2016全国高考数学卷理科1压轴题第21题分析
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =（A ）)23,3(--（B ）)23,3(-（C ）)23,1(（D ）)3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +=故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ． （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是 （A ）π17（B ）π18（C ）π20 （D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ． （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C ）（D【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8）若1>>b a ，10<<c ，则（A ）ccb a <（B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b >⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2=（B ）x y 3=（C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， F ny y n x x =-+=,21ny x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31【解析】：如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11（B ）9（C ）7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
2016全国卷Ⅰ高考理科数学试卷及答案与解析(word版)培训课件
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（7） 函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A ）c c b a < （B ）c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）y （10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 点．已知24=AB ，52=DE ，则C （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016全国卷Ⅰ高考理科数学试卷及答案与解析(word版)
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （7） 函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为 （A ） （B ） （C （D ）（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A ）c c b a < （B ）cc ba ab <（C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）x y 5=（10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 的准线于D ,E 两点．已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考全国Ⅰ卷理科数学 【答案加解析】
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B（C（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99（C ）98（D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）43 （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c< （D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1， a 平面ABCD =m ， a 平面A 11ABB =n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 2 (B )2(C)3 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.(14)5(2x 的展开式中，x 3的系数是. （用数字填写答案）（15）设等比数列满足}{a n 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n的最大值为。
2016全国高考数学卷理科1压轴题第21题分析
(2016全国卷1理21题)已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点。
（1）求a 的取值范围。
（2）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：.221<+x x考点分析：零、方程根、图象交点问题的相互转化。
不等式的单调性转化。
如何用导数求最值。
难度系数：0.1解：（1）：零点2)1()2(0)(--=-⇔=⇒x e x a x f x 有两个零点。
221)1()2(,--=-=x e x y a y x两条曲线有两个交点。
接下来画图即可。
首先验证1=x 不是其零点。
因为接下来讨论过程中1=x 不在定义中。
32432)1()54()1()2)(1(2)1(-+-=-----='x x x e x e x x e x y x x x 所以2y 在)1,(-∞递减，),1(+∞递增，大致图象为：所以只有当0>a 时图象21,y y 才有两个交点。
即函数)(x f 有两个零点。
（2）：)2)(1()(a e x x f x +-='，由于0>a 所以)(x f 在)1,(-∞上单调递减。
设21x x <。
由（1）知),1(),1,(21+∞∈-∞∈x x ，所以)1,(22-∞∈-x 。
所以)2()(022212121x f x f x x x x ->=⇔-<⇔<+由于0)1()2()(22222=-+-=x a e x x f x 所以22)2()2(2222x x e x ex x f ---=-- 下面构造函数1,)2()(2>---=-x e x xe x g x x).)(1()(2x x e e x x g --='-所以当1>x 时)(0)(x g x g ⇒<'在),1(+∞递减。
所以0)1()(=<g x g 。
所以0)2(2<-x f 恒成立。
2016年高考数学全国I卷+答案解析
【详细解答】排除法：当 p 4 时，不妨令抛物线方程为 y 2 8x ，当 y 2 2 时， x 1 ，即 A 点坐标为 （1， 2 2 ） ，所以圆的半径为 r 3 ，此时 D 点坐标为（-2， 5 ） ，符合题意，故 B 选项正确.
p 解法 2：不妨令抛物线方程为 y 2 px ，D 点坐标为（ ， 5 ） ，则圆的半径为 r 2
f ( x) loga x 的图像越靠近 x 轴，当 0 c 1 时， loga c logb c ，故 D 选项错误； abc bac 可化为
a a ( ) c ，由指数函数知，当 a 1 时， f ( x) a x 在 (0, ) 上递增，故 B 选项错误；a logb c b loga c 可 b b
【试题评析】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等. （7）函数 y 2 x2 e 在 [2, 2] 的图像大致为
x
（A）
（B ）
（C） 【答案】D
（D）
2
【详细解答】解法 1（排除法） ： f ( x) 2 x2 e 为 偶 函 数 ， 且
x
f (2) 8 e2 8 7.4 0.6 ，故选 D..
化为 log
1 ba
c log 1 c ，1 b a b b a b ，故 C 选项正确.
ab
1
1
1
【试题评析】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程 度：中等. 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除.
