表A.1 正态分布表(中间概率值)
标准正态分布分位数表
标准正态分布分位数表正态分布这个概念在统计学中很常见，在做与正态分布有关计算的时候经常会用到标准正态分布表。
如果知道一个数值的标准分数即z-score ,就可以非常便捷地在标准正态分布表中查到该标准分数对应的概率值。
任何数值,只要符合正态分布的规律,均可使用标准正态分布表查询其发生的概率。
下表就是标准正态分布表,在使用的时候,第一步是先计算数值的标准分数,然后将标准分数四舍五入到小数点后第二位第二步是在标准正态分布表中的左侧查到直到标准分数的小数点后第一位,然后用顶部的数值查到所对应的标准分数的小数点后第二位。
市川新田三丁貝比如标准分数为1.16 ,在表左侧可以查到1.1所在的行,然后再找到0.06所在的列,最后对应的概率值为0.877。
这就意味看在正态分布的情况下,如果一个数值的标准分数为1.16 ,那么该数值所代表的情况出现的概率为87.7%。
以下通过案例来看标准正态分布表的应用。
假设某地成年男性的身高数据呈正态分布,平均身高为1.70米,标准差为4厘米。
问题：1.男性身高超过1.75米的占比为多少？2.男性身高在1.74-1.75米之间的占比为多少？3.如果有20%的男性身高高于某个数值,该数值所对应的身高数据是多少?4.如果有20%的男性身高低于某个数值,该数值所对应的身高数据是多少? 解题：1、先用标准分数即z-score计算公式将1.75米的身高数据转换成标准分数,结果为(1.75- 1.70) / 0.04 =1.25 ,这样问题就成了：在标准正态分布曲线中标准分数大于1.25的概率是多少？查询标准正态分布表，可以看到1.25的标准分数对应的概率值为0.894二89.4%，也就是有89.4%的男性身高数据的标准分数不超过1.25 ,因此有100%-89.4%二10.6%的男性身高超过1.75米。
■＜厉丿」隔曰三丁目2、在问题1中已知身高为1.75米的标准分数为1.25 ,那么身高为1.74米的标准分数=(1.74 -170)/4 = 1.00,因此只需找到l.OOv标准分数＜1.25所对应的概率即可,1.00的标准分数所对应的概率值为0.841 ,也就是有84.1%的男性身高数据的标准分数不超过1.00,因此身高在1.74-1.75米之间的男性占比为0.894-0.841 二0.853二5.3%3、如果说有20%的男性身高高于某个数值,那就意味看80%的男性身高不超过该数值,因此在标准正态分布表看到概率值为0.800所对应的标准分数为 0.84 ,现在将这个标准分数转换成身高数据,带入z-score的计算公式为0.84二(x-1.70)/0.04 ,结果为1.7336米，即在全部成年男性中有20%的男性身高高于1.7336米。
正态分布概率
正态分布概率正态分布是统计学中最为常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界、社会科学和工程领域中具有广泛的应用。
正态分布的最重要特征是其对称性和集中性，因此它经常被用来对观测数据的分布进行建模和分析。
正态分布的概率密度函数由以下公式给出：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))其中，f(x) 表示随机变量 X 的概率密度函数值，e 是自然对数的底数，μ 是分布的均值，σ² 是分布的方差。
概率密度函数描述了在给定均值和方差的情况下，随机变量 X 取某一特定值的概率。
正态分布具有一些重要的特性，其中最重要的是：1. 对称性：正态分布是对称的，也就是说，它的概率密度函数在均值处达到最大值，并且两侧的概率密度相等。
2. 峰度：正态分布具有尖峰且平滑的形状。
如果一个分布的峰度是零，则称该分布为正态分布。
峰度的绝对值越大，分布的形状就越陡峭或扁平。
3. 标准化：正态分布可以通过减去均值并除以标准差来进行标准化，从而得到标准正态分布。
标准正态分布的均值为0，方差为1。
4. 中心极限定理：中心极限定理是正态分布的一个重要特性，它指出如果随机变量是由大量独立同分布的随机变量之和形成的，那么这个随机变量的分布将趋近于正态分布。
正态分布的概率计算是统计学中重要的任务之一。
我们可以使用正态分布表或计算机软件来计算特定区域的概率。
下面将介绍一些常用的概率计算方法。
1. 区间概率：给定一个间隔 [a, b]，我们可以计算在该区间内随机变量 X 取值的概率。
