数列综合测试卷

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数列单元测试卷

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数列单元测试卷1.已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .2.设等比数列}{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 .3. 等比数列{a n }的前n 项和S n =________;设a =a 11-q (q ≠1),则S n =________.4. 在等比数列{}a n 中,若S 4=1,S 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20的值为________.5. 已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=________.6.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,364,243,362===n S a a ,则=n .7. 已知等比数列{a n }的公比q =2,a n =96,前n 项和S n =189,则这个数列共有________项,首项a 1=________. 8. 已知等比数列{a n }的首项为8,S n 是其前n 项的和,某同学经计算得S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为________.9.等差数列}{n a 中,a 1=2,公差不为零,且a 1,a 3,a 11 恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于_______________________.10. 设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ,已知S 4=1,S 8=17,则数列{}a n 的通项公式为________.11 . 已知等比数列{a n },a 2>a 3=1,则使不等式(a 1-1a 1)+(a 2-1a 2)+…+(a n -1a n)≥0成立的最大自然数n 为________.12. 如果lg x +lg x 2+…+lg x 10=110,那么lg x +lg 2x +…+lg 10x =________. 13.若数列{}n a 满足:1.2,111===+n a a a n n ,2,3….则=+++n a a a 21 .14.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列,,,c a b 成等比数列,且310a b c ++=,则a = . 15. 已知nS 为等比数列{}n a 前n 项和,0>n a ,80=nS ,65602=n S ,前n 项中的数值最大的项为54,求100S .16.{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,a 1=b 1 =1, a 2+a 4 =b 3,b 2b 4=a 3.分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.17.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差数列.18.在等比数列{}n a 中,,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围.19. 在等比数列{a n }中,S n 为前n 项和,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126,求n 和公比q 的值.20.已知{a n }是首项为a 1,公比q (q ≠1)为正数的等比数列,其前n 项和为S n ,且有5S 2=4S 4,设b n =q +S n .(1)求q 的值;(2)数列{b n }能否为等比数列?若是,请求出a 1的值;若不是,请说明理由.21.(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2122111()2222n n n na a a n N ++++⋅⋅⋅+=∈. (1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 求数列{a n }的前n 项和S n .22.设数列{a n }是公差大于零的等差数列,已知a 1=2,a 3=a 22-10.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)设数列{b n }是以函数y =4sin 2πx 的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{a n -b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷参考答案: 1.3n 23-⨯; 2.2-;3. ⎩⎪⎨⎪⎧a 11-q n1-q q ≠1,na 1q =1.a -aq n4. 16 [提示] 由a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-q 41-q =1,a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-q 81-q =3,得1+q 4=3,q 4=2,所以a 17+a 18+a 19+a 20=a 1q 16+a 2q 16+a 3q 16+a 4q 16=q 16=24=16.5. 323⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14n [提示] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =2,a 1q 4=14,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,q =12.所以{a n a n +1}是首项为a 1a 2=8,公比为q 2=14的等比数列.6. 6[提示]3,12433151612==⎩⎨⎧⇒====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a , 当3,11==q a 时,636431)31(1=⇒=--=n S n n ; 当3,11-=-=q a 时,[]n S nn ⇒=+---=36431)3(11无整数解. 7. 6 3 [提示] 由189=S n =a 1(2n-1),96=a 1·2n -1,得a 1=3,n =6.8. S 3 9.4 10.-1n·2n -15或2n -115 [提示] 设公比为q ,易知q ≠1.由S 4=1,S 8=17,得a 11-q 41-q =1,a 11-q 81-q=17,相除,得q 4+1=17,q =±2.当q =2时,a 1=115,a n =2n -115;当q =-2时,a 1=-15,a n =-1n·2n -15. 11. n =5 [提示] 由a 1+a 2+…+a n ≥1a 1+1a 2+…+1a n ,得a 11-q n 1-q ≥1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1q n 1-1q.又由a 2>a 3=1,得0<q <1且a 1=1q2.代入可得q5-n≤1.又 0<q <1, ∴ n ≤5.12. 2046 [提示] 由题意,得lg x +lg 2x +…+lg 10x =2×1-2101-2=211-2=2046.13.12n - 14.-415. 由0>n a ,80=n S ,65602=n S ,知1≠q ,∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=qq a S q q a S n n n n ∴81821122=⇒=--=nn n n n q q q S S , ∴1>q .又 前n 项中的数值最大的项为5411==-n n q a a ,∴321=q a . ∴ .133,21001001-=⇒==S q a16.∵ {a n }为等差数列,{b n }为等比数列, ∴ a 2+a 4=2a 3,b 3b 4=b 32. 而已知a 2+a 4=b 3,b 3b 4=a 3, ∴ b 3=2a 3,a 3=b 32. ∵ b 3≠0, ∴ b 3=12,a 3=14.由 a 1=1,a 3= 14 知{a n }的公差d =-38.∴ S 10=10a 1+10×92d =-558.由b 1=1,b 3= 12 知{b n }的公比为q =22或q =-22. 当q =22时,T 10=b 1(1-q 10)1-q =3132(2+2);当q =-22时,T 10=b 1(1-q 10)1-q =3132(2-2)17. 显然q ≠1,由S 3+S 6=2S 9,得a 11-q (1-q 3)+a 11-q (1-q 6)=2a 11-q (1-q 9), ∴ 1+1+q 3=2(1+q 3+q 6),2q 6+q 3=0. ∴ q 3=-12.∴ a 2+a 5=a 2+a 2q 3=a 2(1+q 3)=a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12=12a 2.a 8=a 2q 6=a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫-122=14a 2.∴ a 2+a 5=2a 8.∴ a 2,a 8,a 5成等差数列.18. 22213222236,(1)60,0,6,110,3,a a a a q a a q q ==+=>=+==±当3q =时,12(13)2,400,3401,6,13nn n a S n n N -==>>≥∈-;当3q =-时,12[1(3)]2,400,(3)801,8,1(3)nn na S n n ---=-=>->≥--为偶数;∴为偶数且n n ,8≥.19. 在等比数列{a n }中,a 1·a n =a 2·a n -1=128.又a 1+a n =66,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,a n =64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=64,a n =2.若a 1=2,a n =64,S n =126,则qn -1=32,1-q n=63(1-q ).将q n=32q 代入1-q n=63(1-q ),得q =2,n =6. 若a 1=64,a n =2,S n =126,则qn -1=132,32(1-q n)=63(1-q ). 将q n =q 32代入32(1-q n)=63(1-q ),得q =12,n =6.20. (1)由5S 2=4S 4,得 5a 11-q 21-q =4a 11-q 41-q,∴ 5(1-q 2)=4(1-q 4). ∴ q 2=14.又 q >0, ∴ q =12.(2)S n =a 11-q n 1-q =2a 1-a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,b n =q +S n =12+2a 1-a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.若{b n }成等比数列,则12+2a 1=0,∴ a 1=-14.此时b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1,b n +1b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1=12. ∴ {b n }成等比数列.故存在实数a 1=-14,使{b n }成等比数列.21.解:(1)n=1时,2111122a +=,得12a =;………………………2分n ≥2时,21221112222n n n na a a +++⋅⋅⋅+=,①2212121111(1)(1)22222n n n n n na a a ---+--++⋅⋅⋅+==,② ①-②得12nn a n =,2nn a n =⋅, 故2,12,2n nn a n n =⎧=⎨⋅≥⎩,即2n n a n =⋅(n N *∈)………………………8分 (2)1212222nn S n =⨯+⨯++⋅ ③23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④③-④得1231121212122nn n S n +-=⨯+⨯+⨯++⋅-⋅ ……………12分112(12)2(1)2212n n n n n ++-=-⋅=-⋅--……………14分故1(1)22n n S n +=-⋅+……………16分22.【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,a 1+2d =(a 1+d )2-10,解得d =2或d =-4(舍), 所以a n =2+(n -1)×2=2n . (2)因为y =4sin 2πx =4×1-cos 2πx 2=-2cos 2πx +2,其最小正周期为2π2π=1,故首项为1,因为公比为3,从而b n =3n -1,所以a n -b n =2n -3n -1,故S n =(2-30)+(4-31)+…+(2n -3n -1)=(2+2n )n 2-1-3n 1-3=n 2+n +12-3n 2.。

