
向心力的大小与物体的质量和半径成正比，与物体的角速度的平方成正比。
2. 引力：在地球表面上的物体做圆周运动时，向心力来自于重力，这种运动被称为圆周运动。
五、惯性力与非惯性力1. 惯性力：在物体做圆周运动时，如果观察者位于物体上，则观察者会感受到一个与运动方向相反的离心力，这个力被称为惯性力。
2. 非惯性力：在物体做圆周运动时，观察者所处坐标系受到了加速度，因此需要引入一个与观察者加速度相反的力来平衡，这个力被称为非惯性力。
六、应用场景圆周运动广泛应用于各个领域，如天体运动、车辆转弯、行星公转等。
在机械工程中，圆周运动的概念和原理被广泛应用于传动系统和转动部件的设计与分析。
总结：圆周运动是物体围绕一个固定轴进行的运动形式，具有固定轨道形状、垂直的运动方向以及周期和频率等特征。
物体在圆周运动中保持相对于轴点的距离恒定，而向心力起到了保持物体做圆周运动的作用。
圆周运动的基本知识
圆周运动的基本知识圆周运动是物体沿着一个圆形轨道做匀速运动的过程。
它在物理学中具有重要的地位，并且在许多实际应用中都有广泛的应用。
本文将从圆周运动的定义、特性以及相关公式等方面进行探讨，以帮助读者更好地理解圆周运动的基本知识。
一、圆周运动的定义圆周运动是指物体在一个固定圆周轨道上做匀速运动的过程。
在圆周运动中，物体围绕圆心O做运动，轨迹形成一个圆形。
这个圆形的半径称为圆周运动的半径，记作R。
物体从起始点开始，经过一定时间后回到起始点，完成一个完整的圆周运动。
二、圆周运动的特性1. 圆周运动的速度恒定：圆周运动的速度在整个运动过程中保持不变。
物体沿着圆周轨道匀速运动，其速度大小始终保持不变。
2. 圆周运动的加速度始终指向圆心：在圆周运动中，物体的运动方向发生改变，因此存在加速度。
这个加速度的方向始终指向圆心，与物体在圆周轨道上的位置有关。
3. 圆周运动的周期：圆周运动的周期是指物体完成一个完整圆周运动所需要的时间。
圆周运动的周期与物体的速度和圆周的半径有关，可以用公式T=2πR/v来表示，其中T表示周期，π表示圆周率，R表示半径，v表示速度。
三、圆周运动的相关公式1. 圆周运动的速度公式：圆周运动的速度可以用公式v=2πR/T表示，其中v表示速度，R表示半径，T表示周期。
根据这个公式，我们可以通过已知半径和周期来计算圆周运动的速度。
2. 圆周运动的加速度公式：圆周运动的加速度可以用公式a=v²/R表示，其中a表示加速度，v表示速度，R表示半径。
根据这个公式，我们可以通过已知速度和半径来计算圆周运动的加速度。
3. 圆周运动的向心力公式：在圆周运动中，物体受到的向心力也是非常重要的。
向心力可以用公式F=mv²/R表示，其中F表示向心力，m表示物体的质量，v表示速度，R表示半径。
根据这个公式，我们可以通过已知质量、速度和半径来计算圆周运动的向心力。
四、圆周运动的应用1. 行星绕太阳的圆周运动：根据万有引力定律，行星绕太阳做圆周运动。
圆周运动
圆周运动质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动，即质点运动时其轨迹是圆周的运动叫“圆周运动”。
它是一种最常见的曲线运动。
例如电动机转子、车轮、皮带轮等都作圆周运动。
圆周运动分为，匀速圆周运动和变速圆周运动（如：竖直平面内绳/杆转动小球、竖直平面内的圆锥摆运动）。
在圆周运动中，最常见和最简单的是匀速圆周运动（因为速度是矢量，所以匀速圆周运动实际上是指匀速率圆周运动）。
匀速相关公式1、v(线速度)=L/t=2πr/T=ωr=2πrf=2πnr(L代表弧长，t代表时间，r代表半径，n为频率，ω为角速度)2、ω(角速度)=θ/t=2π/T=2πf（θ表示角度或者弧度）3、T（周期）=2πr/v=2π/ω4、f（频率）=1/T6、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^27、an（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2一、水平面内的圆周运动的两种模型模型Ⅰ圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图1所示．物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力(设最大静摩擦力等于摩擦力)提供小物块做圆周运动所需的向心力．水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”．图1摩擦力提供向心力临界条件圆台转动的最大角速度ωmax=，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道．模型Ⅱ火车拐弯类如图2 所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力．圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”．合力提供向心力图2临界条件若v=，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v>，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力．二、两种模型的应用例1 如图3所示，半径为R的洗衣筒，绕竖直中心轴00'转动，小橡皮块P靠在圆筒内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ.现要使小橡皮块P恰好不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为多大?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图3 图4【解析】此题属于“圆台转动类”，当小橡皮块P绕轴00'做匀速圆周运动时，小橡皮块P受到重力G、静摩擦力f和支持力N的作用，如图4所示.其中“恰好”是隐含条件，即重力与最大静摩擦力平衡f max=G，μN=mg列出圆周运动方程N=mω2min R联立解得ωmin=例2 在半径为R的半球形碗的光滑内面，恰好有一质量为m的小球在距碗底高为H处与碗保持相对静止，如图5所示．则碗必以多大的角速度绕竖直轴在水平面内匀速转动?图5【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小球做匀速圆周运动时，其受到重力G和支持力F的作用，如图5所示.隐含条件一是小球与碗具有相同的角速度ω，隐合条件二是小球做匀速圆周运动的半径r=Rcosθ．列出圆周运动方程Fcosθ=mω2Rcosθ竖直方向上由平衡条件有Fsinθ-mg=0其中 sinθ=联立解得ω=例3 长度为2l的细绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为l的A、B两点，一质量为m的光滑小圆环套在细绳上，如图6所示．则竖直棒以多大角速度匀速转动时，小圆环恰好与A点在同一水平面内?图6【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小圆环做匀速圆周运动时，小圆环受到重力G、绳OB的拉力F和绳OA的拉力F的作用，如图7所示图7隐含条件一是小圆环与棒具有相同角速度ω，隐含条件二是小圆环光滑，两侧细绳拉力大小相等，隐含条件三是小圆环做匀速圆周运动的圆心为A点、半径为r(OA)．列出圆周运动方程 F+Fcosθ=mω2r由平衡条件有 Fsinθ-mg=0其中 cosθ=，sinθ=联立解得ω=练习1，如图所示，半径为R半球形碗表面光滑，一质量为m小球以角速度ω在碗一做匀速，求小球所做轨道平面离碗底距离h．如图所示，用长为L细线拴一个质量为m小球，使小球在做匀速，细线与竖直方向间夹角为θ，求：（1）细线拉力F；（2）小球周期T3、如图8所示，质量均为m的A、B两物体用细绳悬着，跨过固定在圆盘中央光滑的定滑轮．物体A与圆盘问的动摩擦因数为μ，离圆盘中心距离R．为使物体A与圆盘保持相对静止，则圆盘角速度ω的取值范围为多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）图84、如图9所示，长度分别为l1和l2两细绳OA、OB，一端系在竖直杆，另一端系上一质量为m的小球，两细绳OA和OB同时拉直时，与竖直杆的夹角分别为30°、45°.则杆以多大角速度转动时，两细绳同时且始终拉直？绳模型底部速度杆模型底部速度例题解析轻绳模型例题1、用细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内作圆周运动，则下列说法中，正确的是 [ ]A．小球过最高点时，绳子中张力可以为零B．小球过最高点时的最小速度为零C．小球刚好过最高点时的速度是D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反2、质量为m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受拉力之差是： [ ]A、6mgB、5mgC、2mgD、条件不充分，不能确定3、小球在竖直放置的光滑圆轨道内做圆周运动，圆环半径为r，且刚能通过最高点，则球在最低点时的速度和对圆轨道的压力分别为： [ ]A、4rg，16mgB、，5mgC、2gr，5mgD、，6mg4、图所示，在倾角α=30°的光滑斜面上，有一根长L=0.8m的细绳：一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆周运动，试计算：（1）小球通过最高点A的最小速度。
圆周运动的公式
圆周运动的公式圆周运动是指在一个圆周上的物体在一定的时间内所运动的距离。
圆周运动的公式是运动物体所运动的距离 S 等于运动物体所经过的角度θ 与圆周的半径 R 的乘积，即 S = θ x R。
圆周运动的角度单位可以是度数或弧度，其中弧度是更常用的单位。
弧度定义为圆周上对应的圆心角所对的弧长与圆的半径之比。
一弧度等于圆周的 $\frac{1}{2\pi}$，也就是说，在一个完整的圆周中，弧度的值为 $2\pi$。
圆周运动的公式也可以表示为速度和时间的关系。
速度等于距离与时间的比值，即 v = S/t，因此，圆周运动的公式也可以表示为v = θ x R/t。
这里的时间单位可以是秒，也可以是任何其他单位的时间。
除了速度，圆周运动还有其他的物理量，如加速度和力。
加速度等于速度的变化率，即 a = dv/dt。
在圆周运动中，由于物体在方向上的速度不断变化，因此加速度的方向也会发生变化。
在圆周运动上，加速度的大小等于速度的平方与圆的半径的比值，即 a = v^2/R。
另一方面，圆周运动还涉及到力的概念。
牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用于物体上的力成正比，即 F = m x a。
