应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算实变函数定积分留数定理是复变函数中的一个重要定理，用于计算围道中的奇点处的留数（residue），并应用于计算复变函数的积分。
但是，在实变函数中，我们也可以将留数定理应用于特定的情况下，来计算实变函数的定积分。
留数定理的基本思想是将实变函数扩展为复变函数，然后计算复变函数在久里斯曼圆中的奇点处的留数，最后应用留数定理将奇点的贡献转化为整个久里斯曼圆的贡献，从而得到实变函数的定积分。
下面我们将介绍如何应用留数定理计算实变函数的定积分。
首先，我们考虑一个一元实变函数f(x)，我们希望计算其在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx。
为了将实变函数扩展为复变函数，我们可以将f(x)视为复变函数在实轴上的取值，即f(z) = f(x)，其中z = x+iy为复平面上的复数，x为实数，y为虚数。
接下来，我们将实变函数扩展为复变函数的方法是引入一个收敛的复函数F(z)，并构造一个包含[x_1,x_2]区间的有限大小圆C的闭合曲线Γ，该圆C不包含[x_1,x_2]区间上的任何奇点。
然后，我们计算复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数。
根据留数定理，F(z)在C中的奇点处的留数之和等于C中的奇点数目与围道曲线Γ绕过奇点的次数的乘积。
由于圆C的半径是有限的，其包含的奇点数量是有限的。
因此，F(z)在C中的奇点处的留数之和是有限的。
然后，我们利用留数定理的一个推论，即围道曲线Γ上的积分等于复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数之和。
具体而言，我们有∫Γ F(z) dz = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。
最后，我们将上述等式中的围道曲线Γ替换为两条直线的组合，一条是[x_1,x_2]区间上的水平线段，另一条是连接x_1和x_2的垂直线段。
这样，我们得到了实变函数f(x)在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->?为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。
而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下：1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路；2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+??；3）()lf z dz ??可以应用留数定理，1()l f x dx ?就是所求的定积分。
如果2()l f z dz ?较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则d z izdx =∴dzdx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑?? 图1类型二-()f x dx ∞∞.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ?两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=?()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+??在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x d x f z dz π∞-∞+??在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dz Rf z dz zf z zf z zf z zf z zzR≤≤=?→?所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞,0()sin G x mxdx ∞?.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=?求解方法：00111()cos ()()()()222imx imx imximx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+?经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=?同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+??在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和所以0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=?在上半平面所有奇点的留数之和 0 ()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形考虑积分-()f x dx ∞∞，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路.于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++??取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有图3()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=?-??所以()0lim 0C P z dz εεα→-=?而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εε??παε?ππαααε----=-==-=---?于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx iResf z iResf z ππ∞∞=+∑∑上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=?这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有10=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞??==被积函数在单极点的留数即sin =2x dx x π∞推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==?(m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-?(m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分2sin()x dx ∞和20cos()x dx ∞解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =?? 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=?令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-/4(1)8i e i πππ=-=-+/4222222i R Riz ReizizC C z Re dz e dz e iziz π==+??2Riz C e dz ?而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）图4。
