平面向量坐标运算
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
为了方便我们进行计算和分析，我们可以使用坐标表示来表示和计算平面向量。
本教案将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本的运算规则。
二、平面向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以表示为一个有序的坐标 (x, y)。
同样，一个平面向量也可以用一组有序数表示，分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、平面向量的坐标运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，求得它们的和。
在向量的坐标表示中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，求得新的向量。
在向量的坐标表示中，向量的数乘可以通过将向量的每一个分量与实数相乘得到。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，求得它们的差。
在向量的坐标表示中，向量的减法可以通过将被减向量的每一个分量分别减去减向量的对应分量得到。
4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。
在向量的坐标表示中，向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将得到的乘积相加得到。
5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。
在向量的坐标表示中，可以利用向量的数量积公式求得两个向量的夹角。
四、实例分析考虑以下平面向量 A 和 B：A = (2, 3)B = (4, -1)我们可以通过向量的坐标运算来求解以下问题：1. 计算 A + B2. 计算 2A3. 计算 A - B4. 计算 A·B5. 计算向量 A 与向量 B 之间的夹角五、总结通过本教案我们学习了平面向量的坐标表示方法以及常见的运算规则，这些知识对于解决平面几何问题非常有用。
希望同学们能够通过练习和实践，巩固这些知识，提升自己的数学能力。
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
别业岁月悠长，有暗香盈袖。
冗长了日与夜，空掷了乐与悲。
遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。
谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。
写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。
如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。
平面向量的坐标运算
a // b (b 0)的充要条件是 x1y2 x2 y1 0
(1) 消去时不能两式相除, 因为y1, 注意： y2 有可能为0. 可分 0与 = 0讨论．
1 8)， AC AB, 3
分别为(0，4)、( 2，0)和( 2， 4). 分析：待定系数法设定点C、D的坐 标，再根据向量 AC ， AB ， DA 和 CD 的关 系进行坐标运算，用方程思想解之．
说明：本题涉及到方程思想，对运 算能力要求较高．
例1.已知 a (4, 2), b (6, y)，且 a b ，
求 y。
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，求证;A、B、 C三点共线
例3 已知A( 1, 2), B(2,
1 DA BA, 求点C、D和向量CD 的坐标. 3
小结：
1 、本节课我们主要学习了平面向 量平行的坐标表示，要掌握平面向量平 行的充要条件的两种形式，会用平面向 量平行的充要条件的坐标形式证明三点 共线和两直线平行(重合)．
2 、向量平行 ( 共线 ) 充要条件的两 种表示形式： a // b(b 0) a b;
(2) 充要条件不能写成
y1 y2 , x1 x2
因为x1, x2有可能为0. (3) 向量平行(共线)充要条件的两种表 示形式： a // b(b 0) a b;
a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0.
请认真看教材P113例4、例5．
平面向量基本定理及坐标运算
答案
D
解析
→ ⊥AB →， →， → 因为AB 分别以AB 1 2 所以以 A 为原点， 1 AB2所
在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设 B1(a,0)，B2(0，b)， O(x，y)， → ＝AB → ＋AB → ＝(a，b)，即 P(a，b)． 则AP 1 2 → |＝|OB → |＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1. 由|OB 1 2 所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0. 1 → 2 2 1 由|OP|<2，得(x－a) ＋(y－b) <4， 1 即 0≤1－x ＋1－y <4.
x2－x12＋y2－y12.
4．向量平行与垂直的条件 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
x1x2＋y1y2＝0 . a ± (3)a≠0，则与 a 平行的单位向量为 |a| .