在圆周运动中，力的方向与加速度的方向相同或相反，因此力可以表示为 F = m x a = m x (v^2/R) 或 F = m x(v^2/R)。
在实际应用中，圆周运动的公式可以用于计算各种运动物体的运动轨迹、速度和加速度，从而提供有关物体运动的详细信息。
这个公式在机械工程、物理学和其他领域中应用很广泛，是理解和解决许多机械和物理问题的基础。
圆周运动的基本概念与公式推导
圆周运动的基本概念与公式推导一、圆周运动的基本概念1.圆周运动：物体沿着圆周轨道运动的现象称为圆周运动。
2.圆心：圆周运动的中心点，通常用O表示。
3.半径：从圆心到圆周上任意一点的线段，用r表示。
4.角速度：描述圆周运动快慢的物理量，表示单位时间内物体绕圆心转过的角度，用ω表示。
5.周期：圆周运动一次完整往返所需要的时间，用T表示。
6.频率：单位时间内圆周运动的次数，与周期互为倒数，用f表示。
二、圆周运动的公式推导1.线速度公式：线速度（v）= 半径（r）× 角速度（ω）2.角速度与周期的关系：角速度（ω）= 2π / 周期（T）即ω = 2π / T3.向心加速度公式：向心加速度（a）= 半径（r）× 角速度的平方（ω²）即a = rω²4.向心力公式：向心力（F）= 质量（m）× 向心加速度（a）即F = ma = mrω²三、圆周运动的分类1.匀速圆周运动：角速度恒定的圆周运动。
2.非匀速圆周运动：角速度变化的圆周运动。
四、圆周运动的应用1.匀速圆周运动的应用：2.非匀速圆周运动的应用：–匀速圆周运动的加速器五、注意事项1.在研究圆周运动时，要区分角速度、线速度、向心加速度和向心力等概念，并理解它们之间的关系。
2.注意圆周运动的分类，掌握匀速圆周运动和非匀速圆周运动的特点及应用。
3.在实际问题中，要根据题目条件选择合适的公式进行分析。
习题及方法：1.习题：一个物体在半径为2m的圆形轨道上做匀速圆周运动，角速度为2rad/s，求物体的线速度和向心加速度。
根据线速度公式v = rω，将给定的半径 r = 2m 和角速度ω = 2rad/s 代入公式，得到物体的线速度：v = 2m × 2rad/s = 4m/s根据向心加速度公式a = rω²，将给定的半径 r = 2m 和角速度ω = 2rad/s 代入公式，得到物体的向心加速度：a = 2m × (2rad/s)² = 8m/s²答案：物体的线速度为4m/s，向心加速度为8m/s²。
圆周运动
圆 周 运 动
圆周运动是一种常见的运动
圆周运动
一、圆周运动的概念
物体的运动路线（轨迹）是圆周（或圆 周的一部分）的运动叫圆周运动。
圆周运动
二、生活中的圆周运动
砂轮上每一点在转动过程中都做圆周运动
圆周运动
二、生活中的圆周运动
圆周运动
二、生活中的圆周运动
圆周运动
二、生活中的圆周运动
圆周运动
A
O
或r/min
1 n T
圆周运动
四、描述圆周运动快慢各量的关系
1、线速度与周期
A r
O
l v t
若t T , l 2r
2r v T
圆周运动
四、描述圆周运动快慢各量的关系
2、角速度与周期
A r
O
t
若t T , 2
2 T
圆周运动
四、描述圆周运动快慢各量的关系
G
G
圆周运动
六、匀速圆周运动的合外力 2、合外力的大小
v a r
2
v2 F ma m r
(1)
又v r
2r 又v T
F mr
2
(2)
(3)
4 r F m 2 T
2
圆周运动
六、匀速圆周运动的合外力 3、感受向心力的大小
（1）手握绳结A，每秒1周。感 受绳子拉力大小。 （2）手握绳结B，每秒1周。感 受绳子拉力大小。 （3）手握绳结A，每秒2周。感 受绳子拉力大小。
圆周运动
三、描述圆周运动快慢的物理量
3、周期
物体做圆周运动的快 慢还可以用它绕圆周运 动一周的时间表示。
物体沿圆周运动，它 绕圆周运动一周的时间 叫做它的周期T。
生活中圆周运动
03
通过微积分可以计算圆周运动的轨矢量运算在处理复杂问题时的作用
描述圆周运动的物体的位置和速度
矢量运算可以用来描述圆周运动的物体的位置和速度，通过矢量的加法和减法可以得到物体在不 同时刻的位置和速度。
分析圆周运动的合成和分解
通过矢量运算可以分析圆周运动的合成和分解，如将复杂的圆周运动分解为简单的匀速直线运动 和匀变速直线运动的合成。
03
钟表、指南针等日常用品
钟表指针的旋转、指南针的指向都涉及圆周运动，这些日常用品的设计
和使用都离不开圆周运动原理。
促进科技发展，推动社会进步
航天器轨道设计
航天器的轨道设计需要精确计算和控制圆周运动的参数， 以确保航天器能够按照预定轨道稳定运行，这对于人类的 太空探索和科学研究具有重要意义。
精密机械制造
三角函数在圆周运动中应用
1 2
描述匀速圆周运动的物体的位置
三角函数可以用来描述匀速圆周运动的物体在某 个时刻的位置，通过角度和半径的关系，可以准 确地确定物体的坐标。
分析圆周运动的周期性
三角函数具有周期性，因此可以用来分析圆周运 动的周期性，如转速、周期、频率等。
3
计算向心加速度和向心力
在向心加速度和向心力的计算中，需要用到三角 函数的导数和积分，以及三角函数之间的关系， 如正弦定理、余弦定理等。
波动可以通过不同的介质进行传播，如固体、液体和气体。在传播过程中，波动会遵循一定的传播规 律，如反射、折射和衍射等。此外，波动的传播速度会受到介质性质的影响。
曲线运动在自然界和人类活动中的普遍性
自然界中的曲线运动
地球围绕太阳公转、月亮围绕地球旋转 、行星的自转等都是自然界中的曲线运 动现象。这些运动遵循着天体物理学的 规律，呈现出周期性和稳定性。
6.1圆周运动课件(共20张PPT)
C．va：vc：vd = 1∶1 ∶2