成都四川师范大学附属中学必修五第一章《数列》测试卷(含答案解析)

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一、选择题1.记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ,第n 项之后的各项12,n n a a ++,···的最小项为n B ,令n n n b A B =-,若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+,则数列{}n b 的前10项和为( )A .169-B .134-C .103-D .78-2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+,则2021S =( )A .20192020B .20202021C .20212022D .101010113.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层( ) A .7B .8C .9D .104.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40425.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列{}n a 的第n 项,则100a 的值为( )A .5049B .5050C .5051D .51016.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( ) A .5B .6C .7D .87.已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥,且19a =,其前n 项之和为n S ,则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是( ) A .5B .6C .7D .88.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1000S >,1010S <,则满足10n n a a +<的n =( )A .50B .51C .100D .1019.已知等比数列{}n a 中,若1324,,2a a a 成等差数列,则公比q =( ) A .1B .1-或2C .3D .1-10.若n S 是等比数列{}n a 的前项和,3S ,9S ,6S 成等差数列,且82a =,则25a a +=( ) A .12-B .4-C .4D .1211.设{}n a 为等比数列,给出四个数列:①{}2n a ,②{}2n a ,③{}2na ,④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是( ) A .①③B .②④C .②③D .①②12.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第11项对应的六边形数为( )A .153B .190C .231D .276二、填空题13.设S n 是数列{}n a 的前n 项和,且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈,则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14.已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()21n n S n a =+,则数列()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 15.已知等差数列{}n a 中,48a =,84a =,则其通项公式n a =__________16.已知函数()f x 在()1,∞-+上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则1100a a +等于________.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441xy x =-的图像上,11a =,数列{}n a 通项为__________.18.在数列{}n a 中,121a a ==,32a =,且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列,则n a =__________.19.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,若111,n n a a a n +=+=,则1916S S -的值为________. 20.已知数列{}n a 的首项为2,且满足1231+=+n n n a a a ,则1n a =__________. 三、解答题21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()nS n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设13n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 22.已知等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和,519a =,321S =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令1n n b S n=+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 23.已知正项等比数列{}n a ,首项13a =,且13213,,22a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n S .24.在①246a a +=,945S =②222n n n S =+③()121n n a n n a n -=≥-,11a =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,________,数列{}n b 为等比数列,112b a =,222a b =,求数列{}n n a b 的前n 项和n T .25.已知数列{}n a 满足11a =,1nn n a pa q +=+,(其中p 、q 为常数,*n N ∈).(1)若1p =,1q =-,求数列{}n a 的通项公式;(2)若2p =,1q =,数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明:22n T n <+,*n N ∈.26.已知等比数列{}n a 的公比3q =,并且满足2a ,318a +,4a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+,记n S 为数列{}n b 的前n 项和,求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】先利用单调性依次写出前几项,再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+,故从2a 起单调递增,且1231,0,3a a a ===, 所以11112101b A B a a =-=-=-=,22213b A B a a =-=-,33334b A B a a =-=-,44445b A B a a =-=-,…,1010101011b A B a a =-=-,又2112117116171a =⨯-⨯+=,所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选:A. 【点睛】 关键点点睛:本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增,才能依次确定{}n b 的项,找到规律,突破难点.2.C解析:C 【分析】由1(2)n n na n a +=+,可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,数列{}(1)n n n a +为常数列,令1n =,可得1(1)21n n n a a +==,进而可得1(1)n a n n =+,利用裂项求和即可求解.【详解】 数列{}n a 满足112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+, 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,可得数列{}(1)n n n a +为常数列, 有1(1)2n n n a a +=,得(1)1n n n a +=,得1(1)n a n n =+,又由111(1)1n a n n n n ==-++,所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=. 故选:C 【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.3.C解析:C 【分析】根据题意,假设电梯所停的楼层,表达出“不满意度”之和,利用等差数列的求和公式即可求得结论. 【详解】解:设电梯所停的楼层是(212)n n ,则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上,对称轴为5396x =≈, 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==.故选:C . 【点睛】本题考查数列知识,考查函数思想的运用,考查计算能力,求得“不满意度”之和是关键.4.B解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.5.B解析:B 【分析】观察数列的前4项,可得(1)2n n n a +=,将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =,2312a ==+,36123a ==++,4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=, 所以10010010150502a ⨯==. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题考查了观察法求数列的通项公式,关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.6.A解析:A 【分析】由等差数列的前n 和公式,求得1710a a +=,再结合等差数列的性质,即可求解. 【详解】由题意,根据等差数列的前n 和公式,可得1777()352a a S +==,解得1710a a +=, 又由等差数列的性质,可得17452a a a +==. 故选:A.熟记等差数列的性质,以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键7.C解析:C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4(n ∈N*)且a 1=9,其前n 项和为S n ,求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|<1125的最小整数n .故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-,然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列,求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案. 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得:3(a n+1﹣1)=﹣(a n ﹣1) 即:111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列. 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C . 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.8.A解析:A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>;510a <,进而可得500a >,据此分析可得答案. 