这可以通过计算概率密度函数在该区间上的积分来实现。
2. 尾概率：尾概率是指随机变量 X 取值超过给定阈值的概率。
对于正态分布，我们可以使用标准正态分布表或计算机软件来计算尾概率。
3. 百分位数：百分位数是指给定概率下的随机变量取值。
对于正态分布，我们可以使用标准正态分布表或计算机软件来计算百分位数。
标准正态分布表格
标准正态分布表格引言标准正态分布是统计学中常用的一种连续型概率分布。
它是均值为0，标准差为1的正态分布的特殊情况。
标准正态分布表格是一种方便查找标准正态分布的概率值的工具。
在统计分析和假设检验中，使用标准正态分布表格可以帮助我们计算和推断随机变量的概率。
本文将介绍标准正态分布表格的使用方法，并提供一个完整的标准正态分布表格。
标准正态分布表格的使用方法标准正态分布表格通常由两列构成：Z值列和概率值列。
其中，Z值列表示标准正态分布的随机变量的取值，而概率值列表示对应Z值的概率。
使用标准正态分布表格时，我们可以通过查找Z值，找到对应的概率值。
下面是一个示例标准正态分布表格的部分内容：Z值概率值-3.5 0.000-3.4 0.001-3.3 0.001……下面是使用标准正态分布表格的步骤：1.确定需要计算的随机变量的Z值，即计算公式：Z = (X - μ)/σ，其中X 是随机变量的取值，μ是总体的均值，σ是总体的标准差。
2.在标准正态分布表格中找到最接近的Z值。
如果无法找到精确的Z值，可以选择最接近的两个Z值之间的概率值进行插值计算。
3.根据Z值对应的概率值，可以进行概率的计算或者推断。
下面是一个使用标准正态分布表格计算概率的示例：假设某随机变量X服从正态分布，均值为50，标准差为10。
我们想要计算X 小于等于60的概率。
首先，我们需要将X转化为Z值：Z = (60 - 50)/10 = 1.0接下来，在标准正态分布表格中找到最接近1.0的Z值。
在示例表格中，最接近1.0的Z值是0.841。
因此，P(X ≤ 60) = P(Z ≤ 1.0) = 0.841根据标准正态分布表格，我们得到P(X ≤ 60)的概率近似值为0.841。
完整的标准正态分布表格下面是一个完整的标准正态分布表格：Z值概率值-3.5 0.000-3.4 0.001-3.3 0.001-3.2 0.001-3.1 0.002-3.0 0.003-2.9 0.004-2.8 0.005-2.7 0.006-2.6 0.009-2.5 0.010-2.4 0.016-2.3 0.021-2.2 0.028-2.1 0.036-2.0 0.047-1.9 0.058-1.8 0.071-1.7 0.086-1.6 0.103-1.5 0.122-1.4 0.144-1.3 0.169-1.2 0.197-1.1 0.229-1.0 0.262-0.9 0.298-0.8 0.335-0.7 0.374-0.6 0.414-0.5 0.456-0.4 0.498 -0.3 0.542 -0.2 0.579 -0.1 0.618 0.0 0.500 0.1 0.382 0.2 0.341 0.3 0.301 0.4 0.260 0.5 0.221 0.6 0.183 0.7 0.146 0.8 0.1100.9 0.0821.0 0.062 1.1 0.038 1.2 0.022 1.3 0.012 1.4 0.006 1.5 0.003 1.6 0.002 1.7 0.001 1.8 0.0011.9 0.0002.0 0.000 2.1 0.000 2.2 0.000 2.3 0.000 2.4 0.000 2.5 0.000 2.6 0.000 2.7 0.000 2.8 0.0002.9 0.0003.0 0.000 3.1 0.0003.2 0.0003.3 0.0003.4 0.0003.5 0.000结论标准正态分布表格是统计学中非常重要的工具之一。
正态分布
密度函数
(x)
1 2
x
2
e
2
专用符 号
分布函数
( x)
x
1 2
x
2
e
2
dx
专用符 号
标准正态分布的性质
分布函数
( x ) P{ X x}
( x)
( x)
x
1 2
t
2
e
2
dt
x
( x) 1 ( x)
一般正态分布的标准化
定理
x 如果 X ~ N ( , ), 则 F ( x)
2
概率计算 若 X ~ N ( , 2 )
b a P (a X b)
a P( X a) 1
决定了图形的中心位置，
的陡峭程度.