§5.2-利用留数定理计算实变函数的积分
eiz z dz 0 C
由图可得：
Cr
2 iz dz e 1 dz 1 iz z z 2! Cr dz i2 i z dz z Cr 2! Cr iz
由图可得： lim
r 0
3、实轴上存在奇点的情形 例6、计算
0
sin xdx x
。
解：取r及R，使得R>r>0，我们有：
R
r
ix ix R e e sin xdx dx r x 2ix
ix r e 1 R eix dx dx r R x 2i x
如图所示构造辅助线，则：
R
R
f ( z )dz
R
f ( z )dz 2 i
Im
k
Res f ( z )
z k
0
用上述引理考察圆弧段积分：
am z m a0 P( z ) zf ( z ) z z Q( z ) bn z n b0
a0 a m z m 1 m z n b0 z bn n z 很显然，当nm+1有： R m 1 am lim zf ( z ) lim 0 R R R n bn
r 所以，若当z时f(z) 0，则： f ( z )eiz dz 0 CR
sin xdx 1 eiz eiz 最后有： lim 0 x 2i R C z dz lim C z dz r R r
2
定理4：设函数 f(z)满足：(1)在Im(z)>0内，存在有限个孤立奇 点；(2)在实数轴上存在有限个孤立一阶极点；(3)在上半空 间当z时，f(z)0，则：
应用留数定理计算实变函数定积分
0
F x cos mxdx i F z eimz 在上半平面所有奇点的留数之和
解:本例中 F z eimz
eimz 2 有两个单极点 ai， 2 z a
其中+ai在上半平面，而
F z eimz eimz 2 在单极点 ai的留数为 2 z a
eimz e am lim z ai z ai z ai z ai 2ai 应用 4.2.9
利用(4.2.6)得
1
dx 1 1 x 2 2i 2i
dx 1 x 2 darctgx
例4 计算
1 x
dx
2 n
n为正整数。
1
2 n
解：本例 f z
1 z
z i n z i n
zeimz
2
a
2 2
有两二阶极点 ai，
其中+ai在上半平面，而 Gz eimz
z
zeimz
2
a
2 2
在 ai的留数为
imz m ma 1 d ze 2 lim z ai 2 e 2 2 z ai 1 ! dz z a 4a
§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
柯西公式和留数定理解决的是沿着闭合回路积分的问题：
柯西公式
1 f f z d . 2i l z
f
n
n! z 2 i
z
l
f
n 1
d
留数定理
f z dz 2i Re sf b 4.1.5
留数定理
分别包围着 b1 , b 2 , b 3 , b n
留数定理 4
f ( z )d z
l
f ( z )d z
l1
f ( z )d z
l2
f ( z )d z
l3
l
f ( z )d z
ln
2 i[R e s f ( b1 ) R e s f ( b1 ) R e s f ( b n )]
留数定理 9
a m lim ( z z 0 ) f ( z ) 非 零 有 限 值 m 阶 极 点 存 在
m z z0
d
m 1 m 1
dz
[( z z 0 )
m
f ( z )] ( m 1) ! a 1
m! 1!
a0 (z z0 )
( m 1) ! 2!
21
类似地有
0
G ( x ) s in m x d x
2i
1
G ( x )e
im x
dx
这样，类型3的积分就转化为类型2的积分，只是要求
zF ( z ) e
im z
, zG ( z ) e
im z
当z在上半平面或实轴上趋于无穷时，一致地趋于0。
利用约当引理， lim
R
F ( z )e
留数定理 3
由前面的例题知
l
f ( z ) d z 2 ia 1
洛朗展开级数中负1次幂的系数称为函数 f ( z ) 在该奇点的 留数residue(残数),记为 R e sf ( z0 ) 有
4-2应用留数定理计算实变函数定积分
Re sf (i) lim[(z i) f (z)] zi lim 1 1 zi z i 2i
dx 1 x2
2i 1
2i
例5：计算 I
dx 0 (1 x2 )n
，（n为正整数）
解：∵ f (x) 1 是偶函数
(1 x2 )n
I 1 dx
2 (1 x2 )n
而 f (z) 1
②满足类型二的其它条件；
结果：
f (x)dx 2i Re sf (z) i Re sf (z)
1
2
1Re sf (z) 的求和范围是上半平面 2 Re sf (z)的求和范围是在实轴上
例8：计算
sin mx 0 x(x2 a2 ) dx
(m>0,a<0)的值。
解：
1 x(x2
a2)
2 R(cos x，sin x)dx 2i 0
n
Re sf (zk )
k 1
zk为f(z)在单位圆内的奇点
例1：计算 I 2 dx
0 1 cosx
(0 1)
I
|z|11
dz / iz (z z1)
/
2
2 i
dz
|z|1 z2 2z
2 i 2 i 1 2 1 2
0
2
G(x) sin mxdx
1
G(x)eimxdx
0
2i
要计算右边的积分，需要用到约当引理。
约当引理
如果m为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平
面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上→∞时，
F(z)一致地→0，则
lim F (z)eimzdz 0
R CR
证明： F(z)eimzdz F(z)eimxmydz
42留用留数定理计算实变函数定积分
42留用留数定理计算实变函数定积分假设我们要计算实变函数f(x)的定积分∫abf(x)dx，我们可以将其表示为复变函数在实轴上的延拓。
具体来说，我们将f(x)定义为实轴上的复变函数f(z)，其中z=x+0i。
这样，我们就可以将实变函数的定积分转化为复变函数的积分。
然后，我们需要确定函数f(z)的奇点及其类型。
对于实变函数来说，奇点一般包括不连续点（包括可去奇点、跳跃奇点和极性奇点）以及无穷远点。
我们只需要关注有限个奇点，因为无穷远点的留数为零。
对于可去奇点，我们可以将其用幂级数展开，并去除它的主部。
这样，我们得到的复变函数在该奇点周围的展开式与原函数f(z)相同，但是去除了主部项。
对于跳跃奇点，我们可以将其用Laurent级数展开。
Laurent级数包括正幂级数和负幂级数两部分。
我们可以将原函数f(z)分解为这两部分，然后计算每一部分的积分。