D．va：vb：vd = 2∶1 ∶4
)
四、传动方式分析
【例题5】如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球
转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要
使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？
四、传动方式分析
【例题6】如图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。
当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的
是(
)
A. a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
四、传动方式分析
【例题7】如图所示，一个半径为R的圆环绕中心轴AB以一
s
Hz 或 s-1
物理意义
关系
描述物体做圆周运动的快慢
三、匀速圆周运动
v
定义：线速度的大小处处相等的圆周运动。
思考与讨论
匀速圆周运动中的“匀速”指的是什么意思？
v
匀速圆周运动——匀速率圆周运动
线速度大小、角速度，周期、频率、转速均恒定不变
o
v
三、匀速圆周运动
【例题1】对于做匀速圆周运动的物体，下列说法不正确的是(
ω1、ω2、ω3。则 (
A. r1ω1= r2ω2
B. r1ω1= r3ω3
C. ω1=ω2=ω3
D. ω1=ω2+ ω3
)
定的角速度匀速转动，下列说法正确是(
)
A．P、Q两点的角速度相同
B．P、Q两点的线速度相同
C．P、Q两点的轨道半径之比为1∶ 3
圆周运动公式
圆周运动公式引言圆周运动是物理学中常见的一种运动形式，它是指一个物体沿着一个圆形轨迹运动的过程。
在圆周运动中，物体具有向心加速度，存在着一系列的运动规律和公式。
本文将介绍圆周运动的基本概念以及相关的公式。
基本概念在圆周运动中，有几个基本的概念需要了解：1.圆周：圆形轨迹的周长，用C表示。
2.弧长：圆弧上的一段距离，用s表示。
3.角度：用角度来度量弧长与半径之间的关系。
一周的圆弧长度是360度。
4.角速度：用角速度来表示物体绕圆心旋转的快慢，用ω（omega）表示，单位是弧度/秒（rad/s）。
圆周运动公式1. 弧长公式在圆周运动中，我们可以通过圆周的弧长来描述物体在一段时间内走过的距离。
通过测量得到的圆周弧长可以计算出物体的速度。
弧长公式为：s = r * θ其中，s是弧长，r是圆的半径，θ是物体在圆周上所对应的角度。
2. 角速度公式角速度用来描述物体绕圆心旋转的快慢程度，是角位移对时间的比值。
角速度公式为：ω = Δθ / Δt其中，ω是角速度，Δθ是角位移，Δt是时间间隔。
3. 周期和频率周期和频率是描述圆周运动的重要概念。
周期表示物体完成一次圆周运动所需的时间，用T表示。
频率表示单位时间内完成的圆周运动次数，用f表示。
周期和频率的关系可以通过以下公式计算：T = 1 / f4. 向心加速度在圆周运动中，物体受到了向心力的作用，产生向心加速度。
向心加速度公式为：a = ω^2 * r其中，a是向心加速度，ω是角速度，r是物体到圆心的距离。
5. 线速度和角速度之间的关系线速度表示物体在圆周运动中沿着圆周的速度大小。
线速度和角速度之间的关系公式为：v = ω * r其中，v是线速度，ω是角速度，r是物体到圆心的距离。
6. 离心加速度在圆周运动中，物体也会受到离心力的作用，产生离心加速度。
离心加速度公式为：a' = ω^2 * r其中，a’是离心加速度，ω是角速度，r是物体到圆心的距离。
总结本文介绍了圆周运动的基本概念和相关公式，包括弧长公式、角速度公式、周期和频率、向心加速度、线速度和角速度之间的关系以及离心加速度。
圆周运动公式有哪些
圆周运动公式有哪些
质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动，即质点运动时其轨迹是圆周的运动叫圆周运动。
下面是高中物理中关于圆周运动的公式整理，一起来看吧！
1圆周运动公式
1、v（线速度）=S/t=2πr/T=ωr=2πrf (S代表弧长，t 代表时间，r代表半径) 。
2、ω（角速度）=θ/t=2π/T=2πn （θ表示角度或者弧度）。
3、T（周期）=2πr/v=2π/ω 。
4、n（转速）=1/T=v/2πr=ω/2π 。
5、Fn（向心力）
=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^2 。
6、an（向心加速度）
=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2 。
7、vmax（过最高点时的最小速度）=√gr （无杆支撑）。
2圆周运动的特点
匀速圆周运动的特点：轨迹是圆，角速度，周期，线速度的大小(注：因为线速度是矢量，"线速度"大小是不变的，而方向时时在变化)和向心加速度的大小不变，且向心加速度方向总是指向圆心。
线速度定义：质点沿圆周运动通过的弧长ΔL与所用的时间Δt的比值叫做线速度，或者角速度与半径的乘积。
线速度的物理意义:它是描述质点沿圆周运动速度的矢量。
角速度的定义:半径转过的弧度（弧度制：360°=2π）与所用时间t的比值。
（匀速圆周运动中角速度恒定）
周期的定义:物体做匀速圆周运动旋转一周所需的时间。
转速的定义:物体做匀速圆周运动时，单位时间内旋转的圈数。
高中物理中的圆周运动