(2)a、b 均不为 0 时，a⊥b⇔
→ ⊥AB → ，|OB → |＝|OB → |＝1，AP →＝ 5．(2013· 重庆)在平面上，AB 1 2 1 2 1 → → → → |的取值范围是( AB1＋AB2.若|OP|<2，则|OA 5 A．(0， 2 ] 5 C．( 2 ， 2] 5 7 B．( 2 ， 2 ] 7 D．( 2 ， 2] )
答案 A
解析
B 中不能是空间向量，C 中 λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α
内，D 中 λ1，λ2 是唯一的．
→ ＝(3,7)，AB → ＝(－2,3)，对称中心为 O， 2．在▱ABCD 中，AD → 等于( 则CO ) 1 B．(－2，－5) 1 D．(2，5)
1 A．(－2，5) 1 C．(2，－5)
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
平面向量的坐标和坐标变换公式
平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。
在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。
设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。
二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。
为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。
1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。
则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。
则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。
则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。
设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。
则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。
4.2 平面向量的坐标运算
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
1 x 1, x 0, y 4. 2 y 2.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.［4分］ （2）若是ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
中点P的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ). 2 2 △ABC中,若A（x 1,y 1）,B（x2 ,y2）,C（x 3,y 3）,则 △ABC的重心G的坐标为 (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
定时检测
一、填空题
1.（2009·天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=
【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、
C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四个顶点D的坐标.
分析 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；
（3）ABDC.
解题示范
解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得
2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.
在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内
分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：
AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P 1 （x 1 ,y 1 ）,P 2 (x 2 ,y 2 ),则P 1 P 2 的
2 1 （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= (-1,2) . 3 2 解析 1 a 3 b 1 (1,1) 3 (1,1) 2 2 2 2 1 1 3 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 1 3 1 3 ( , ) (1,2). 2 2 2 2
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
Page ▪ 5
5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
Page ▪ 33
33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
Page ▪ 1
1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
5-2新田中学-平面向量的坐标运算
分析：ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 2m－1 若 ma＋b 与 a－2b 平行，则 4 ＝－3m－2，即 2m－ 1 1＝－12m－8，解之得 m＝－2.故选 B.
答案：B 失分警示：没有理解向量的坐标表示与向量 平行的条件．
→ → 3． 在平面 xOy 内有三向量OA＝(3,12)， ＝(4,5)，→ OB OC ＝(10，k)，若 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
三、几个重要结论 1．如图，若a、b为不共线向量，则a＋b， a－b为以a，b为邻边的平行四边形的对角 线的向量． 2 2 2 2
2.a＋b ＋a－b ＝2(a ＋b )．
→ → → 3 ． G 为 △ABC 的 重 心 ⇔ GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0 ⇔ x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 G( ， )[其中 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)， 3 3 C(x3，y3)]．
→ 解析：∵AB＝(－6,2)， → → AB AB 6 2 ∴± ＝± ＝± (－ ， ) → 2 10 2 10 2 10 |AB| －3 10 10 ＝± ( ， )． 10 10
答案：C
→ → 5．如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且 A、B、C 三点共线，则 m ＝________.