决定了图形中峰
正态分布的分布函数
f (x) 1 2
(x ) 2
2 2
e
y
1
1 2
F ( x)
x
1 2
( x ) 2
2
2
e
dx
F(x)
x
计算概率？
P a X b F b F a
由 x 的单调性可得
k 18 2.5 0.91
k 20.275
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526 人报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N ( , 2 ) 已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高 分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被 录取？ 分析
z分布统计表常用
z分布统计表(可以直接使用，可编辑优质资料，欢迎下载）表B.1 正态分布表**A 列是正态分布的z 分数。
B 列是z 分数对应分布中本体的概率值。
C 列是z 分数对应分布中尾端的概率值。
主要：因为正态分布是对称分布，所以负的z 分数具有与正的z 分数相同的概率。
CC 0+zGeneratedbytheMinitabstatisticalprogramusingtheCDLcommand.入学率统计表表Ⅰ 0—17周岁儿童、少年统计表（2021至2021学年度）填表单位：（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日注：“三残”指视力、听力语言和智力残疾。
表Ⅱ 0—17周岁儿童、少年花名册填表单位：乡（镇）村（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日注：填入本表儿童、少年以户籍为准；乡（镇）每周岁一个分册。
第张（共张）表Ⅲ小学正常适龄儿童入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人填表时间：年月日注：1、填报本学年初人数；2、适龄儿童以户籍和规定入学年龄为准；3、入学适龄人儿童数包括在本校和外校及初中就读的学生。
表Ⅳ初中正常适龄少年入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人填表时间：年月日注：1、填报本学年初人数，2、入学适龄人口数包括在本校和外校及高中就读的学生。
表Ⅴ残疾儿童、少年入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日注：1、填报本学年初数据；2、“三残”指：视力、听力语言和智力残疾；3、附“三残”儿童少年花名册员工加班登记表2021年月日填表加班登记表报销日期：部门总经理会计审核申请人出纳加班加点汇总表质量管部门主管：加班记录表部门：部门签字: 年月日1、使用流程:部门加班人填写加班加班后记录本核准确性每月统计表部门主管签字人事部门留存。
2、使用范围:公司普通员工加班登记。
3、使用要点：（1）公司中高级职员超时工作不算作加班；（2）核准人为有权签署加班意见的人；（3）严格控制加班。
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
正态分布知识点总结
正态分布知识点总结正态分布（Normal distribution）是统计学中最为重要和常见的概率分布之一、其分布特点为钟形曲线，对称分布，均值为中心点，标准差决定了曲线的分散程度。
正态分布在实际应用中非常广泛，特别适用于描述大量独立随机变量之和的分布情况。
一、正态分布的定义和性质1.定义：若随机变量X服从一个均值为μ，标准差为σ的正态分布（记作X∼N(μ,σ)），则其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))2.性质：a.对称性：正态分布是关于均值对称的，即平均值左右两侧的曲线是对称的。
b.中心极限定理：大量独立随机变量的和趋向于正态分布，即使原始数据并不服从正态分布，样本量足够大时，样本均值的分布也会接近正态分布。
c.峰度与偏度：正态分布的峰度为3，即其曲线边际趋于水平而不陡。
偏度为0，即左右两侧的概率密度完全对称。
d.累积分布函数：正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布表查找，标准正态分布表给出了标准正态分布的累积概率，从而可以计算出任意正态分布的累积概率。
二、正态分布的参数1.均值（μ）：正态分布的均值决定了分布曲线的中心位置。
在标准正态分布中，均值为0。
2.标准差（σ）：正态分布的标准差决定了分布曲线的宽度和分散程度。
标准差越小，曲线越尖锐；标准差越大，曲线越平缓。
三、标准正态分布1. 定义：均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布（Standard Normal Distribution），记作Z∼N(0,1)。