高中物理中的圆周运动圆周运动是高中物理学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，如天体运动、机械运动等。
本文将从定义、特点、应用等方面进行探讨，以帮助读者更好地理解圆周运动。
一、定义圆周运动是指物体在固定点作圆形轨迹运动的过程。
在这个过程中，物体的运动方向始终垂直于轨迹半径，速度大小保持不变，从而形成一个稳定的周期性运动。
二、特点1. 运动轨迹：圆周运动的运动轨迹为圆，即物体绕着一个固定点做匀速圆周运动。
2. 运动方向：圆周运动的运动方向始终垂直于轨迹半径，即与圆的切线方向垂直。
3. 速度不变：在圆周运动中，物体的速度大小保持不变。
由于物体的运动方向发生改变，所以速度具有方向性，称为瞬时速度。
4. 加速度存在：虽然速度大小不变，但由于物体方向发生改变，因此存在加速度。
这个加速度被称为向心加速度，它的方向指向轨迹的中心。
三、应用1. 天体运动：行星绕着太阳运动、卫星绕着行星运动等都是圆周运动。
根据开普勒定律，行星绕太阳的轨道是椭圆形，但当椭圆轨道的离心率趋近于零时，行星的轨道近似为圆形，表现出圆周运动的特征。
2. 机械运动：圆周运动在机械系统中得到广泛应用。
例如，汽车转向时，车轮绕着其转轴做圆周运动；风扇转动时，扇叶围绕转轴做圆周运动。
这些运动的设计和分析都涉及到圆周运动的概念。
3. 地理运动：地球绕太阳运动也是一种圆周运动。
地球绕太阳的轨道是近似圆形的，这种圆周运动导致了地球的季节变化、日照时间的长短等自然现象。
四、公式推导与分析圆周运动涉及到许多重要的公式和物理量，包括角速度、角加速度、向心力等。
下面为简要的推导过程：1. 角速度（ω）：角速度是描述物体角度变化率的物理量，定义为单位时间内物体通过的角度。
在圆周运动中，角速度等于弧长与半径的比值，即ω = v / r，其中v为物体的线速度，r为轨道半径。
2. 角加速度（α）：角加速度是描述角速度变化率的物理量，定义为单位时间内角速度的改变量。
在圆周运动中，角加速度等于线加速度与半径的比值，即α = a / r，其中a为物体的线加速度。
圆周运动
圆周运动一、圆周运动的描述1、圆周运动：指物体沿着圆周的运动，即物体运动的轨迹是圆；（1）圆周运动是个变速运动，位移、速度方向时刻在改变；（2）圆周运动的原因：受到合力与速度方向不再一条直线上，沿垂直速度方向的力改变其方向，沿速度方向改变大小；圆周运动方向改变的程度一样，所以垂直于速度方向上的力，大小不变，方向沿半径指向圆心，改变速度方向程度一样，而言速度方向里随意变化；（3）圆周运动是个非匀变速曲线运动；因为其受到的力时刻在改变着；2、线速度：物体沿圆周运动时在△t时间内通过的弧长为△s,那么它们的比值就是物体做圆周运动的线速度，用v表示，则v=△s/△t；（1）物理意义：它是表述物体做圆周运动的运动快慢的物理量，只是以弧长变化角度来描述的；（2）线速度有平均线速度和瞬时线速度之分：当△t较大则表示平均线速度，当△t足够小时得到的就是瞬时线速度；（3）线速度是个矢量：大小为v=△s/△t，单位为m/s；方向是物体在圆周运动某点的线速度方向为该点的切线方向，即线速度方向一定是垂直于圆周的半径，和圆弧相切；3、匀速圆周运动：线速度的大小处处相等的圆周运动就是匀速圆周运动；（1）匀速圆周运动是一种变速运动，速度大小不变，方向时刻在改变，这里的“匀速”指的是其速率不变；（2）有曲线运动的原理可得，匀速圆周运动物体受到的合外力，时刻都是沿圆周的半径方向，指向圆心，方向不变，去改变物体运动的方向，速度反方向上没有分力所以速率不变；（3）匀速圆周运动是非匀变速曲线运动，合外力时刻改变，速度的变化量时刻在改变，有匀速圆周运动受力特点可得，速度变化量的大小不变，方向沿半径方向指向圆心时刻在改变。
4、角速度：物体在△t时间内有A点运动到B，半径OA在这段时间内转到半径OB，其角度变化△Q，他与时间△t之间的比值叫做物体圆周运动的角速度，用w来表示，即w= （1）物理意义：描述物体圆周运动的转动快慢的物理量，只是在转动角度方面描述；（2）角速度是个矢量：大小为△Q/△t，单位为弧度每秒，符号rad/s，弧度表示的是角度的大小，其大小为弧长△s比上半径R；方向是垂直于圆面（右手定则判断）；（3）匀速圆周运动：是角速度不变的圆周运动，注意匀速圆周运动线速度时刻在改变；5、周期T、频率f和转速n（1）周期T：做圆周运动的物体，转过一周所用的时间就是匀速圆周运动的周期；单位s, （2）频率f：做圆周运动的物体，在1s内转过的圈数叫做频率，用f表示，单位1Hz=1/s；（3）转速n:做圆周运动的物体，在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转数，用n表述，单位为r/s或r/min；①他们都是表述物体圆周运动快慢的物理量，只是在转过的圈数上来不同定义；②匀速圆周运动的周期、频率和转速都是固定不变的；二、描述圆周运动各种物理量间的关系（匀速圆周运动）1、线速度和角速度间关系：v =rw 或w=v/r(推到以整个圆来推导)；由此可得：（1）半径相同时：线速度大的角速度也大，角速度大的线速度也大，且成正比；如图（一条直线，x轴为w，y周围v）；（2）当角速度相同时，半径大的线速度大且成正比（如图x轴r,y轴v）；（3）当线速度相同时，半径大角速度小，半径小角速度大，且成反比（如图：当x周围1/r 