【详解】根据题意,等差数列{}n a 中,1000S >,1010S <, 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>,则有50510a a +>;又由110110151()10110102a a S a +⨯==<,则有510a <;则有500a >,若10n n a a +<,必有50n =; 故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用,涉及等差数列的性质,属于基础题.9.B解析:B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列,所以312242a a a =+,即2111242a q a a q =+,化简得220q q --=,解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.10.C解析:C 【分析】当公比q=1时,易推断不符合题意,故q 1≠,然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程,再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,2n a =,则36S =,612S =,918S =,此时396,,S S S 不成等差数列,不符合题意,舍去;当1q ≠时,∵396,,S S S 成等差数列,∴3692S S S +=, 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---,即96320q q q --=,解得312q =-或31q =(舍去)或30q =(舍去),∴8268a a q ==,8534a a q ==-,∴254a a +=,故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列;在应用等比数列的前n 项和公式时,公比不能为1,故在解题过程中,应注意公比为1的这种特殊的等比数列,以防造成漏解.11.D解析:D 【分析】 设11n n a a q -=,再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】 设11n n a a q-=,①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列;②,222222111=()n n n a a q a q --=,所以数列{}2n a 是等比数列;③,11112111211222=2,222n n n n n n n n a a q a a qa q a q a a q -------==不是一个常数,所以数列{}2n a不是等比数列; ④,122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数,所以数列{}2log ||n a 不是等比数列. 故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.C解析:C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数,记第n 个六边形数为n a ,找出规律,相邻两项差构成等差数列,累加求得22n a n n =-,将11n =代入求得结果. 【详解】记第n 个六边形数为n a ,由题意知:11a =,215141a a -==+⨯,32142a a -=+⨯,43143a a -=+⨯,,114(1)n n a a n --=+-,累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--,即22n a n n =-,所以21121111231a =⨯-=, 故选:C.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式,属于中档题目.二、填空题13.【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为:【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析:17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ,再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-=所以1112n nS S +-= 又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项,2为公差的等差数列, 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为:17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键.14.【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为:【点睛】本题主要考查了利用 解析:21nn + 【分析】根据n S 求数列通项,分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-,整理可得()121n n a a n n n -=≥-,即可求出通项公式,代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整理,最后利用裂项相消法即可求出数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.【详解】∵()21n n S n a =+,∴()1122n n S na n --=≥, ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥, ∴()121n n n a n a na -=+-,即()11n n n a na --=, ∴()121n n a a n n n -=≥-, 即11111n n a a a n n -====-,故n a n =, 则()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭,故11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 故答案为:21nn +. 【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式,考查了裂项相消法求和问题,属于中档题.15.【解析】∵等差数列{an}中a4=8a8=4∴解得a1=11d=−1∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n 解析:12n -【解析】∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4,∴41813874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得a 1=11,d =−1,∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .16.【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析:2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性,利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性,结合函数的单调性,根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值,最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,则函数()f x 的图象关于1x =-对称, 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =,所以5051a a 2+=-,因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列,所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为:2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性,等差数列的性质,涉及函数的图象的平移变换,属中档题,小综合题,难度一般.17.【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得:∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为:【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析:()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中n a 换为1n n s s --,整理得到1{}nS 是等差数列,公差2d =,然后由等差数列的通项公式得答案. 【详解】由题意可得:()24,241nn n S a n S =≥- ∴()214,241nn n n S S S n S --=≥-, ∴1140n n n n s s s s ---+=.两边除以1n n s s -,并移向得出1114,(2)n n n S S --=, 1{}nS ∴是等差数列,公差4d =,11111S a ==. ∴114(1)43nn n S =+-=-, 故143n S n =-. ∴当2n 时,()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----. 当1n =时,11a =不符合上式.()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩. 故答案为:()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩. 【点睛】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了运算求解能力,属于中档题.18.【分析】由等比数列通项公式求出然后由累乘法求得【详解】∵为等比数列由已知∴∴时也适合此式∴故答案为:【点睛】本题考查等比数列的通项公式考查累乘法求数列通项公式如果已知则用累加法求通项公式如果已知则用 解析:()()2122n n --【分析】由等比数列通项公式求出1n na a +,然后由累乘法求得n a .【详解】∵1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列,由已知211a a =,322a a =,32212a aq a a ==, ∴112n n na a -+=,∴2n ≥时, (2)(1)2212(2)3242112311122222n n n n n n n a aa aa a a a a a ---+++--=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==,1n =也适合此式, ∴(2)(1)22n n na --=.故答案为:(2)(1)22n n --.【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查累乘法求数列通项公式.如果已知1()n n a a f n --=,则用累加法求通项公式,如果已知1()nn a f n a -=,则用连乘法求通项公式. 19.27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为:27【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的解析:27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,由此可得通项,从而求得结论. 【详解】∵1n n a a n ++=,∴121n n a a n +++=+,相减得21n na a +-=,又1121,1a a a =+=,20a =,211a a -=-,所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差为1,21n a n -=,21n a n =-,1916171819981027S S a a a -=++=++=.故答案为:27. 【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的通项公式,解题时由已知等式中n 改写为1n +,两相减后得21n na a +-=,这里再计算21a a -,如果2211()22n na a a a +--==,则可说明{}n a 是等差数列,象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列.不能混淆,误以为{}n a 是等差数列.这是易错的地方.20.