哈尔滨工业大学运筹学教案教案_排队论2

e Lq Ls Ls e
WS Ls
∴
Wq
2014-9-4
Lq
e
e
例2．某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队，无 座时将离去，顾客平均到达率为 3 人 /h ，理发时间平 均为15分钟，求： (1) 求某一顾客到达就能理发的概率; (2) 求需要等待的顾客数的期望值; (3) 求有效到达率; (4) 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间 平均值; (5) 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待 就离开？ 解： N=? N=6+1=7，λ =3，μ =4
2014-9-4
e 3 2.89 0.037 3
= 0.9629=96.29% 故拒绝的概率为3.71%
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
Ë ¦ Ì ¦ n+1
Ë ¦ Ì ¦
Ë ¦
Ë ¦ Ì ¦ Ì ¦
3
... ...Ì ¦
... ... N-1
N
´ Ì × ¬ × ª » Í ¼
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
在稳态情况下有：
P0 Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 0 Pn1 Pn1 ( )Pn 0
1
现在研究系统中有n个顾客的概率Pn(t)。
对于P0(t)，前面的（2）式仍然成立。
dP0 (t ) P0 (t ) P1 (t ) dt
………(2)
对于(1)式，当n=1,2,…N-1时，也仍能成立。
dPn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) ( ) Pn (t ) dt
但当n=N时，有下面两种情况：
……(1)
(n=1,2,…N-1)
2014-9-4
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
2
情 况 A B
时刻 t 的顾 客 N N-1
区间 [t, t+Δ t] 无离去 （肯定不到达） 一人到达（无离去）
时刻 t+Δ t 的顾客数 N N
概率
Pn(t)(1-μ Δ t) Pn-1(t)·λ Δ t
PN PN 1 0 解（9）式得： P 1 P 0 2 P2 P0
………
N
………(9)
PN P0
∵
n n P P P n 0 0 1 n 0 n 0 n 0
N 1 n
N
N
N
1 而等比数列 N 1 1 n 0
∴ PN (t t ) PN (t ) (1 t ) PN 1 (t )t
dPN (t ) PN (t ) PN 1 (t ) dt
其状态转移图为:
Ë ¦ 0 Ì ¦
2014-9-4
………(8)
Ë ¦ 1 Ì ¦ 2
Ë ¦ Ì ¦
Ë ¦
Ë ¦ n-1 Ì ¦ n
可以证明： 还可验证：
e (1 P0 )
e (1 PN )
此种情况的公式与 前类似,只有Ls不同,λ e 与λ 不同。求λ e必须 先求得P0或PN才行。
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239 6
( N 1) N 1 Ls 1 1 N 1
(3) 求有效到达率:
e (1 P0 ) 4 (1 0.2778 ) 2.89
(4) 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值 :
2014-9-4 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239 8
Ls 2.11 W 0.73 h 43.8 min s 顾客为何不等待 e 2.89 因为系统已
§3.2 系统容量有限制的模型 [M/M/1]：[N/∞/FCFS]
当系统容量最大为N时，排队多于N个的顾客将被拒绝。当 N=1时，即为损失制，N→∞时，即为容量无限制的情况。
排队系统 服务台 顾客 被拒绝 N … 4 3 2 1
2014-9-4
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
2014-9-4 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239 7
(1) 求某一顾客到达就能理发的概率:
1 1 0.75 P0 0.2778 N 1 8 1 1 0.75
(2) 求需要等待的顾客数的期望值:
( N 1) N 1 0.75 8 0.758 Ls 2.11 N 1 8 1 1 0.25 1 0.75 Lq Ls e 2.11 (1 P0 ) 2.11 (1 0.2778 ) 1.39
N N
练习试证ρ =1 时,Ls=N/2
N 1 1 N ( N 1 ) n n N 1 1 n0 1 1 N 1
2014-9-4
(ρ ≠1)
5
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
(2) 有效到达率λ e 系统容量有限，当满员时，顾客将被拒绝，实际 有效到达率为λ e。 的顾客到达率与λ 不一样，
2014-9-4
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
4
∴
1 P0 N 1 1 1 n Pn N 1 1
(ρ ≠1,n≤N)……(10)
注：当ρ =1时，试讨论其概率Pn。
其运行指标：
(1) 平均队长Ls：
1 n Ls n Pn n N 1 n0 n0 1
经满员 就离去？ Lq Wq 1.39 0.48h 28.86 min e 2.89
(5) 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？
1 1 0.75 N 7 P7 0 . 75 3.71% N 1 8 1 1 0.75
P0=0.27780 P1=0.20836 P2=0.15627 P3=0.11720 P4=0.08790 P5=0.06593 P6=0.04944