时，y轴为w,是一条直线；当x轴为r时，y轴为w时，是反比函数）；2、线速度与周期的关系：v=2﹠r/T（推导过程一个周期来推到）；由此可得只有当半径相同时，周期小的线速度大，当半径不同，周期小的线速度不一定大，所以线速度和周期表述圆周运动快慢是不一样的；3、角速度和周期关系：w=2﹠/T，(推导与前面一样)；角速度和周期一定成反比，周期大的角速度一定小；所以周期和角速度描述匀速圆周运动快慢是一样的；4、w=2﹠fv=2﹠frf=nv=wr=2﹠/Tr=2﹠fr=2﹠nr三、常见的转动装置1、共轴转动：如图，物体在以同心的半径不同的圆盘上的运动；两盘转动方向相同；（1）当圆盘转动时由于是同一个圆盘，其不同半径上任意一点出的角速度相同，转动周期相同，都等于圆盘的转动周期和角速度；（2）线速度与半径成正比；2、皮带转动：如图，皮带套着两个圆盘转动过程；注意过程皮带不打滑，（1）在两轮的边缘上任意一定的线速度大小都相同，都等于皮带本身的线速度，原因是由于他们都是由皮带的转动所带动的；（2）两圆盘边缘角速度、周期根据其各自半径，和线速度计算即可；（3）同一个盘上，由于已知边缘线速度，再根据前面共轴转动过程求解即可；3、齿轮转动：如有图，两盘由于边缘齿轮相互作用而转动；两盘转动方向相反；具体原理同皮带转动情况一样处理；四、题型和练习：本节题型（1）匀速圆周运动概念的理解（2）描述匀速圆周运动物理量见关系的计算主要是三种转动装置应用，（3）有关匀速圆周运动的计算1、关于匀速圆周运动线速度、角速度、周期说法正确的是：A线速度大角速度一定大B线速度大周一一定小C角速度大的半径一定小D角速度大的周期一定小（D）2、质点匀速圆周运动则A在任何相等时间内，质点位移相等B任何相等时间内，质点通过路程都相等C任何相等时间内质点运动的平均速度都相等D任何相等时间内，链接质点和圆心的半径转过的角速度相等（BD）3、质点做匀速圆周运动，不变的物理量是A速度B速率C角速度D加速度（BC）4、如图皮带带动两个轮，a、b分别是两轮边缘的两点，c点在O1轮上，且有ra=2rb=2rc，则有A va=vb B wz=wb C va=vc D wa=wc (AD)5、如图BC两轮固定与同一转轴上，C轮半径为B轮半径的两倍，A、B两轮有一个皮带带着转动，且A轮半径是B轮的两倍，皮带不打滑，球A、B、C轮边缘上的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比？6、设一个半径为R的圆盘水平放置，并绕其中心竖直方向的轴做匀速圆周运动；现有一小球在圆盘中央中心正上方高h处沿OB方向水平抛出，要使小球下落到B点，问盘转动的角速度和小球的水平速度各是多少？。
物理学中的圆周运动
物理学中的圆周运动在物理学中，圆周运动是一种常见且重要的运动形式。
它在生活中的应用广泛，涵盖了机械、光学、电磁学等多个领域。
本文将从圆周运动的定义、基本概念、动力学原理、应用等方面进行探讨，深入了解物理学中的圆周运动。
一、圆周运动的定义与基本概念在物理学中，圆周运动指的是一个物体在半径相等、运动轨迹为圆形的路径上运动的情况。
圆周运动是一种二维运动，它可以由角度、角速度、角加速度等来描述。
圆周运动的基本概念包括圆心、半径、圆周、角度、弧长等。
其中，圆心是圆的中心点，半径是圆心到圆周上任意一点的距离，圆周是圆的边界，角度是用来描述圆周上的位置，弧长是圆周上两个角之间的弧所对应的弧长。
二、圆周运动的动力学原理圆周运动的动力学原理可以用牛顿的运动定律来描述。
根据牛顿第一定律，一个物体如果受到合力的作用，将会产生加速度。
在圆周运动中，物体受到的合力是向心力。
向心力是指一个物体以一定速度在圆周路径上运动时，指向圆心的力。
向心力的大小与物体的质量、半径和角速度有关。
根据牛顿第二定律，一个物体的加速度与作用在它上面的合力成正比，并与物体的质量成反比。
在圆周运动中，向心加速度与向心力成正比，与物体的质量成反比。
向心加速度的大小可以用公式 a = v^2/r来计算，其中，a 表示向心加速度，v 表示速度，r 表示半径。
根据牛顿第三定律，任何一个作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。
在圆周运动中，当物体受到向心力向圆心运动时，圆心也会受到物体对应大小、方向相反的反向力。
这个反向力被称为离心力，是一个指向圆周外的力。
离心力的大小与向心力相等，方向相反。
三、圆周运动的应用1. 机械领域：圆周运动在机械领域中有着重要的应用。
例如汽车转向时的转弯、摩托车盘旋行驶、转盘的运动等都涉及到圆周运动。
在这些应用中，通过对力、速度、半径等参数的控制，可以实现所需的圆周运动，进而满足实际需求。
2. 光学领域：在光学领域中，圆周运动也起着重要的作用。
大学物理圆周运动
圆周运动的分类
总结词
圆周运动可以根据不同的分类标准进行分类，如匀速圆周运动和变速圆周运动。
详细描述
匀速圆周运动是指物体在转动过程中角速度保持不变的运动，其特点是线速度的 大小不变，只有方向改变。变速圆周运动是指物体在转动过程中角速度发生变化 的运动，其特点是线速度的大小和方向都可能改变。
02
匀速圆周运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 匀速圆周运动的定义
总结词
匀速圆周运动是指物体沿着圆周路径做等速运动，即线速度大小恒定，方向时刻改变。
详细描述
匀速圆周运动是圆周运动的一种特殊形式，其特点是线速度的大小恒定，方向始终沿着圆周的切线方 向。匀速圆周运动中，物体的加速度大小恒定，方向始终指向圆心，即向心加速度的大小恒定，方向 始终与线速度垂直并指向圆心。
圆周运动的描述
总结词