【分析】由已知整理得可得答案【详解】由题知则所以因为所以数列是以为首项为公比的等比数列所以则故答案为:【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式的问题关键点是构造数列为等比数列定义形式考查了学生的推理能 解析:532-n【分析】 由已知整理得1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a 可得答案. 【详解】由题知,113131222++==+n n n n a a a a ,则1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a , 所以1131123+-=-n na a ,因为11532-=-a , 所以数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 是以52-为首项,12为公比的等比数列,所以1151135222-⎫⎫⎛⎛-=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭n n n a ,则1532=-n n a .故答案为:532-n. 【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式的问题,关键点是构造数列为等比数列定义形式,考查了学生的推理能力、计算能力.三、解答题21.(Ⅰ)*65()n a n n N =-∈;(Ⅱ)11(1)261n T n =-+. 【分析】 (Ⅰ)根据点(,)()nS n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上,得到232n S n n =-,再利用数列通项与前n 项和的关系求解. (Ⅱ)由(I )得111()26561n b n n =--+,再利用裂项相消法求解. 【详解】 (Ⅰ)因为点(,)()nS n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上, 所以3 2.nS n n=-即232n S n n =-. 当n ≥2时,221(32)3(1)2(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当1n =时,113121a S ==⨯-= 所以*65()n a n n N =-∈. (Ⅱ)由(I )得[]131111()(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+, 所以1111111(1)()()277136561nn n l T b n n =⎡⎤==-+-+⋯+-⎢⎥-+⎣⎦∑,11(1)261n =-+. 【点睛】方法点睛:求数列的前n 项和的方法(1)公式法:①等差数列的前n 项和公式,()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩;(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的,则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 22.(1)41n a n =-;(2)2(1)n nT n =+.【分析】(1)由已知列方程求出首项和公差,可得答案; (2)求出n S 及n b 的通项公式,由裂项相消求和可得答案. 【详解】(1)∵313321S a d =+=①,51419a a d =+=② 由①②得13a =,4d =. ∴1(1)41n a a n d n =+-=-; (2)由(1)知41n a n =-,13a =,()234122n n n S n n +-∴==+;∴111112(1)21n n b S n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭, ∴11111111122233412(1)n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和,解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和,考查了学生的基础知识、基本运算.23.(1)3nn a =;(2)13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 【分析】(1)由已知13213,,22a a a 成等差数列求出公比q 后可得通项公式; (2)用裂项相消法求和n S . 【详解】(1)解:设等比数列{}n a 的公比为q , 由题意得:31212322a a a ⨯=+, 即211132a q a a q =+,即232q q =+, 所以3q =或1q =-(舍), 所以1333n n n a -=⋅=.(2)由(1)知233233111log log log 3log 3(2)n n n n n b a a n n ++===⋅⋅+,则11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=, 所以1111111112324112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,裂项相消法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.24.选①或②或③,()1122n n T n +=-⨯+.【分析】选①,设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,根据已知条件建立有关1a 、d 的方程组,求出这两个量,并求出q 的值,可得出数列{}n a 、{}n b 的通项公式,进而利用错位相减法可求得n T ;选②,设等比数列{}n b 的公比为q ,利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,并求出q ,可求得数列{}n b 的通项公式,再利用错位相减法可求得n T ;选③,设等比数列{}n b 的公比为q ,利用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式,并求出q ,可求得数列{}n b 的通项公式,再利用错位相减法可求得n T . 【详解】选①,设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 由已知条件可得2419124693645a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩,解得11a d ==,()11n a a n d n ∴=+-=,22122222a q a ∴===,111222n n n nb b q --∴==⨯=,2n n n a b n ∴=⋅,1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯,()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯,上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--,因此,()1122n n T n +=-⨯+;选②,当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =也满足n a n =,所以,对任意的n *∈N ,n a n =.22122222a q a ∴===,111222n n n nb b q --∴==⨯=,2n n n a b n ∴=⋅,1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯,()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯,上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--,因此,()1122n n T n +=-⨯+;选③,()121n n a n n a n -=≥-,且11a =, 由累乘法可得321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-. 22122222a q a ∴===,111222n n n nb b q --∴==⨯=,2n n n a b n ∴=⋅,1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯,()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯,上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--,因此,()1122n n T n +=-⨯+.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法; (4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.25.(1)()*1(1)2nn a n N --=∈;(2)证明见解析. 【分析】(1)1p =,1q =-,已知条件可得1(1)nn n a a +-=-,利用累加法及等比数列的求和公式,计算可求数列{}n a 的通项公式;(2)2p =,1q =,121n n a a +=+,化简可得1121n n a a ++=+,通过等比数列的通项公式求得()*21n n a n N =-∈,化简可得11212222n n n n a a +=+≤+-,放缩后,通过分组求和可证得结果.【详解】(1)∵1p =,1q =-,∴1(1)n n n a a ++-=,即1(1)nn n a a +-=-,∴当2n ≥:12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-,得1(1)12n n a a -+-=,∴11a =,∴1(1)2nn a --=,当1n =:11a =也符合上式,故()*1(1)2n n a n N --=∈(或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数). (2)∵2p =,1q =,∴121n n a a +=+,∴()1121n n a a ++=+,即1121n n a a ++=+,∴{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴12nn a +=,即()*21n n a n N =-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---, ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-, 综上说述:()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛:数列求和的方法技巧:(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. (2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和 (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.(4)裂项相消法:用于通项能变成两个式子相减,求和时能前后相消的数列求和.26.(1)()*3n n a n N =∈;(2)所求的正整数n 的最小值为20.【分析】(1)由公比3q =,并且满足2a ,318a +,4a 成等差数列直接用基本量代换求数列{}n a 的通项公式; (2)先求出311+log ,3n n n n b a n a ==+,用分组求和法求出n S ,解不等式即可. 【详解】(1)因为数列{}n a 是公比为3的等比数列,&#xF02E; 又由234,18,a a a +成等差数列,∴243236a a a +=+, 所以1113271836a a a +=+,解得13a =,从而数列{}n a 的通项公式为()*3n n a n N =∈. (2)311+log ,3n n n n b a n a ==+ ∴()()21111111111331211333222313n n n n n n n n S n ⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+++++++=+=+- ⎪⎝⎭-, ∴21213n n S n n -=+-, 又113n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是递增的, 当19n =时, 219122020,3n S n -=-<当20n =时, 220122120,3n S n -=-> 所以所求的正整数n 的最小值为20. 【点睛】(1)等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换;(2)分组求和法进行数列求和适用于{}n n a b +,分组后对{}n a 和{}n b 分别求和.。