，n 1 ，则输出 x，y 的值满足 （9）执行右面的程序图，如果输入的 x 0，y 1
2016全国卷1理科数学及答案详解
2016年全国卷Ⅰ（理科）数学试卷一、选择题（每小题5分）1. 设集合{}034|2<+-=x x x A ，{}032|>-=x x B ，则=B A （ ）A.)23,3(--B. )23,3(-C.)23,1(D.)3,23( 2. 设yi x i +=+1)1(，其中x ，y 是实数，则=+yi x （ ） A.1 B.2 C.3 D.23. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ） A.100 B.99 C.98 D.974. 某公司的班车在7: 30，8 :00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.31 B.21 C.32 D.43 5. 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A.)3,1(-B.)3,1(-C.)3,0(D.)3,0(6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（ ） A.17π B.18π C.20π D.28π7. 函数xex y -=22在[﹣2，2]的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8. 若1>>b a ，10<<c ，则（ ） A.ccb a < B.ccba ab < C.c b c a a b log log < D.c c b a log log <9. 执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出x ，y 的值满足（ ） A.x y 2= B.x y 3= C.x y 4= D.x y 5=10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点，已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，11D CB 平面∥α，m ABCD =平面 α n A ABB =11平面 α，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.23 B.22 C.33 D.31 12. 已知函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω，2πϕ≤），4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.5二、填空题（每小题5分）13. 设向量)1,(m a =→，)2,1(=→b +=，则=m _______ 14. 5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是_______（用数字填写答案）15. 设等比数列{}n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a 21的最大值为________ 16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时. 生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为____________元三、解答题17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2（1）求C （2）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长18. （本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=，=∠AFD 90°，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是60°（1）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC （2）求二面角A BC E --的余弦值19. （本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 （1）求X 的分布列（2）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E （1）证明：EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围21. （本小题满分12分）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点 （1）求a 的取值范围（2）设1x ，2x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，OAB ∆是等腰三角形，=∠AOB 120°，以O 为圆心，OA 21为半径作圆（1）证明：直线AB 与⊙O 相切（2）点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1c 的参数方程为⎩⎨⎧+==ta y ta x sin 1cos （t 为参数，0>a ）. 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2c ：θρcos = （1）说明1c 是哪种曲线，并将1c 的方程化为极坐标方程；（2）直线3c 的极坐标方程为：0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1c 与2c 的公共点都在3c 上，求a24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数321)(--+=x x x f（1）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像 （2）求不等式1)(>x f 的解集答案单选题1. D2. B3. C4. B5. A6. A7. D8. C9. C 10. B 11. A 12. B 填空题 13.14.15.16.简答题17.18.19.见解析20.21.22.1923.24.（）25.26.；27.见证明。
2016年高考浙江卷压轴题的分析与解(pdf版)
⩽
√ 6,
从而 #a» (1) 若
· #b» #a» ·
⩽ #e»
1 ．下面证明
#a»
2 +
#b» · #e»
=
#a» ·
· #b» #e» +
1
可以取得 ．
#b» · #e»
2 ，则显然符合题意；
(2) 若 #a» · #e» + #b» · #e» = #a» · #e» − #b» · #e» ，此时
x, x ⩽ y, 已知 a ⩾ 3 ，函数 F (x) = min{2|x − 1|, x2 − 2ax + 4a − 2} ，其中 min{x, y} = y, x > y. (1) 求使得等式 F (x) = x2 − 2ax + 4a − 2 成立的 x 的取值范围； (2)(i) 求 F (x) 的最小值 m(a) ； (ii) 求 F (x) 在 [0, 6] 上的最大值 M (a) ．
情形二 x < 1 ．此时不等式等价于
x2 + (2 − 2a)x + 4a − 4 ⩽ 0,
考虑到左侧函数的对称轴为 x = a − 1 ，又该函数在 x = 1 处的函数值为 2a − 1 > 0 ，此时无解．
综上所述， x 的取值范围是 [2, 2a] ．
(2)(i) 根据第 (1) 小题的结论，我们有
解得
1 < a2
⩽ 2,
Ç √ô 进而可得椭圆的离心率 e 的取值范围是 0, 2 ．
2
1 2016 年浙江卷理科数学
8
题 (理 20).