总结评述：本题侧重于向量的坐标运算，定 比分点及两个向量垂直的充要条件．通过这 些知识的综合，很好地体现出向量作为工具 解决解析几何的有关问题的作用．
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)， → → → B(－1,3)，若点 C 满足OC＝αOA＋βOB，其中 α、β∈R 且 α ＋β＝1，则点 C 的轨迹方程为 A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 ( )
平面向量坐标运算 鹿二景
平面向量的坐标运算（文） 制作人：鹿二景考纲要求1．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积的坐标表示两个向量的夹角及两个平面向量的垂直关系．基础回扣(1)向量加法、减法、数乘运算 y (2)向量坐标的求法已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝ (x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于 终点的坐标减去起点的坐标． (3) 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a 与b 共线⇔a ＝ λb ⇔ x 1y 2－x 2y 1＝0 (4) 平面两向量相等的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 共线⇔x 1＝x 2,y 1=y 2 (5)平面向量数量积的性质：已知非零向量a ＝(a 1，a2)，b ＝(b 1，b 2)基础练习1．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是( D )．A．(3，－4) B．(－3,4)C．(3,4) D．(－3，－4)2．已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，则向量a＋b所在的直线可能为( A )．A．x轴B．第一、三象限的角平分线C．y轴D．第二、四象限的角平分线3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( B )．A．5 B．10 C．325D．154.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x，-9)共线，则x=（ B ）A.-1B.3C. 92D.55.已知向量a=(3，4)，b=(sin α，cos α)，且a∥b,则tan α=（ A ）A. 34B.34- C.43D.43-6. 设向量a=(1,-3),b=(-2,4)，c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为（ D ）A.(2，6)B.(-2，6)C.(2，-6)D.(-2，-6)7.已知点A(1，-2)，若向量AB 与a =(2，3)同向，|AB|=B 的坐标为(5，4).8. 已知向量a =(3,1),b =(1,3),c =(k,7)，若（a -c ）∥b ,则k= 5 . 9．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( D )．A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 10．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( A )． A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－7811. 已知a =（1，2），b =（-3，2），若k a +b 与a -3b 垂直，则k 的值为（ A ） A.18 B.19 C.20 D.2112. 设a =（4，-3），b =（2，1），若a +t b 与b 的夹角为45°，则t 的值1典例解析考向一、平面向量的坐标运算【例1】已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 方法提炼1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O 为起点的向量OA的坐标与点A 的坐标相同．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)， ∴⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.变式训练：在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC 等于( A )．A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7) 考向二、两平面向量的夹角与垂直【例2】已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若AB＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵AB 与BC 的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AB||BC |sin∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 考向三、平面向量与三角函数的应用【例3】已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 解：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x .|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x ＞0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1.∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32，当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.巩固练习1、已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 2、已知a =（-4，-3），b =（-3，-2），c =2a + λb ，d =-a +2λb ，当实数λ为何值时，向量c -d 与a 垂直？作业布置已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.。
向量的坐标表示与平面向量的运算
向量的坐标表示与平面向量的运算向量是数学中一种常用的概念，它能够用于描述空间中的方向和大小。
在研究向量时，我们经常使用坐标表示和进行运算。