对于极性奇点，我们可以将其用Laurent级数展开，并利用留数定理计算主要项的留数。
主要项是Laurent级数中的负幂级数部分，它的系数就是该奇点的留数。
我们将主要项的负幂级数部分的系数与2πi相乘，就得到了该奇点的留数。
最后，我们利用留数定理，将函数f(z)在所有有限奇点上的留数相加，再加上无穷远点的留数，就得到了定积分的值。
留数定理可以表示为以下公式：∮f(z)dz = 2πi(Res[f,a1] + Res[f,a2] + ... + Res[f,an] +Res[f,∞])其中An是函数f(z)在复平面上的所有奇点，Res[f,ai]表示函数f(z)在ai处的留数。
综上所述，利用留数定理可以计算实变函数的定积分。
只需要将实变函数表示为复变函数的形式，并确定复变函数的奇点类型，然后根据所得的展开式计算留数，最后将留数相加即可得到定积分的值。
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。
而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰Ñ；3）()l f z dz ⎰Ñ可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。
如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰Ñ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ϕ两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=⎰图1()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰⎰Ñ根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x dx f z dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dzRf z dz zf z zf z zf z zf z zzRππ=≤≤=⋅→⎰⎰⎰所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理 如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=⎰求解方法：000111()cos ()()()()222imx imx imx imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+⎰⎰⎰⎰经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=⎰⎰⎰⎰同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=⎰⎰ 由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路. 于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰Ñ取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰ 解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有图310=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =⎰Ñ 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+/4222222i RRiz Reiz izC C z Redz e dz e iziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）2222sin 2cos 2sin 22222222R RRiz R iR R i i C C C eeedz Re id Rd iz iR eRϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 图4所以21(1)08I iI iπ+-+=即18Iπ=，28Iπ=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co0)s(,axe bx bdx a∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写221cos2ax ax ibxe bxdx e e dx∞∞---∞=⎰⎰取如图所示回路，由于矩形区域内函数2ax ibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzle dz-+=⎰Ñ即2222234N ax ibx az ibz az ibz az ibzN l l le dx e dz e dz e dz-+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰当N→∞时，2222234ax ibx az ibz az ibz az ibzl l le dx e dz e dz e dz∞-+-+-+-+-∞=---⎰⎰⎰⎰只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2ax ibxe dx∞-+-∞⎰所以，2cosaxe bxdx∞-⎰就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。
应用留数定理计算实变函数定积分
dx
=
πi⋅
1 e −ma 2a i
=
π 2a
e −ma
.
作业：P.81：1(1)，(5)； 2(1)，(2)，(4)，(6)； 3(3)，(4)，(5)，(6)；
0
严格证明包括“约当引理”的证明（略）.简单说明如下：
(4.2.3) (4.2.4)
*简单说明如下：
1. 用 cos mx = 1 (eimx + e−imx ) ， 2
可推出
∫ ∫ ∞
F (x) cos mxdx
=
1
∞
F (x)eimxdx
；
0
2 −∞
类似有
∫ ∫ ∞
G(x)sin mxdx =
1
iz
2
i2
(4.2.1)
x 从 0→2π对应 z = 1逆时针一周的回路．
∫2π
例题 1[书例]： 计算 I =
dx
0 1 + ε cos x
(0 < ε < 1) ．
解：按(4.2.1)
dz
∫ ∫ I =
iz
z
=1
1
+
ε
z
+
z
−1
=
2 i
dz z =1 εz 2 + 2z + ε
2
上式最后一个积分上节已用留数定理算出为 i π . 1− ε2
423
复变函数讲稿
解： 1 eimz =
1
eimz 具有两个单极点±a i ，设 m > 0，a > 0 其中
z2 + a2
(z − ai)(z + ai)
a i 在上半平面，留数为 Re s f (ai) = lim eimz = 1 e−ma ， z→ai z + ai 2a i
第四章 留数定理chen
1 其中( z − z0 )−1 = 的系数a −1 = 0 z
z −2 k =∑ k =0 k !