设数列 {an} 满足
an
−
an+1 2
高考理数 2016年高考新全国1卷理数试题解析(解析版)
高考理数2016年高考新全国1卷理数试题解析（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，，则（A）（B）（C）（D）【答案】D 【考点】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解. （2）设，其中x，y是实数，则（A）1 （B）（C）（D）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为所以故选B. 【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略, 所以做复数题时要注意运算的准确性. （3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，所以故选C. 【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. （4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,) 【答案】A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错. （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键. （7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D 【考点】函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. （8）若，则（A）（B）（C）（D）【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. （9）执行下面的程序框图，如果输入的，则输出x，y的值满足（A）（B）（C）（D）【答案】C 【解析】试题分析：当时，，不满足；，不满足；，满足；输出，则输出的的值满足，故选 C. 【考点】程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题的形式出现,难度不大,求解此类问题只需按照程序逐步列出运行结果. （10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 【答案】B 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B. 【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. （11）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为（A）（B）（C）（D）【答案】A 【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. （12）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，则的最大值为9.故选B. 【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【答案】【解析】试题分析：由，得，所以，解得. 【考点】向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则. （14）的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数. （15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an 的最大值为. 【答案】【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值. 【考点】等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. （16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 【答案】【解析】试题分析：设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件目标函数. 约束条件等价于①作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时，取得最大值. 解方程组，得的坐标为. 所以当，时，. 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 【考点】线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求的周长．【答案】（I）；（II）. 【解析】试题分析：（I）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C；（II）根据．及可得．再利用余弦定理可得，从而可得的周长为．试题解析：（I）由已知及正弦定理得，由已知及余弦定理得，．故，从而．所以的周长为．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”. （18）（本小题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值．【答案】（I）见解析；（II）【解析】试题分析：（I）证明平面，结合平面，可得平面平面．（II）建立空间坐标系，利用向量求解. 试题解析：（I）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（II）过作，垂足为，由（I）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，所以为二面角的平面角，．从而可得．所以，，，．设是平面的法向量，则【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量法解决. （19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【答案】（I）见解析；（II）19；（III）. 【解析】试题分析：（I）先确定X的所有可能取值，然后求相应的概率，可得X的分布列；（II）通过概率大小进行比较；（III）分别求出n=19，n=20的期望，比较即可. 试题解析：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而；；；；；；. 所以的分布列为16 17 18 19 20 21 22 （II）由（I）知，，故的最小值为19. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选. 【考点】概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定的综合性，但难度不是太大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. （20）（本小题满分12分）设圆的圆心为A，直线l 过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A 交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【答案】（I）（）；（II）【解析】试题分析：（I）利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。