圆周运动可以通过角速度、角加速度、转速等物理量进行描述。
详细描述
角速度是描述圆周运动快慢的物理量，单位为弧度/秒，其值等于物体转动一周所需的时间。角加速度是描述圆 周运动加速度的物理量，单位为弧度/秒²，表示物体转动过程中角速度的变化率。转速是描述圆周运动频率的物 理量，单位为转/分，表示物体每分钟转动的圈数。
03
非匀速圆周运动
非匀速圆周运动的定义
特点
加速度不指向圆心，存在 切向加速度和法向加速度 。
非匀速圆周运动
与匀速圆周运动相对，速 度大小或方向发生变化的 圆周运动。
切向加速度
改变速度大小，不改变速 度方向。
法向加速度
改变速度方向，不改变速 度大小。
非匀速圆周运动的描述
描述参数
线速度、角速度、周期、频率、向心加速 度等。
离心力的计算
圆周运动
圆周运动一、 线速度1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。
2．定义式：v ＝ΔsΔt。
3．标、矢性：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。
4．匀速圆周运动(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动。
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动。
二、 角速度1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。
2．定义式：ω＝ΔθΔt。
3．单位：弧度每秒，符号是rad/s 或rad·s －1。
4．匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
三、 线速度与角速度的关系1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
2．关系式：v ＝ωr 。
1、甲、乙两同学都在参加体育锻炼，甲沿着半径为R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R 的圆周跑道匀速跑步。
在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度大小分别是ω1、ω2。
则( )A ．ω1＞ω2B ．ω1＜ω2C ．ω1＝ω2D ．无法确定2、一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s ，转动周期为2 s ，则不正确的是( ) A ．角速度为0.5 rad/s B ．转速为0.5 r/sC ．运动轨迹的半径为1.27 mD ．频率为0.5 Hz3、甲、乙两物体都做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是( ) A ．若它们的线速度相等，角速度也一定相等 B ．若它们的角速度相等，线速度也一定相等 C ．若它们的周期相等，角速度也一定相等 D1、图5-4-5所示为皮带传动装置，皮带轮为O 、O ′，R B ＝12R A ，R C ＝23R A ，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A 、B 、C 三点的角速度之比、线速度之比、周期之比。
2、如图5-4-7所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3。
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√A.此时绳子张力为3μmg
B.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
√C.此时圆盘的角速度为
2μg r
D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
图16
变式2：如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的 可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴 OO′转动.三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦 力等于滑动摩擦力.三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现 将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力.当圆盘 从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程， 下列说法正确的是
线速度
定义、意义
①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v) ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) 角速度 ②中学不研究其方向
公式、单位 ①v＝ΔΔst＝2Tπr
②单位：m/s
①ω＝ΔΔθt ＝2Tπ ②单位： rad/s
①周期是物体沿圆周运动一圈的时间 ①T＝；单位：s
命题点一 圆周运动的运动学问题
1.对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比.