∞
( | z |> 0 )
Res f (0) = 0
留数的计算
【例4】求出函数 f ( z ) = 【解】函数f ( z ) = z 1 − sin2 z 2
z 1 − sin2 z 2
在 | z |< 2的奇点及在各奇点的留数。
( z − z0 ) m f ( z ) = a − m + a − m + 1 ( z − z0 ) + L + a−1 ( z − z0 )m −1 + a0 ( z − z0 )m + a1 ( z − z0 )m + 1 + L ∴ lim( z − z0 )m f ( z ) = a− m
上式右边的 积分仅当 k = −1 时不为 零
k =−∞
∑a ∫
k
l0
∞
l0
( z − z0 ) dz
k
f ( z )dz = a−1 ∫
1 2π i
∫
l
1 dz = 1，（l 包围α） z −α
1 dz z − z0
∫
l
1 dz = 2π i z − z0
∫
【留数】Laurent级数中 ( z − z0 )−1 的系数 a−1 称为函数 在 z0 点的留数(残数)，通常记作 Res f ( z0 )。
f (z) =
在Laurent级数的收敛环里任取一个 紧 紧 包 围 着 z0 的 小 回 路 l 0
k =−∞
∑
∞
a k ( z − z0 ) k
l0
教学课件第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
需要注意的问题和难点
03
在应用留数定理计算实变函数的定积分时，需要注意定积分的
定义域、奇偶性、极点等问题，以及留数的计算和判断。
留数定理在实变函数中的进一步应用
留数定理在解决更复杂定积分问题中的应用
除了简单的定积分计算，留数定理还可以应用于解决一些更复杂的定积分问题，例如与 微分方程、积分方程等相关的定积分计算。
选择一个简单的积分路径， 使得计算留数变得容易。
避免奇点
避免积分路径经过函数的 奇点，以免影响留数的计 算。
考虑对称性
根据函数的对称性，选择 适当的积分路径以简化计 算。
计算被积函数的留数
确定奇点
确定被积函数在积分路径 内部的奇点。
计算留数
根据留数定理，计算被积 函数在奇点的留数。
处理无穷大
如果被积函数在奇点处无 穷大，需要特别处理以正 确计算留数。
留数定理的重要性
留数定理在实变函数中的应用，使得原本难以计算的定积分变得简单易行，提高 了计算的效率和准确性。
留数定理不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥了重要 的作用，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
02
留数定理的原理
留数的定义与性质
留数
对于在闭曲线上的奇异点附近的 积分，通过将函数在奇异点的左 右极限值相减，得到的值即为留 数。
导。
积分路径的可去性
积分路径可以是任意的简单或 复合闭曲线，但必须保证不经 过奇异点。
留数的可求性
在奇异点附近，被积函数必须 能够解析或通过其他方法求得 留数。
唯一性
对于同一个奇异点，其留数是 唯一的，不依赖于积分路径的
选取。
03
计算实变函数定积分的步骤
4-2用留数定理计算实变积分
e
2 3
i
I
1 3
e
2 3
i
2
i
1
e
2 3
i
2
3 9
3. 同时包含有理式和三角函数的积分
约当引理：m 为正数，CR 是一个以原点为圆心而位于上半平面的半圆，且当 z 在上半平面及实轴上 趋于无穷大时， F (z) 一致的趋于零，则有
证明，略
lim F (z)eimzdz 0
R CR
考 虑 形 如 F (x) cos pxdx 或 F (x) sin pxdx 的 积 分 ， 一 般 情 况 下 ，
2 22n
(2n)! n!n!