2.标准化：通过标准化转换，将任意正态分布转化为标准正态分布。
转换公式为Z=(X-μ)/σ，其中X为原正态分布的随机变量，μ为原正态分布的均值，σ为原正态分布的标准差。
3.标准正态分布表：存储了标准正态分布的累积概率值，可用于求解任意正态分布的累积概率。
4.逆标准化：通过标准正态分布表，可以将给定累积概率对应的Z值逆向计算，得到对应的原始分布值。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
正态分布 课件
；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：
正态分布的概率值
正态分布的概率值正态分布在概率论和统计学中是一个非常重要的分布，也被称为高斯分布。
正态分布的形态是基于一组参数，其中最重要的是均值和标准差。
均值代表分布的中心位置，标准差则表示分布的扩散程度。
正态分布的密度函数在均值处有峰值，并随着距离均值的增加而逐渐降低。
正态分布的概率计算是非常有用的，这里将介绍如何计算正态分布的概率值。
一、标准正态分布标准正态分布指的是均值为0，标准差为1的正态分布。
在实际应用中，我们常常需要将某个值转化为标准正态分布的形式，以便于计算概率值。
标准正态分布的密度函数如下：$ \displaystyle \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}} $其中，$x$ 是标准正态分布的随机变量。
标准正态分布的累积分布函数可以用表格或计算机软件进行计算。
通常来说，我们将需要计算的随机变量转化为标准正态分布的形式，再查找表格或使用软件进行计算。
对于一般的正态分布来说，如果我们已知分布的均值和标准差，计算任意随机变量$X$ 在某个区间 $[a,b]$ 内的概率 $P(a<X<b)$ 比较困难。
因此，通常使用标准正态分布进行计算。
1. 将区间 $[a,b]$ 中的值转化为标准正态分布的值，即：2. 计算标准正态分布中的概率 $P(z_a<Z<z_b)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。
可以使用表格或计算机软件进行计算。
3. 得到所需区间内的概率 $P(a<X<b)$。
由于正态分布是连续分布，因此概率值是一个区间，并不是一个具体的概率。
以下是一些常用的正态分布概率计算：1. 计算给定正态分布的随机变量 $X$ 大于等于某个值 $a$ 的概率 $P(X\geq a)$。
可以使用标准正态分布来进行计算，先将 $a$ 转化为标准正态分布的值 $z_a$，然后计算 $P(Z\geq z_a)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。
正态分布表三位小数
正态分布表三位小数
正态分布表是一种用于计算标准正态分布的累积概率的工具。
由于正态分布是概率密度函数，计算其累积概率是一个复杂的数学问题，因此通常使用正态分布表来查找已经计算好的数值。
正态分布表通常给出了标准正态分布的累积概率值。
这些值是对应于不同的Z-score（标准差单位）的概率，可以用来计算
在一个给定范围内的概率。
以下是一个示例正态分布表的部分内容：
Z-score 累积概率
-3.00 0.001
-2.99 0.002
-2.98 0.003
-2.97 0.004
...
0.00 0.500
0.01 0.504
0.02 0.508
0.03 0.512
...
3.00 0.997
3.01 0.998
3.02 0.999
3.03 0.999
在实际应用中，可以使用正态分布表来查找指定Z-score对应
的累积概率的值。
例如，如果想知道Z-score为1.96（对应于95%的置信水平）的累积概率，则可以在表中查找到0.975。
需要注意的是，正态分布表通常给出的累积概率是到指定Z-score的右侧的概率。
如果需要计算到左侧的概率，可以使用1减去右侧的累积概率值。
由于正态分布的计算非常复杂，为了提高计算效率，很多统计软件和计算机软件都提供了计算正态分布概率的函数，可以直接使用这些函数来进行计算，而无需使用正态分布表。
正态分布表三位小数
正态分布表三位小数
正态分布表（也称为标准正态分布表）是用于计算正态分布的概率的一种工具。
由于正态分布是连续概率分布，所以无法通过简单的计算得到精确的概率值，而需要使用正态分布表来进行估计。
正态分布表通常是以标准正态分布（均值为0，标准差为1）为基准建立的。
表中列出了不同的Z值（标准差的倍数），以及对应的累积概率值。
根据需要，可以使用这些累积概率值来计算不同区间内的概率。
由于正态分布表是根据标准正态分布建立的，因此可以通过将原始正态分布转化为标准正态分布，然后利用正态分布表进行计算。
正态分布表通常是四位小数的精度，而不是三位小数。
每个Z 值对应的累积概率值都以四位小数给出。
因此，无法提供三位小数的正态分布表。
如果需要更高精度的正态分布表，可以参考统计学教科书或使用计算机软件来进行计算。