当ω一定时，v与r成正比.
当v一定时，ω与r成反比.
2.对an＝vr2 ＝ω2r的理解
图3
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比.
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线
v2， r
FN指向圆心并随v的增大而增大
命题点三 圆周运动中的两类临界问题（水平面与斜面相关的圆周运动问题）
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力.
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝mv，2 静摩擦力的方向一定
指向圆心.
r
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个
速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所
示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时
，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
图4
(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ ωB，由v＝ωr知v与r成正比.
图5
圆周运动的动力学问题
Fn=man
an＝v2/r＝rω2＝ωv＝(4π 2r)/T2=4π2f2r
物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别
为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.
2.与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零. (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力.
三、离心运动和近心运动
第五章 曲线运动
第 三 节 圆周运动
圆周运动的运动学问题
一、圆周运动分类
1.合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
匀速圆周运动：线速度大小不变的圆周运动．
2.合力方向不指向圆心
合力沿半径方向的分量Fn
合力沿速度方向的分量Ft
非匀速圆周运动：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动
2.描述圆周运动的运动学参量
圆周运动需要的向心力.
练一：
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的 A点和C点，如图所示，当轻质木架绕轴BC以角速度ω 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在 竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时 ，绳b被烧断的同时木架停止转动，则
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大 C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的 竖直平面内摆动 D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动
②能过最高点时，v≥ gr，FN＋mg
＝m
v2 r
，绳、轨道对球产生弹力FN
持力，沿半径背离圆心
②当0<v< gr 时，－FN＋mg ＝m vr2，FN背离圆心，随v的增 大而减小
③不能过最高点时，v< gr，在到
达最高点前小球已经脱离了圆轨道 做斜抛运动
③当v＝ gr时，FN＝0
④当v>
gr 时，FN＋mg＝m
变式1：
一根不可伸长的长为l的细绳一端固定在O点，另一端 连接一个质量为M的沙摆，沙摆静止。如图3所示，一 个质量为m的子弹以初速度沿水平方向射入沙摆而未 穿出，若子弹射入时间忽略不计，求沙摆上摆的最大 高度。
变式2：
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物 体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l，现将该弹簧水平放置 ，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道 ，B端与半径l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径RD竖直，如图所示，物 块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然 后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g． ⑴若P的质量为m，求P到达B点时的速度的大小，以及它离开圆轨道后落回 到AB上的位置与B点之间的距离；
综合练习2 (多选)(2018·江西省吉安市模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系
于一轻质细杆的A点和B点，如图17所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方
向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周
运动，则下列说法正确的是
√A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少； （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形 轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离
练二：
(多选)如图14所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用
长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运
动所需向心力的情况下，就做 逐渐远离 圆心的运动.
2.受力特点(如图1)
(1)当F＝0时，物体沿 切线 方向飞出；
(2)当F<mrω2时，物体逐渐远离 圆心；
(3)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做 近心 运动.
图1
3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力 小于 做匀速
√D.ω 在 0<ω< 23KLg范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大
变式1 (多选)如图16所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳
相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA ＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好 要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是
或等于零
等于零或向上
最 高 受力示意图 点
力学特征
临界特征 过最高点条件
mg＋FN＝m
v2 r
FN＝0，vmin＝ gr v≥ gr
mg±FN＝m
v2 r
竖直向上的FN＝mg，v＝0 v≥0
速度和弹 力关系讨 论分析
①恰好过最高点时，v＝ gr，mg＝ ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支
m vr2，FN＝0，绳、轨道对球无弹力
周期和转 (T)
②n的单位r/s，r/min
速
②转速是物体在单位时间内转过的 ③f的单位：Hz f＝
1
圈数(n)，也叫频率(f)
T
向心加 ①描述速度方向变化快慢的物理量(an) 速度 ②方向指向圆心
①an＝vr2＝ω2r
②单位：m/s2
相互 关系
①v＝rω＝2Tπr＝2πrf ②an＝vr2＝rω2＝ωv＝4Tπ22r＝4π2f2r
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少； （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形 轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离
轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹
√力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是 A.当 ω> 23KLg时，A、B 相对于转盘会滑动
√B.当 ω> K2Lg，绳子一定有弹力
图14
C.ω 在 K2Lg<ω< 23KLg范围内增大时，B 所受摩擦力变大
A.A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
√B.B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增
大后减小再增大
பைடு நூலகம்
√C.当ω2>
μg r
时整体会发生滑动
√D.当
μg 2r
<ω<
μg r
时，在ω增大的过程中B、C间的拉力不断增大
2 3 4 516 7 8 9
综合练习1 (多选)(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图11甲所示，用一轻质绳拴着一
√C.当角速度ω>
g ltan
θ
，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
图17
综合训练3
过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨 道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最 低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质 点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与 水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形 轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；