等差数列综合测试题

等差数列综合测试题

等差数列综合测试题(满分 100分)班级 姓名 分数一、选择题(本大题共10小题,每题4分,共40分)1.已知数列{}n a 的通项公式为22,(1),(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩,则这个数列的前三项为( )A .1、4、9B .2、4、9C .2、1、4D .2、6、112.已知等差数列{}n a 的首项为3,公差为2,则7a 的值等于( )A .1B .14C .15D .163.已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-, 则它的公差为 ( )A .2B .3C . 2-D .3-4.等差数列的相邻四项是1,3,,a a b a b +++,那么a ,b 的值分别是( )A .92B .47C .46D .455.已知等差数列{}中,14739a a a ++=,25633a a a ++=,则369a a a ++等于( )A .30B .27C .24D .216.等差数列{}n a 中,12010=S ,那么101a a +的值是( )A .12B .24C .36D .487.如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=A .14B .21C .28D .358.已知等差数列{}n a 中,288a a +=,则该数列前9项和9S 等于( )A.18B.27C.36D.459.一个等差数列的前10项和是48,前20项和是60,那么它的前30项和是( )A.72B.84C.36D. 2410.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若3613S S =,则612S S =( )二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)11.若n a =1n a --3,则{}n a 是单调递数列12.在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c,使这五个数成等差数列,则b 的值是 .13.三角形中三个角A 、B 、C ,成等差数列,则cos B =14.数列7,77,777,7777的一个通项公式是 .三、解答题(本大题共4小题,每小题12分,共48分)15.在等差数列{}n a 中(1) 已知69121520a a a a +++=,求120a a +(2)已知31110a a +=,求678a a a ++16.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S(1)15,95,10n a a n ===(2)11,120,1;n a a d ===17.已知等差数列{}中,a 10=3020=50.(1)求通项公式;(2)若242,求项数n 。

数列试卷(附答案)

数列试卷(附答案)

数列测试卷(B 卷) 第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列3,3,15,…,)12(3-n , …,那么这个数列的第14项是( ) A.7 B.8 C.9 D.102.将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3 层,…,则第6层正方体的个数是( ) A .28 B .21 C .15 D .113.若a,b,c 成等比数列,则函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴的交点的个数是( )A .0B .1C .2D .与c b a ,,的值有关 4.一个等差数列共10项,偶数项的和为15,则此数列的第6项为( ) A.3 B.4 C.5 D.65.如果等比数列}{n a 的首项是正数,公比大于1,那么数列}{log 31n a 是( )A .递增的等比数列B .递减的等比数列C .递增的等差数列D .递减的等差数列6.一机器狗每秒钟前进或后退一步,程度设计师让机器狗先前进3步,然后再后退2步的规律移动. 如果将此机器狗放在数轴的原点,面向数轴的正方向,每步的距离为1单位长,令)(n P 表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标,那么下列结论中不正确的是( ) A .P (3)=3 B .P (5)=1C .P (10)=3D .P (103)=237.设数列{}n a 的通项公式为2n a n pn =-,若数列{}n a 为单调递增数列,则实数p 的取值范围为( )A.(,2)-∞ B.(,3)-∞ C.](,2-∞ D.](,3-∞8.设数列}{n a 的前n 项和为n S ,令nS S S T nn +++=21,称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”,若数列200621,,,a a a 的“理想数”为 2007,那么数列200621,,,,1a a a 的“理想数”为( ) A .2006B .2007C .2008D .20099.在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中,则使0<n S 成立的n 的最大值为( )A .17B .18C .19D .2010.数列}{n a 中,已知11=S ,22=S ,且)(,023*11N n S S S n n n ∈=+--+,则此数列为( )A .等差数列B .等比数列C .从第二项起为等差数列D .从第二项起为等比数列第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。