2016新课标I理21——结合“洛必达法则”巧解2016年全国新课标1卷压轴题
题特点，题设 条 件 简 单 明 了， 从 诸 如 函 数 零 点、 参 数 范 围等常考知识点处发问，使考生倍感亲切，有利于考生 稳定情绪，从而发挥出最佳水平．
研究试题，我 们 可 以 看 到 今 年 的 试 题 依 然 简 约 但 不简单．考证第二问发现，似乎与下列几题存在关联．
调递增，又 ｆ（ ｘ） 在 ｘ ＝ １ 处有意义，故 ｆ（ｘ） 在 Ｒ 上单调
递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤若ａ
＜
－
ｅ ２
，则 ｌｎ（ －
２ａ）
＞
１，当 ｘ
＜
１ 时，ｘ
－
１ ＜ ０，ｅｘ ＋ ２ａ ＜ ｅ１ ＋ ２ａ ＜ ｅｌｎ（ －２ａ） ＋ ２ａ ＝ ０，即 ｆ′（ ｘ） ＞
中学数学杂志 ２０１６ 年第 ７ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
单调递增；当 ｌｎ（ － ２ａ） ＜ ｘ ＜ １ 时，ｘ － １ ＜ ０，ｅｘ ＋ ２ａ
＞ ｅｌｎ（ －２ａ） ＋ ２ａ ＝ ０，即 ｆ′（ ｘ） ＝ （ ｘ － １） （ ｅｘ ＋ ２ａ） ＜ ０，
ｆ（ ｘ） 单调递减；当 ｘ ＞ １ 时，ｘ － １ ＞ ０，ｅｘ ＋ ２ａ ＞ ｅｌｎ（ －２ａ）
已知函数
ｆ（ ｘ）
＝
１ １
－ ＋
ｘ ｅｘ ｘ２
（１） 求函数 ｆ（ｘ） 的单调区间；
（２） 证明：当 ｆ（ｘ１） ＝ ｆ（ｘ２）（ｘ１ ≠ ｘ２） 时，ｘ１ ＋ ｘ２ ＜ ０．
５９
２０１０ 年天津卷理科第 ２１ 题： 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ｘｅ －ｘ（ｘ ∈ Ｒ） （１） 求函数 ｆ（ｘ） 的单调区间和极值； （２） 已知函数 ｙ ＝ ｇ（ｘ） 的图像与函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的图
2016年高考全国I卷理科数学真题及解释word版
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I（A ）)23,3(--（B ）)23,3(-（C ）)23,1(（D ）)3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ．（5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是 （A ）π17（B ）π18（C ）π20 （D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ．（7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C（D【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8）若1>>b a ，10<<c ，则（A ）ccb a <（B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴l n l n l o g l o gl n l n abc c c c a b>⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2=（B ）x y 3=（C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ．（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,A x，2p D ⎛- ⎝，点(0,A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22（C ）33 （D ）31【解析】：如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥ 又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D = ∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11（B ）9（C ）7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤ 接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页,24题(含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =(A ）)23,3(--(B ）)23,3(-（C ）)23,1((D))3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(,其中y x ,是实数，则=+yi x(A ）1（B ）2（C ）3（D)2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩,解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ,则=100a(A ）100(B)99（C)98（D)97【解析】:由等差数列性质可知:()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =,而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车,小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 (B ）21 (C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ． （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 (A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C))3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线,则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是 （A ）π17(B ）π18 (C ）π20（D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ． （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C ）（【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<,排除B ；0x >时,()22x f x x e =-,()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8)若1>>b a ，10<<c ，则（A)c c b a < （B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增,因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<,B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<,C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ，1=n ,则输出y x ,的值满足（A)x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环:22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点,交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ,则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4(C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >,设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ,52p D ⎛- ⎝,点(0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =, 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．(11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， F ny y n x x =-+=,21ny x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11,则n m ,所成角的正弦值为(A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31【解析】：如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ,结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥,同理可得:1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．（12)已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ,4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为(A)11（B ）9（C)7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+,其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法:若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减,不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==,此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
2016年高考真题——理科数学(全国Ⅰ卷) Word版含解析
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B （C （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99（C ）98（D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）43 （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x=(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1， a 平面ABCD =m ， a 平面A 11ABB =n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A)(B ) (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .(14)5(2x 的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）（15）设等比数列满足}{a n满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n的最大值为 .（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年高考数学新课标卷1解析及思考
立体几何解答题 (1)理科鼓励向量法，但需要基本的几何基础 (反映在第一问的条件或设问上)
(2)文科不鼓励向量法 (很多题不可能用向量法解决)
立体几何复习策略：
(1) 三视图、球体：专题复习，总结方法和规律 (2) 空间位置关系：准确理解定理，总结常规方法 (3) (理科)向量法：一次做对 (文科)总结体积计算、线面角计算 (4) 提升能力：立体向平面的转移；空间想象力；运动 与变化
函数与导数
专题讲解与训练(方法导向)
二次函数的综合研究方法 因式分解 变量替换 分类讨论 非常规函数 (观察证明) 极值点存在不可求 预处理 缩放法(基本不等式)
分段研究
三角函数 题型及分值：1大1小，或3小，15分 难度：简单—较难 特点：(1) 弱化三角恒等变形技巧 (2) 强化三角函数图像与性质 (3) 解答题考察三角函数在三角形中的综合应用 (4) 选择填空会出现难题 (综合几何、函数、不等 式)
第22-24题
3选 1 3选 1 3选 1 3选 1
理 科
2013年 2014年 2015年 2016年
文 科
年份 2013年 2014年 2015年 2016年
第17题 数列 数列 三角 数列
第18题 概率与统计 概率与统计 立体几何 立体几何
第19题 立体几何 立体几何 统计（回归） 统计
第20题 函数与导数 解析几何 解析几何 解析几何
函数与导数
命题特点 (解答题) (1)切线问题：基础；简单 (2)求解函数单调性、极值、最值： 中等难度，2个变化： 1、参数的分类讨论 2、非常规的导函数 (3)不等式的证明与讨论：难题 (4)零点的讨论：难题
函数与导数复习策略
专题讲解与训练(问题导向) 求解单调性、极值、最值 极值点的研究 证明不等式 讨论不等式 零点研究 (函数与方程) 多变量问题
2016年高考数学全国卷(乙)第21题赏析