本文将探讨向量的坐标表示以及平面向量的运算。
一、向量的坐标表示向量的坐标表示是将向量的起点放在原点(0,0)处，终点放在坐标轴上的一点(x,y)，然后以起点与终点之间的线段作为向量的表示。
记作向量AB，表示为AB = (x,y)。
二、向量的加法运算对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的加法运算可以表示为：A + B = (x1 + x2, y1 + y2)。
即将两个向量的横坐标分别相加，纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
三、向量的减法运算向量的减法运算与加法运算相似，可以表示为：A - B = (x1 - x2, y1 - y2)。
即将被减向量的横坐标减去减去向量的横坐标，纵坐标减去减去向量的纵坐标，得到一个新的向量。
四、向量的数乘运算向量的数乘运算即将一个向量乘以一个实数。
对于向量A = (x, y)和实数k，数乘运算可以表示为：kA = (kx, ky)。
即将向量的横坐标和纵坐标分别乘以实数k，得到一个新的向量。
五、向量的数量积向量的数量积是向量间的一种运算，结果是一个实数。
对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的数量积可以表示为：A·B = x1x2 + y1y2。
即将两个向量的横坐标分别相乘，纵坐标分别相乘，然后相加，得到一个实数。
六、向量的向量积向量的向量积是向量间的一种运算，结果是一个新的向量。
对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的向量积可以表示为：A×B = (0, 0, x1y2 - x2y1)。
即将两个向量的横坐标和纵坐标进行交叉相乘，再在结果中添加一个垂直于平面的纵坐标，得到一个新的向量。
总结：向量的坐标表示和运算对于研究空间中的方向和大小有着重要的意义。
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
平面向量的直角坐标及其运算
GH （-1，-2）-（3，-1）=（- 4，- 1）
（-1，-2） （0，-3）
（3，-1）
2．平面向量的直角坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差； 数乘向量的坐标等于用这个实数分别乘以原来向量的对应坐标。
（1）若
a
=（
a1
，
a
2
），b
=（
b1
，b
2
）则：
a
=
a1a
的积是一个向量，记作：λ
a
（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；（2）λ>0
时λ
a
与
a
方向相同；λ<0
时λ
a
与
a
方向相
反；λ=0
时λ
a
=
0
5．运算律:
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
思考：在平面直角坐标系中，每一个 点都
AM
1 =
AB
，求点 M 的坐标。
2
解：设点 M 的坐标为（x,y），因为
AM = 1 AB
所以
2
（x,y）-（3，-2）= 1 [ （-5，-1）-（3，-2）]
2
=(-4， 1 )
即
2
（x,y）=
(-4， 1 ) 2
+（3，-2）
=（-1，- 3 ） 2
所以点 M 的坐标为（-1，- 3 ）。 2
平面向量的坐标运算公式推导
平面向量的坐标运算公式推导在我们学习数学的奇妙世界里，平面向量可是个有趣又有点小复杂的家伙。
今天咱们就一起来瞧瞧平面向量的坐标运算公式是怎么推导出来的，这就像是一场解谜之旅，准备好了吗？咱们先来说说平面向量的基本概念哈。
想象一下，在一个平面上，有个箭头，它有长度还有方向，这就是平面向量啦。
而坐标呢，就像是给这个箭头在平面上找了个具体的位置标记。
比如说，有个向量a，它在平面直角坐标系里的起点是坐标原点O，终点是 A(x₁, y₁) 。
那这个向量 a 就可以用坐标 (x₁, y₁) 来表示。
那平面向量的加法怎么用坐标来算呢？咱们假设还有个向量 b ，终点是 B(x₂, y₂) ，那向量 a + 向量 b 的坐标会是啥呢？咱来实际操作一下，把向量 a 的终点 A 和向量 b 的终点 B 连起来，这样就得到了向量 a + 向量 b 的终点 C 。
通过几何关系可以发现，C 点的坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就拿教室里的座位打比方，假设第一排第一列是原点，从前往后是 x 轴，从左往右是 y 轴。
然后我让这个迷糊的同学当向量a ，他的座位是 (2, 3) ，再找另一个同学当向量b ，座位是 (4, 5) ，那他们俩加起来的“位置”不就是 (6, 8) 嘛。
这么一比喻，这同学恍然大悟，那开心的样子我到现在都记得。
再来说说平面向量的减法。
向量 a - 向量 b ，其实就相当于向量 a + （ - 向量 b ）。
那 - 向量 b 终点就是 B' ( - x₂, - y₂) ，所以向量 a - 向量 b 的坐标就是 (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
平面向量的数乘也有讲究。
如果有个实数λ 乘以向量 a ，那坐标就变成(λx₁, λy₁) 。
咱们总结一下哈，平面向量的坐标运算公式：加法：若向量 a = (x₁, y₁) ，向量 b = (x₂, y₂) ，则向量 a + 向量 b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) ；减法：向量 a - 向量 b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) ；数乘：若λ 为实数，向量 a = (x₁, y₁) ，则λ 向量a = (λx₁, λy₁) 。
平面向量的坐标运算
2.平面向量的坐标运算：
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个 a b ( x x , y y ) 向量相应坐标的和与差： 1 2 1 2 （其中 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ） （2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去始点的坐标： 如果 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标： 若 a ( x, y ) ，则 a ( x, y )；
1. 1.
2.已知 （x+y+1,2x-y）, b =（x-y,x+2y-2）， a =
若 2 a =3 b ，求x、y的值；
3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标；
4.已知四边形 ABCD 是平行四边形， O是坐标原点，试 证明： OA +OC = OB + OD 5.课本例题4、例题5
1. 在
一.