(完整版)数列单元测试卷含答案

(完整版)数列单元测试卷含答案

数列单元测试卷注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( )A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+12.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…B.-1,2,-3,4,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1,2,3,…,n3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( ) A.2 B.3 C.6 D.74.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( )A.49 B.50 C.51 D.525.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( )A.90 B.100 C.145 D.1906.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( )A.1 B.2 C.4 D.87.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2+(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 B.12 C.23 D .-19.等比数列{a n }的通项为a n =2·3n -1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n },那么162是新数列{b n }的( )A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则A .1 033 B.1 034 C .2 057 D .2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) A.11 B.1 C. 约等于1 D.212.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示:则第七个三角形数是( )A .27 B.28 C .29 D .30第II 卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *),则前8项的和S 8=________(用数字作答).14.数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -1+n (n ≥2),则a 5=________.15.已知数列{a n }的前n 项和S n =-2n 2+n +2.则{a n }的通项公式a n =________16.在等差数列{a n }中,其前n 项的和为S n ,且S 6<S 7,S 7>S 8,有下列四个命题: ①此数列的公差d <0; ②S 9一定小于S 6; ③a 7是各项中最大的一项; ④S 7一定是S n 中的最大项.其中正确的命题是________.(填入所有正确命题的序号)三.解答题(共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列,若b 1=1,且b 2,12b 3,2b 1成等差数列,求数列{b n }的通项公式.18.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1=2,a 4=16,(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20.(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1(n ≥2),若a n +S n =n ,c n =a n -1.(1)求证:数列{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.21.(12分)(全国卷)设数列{}n a 满足+3+…+(2n -1) =2n ,.(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22.(12分)数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n +1a na n +2n(n ∈N *).(1)证明:数列{2na n}是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式a n ;(3)设b n =n (n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷(解答)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( )A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1解析:选B 由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是a n=2n+1,故选B. 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…B.-1,2,-3,4,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1,2,3,…,n解析:选C A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列.3.记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( ) A.2 B.3 C.6 D.7解析:选B S4-S2=a3+a4=20-4=16,∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)=4d=16-4=12,∴d=3.4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( )A.49 B.50 C.51 D.52解析:选D ∵2a n+1-2a n=1,∴a n+1-a n=12,∴数列{a n}是首项a1=2,公差d=12的等差数列,∴a101=2+12(101-1)=52.5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( )A.90 B.100 C.145 D.190解析:选B 设公差为d , ∴(1+d )2=1×(1+4d ), ∵d ≠0,∴d =2,从而S 10=100.6.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ) A .1 B.2 C .4 D .8解析:选A 因为a 3a 11=a 27,又数列{a n }的各项都是正数,所以解得a 7=4,由a 7=a 5·22=4a 5,求得a 5=1.7.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2+(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根B.有两个相等实根 C .有两个不等实根D .不能确定有无实根解析:选A 由于a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,即3a 5=9, ∴a 5=3,方程为x 2+6x +10=0,无实数解.8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 B.12 C.23 D .-1解析:选B 设数列{b n }的通项b n =11+a n ,因{b n }为等差数列,b 3=11+a 3=13,b 7=11+a 7=12,公差d =b 7-b 34=124, ∴b 11=b 3+(11-3)d =13+8×124=23,即得1+a 11=32,a 11=12.9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3n -1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n },那么162是新数列{b n }的( )A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项解析:选C 162是数列{a n }的第5项,则它是新数列{b n }的第5+(5-1)×2=13项.10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则A .1 033 B.1 034 C .2 057 D .2 058 解析:选A 由已知可得a n =n +1,b n =2n -1,于是ab n =b n +1, 因此(b 1+1)+(b 2+1)+…+(b 10+1)=b 1+b 2+…+b 10+10=20+21+…+29+10 =1-2101-2+10=1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析:设{}n a 的公差为d ,据已知有1×72128d +=, 解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示:则第七个三角形数是( )A .27 B.28 C .29 D .30解析:选 B 法一:∵a 1=1,a 2=3,a 3=6,a 4=10,a 5=15,a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5,∴a 6-a 5=6,a 6=21,a 7-a 6=7,a 7=28. 法二:由图可知第n 个三角形数为n n +12,∴a 7=7×82=28.二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *),则前8项的和S 8=________(用数字作答). 解析:由a 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项,以2为公比的等比数列,由通项公式及前n 项和公式知S 8=a 11-q 81-q =1·1-281-2=255.答案: 25514.数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -1+n (n ≥2),则a 5=________.解析:由a n =a n -1+n (n ≥2),得a n -a n -1=n .则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5,把各式相加,得a 5-a 1=2+3+4+5=14,∴a 5=14+a 1=14+1=15. 答案:1515.已知数列{a n }的前n 项和S n =-2n 2+n +2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n =-2n 2+n +2,当n ≥2时,S n -1=-2(n -1)2+(n -1)+2 =-2n 2+5n -1, ∴a n =S n -S n -1=(-2n 2+n +2)-(-2n 2+5n -1) =-4n +3.又a 1=S 1=1,不满足a n =-4n +3, ∴数列{a n }的通项公式是a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,-4n +3,n ≥2.16.在等差数列{a n }中,其前n 项的和为S n ,且S 6<S 7,S 7>S 8,有下列四个命题: ①此数列的公差d <0; ②S 9一定小于S 6; ③a 7是各项中最大的一项; ④S 7一定是S n 中的最大项.其中正确的命题是________.(填入所有正确命题的序号) 解析:∵S 7>S 6,即S 6<S 6+a 7, ∴a 7>0.同理可知a 8<0. ∴d =a 8-a 7<0.又∵S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=3a 8<0, ∴S 9<S 6.∵数列{a n }为递减数列,且a 7>0,a 8<0, ∴可知S 7为S n 中的最大项. 答案:①②④三、解答题(共4小题,共50分)17.(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列,若b 1=1,且b 2,12b 3,2b 1成等差数列,求数列{b n }的通项公式.解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ,则q >0,由b 1=1,且b 2,12b 3,2b 1成等差数列得b 3=b 2+2b 1,∴q 2=2+q ,解得q =2或q =-1(舍去), 故数列{b n }的通项公式为b n =1×2n -1=2n -1.18.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1=2,a 4=16,(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解:(1)设{a n }的公比为q ,由已知得16=2q 3,解得q =2, ∴a n =2n.(2)由(1)得a 3=8,a 5=32,则b 3=8,b 5=32. 设{b n }的公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1+2d =8, b 1+4d =32,解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=-16,d =12.从b n =-16+12(n -1)=12n -28, 所以数列{b n }的前n 项和S n =n -16+12n -282=6n 2-22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520.(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1(n ≥2),若a n +S n =n ,c n =a n -1.(1)求证:数列{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.解:(1)证明:∵a 1=S 1,a n +S n =n ①,∴a 1+S 1=1,得a 1=12. 又a n +1+S n +1=n +1②,①②两式相减得2(a n +1-1)=a n -1,即a n +1-1a n -1=12,也即c n +1c n =12, 故数列{c n }是等比数列. (2)∵c 1=a 1-1=-12, ∴c n =-12n ,a n =c n +1=1-12n , a n -1=1-12n -1.故当n ≥2时,b n =a n -a n -1=12n -1-12n =12n . 又b 1=a 1=12, 所以b n =12n . 21.(12分)(全国卷)设数列{}n a 满足+3+…+(2n -1) =2n ,. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:(1)因为+3+…+(2n -1)=2n ,故当n ≥2时, +3+…+(-3) =2(n -1) 两式相减得(2n -1)=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.(2)记 {}的前n 项和为 ,由(1)知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22.(12分)数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n +1a n a n +2n (n ∈N *). (1)证明:数列{2n a n}是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式a n ;(3)设b n =n (n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:由已知可得a n +12n +1=a na n +2n , 即2n +1a n +1=2n a n+1,即2n +1a n +1-2na n =1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列. (2)由(1)知2na n =2a 1+(n -1)×1=n +1, ∴a n =2nn +1. (3)由(2)知b n =n ·2n . S n =1·2+2·22+3·23+…+n ·2n , 2S n =1·22+2·23+…+(n -1)·2n +n ·2n +1, 相减得-S n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1 =21-2n 1-2-n ·2n +1 =2n +1-2-n ·2n +1,∴S n =(n -1)·2n +1+2.。