2016年高考数学全国卷（乙）第21题赏析作者：张鹄来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第04期2016年高考数学全国卷（乙）第21题如下：已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2本题的命制延续了2015年全国卷Ⅰ第21题的试题特点，题设条件简单明了，从诸如函数零点、参数范围等常考知识点处发问，使考生倍感亲切，有利于考生稳定情绪，从而发挥出最佳水平.研究试题，我们可以看到今年的试题依然简约但不简单.考证第二问发现，似乎与下列几题存在关联.2010年天津卷理科第21题：已知函数f（x）=xe-x（x∈R）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2>2.2011年辽宁卷理科第21题：已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a>0，证明：当0f（1a-x）；（3）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）2013年湖南卷文科第21题：已知函数f（x）=1-x1+x2ex（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2所以，这又是一道推陈出新的好题，似曾相识，但不落俗套，给人耳目一新的感觉.透过试题，命题者给我们也指出了复习备考之道，深入研究历届高考试题是科学复习备考的不二之法，毕竟这些试题凝聚着众多命题专家的心血和智慧.另外，以上试题都蕴藏着这样一个重要的知识背景，那就是极值点的偏移问题，而这类问题大多与高等数学中的拉格朗日中值定理存在一定的联系.事实上，由拉格朗日中值定理，即下面的结论：若函数f（x）满足：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.从而取ξ=a+θh，h=b-a，得f（b）-f（a）=f′（a+θh）h，0就本题而言，易知x=1为极值点，但θ≠12，所以f（x）的图像不关于x=1对称.事实上，在拉格朗日中值定理中取b=1+x，a=1-x，h=2x，得到，f（1+x）-f（1-x）=f′（1-x+2θx）·2x，即f（1+x）-f（1-x）=（2θ-1）x（e1+（2θ-1）x+2a）·2x.另外，f（1+x）=（1+x-2）e1+x+a（1+x-1）2=（x-1）e1+x+ax2，f（1-x）=（1-x-2）e1-x+a（1-x-1）2=-（1+x）e1-x+ax2.所以f（1+x）≠f（1-x），θ≠12，从而f（x）的图像不关于x=1对称.由此可见，它们都有高等数学的背景，具有替高校选拔优秀人才的功能，显然是全卷的压轴题.2解法分析方法1解（1）f′（x）=（x-1）（ex+2a）当a>0时，由f′（x）=0得，x=1.f（x）在（-∞，1）上递减；在（1，+∞）上递增.而f（1）=-e0，所以在（1，2）有一个零点.另外，f（1-a）=（1-a-2）e1-a+a（1-a-1）2=-（1+a）e1-a+a3.令g（a）=f（1-a），则g′（a）=a（e1-a+3a）>0，所以g（a）在（0，+∞）上递增，又g（0）=-e，g（2）=8-3e>0.从而存在a，使得g（a）=f（1-a）>0，又f（x）在（-∞，1）上递减，所以在（1-a，1）上存在唯一零点.当a=0时，f（x）=（x-2）ex，f′（x）=（x-1）ex.由f′（x）=0得，x=1.f（x）在（-∞，1）上递减；在（1，+∞）上递增.另外，f（1）=-e当a（ⅰ）若a1，f（x）在（-∞，1）上递增；（1，ln（-2a））上递减；（ln（-2a），+∞）上递增.又f（1）=-e（ⅱ）若-e2记t=ln（-2a），则f（x）的极大值f（ln（-2a））=f（t）=（t-2）et+a（t-1）2=a（t2-4t+5）结合零点存在性定理易知f（x）有一个零点.综上，a>0.（2）不妨设x1事实上，当x1f（x2）.当1f（x）在（1，+∞）上递增得到，f（x1）令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F′（x）=x（e1-x-e1+x），当x>0时，F′（x）令x=1-x1，则f（x2）=f（x1）=f（1-（1-x1））而x2，2-x1∈（1，+∞），且f（x）在（1，+∞）上递增，故x2方法2解由已知得：f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）①若a=0，那么f（x）=0（x-2）ex=0x=2，f（x）只有唯一的零点x=2，不合题意；②若a>0，那么ex+2a>ex>0，所以当x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当x故f（x）在（1，+∞）上至多一个零点，在（-∞，1）上至多一个零点.由于f（2）=a>0，f（1）=-e根据零点存在性定理，f（x）在（1，2）上有且仅有一个零点.而当x故f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2>e（x-2）+a（x-1）2=a（x-1）2+e（x-1）-e.则f（x）=0的两根x1=-e-e2+4ae2a+1，x2=-e+e2+4ae2a+1，x10，故当xx2时，a（x-1）2+e（x-1）-e>0.因此，当x0.又f（1）=-e此时，f（x）在R上有且只有两个零点，满足题意.③若-e2当x即f′（x）=（x-1）（ex+2a）>0，f（x）单调递增；当ln（-2a）eln（-2a）+2a=0，即f′（x）=（x-1）（ex+2a）当x>1时，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）单调递增.即：f[ln（-2a）]=-2a[ln（-2a）-2]+a[ln（-2a）-1]2=a{[ln（-2a）-2]2+1}故当x≤1时，f（x）在x=ln（-2a）处取到最大值f[ln（-2a）]，那么f（x）≤f[ln（-2a）] 而当x>1时，f（x）单调递增，至多一个零点，此时f（x）在R上至多一个零点，不合题意.④若a=-e2，那么ln（-2a）=1.当x0，f（x）单调递增.当x>1=ln（-2a）时，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）单调递增.又f（x）在x=1处有意义，故f（x）在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意.⑤若a1.当x0，f（x）单调递增.当10，ex+2af（x）单调递减.当x>ln（-2a）时，x-1>ln（-2a）-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）单调递增，故当x≤ln（-2a）时，f（x）在x=1处取到最大值f（1）=-e，那么f（x）≤-e当x>ln（-2a）时，f（x）单调递增，至多一个零点.此时f（x）在R上至多一个零点，不合题意.综上所述，当且仅当a>0时符合题意，即a的取值范围为（0，+∞）.（2）由已知得：f（x1）=f（x2）=0，不难发现x1≠1，x2≠1，故可整理得：-a=（x1-2）ex1（x1-1）2=（x2-2）ex2（x2-1）2.