高中数学几个重要知识点

高中数学几个重要知识点

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0

两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0

点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔

f 2(x 0,y 0) =0

方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.

2.圆

圆的定义

点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.

圆的方程

(1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2

圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2

(2)一般方程

当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2

E ，半径是2

4F -E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+ 当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-

2D ,-2E ); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则

｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，

｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，

｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，

其中｜MC ｜=2

020b)-(y a)-(x +.

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C

Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判定.

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率.

当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e ＞1时，轨迹为双曲线

5.坐标变换

坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

函数值域的应用

(1)函数值域的常用求法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)运用函数的值域解决实际问题，此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决，此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力

例2：已知函数f (x )=x a x x ++22,x ∈［1,+∞)，(1)当a =2

1时，求函数f (x )的最小值

(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围

思路分析 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得

(1)解 当a =

21时，f (x )=x +x

21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27 (2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=x

a x x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立 设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)，∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，

∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3

解法二 f (x )=x +x

a +2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3

点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及

运算能力 解题的关健是把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 演变3：设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2

+m +1

1-m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M

(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值 (3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1

问题3：函数的奇偶性与单调性

函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性与单调性方法：若为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数

例3：已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2

1)=－1,当且仅当0

y x ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减 思路分析：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定

2

1121x x x x --的范围是焦点 证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xy

y x ++1)可令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2

1x x x --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减 令0

1121x x x x --) ∵00,1－x 1x 2>0，∴

12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，

∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (2

1121x x x x --)<0，即 f (x 2)

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力，对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得

演变4：定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a 、b ∈R，有f (a +b )=f (a )f (b )，（1）求证：f (0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R，恒有f (x )>0；（3）证明：f (x )是R 上的增函数；