《数列》测试卷及答案解析(基础卷)

《数列》测试卷及答案解析(基础卷)

2019-2020学年高中数学必修五《数列》考试卷姓名: 成绩:一、本卷共12个小题,每题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的,请把正确答案填涂在答题卡上.1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 020,则序号n 等于( ).A .672B .673C .674D .675【答案】C解析:由题设,代入通项公式a n =a 1+(n -1)d ,即2 020=1+3(n -1),∴n =674. 2. 已知数列{a n }的通项公式a n =12[1+(-1)n +1],则该数列的前4项依次是( )A .1,0,1,0B .0,1,0,1 C.12,0,12,0 D .2,0,2,0【答案】A3. 若{a n }是等差数列,且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是 ( )A .39B .20C .19.5D .33 【答案】D4.数列23,45,67,89,…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223【答案】 C.由题意知数列的通项公式是an =2n 2n +1,∴a10=2×102×10+1=2021.故选C.5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ).A .81B .120C .168D .192 【答案】B解析:∵a 2=9,a 5=243,25a a =q 3=9243=27, ∴q =3,a 1q =9,a 1=3,∴S 4=3-13-35=2240=120.6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2019+a 2020>0,a 2019·a 2020<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ).A .4 005B .4038C .4039D .4 008【答案】B解析:由a 2019+a 2020>0,a 2019·a 2020<0,知a 2019和a 2020两项中有一正数一负数,又a 1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故a 2019>a 2020,即a 2019>0,a 2020<0.∴S 4038=2+006400641)(a a >0,∴S 4039=20074·(a 1+a 4039)=20074·2a 2020<0, 故4038为S n >0的最大自然数. 选B .7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ).A .-4B .-6C .-8D . -10【答案】B解析:∵{a n }是等差数列,∴a 3=a 1+4,a 4=a 1+6, 又由a 1,a 3,a 4成等比数列, ∴(a 1+4)2=a 1(a 1+6),解得a 1=-8, ∴a 2=-8+2=-6.8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若35a a =95,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D .21。

第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)

第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)