设g（x）=（x-2）ex（x-1）2，则g（x1）=g（x2），那么g′（x）=（x-2）2+1（x-1）3ex，当x1时，g′（x）>0，g（x）单调递增.设x>0，构造代数式：g（1+x）-g（1-x）=x-1x2e1+x--x-1x2e1-x=1+xx2e1-x（x-1x+1e2x+1）.设h（x）=x-1x+1e2x+1，x>0，则h′（x）=2x2（x+1）2e2x>0，故h（x）单调递增，有h（x）>h（0）=0.因此，对于任意的x>0，g（1+x）>g（1-x）.由g（x1）=g（x2）可知x1、x2不可能在g（x）的同一个单调区间上，不妨设x1令m=1-x1>0，则有g[1+（1-x1）]>g[1-（1-x1）]g（2-x1）>g（x1）=g（x2），而2-x1>1，x2>1，g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此：g（2-x1）>g（x2）2-x1>x2，整理得：x1+x2方法3（1）由于f（1）=-eF（x）=x-2（x-1）2ex，则F′（x）=x2-4x+5（x-1）3·ex，从而F（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增.又当x当x>1时，limx→1+x-2（x-1）2ex=-∞，limx→+∞x-2（x-1）2ex=limx→+∞（x-1）ex2（x-1）=limx→+∞ex2=+∞，所以F（x）∈（-∞，+∞）.此时原函数f（x）有两个零点等价于直线y=-a与y=F（x）在（1，+∞）上有两个交点.从而，-a0.（2）不妨设x1由f（x）在（1，+∞）上递增，x2，2-x1∈（1，+∞），所以又只需证f（x2）因为f（x1）=f（x2），所以又只需证f（x1）令h（x）=f（x）-f（2-x）=（x-2）ex+x·e2-x，x∈（-∞，1），则h′（x）=（ex-e2-x）（x-1），当x∈（-∞，1）时，h′（x）>0，所以h（x）结合上面讨论，可以总结出这类问题的一般解题策略和步骤如下：（1）利用导数知识，得出y=f（x）的极值点x0；（2）构造函数F（x）=f（x0+x）-f（x0-x），讨论F（x）在x0附近的单调性，并结合F （0）=0从而得出不等式f（x0+x）>f（x0-x）或f（x0+x）（3）由f（x1）=f（x2）=f（x0-（x0-x1））f（x1）=f（x2）=f（x0-（x0-x1））>f（x0+（x0-x1））=f（2x0-x1）.（4）最后再结合f（x）的单调性得出x22x0-x1.。
2016年高考全国Ⅰ卷第21题的命题分析
2016年高考全国Ⅰ卷第21题的命题分析阮飞;王志刚【摘要】对两道高考函数与导数压轴题的命题细目表、命制过程、解题思路进行了分析.【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2017(000)004【总页数】6页(P44-49)【关键词】高考命题;函数与导数;数学思想;核心素养【作者】阮飞;王志刚【作者单位】安徽省太和中学;安徽省阜阳市教研室【正文语种】中文近两年高考数学全国Ⅰ卷的函数与导数解答题，突出主干知识，通过创新试题情境巧妙组合考点，注重对函数和方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活运用，重点考查学生的推理论证、运算求解能力，突出对理性思维的测试，体现对数学核心素养的考查.本文给出2016年高考数学全国Ⅰ卷理科和文科第21题的命题分析，与同行交流. 文科第21题：已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.（1）讨论 f(x)的单调性；（2）若 f(x)有两个零点，求a的取值范围.理科第21题：已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.（1）求a的取值范围；（2）设x1,x2是 f(x)的两个零点，证明：x1+x2＜2.文科第21题可以看作是理科第21题第（1）小题的拆解变式，下面的命题猜想以理科第21题为主.以理科第21题为例.下表为理科第21题命题细目表，该题将函数、导数、函数的零点与不等式知识结合，考查函数的零点的概念、导数公式和导数运算法则，考查学生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力，综合考查学生的推理论证能力、运算求解能力、创新意识，以及分类讨论和转化化归的思想.1.源于教材，落实课程标准（1）借助工具，画图探究.函数y=x+多次出现在高中教材中，是高考题和模拟题的明星函数.例如，人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》中的例题“判断函数y=x+的奇偶性”；人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》的练习“x＞0，当x取什么值时，x+的值最小？最小值是多少？”北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》的例题“已知y=x+，证明|y|≥2”；北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—2）》的习题“讨论函数 f(x)=x+的单调性”.指数函数y=ex同样多次出现在高中教材中，可以利用几何画板软件画出函数y=ex和函数y=x+的图象，它们的图象有一个交点，如图1所示.再画与对号函数关于y轴对称的函数的图象，其图象与函数y=ex的图象没有交点，如图2所示.接着把的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数y=-(x-2)--2的图象，其图象与函数y=ex的图象有两个交点，如图3所示.最后，我们引入参数a(a∈R)，可以得到函数y=利用几何画板软件画图发现：当a＞0时，其图象与函数y=ex的图象有两个交点，可以显示这两点的横坐标x1，x2，并计算x1+x2，在实数a(a＞0)变化的过程中x1+x2＜2恒成立，图4就是其中的一种情况；当a＜0时，其图象与函数y=ex的图象有一个交点，图5就是其中的一种情况；当a=0时，其图象与函数y=ex的图象没有交点.综上所述，当且仅当a＞0时，方程有两个不等于2的实根x1，x2.又因为x≠2，即当且仅当a＞0时，函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个不等于2的零点x1，x2，且x1+x2＜2.图6 为a=0.03时函数 f(x)的图象，参数a变化时，几何画板软件可以动态演示函数 f(x)的图象的变化情况.（2）利用导数，证明结论.易得：当a＞0时，该函数在(-∞,1)上是递减的，值域为(0,+∞)；在(1,2)上是递增的，值域为(0,+∞)，且当x＞2时，y＜0.如图4，其图象的对称中心为(2,-2a)，两条渐近线为直线y=-ax和x=2.当a＜0时，如图5，该函数在(2,3)上是递减的，值域为(-4a,+∞)；在(3,+∞)上是递增的，值域为(-4a,+∞),且当x＜2时，y≤0.不难得出，当且仅当a＞0时，的图象与函数y=ex的图象有两个交点，即函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个不等于2的零点x1，x2成立；两边取自然对数，得所以假设不成立，故x1+x2＜2.