1.如图，用基底 i 、j 分别表示量 a 、、 、， d c b 并求它们的坐标； y 问题： B 5 B 的坐标 （1）若点 A 、 a b ( x , y ) ( x2 , y2 ),那么 分别为 、 1 1
A2
三. 典例分析
( x , y ) 的 AB 坐标是 吗 ? 2 2 （2）求出 a 的坐标后 您 还可以根据图形的什么 特征，分别求出 b 、 d c、 的坐标？
1.
1.
a 已知向量 a 、b (b 0) ，则 // b 的充要条件为 ，使 b= a ， 存在实数 如果 =（ x2 , y2）， a =（ x1 , y1 ），b x1 y2 x2 y1 0 则 a // b 的充要条件为：
平面向量的坐标运算(用)
2、向量的坐标运算
3、两个重要结论 若A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ).
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1 y2 x2 y1 0
平面向量的坐标运算
一、复 习 引 入
已知e1、是同一平面内的两不共线向量， e2 那么对这一平面内的任意向量a，有且 只有一对实数1、2，使a 1 e1 2 e2 .
1、平面向量基本定理
Hale Waihona Puke 2、什么是平面向量的基底？
向量的一组基底.
不共线向量e1、叫做这一平面内所有 e2
例5、已知A(1, 1)、B(1,3)、C (2,5)，求证A、B、C三点共线.
四、向量平行的坐标表示
五、课堂小结
1、向量的坐标表示
a xi y j ( x, y )
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a ( x, y )
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、 4)，求顶点D的坐标. (3,
设a ( x1 , y1 )， ( x2 , y2 )，其 b 中b 0，则a b的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0 _________________ . 例4、已知a (4, 2)， (6, y )， b 且a b，求y.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去始点的坐标．
例2、已知a (2,1)， ( 3, 4)，求a b， b a b3a 4b. ， 已知a ( x1 , y1 )， ( x2 , y2 )，则a b的充 b x1 x2且y1 y2 要条件是 ______________________ .
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ξ10向量的数量积.平移
一．知识精讲
1． 数量积的概念
（1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。
则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为<a,b>
（2） 数量积的定义：已知两向量a,b 的夹角为θ
θcos 叫做
a 与b
的数量积，记为θ=⋅
（3）数量积的集合意义：数量积⋅等于的模与在
θ 的乘积
2． 数量积的性质：设是单位向量。
<θ>=,
(1)θ=⋅=⋅
(2)a 与b
同向时，=⋅；a 与b
反向的时候=⋅。
0=⊥
（3
）⋅
=
（4）
=
θcos （5
≤
3．运算律：（1）⋅=⋅ (交换律) （2）)()()(λλλ⋅=⋅=⋅ (与实数的集合律) （3）⋅+⋅=+⋅)( （乘法对加法的分配律） 没有结合律，可见向量的数量积完全遵循多项式运算法则
4． 向量数量积的坐标运算。
设),().,(2211y x y x ==，则： （1）2121y y x x +=⋅ （2
21
2
1y x +=
（3）21
212
121cos y x y y x x ++=
θ （4）02121=+⇔⊥y y x x b a
5． 两点间的距离公式：设A ),(),,(2211y x B y x ，则221221)()(y y x x AB -+-=
平移公式描述的是平移前的点与平移后的对应点坐标与平移向量的坐标之间的关系。
平移前的点),(y x P 平移后的对应点,
P ),(,
,y x ，平移向量的坐标),(k h = 则
{
k