练习：习题 1 中的（1），（5），（7）
2. 无穷积分
引子：
1 1
1 x2
dx
1 x
1 1
2
，对吗？
定义：
f (x)dx lim R2 f (x)dx
R1 R1
R2
有时这种极限不存在，但 lim R f (x)dx 存在，称为积分主值， R R 记为
下是成立的。而积分
数学物理方法
4.2 用留数定理计算实变积分
丁成祥
f (z)dz 2 i Resf (z)
C
上半面
所以，在 c 为 f (x) 单极点的情况下，有
f
( x)dx
2 i(
Re sf
上半平面
(z)
1 2
Re sf
(c))
更一般的情况，实轴上有若干个孤立奇点 Ci ，则有
备注：所谓 zf(z)一致的趋于零，即 max | zf (z) | 0 .
例 1：计算积分 I
dx (1 x2 )3
第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
点的一条正向简单闭曲线, 则
n
包括无限远点和
f (z) d z 2 π i Res f (bj ). 有限远的奇点
l f (z)dz 2l if z在所有j有 1 限远点的留数之和
0 2if z在所有各点的留数之和
lim ( z
zz0
z0 )
f
(z) =
2
2z
4
例1 计算
2
I
dx ••(0 1)
0 1 cosx
解 由公式得
I
dz / iz
|z|1
1
z2
1
2 i
dz
|z|1 z2 2z
2z
dx dz iz
cos x 1 eix eix 2 z2 1 2z
而由上节例题可知
z2
|z|1
dz 2z
•
2i Re sf
(z0 )
2i
2
1
1 2
i 1 2
故可得结果为
2 i
2
I
i 12 12
5
例2
计算
I
2 0
1
2
dx c os x
2
••(0
1)
解 由公式得
dz / iz
i
I
|z|11 (z z 1) 2
1
1 z2 (z i)( z i)
具有单极点士i,其中+i在
上半平面,并且有
Re sf (i) limz i f z lim 1 1
4.2留用留数定理计算实变函数定积分
解析延拓246224611...(||1)1()1...(||1)||1()b z z z z zf z z z z z z f z -+-+=<+=-+-+<<↓是幂级数，在单位圆内部收敛，其和是解析函数，但在单位圆外级数发散而没有意义。
在一较小的区域上为解析函数21()1b B F z z i =+±↓在除去z=的全平面上是解析函数。
在含区域的一个较大的区域上是解析函数22|z|<1b 1F(z)f(z)1z +...(|z|<1)1z两者在较小的区域（）上等同称＝是＝－的＋解析延拓b ()F(z)Bb ().f z f z ⇒解析延拓：已给某个区域上的解析函数找出另一函数，在含有区域b 的一个较大区域上为解析函数，且在区域上等同于即解析函数定义域的扩大bB4.2 利用留数定理计算实变函数定积分留数定理的一个重要应用是计算某些实变函数的定积分。
实变函数的定义域在实轴上，而运用留数定理时需要寻找一个回路，显然在计算此类积分时需要构造一些回路。
教学重点：介绍三类实变函数定积分的计算().baf x dx a b l →⎰1积分区间[,],可看作复平面上的实轴上的一段xyo l 2121212(1)(2)B ()B (z)()()()ll l l l l l l l l f x f f z dz f x dx f z dz→−−−−→=+⎰⎰⎰ 解析延拓构造回路方法：利用自变数变换将复平面上某个新的回路补一段曲线，使＋＝回路，包围区域，则上的闭上的↓↓↓利用留数待求积分较易算出的积分定理计算 一般为0或用待求 积分表示bal 1B20(co i ,s ,s n )R x x dx ππ⎰类型一：特点：被积函数为三角函数的有理式积分区间[0,2],:0~2,11()ix ix ixixz e x z e z z dz dz d e ie dx dx izπ===−−−−−→===∴=绕原点一周回到方法：作变数代换：令则从xyo2πl 11111||11111cos (),sin ()2222I=(,)2Re (),221()(,)22ix ix ix ixk z e e e e x z z x z z i iz z z z dzR i sf z i iz z z z z f z R iz iπ------=--+-==+==-→+-=+-=⎰ 则实变函数定积分复变函数回路积分则原积分2012||1||1I=(01)1cos ,/()2212ixz z dx x dz z e dx iz dz iz dzI z z i z z πεεεεε-==<<+==∴==++++⎰⎰⎰ 例1：解：令则1122122221,21121122||122(1)()()244111112()111Res '()2222212222Re ()21z z z z z z z z z z z z z z z z f z z z z dz I i sf z i z z i εεεεεεεεεεεεϕψεεεππεεε===++++=---±--±-==-±-=∴===++-∴===++-⎰ 令＝在|z|=1内只有一个奇点，且为单极点()=2212221111|1(1)(1)111111|1z z εεεεεεεεεεεε-+---==---<=---+-==>>且||2022022222002I=(0)cos 2(01)1cos 11122()cos (1cos )1dxa a x dx x dx dx a x a a a x a aππππεεπεεεππεεεε>>+=<<+-∴===+-+-⎰⎰⎰⎰例：解：由可作为公式来用20220222023322222222233220022222I=(1)cos (01)1cos 2cos 1222(cos )2()()221(cos )1cos ()(1)dxa a x dx x dx a a x a dx aa a x a a dxadxa a x x a ππππππεεπεεππεεεππεεεε>+<<+=+--=-=-+--===++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰例：例：（）解：在基础上两端对求微分再令，（）2201122||1||1||12||1||11I=(01)12cos 1,,cos ()22/()()122,()(1)()(1),ix ixixz z z z z dxx dz e e z e dx x z z iz dz iz idz idzI z z z z z z z z idz idzz z z z z πεεεεεεεεεεεεεεεε---=====<<-++====+--∴===+--+----+-==----∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例：计算解：令则211212||11||1Res ()lim()()(1)12I=2Res ()()(1)1z z z z z i if z z z z idz i f z z z εεεεεεεεππεεε→====∴==----==---⎰ 是被积函数的两个单极点，但在内只有一个极点。
留数的应用—用留数定理计算实积分
cos x dx a b sin x
2 2
2
a b sin x a b dx 2 2 0 b b 2 2 2 a b 2 a I 2 b b
2
2
0
1 dx a b sin x
I
2
0
1 dx a b sin x
1
| z| 1
2 dz 2 | z| 1 bz 2iaz b
例5 计算积分I 0
dx . 2 2 (1 x )
1 . 解 作辅助复函数f ( z ) 2 2 (1 z )
它在上半平面仅有一个二阶极点z i, 且
1 Re s( f , i) 2 ( i z )
Cr : {z reit ;0 t }.
包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.
思想与方法： 把定积分化为一个复变函数沿 某条封闭路线的积分 .
两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化
例1 计算积分 I 0
ix
2
2
dx 3 cos x
2
解 ： z 沿正向圆周 z 1 绕行一周， 当 x 从0 到 2 时， 因此，
z z
z
z3
2
1
2
1 lim 0 z z
计算 f z 在上半平面奇点处的留数
z 2 Re s 2 2 f z ,i z i z i z i
2
z i
2z 2z2 2 3 z i z i
2
i
1 i z 1 i cos e e 2 2z
9《数学物理方法》第九讲应用留数定理计算实变函数的积分
-----《数学物理方法》第八讲-----
dx 计算： 计算： ∫ 题 −∞ 1 + x 2 ∞ dx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫l f ( z )dz =
例
∞
1 ∫l 1 + z 2 dz =
dz ∫l ( z + i)( z − i)
的两个单极点， z = ±i 为 f ( z ) 的两个单极点，其中 z = +i 在上半平面 1 1 1 Re sf (i ) = lim = lim = 2 z →i (1 + z ) ' z →i 2 z 2i
∞
类型Ⅲ 类型Ⅲ：
∫
∞
0
F ( x) sin mxdx
∫
∞
0
F ( x) sin mxdx
F 特点： 为奇函数。 特点：积分区间为 [0, ∞) ， ( x) 为偶函数 G ( x) 为奇函数。
要求： 在上半平面除有限个起点外解析， 要求： ( z ) 和 G ( z )在上半平面除有限个起点外解析，当 z → ∞ F
b
∫
l
f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz
l1 l2
应用留数定理 那么
2π
如果该积分容易计算
∫
l
f ( x)dx 就容易计算了。 就容易计算了。
下面介绍几个可以利用留数定理计算实变函数积分的例子 类型Ⅰ 类型Ⅰ： ∫ R (sin x, cos x) dx
0
要求：被积函数是三角函数的有理式； 要求：被积函数是三角函数的有理式；积分区间为 [0, 2π ]
1 得： sf (i) = Re (−n)(−n − 1)(−n − 2) L (−n − n + 2)(2i ) −2 n +1 (n − 1)! (2n − 2)! 1 = (−1) 2 n −1 i 2 [(n − 1)!] 2
第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
∫
同理有
∞
0
1 ∞ F ( x) cos mxdx = ∫ F ( x ) e imx dx 2 −∞
∫
∞
0
1 ∞ G ( x) sin mxdx = ∫ G ( x)e imx dx 2i −∞
由此我们把类型三化为类型二来处理! 由此我们把类型三化为类型二来处理! 类型三化为类型二 在类型二中,要求z 在类型二中,要求z在上半平面或实轴上→ ∞ 时，zF(z)eimz 和 imz一致地 → 0 ， 但我们希望条件可以放宽一些,由此 但我们希望条件可以放宽一些, zG(z)e 我们引入约当引理 约当引理, 我们引入约当引理,此时我们可以把条件放宽为 F(z)和G(z)一致地 F(z)和G(z)一致地 → 0
∫ f ( z ) dz = 2π i{ f (z )在所有有限远点的留数
l j= 1
l
∫ f (z)dz = 2πi∑Res f (b ).