（3）创新情境，隐藏题源.至此我们找出了文科第21题和理科第21题的源头，命题人又是如何设计试题的呢？以理科第21题为例，试题分步设问，第（1）小题讨论函数 f(x)存在两个零点的条件，为第（2）小题做铺垫，逐步推进.第（2）小题将函数与不等式有机结合，为学生的解答提供广阔的想象空间.试题的设置使得学生不能求出 f(x)的零点，从而需要打破常规思路，利用转化与化归的思想，将x1+ x2＜2转化为 f(x1)＞f(2-x2)，进而通过构造辅助函数、研究辅助函数的单调性使问题得到证明.可见，该题源于教材，落实课程标准，而命题人是否还有其他目的呢？2.高于教材，考查潜能函数与导数压轴题要考查学生继续学习的潜能，有利于高校选拔人才，故其往往有数学分析的背景.下面我们先给出试题的部分解法，再指出其背景.（1）巧解理科第21题第（1）小题.又见洛必达法则.因为 f(1)=-e，所以函数 f(x)有两个零点等价于关于x的方程-a=有两个相异实根.当x∈(-∞，1)时，u′(x)＜0，u(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，u′(x)＞0，u(x)单调递增.函数u(x)的图象如图7所示.所以当-a＜0时，关于x的方程有两个相异实根，即函数 f(x)有两个零点时，实数a的取值范围是(0,+∞).背景1：洛必达法则.就文科第21题和理科第21题而言，由洛必达法则可得以下解题过程.（2）妙解理科第21题第（2）小题，功在拉格朗日中值定理.背景2：拉格朗日中值定理.定理：若函数 f(x)满足： f(x)在区间[m，n]上连续； f(x)在区间(m，n)内可导.则∃ξ∈(m，n)，使得取ξ=m+λh，h=n-m，得 f(n)-f(m)=f′(m +λh)h，0＜λ＜1. 一般地，称x0=m+λh为相对于左端点m的偏移点，而λh(0 ＜λ＜1)则定义为偏移点相对于左端点的偏移量.当ξ=m+λh为极值点，且当λ=时，函数f(x)的图象关于x=ξ对称.否则，函数 f(x)的图象不关于x=ξ对称.就该题而言，f′(x)=(x-1)(ex+2a)，易知x=1为极值点，但λ≠，所以 f(x)的图象关于x=1不对称.事实上，在拉格朗日中值定理中，取n=1+x，m=1-x，h=2x，从而 f(x)的图象关于x=1不对称.（3）再探理科第21题的第（2）小题，巧用对数平均值.同上文x1+x2＜2的证明，还有如下解法.可见，理科第21题由浅入深，背景丰富，对计算难度、思维深度的要求逐步提高，考查层次分明，区分度较高，使学生个体理性思维的广度和深度得到了充分展示，较好地考查了学生进一步学习的潜能，突出了试题的选拔功能.以理科第21题为例.1.第（1）小题第（1）小题设计了不同的思维路径.思路1：由f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)，求得f′(x)的零点，进而对参数a进行分类讨论，得到f(x)的单调性，从而得到y=f(x)的大致图象，进而得到 f(x)存在两个零点的条件.思路2：由于x=1不是 f(x)的零点，从而 f(x)=0等价于故 f(x)有两个零点等价于直线y=-a与曲线有两个交点.设过程见该小题另解.2.第（2）小题第（2）小题要求证明 f(x)的两个零点x1，x2满足x1+x2＜2，将函数与不等式有机结合.试题的设置使得学生不能求出 f(x)的零点，从而需要学生打破常规思路，以此实现对学生创新意识的考查.思路1：将x1+x2＜2转化为 f(x1)＞f(2-x2), 或u(x1)＞或v(x1)＞v(2-x2)（设v(x)=进而通过构造辅助函数，研究辅助函数的单调性使问题得到证明.该思路涉及到的数学核心素养分析如下.（1）直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.例如，学生为利用函数 f(x)证明x1+x2＜2，先将其转化为x1＜2-x2，借助函数 f(x)的图象和单调性再转化为 f(x1)＞f(2-x2)，进而建立了数与形的联系.（2）数学建模是对现实问题进行数学抽象，再用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本文主要指构造新的数学模型解决数学问题的过程.例如，学生利用 f(x1)=0消元把 f(x1)＞f(2-x2)转化为 f(2-x2)＜0，由于 f(2-x2)=-x2e2-x2+ a(x2-1)2,而 f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，消去参数a得f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,然后构造函数 g(x)=-xe2-x-(x-2)ex.（3）逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.例如，学生在分析和解决如何证明x1+x2＜2的过程中处处体现了逻辑推理素养.（4）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.例如，学生在上述转化和运用导数研究函数g(x)的性质的过程中处处体现了数学运算素养.上述基于高中数学核心素养的解题流程如图8所示.思路2：将x1+x2＜2转化为f(1+m)＞f(1-m)(m＞0)或u(1+m)＞u(1-m)(m＞0)，具体过程见该小题另解1.思路3：利用a＞b＞0时， a+b＞ a-b，结2 lna-lnb合函数 f(x)或u(x)或v(x)，具体过程见该小题另解2.可见，理科第21题在对核心素养进行考查时，设置了多种思维路径，使得不同能力层次的学生都有发挥的空间，同时也能有效测试学生的核心素养发展水平.【相关文献】［1］陈昂，任子朝.高考中的推理论证能力研究［J］.中学数学教学参考（上旬），2016（8）：2-4，12.［2］教育部考试中心.突出实践性和创新性实现高考的选拔功能：2016年高考数学试题评析［J］.中国考试，2016（7）：12-15，57.［3］任子朝，陈昂.加快高考内容改革，增强基础性和综合性［J］.数学通报，2016（6）：1-3.。
2016年四川高考数学理科21题的解析
2016年四川高考数学理科21题的解析
刘成龙;余小芬
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】试题设函数f（x）=ax^2-a-lnx,其中a∈R.（Ⅰ）略;（Ⅱ）确定a的所有可能取值,使得f（x）〉1/xe^（1-x）在区间（1,＋∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）.上述题目是2016年全国高考数学四川卷理科第21题（14分）,属于解答题中的压轴题.笔者认为该题很好的呈现了命题者的三大意图：能力立意、命题回归、有效区分.是一道优秀的高考试题.本文将从不同的视角给出试题第（Ⅱ）问的解析,
【总页数】3页(P36-38)
【作者】刘成龙;余小芬
【作者单位】四川省内江师范学院数学与信息科学学院 641100;四川省内江师范学院数学与信息科学学院 641100
【正文语种】中文
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