y y h x x +=+=,
,
二．基础知识
1.若)7,4(),3,2(-==，则a 在b 方向的投影为 （ ） A
3 B
5
13
C
5
65 D
65
2
1210==，且36)()3(51-=⋅，则与的夹角为 （ ） Ａ
60 Ｂ
120 Ｃ
135 Ｄ
150
3.设,,是任意的非零平面向量，互相不共线，则下列命题中是真命题的有（ ） ① 0)()(=⋅-⋅ ②
<③ )()(⋅-⋅不与垂直 ④
)23()23(=-⋅+ Ａ ①② Ｂ ②③ Ｃ ③④ Ｄ ②④
4．已知点A ),2,1(-
与)3,2(=
32=，则点B 的坐标为（ ） 5．已知)2,(λ=，)5,3(-=，若向量与的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ）
Ａ
310>λ Ｂ310≥λ Ｃ 310<λ Ｄ 3
10
≤λ 6． 已知：函数2)2cos(33++-=πx y 按向量平移所的图形解析式为),(x f y = 当)(x f y = 奇函数时，向量可以等于：
A )2,(6--π
B )2,(12--π
C （2,6π）
D )2,(12π
-
三．典型例题分析：
例1：已知)2,3(),2,1(-==，当k 为何值时，（1）)3()k -⊥+
（2）)
(k +)3(-，平行时是同向还是反向？
变式1：已知：平面向量),2(),,2(),4,3(y x ==-=
，c a ⊥，求
⋅以及与的夹角
例2
60,,46>=<==b a
b -
变式2：已知,
==，求与+的夹角
例3：已知),,
(),1,3(2
3
21
=-=且存在实数k 和t ，使,)3(b t k t +-=-+=且⊥，
试求t
k 2
+的最小值
例4．设函数2
1)(--=
x x x f ，（1）试根据函数x y 1=的图象，并写出变化过程
（2）)(x f 的图象是中心对称图形吗？（3）指出)(x f 的单调区间
变式：将函数1
23--=x x y 的图象按向量平移后得到函数x k y =的图形，求和实数k
例5．将函数1)2sin(237+-=πx y 的图象，按向量平移后得到的图象关于原点对称 ，这样的向量是否唯一？若唯一，求出向量；若不唯一，求出最简向量
四．规律总结：
1． 平面向量的数量积及集合意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量长度，夹角
是难点
2． 向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果是一个数量，
所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标运算。
3． 向量与的夹角（1）当与平移成有公共起点时，两向量所成的角才是夹角
（2）
1800≤≤θ（3）
cos<,=
22
2221
21
2
121y x y x y y x x +++
4.配方法：待定系数法，代入法是确定平移向量的重要方法
五：闯关训练
1．若平面向量与向量=（1，-2）的夹角是
180
53=，则=（ ） A （-3，6） B （3，-6） C （6，-3） D （-6，3） 2．若向量c 垂直与向量a 和b ，R u u ∈+=,(λλ且)0≠u λ，则 （ ） A || B ⊥ C 不平行与，也不垂直与 D 以上情况都有可能 3．已知，均为单位向量，它们的夹角为
60
= （ ） A
7 B 10 C 13 D 4
4． 给出下列命题：
① 若,02
2
=+ 则==
② 已知,, 是三个非零向量，若,=+
= ③ 在三角形ABC 中，a=5,b=8,c=7，则20=⋅ ④ 与
是共线向量=⋅⇔
其中正确的命题序号是_____________________
5．
,3,2==与的夹角为
45，求当向量λ+与+λ
的夹角为锐角时，λ的取值范围。
6．如图：以原点O 和A )2,5(为两个顶点作等腰直角三角形OAB 使
90=∠B 求点B 的坐标和向量的坐标。
7．已知：平面向量)1,3(-=，),(2
321
= 求证：⊥
（2） 若存在不同时为零的实数k 和t ，使t k t +-=-+=,)3(2 且⊥，试确定函数关系)(t f k =
（3） 根据（2）的结论确定函数)(t f k =的单调区间
8．已知：c bx ax y ++=2
的图象F 按)4,2(-=平移得到,
F ，已知A （0，8）
在,F 上，F 与,
F 的交点是B （),13
1-，试求F 对应的函数解析式。