j
n
包括无限远点和 有限远的奇点
之和 }
0 = 2πi{ f ( z )在所有各点的留数之和}
z → z0
z→z0
lim ( z − z 0 ) f ( z ) = 非零有限值
b a
dz ix 作变换 z = e , Q dz = e idx, ∴ dx = iz 1 ix −ix z − z −1 z 2 − 1 sin x = e −e = = 2i 2i 2iz 1 ix − ix z2 + 1 z + z −1 cos x = ( e + e ) = = 2 2z 2
10
然后应用公式可求得结果
∫ (
−∞
∞
例5
解 这里积分区间为 [0,+∞ ) 不符合条件,不能直接应用公式! 不符合条件,不能直接应用公式!
大学物理-利用留数定理计算实积分
闭合回路 L 的构成：原积分路线上增加半圆 CR (R→ )
则
其中 bk 为 F (z) 在上半平面的孤立奇点。
在以上推导中，还需
。
(实际上是求在引入曲线 CR 上的积分) 约当引理：
若 z 在上半平面及实轴上趋于 时，f (z) 一致地趋于 零，则
其中 m > 0，CR 是以 z = 0 为圆心、R 为半径的位于上半 平面的半圆。
证明：1. 令
，因为在
所以
设 则
而
这说明 – tan 单调递减，且由于 G(0) = 0，故
从而
所以 g ( ) 在 (0, / 2] 是递减函数，则
因此 即
函数
与函数
的曲线图
2. 令 z = Re i ，则 dz = Re i i (半圆上)，于是 而 |d|=d ， ：实数，且 d > 0 (逆时针) ，对于积分
式中已经变换了求和指标，并利用了
ln 2 (1)k 1 1 1 1 1
k 1
k
234
三、
型积分 (常见于傅里叶变换中)
因为
故求上式中等号右边的两个积分归结于求左边的积分。
注：
理解为它的积分主值。
对 f (z) 有以下假设： 1. f (z) 在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析，在实轴
1 , 2 0 c1
x c 1,2 0 c1
它一般不为零。但由于右边的被积函数是奇函数，如果
1 = 2，则在 1= 2 = 趋于零之前，积分就已经是零。
因此，当 c 为 f (x) 的一阶极点时，有
c
lim f (x)dx 0
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应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。
而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰；3）()lf z dz ⎰可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。
如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至图1.根据留数定理，而所以类型三积分区间是实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z0.约当引理如m z在上半平面及实轴0，则经自变量代换，上式变为同理由类型二可知由约当定理同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和 0()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路. 于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分图3（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰ 这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有10=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e==∴2210ixI iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ixe 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20iz le dz =⎰即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/4lim lim()i i i i i RRR R ee d eed eed ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+图4/4222222i R Riz Reiziz C C z Re dz e dz eiziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞） 2222sin 2cos 2sin 22222222R RRizRiR R i i C C C e e e dz Re id Rd iz iR e R ϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 所以21(1)08I iI i π+-+=即18I π=，28I π=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co 0)s (,ax e bx b dx a ∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写2201cos 2ax ax ibxe bxdx e e dx ∞∞---∞=⎰⎰ 取如图所示回路，由于矩形区域内函数2ax ibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzledz -+=⎰即2222234NaxibxazibzazibzazibzNl l l e dx e dz e dz e dz -+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰图5.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。