第二章数列单元综合测试时间:120分钟 分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)1.数列{2n +1}的第40项a 40等于( ) A .9 B .10 C .40D .41解析:a 40=2×40+1=81=9.答案:A2.等差数列{2-3n }中,公差d 等于( ) A .2 B .3 C .-1D .-3解析:设a n =2-3n ,则an +1-a n =[2-3(n +1)]-(2-3n )=-3. 答案:D3.数列{a n }的通项公式是a n =2n ,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 10等于( )A .10B .210C .210-2D .211-2解析:∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1=2.答案:D4.在等差数列{a n }中,前n 项和为S n ,若a 7=5,S 7=21,那么S 10等于( ) A .55 B .40 C .35D .70解析:设公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+6d =5,7a 1+21d =21,解得d =23,a 1=1,则S 10=10a 1+45d =40. 答案:B5.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1=1,则S 4等于( ) A .7 B .8 C .15D .16解析:设公比为q ,由于4a 1,2a 2,a 3成等差数列, 则4a 2=4a 1+a 3,所以4q =4+q 2,解得q =2. 所以S 4=a 1(1-q 4)1-q =1-241-2=15.答案:C6.等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3+a 17=10,则S 19的值是( ) A .55 B .95 C .100D .不确定解析:a 3+a 17=a 1+a 19,∴S 19=19(a 1+a 19)2=192×10=95.答案:B7.设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13=( )A .120B .105C .90D .75解析:{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,即3a 2=15,则a 2=5. 又a 1a 2a 3=80,∴a 1a 3=(5-d )(5+d )=16,∴d =3.答案:B8.一个只有有限项的等差数列,它前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于( )A .22B .21C .19D .18解析:设该数列有n 项,且首项为a 1,末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+10d =34,①5a n -10d =146,②a 1+an2·n =234,③①+②可得a 1+a n =36.代入③得n =13.从而有a 1+a 13=36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项,∴a 7=a 1+a 132=362=18.故选D.答案:D9.三个不同的实数a ,b ,c 成等差数列,又a ,c ,b 成等比数列,则ab 等于( )A .-2B .2C .-4D .4解析:∵2b =a +c ,∴c =2b -a .∵c 2=ab ,∴a 2-5ab +4b 2=0,∴a =b (舍去)或a =4b ,∴a b=4. 答案:D10.已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…,且a 5·a 2n -5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1等于( )A .n (2n -1)B .(n +1)2C .n 2D .(n -1)2解析:设公比为q ,答案:C11.在一直线上共插有13面小旗,相邻两面小旗之间距离为10 m ,在第一面小旗处有一个人,把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路程最短,应集中到哪一面小旗的位置上( )A .7B .6C .5D .4解析:图1如图1所示,设将旗集中到第x 面小旗处,则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x-1)m ,然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x -2)m ,…,从第x -1面到第x 面来回共20 m ,从第x 面处到第x +1面处路程为20 m ,从第x 面到第x +2面处的路程为20×2 m ,….总共的路程为s =10(x -1)+20(x -2)+20(x -3)+…+20×1+20×1+20×2+…+20×(13-x )=10(x -1)+20·(x -2)(x -1)2+20·(13-x )(14-x )2=10[(x -1)+(x -2)(x -1)+(13-x )(14-x )]=10(2x 2-29x +183)=20(x -294)2+31154.∵x ∈N *,∴当x =7时,s 有最小值为780 m , 即将旗集中到第7面小旗处,所走的路程最短. 答案:A12.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2007+a 2008>0,a 2007·a 2008<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A .4013B .4014C .4015D .4016解析:由已知a 1>0,a 2007·a 2008<0,可得数列{a n }为递减数列,即d <0,a 2007>0,a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014,选B. 答案:B第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.数列{a n }中的前n 项和S n =n 2-2n +2,则通项公式a n =________. 解析:当n =1时,a 1=S 1=1;当n >1时,a n =S n -S n -1=(n 2-2n +2)-[(n -1)2-2(n -1)+2]=2n -3. 又n =1时,2n -3≠a 1,所以有a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -3,n >1.答案:a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -3,n >114.设{a n }为公比q >1的等比数列,若a 2006和a 2007是方程4x 2-8x +3=0的两根,则a 2008+a 2009=________.解析:方程4x 2-8x +3=0的两根是12和32,答案:1815.等差数列{a n }中,若S 12=8S 4,且d ≠0,则a 1d等于________.解析:∵S 12=12a 1+66d ,S 4=4a 1+6d ,又S 12=8S 4,∴12a 1+66d =32a 1+48d .∴20a 1=18d ,∴a 1d =1820=910.答案:91016.用[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.78]=0,[3.01]=3,如果定义数列{x n }的通项公式为x n =[n5](n ∈N *),则x 1+x 2+…+x 5n =________.解析:x 5n =[5n5]=[n ]=n ,则x 1+x 2+…+x 5n =5[x 5+x 10+x 15+…+x 5(n -1)]+x 5n =5(1+2+…+n -1)+n =52n 2-32n .答案:52n 2-32n三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(本小题10分)三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列.求这三个数.解:设三数为aq,a ,aq .由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 3=512,(a q -2)+(aq -2)=2a , 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =8,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =8,q =12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18.(本小题12分)求和:(a -1)+(a 2-2)+…+(a n -n ),a ≠0. 解:原式=(a +a 2+…+a n )-(1+2+…+n )=(a +a 2+…+a n )-n (n +1)2=⎩⎪⎨⎪⎧a (1-a n )1-a-n (n +1)2(a ≠1),n -n 22(a =1).19.(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列,a 2=6,a 5=18;数列{b n }的前n 项和是T n ,且T n +12b n =1.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:数列{b n }是等比数列. 解:(1)设{a n }的公差为d ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =6,a 1+4d =18,解得a 1=2,d =4. ∴a n =2+4(n -1)=4n -2.(2)证明:当n =1时,b 1=T 1,由T 1+12b 1=1,得b 1=23.当n ≥2时,∵T n =1-12b n ,Tn -1=1-12b n -1,∴T n -T n -1=12(bn -1-b n ).∴b n =12(b n -1-b n ).∴b n =13b n -1. ∴{b n }是以23为首项,13为公比的等比数列.20.(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米?解:设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n , 由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d =50,则S n =250n +n (n -1)2×50=25n 2+225n .令25n 2+225n =4750,即n 2+9n -190=0, 解得n =-19或n =10. 又n 是正整数,∴n =10.到2016年底,该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米. 21.(本小题12分)设a 1=1,a 2=53,an +2=53an +1-23a n (n ∈N *).(1)令b n =an +1-a n (n ∈N *),求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解:(1)因为b n +1=a n +2-a n +1=53a n +1-23a n -a n +1=23(a n +1-a n )=23b n ,所以数列{b n }是首项为b 1=a 2-a 1=23,公比为23的等比数列,所以b n =(23)n (n =1,2,…).22.(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1,a 2,a 4,a 7,…构成的数列为{b n },b 1=a 1=1.S n 为数列{b n }的前n 项和,且满足2b nb n S n -S 2n=1(n ≥2).(1)证明数列{1S n}成等差数列,并求数列{b n }的通项公式;(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a 81=-491时,求上表中第k (k ≥3)行所有项的和.解:(1)证明:由已知,当n ≥2时,2b nb n S n -S 2n=1,又因为S n =b 1+b 2+…+b n ,又因为S 1=b 1=a 1=1,所以数列{1S n }是首项为1,公差为12的等差数列.由上可知1S n =1+12(n -1)=n +12,即S n =2n +1.所以当n ≥2时,b n =S n -S n -1=2n +1-2n =-2n (n +1). 因此b n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,-2n (n +1),n ≥2. (2)设题表中从第三行起,每行的公比都为q ,且q >0.因为1+2+…+12=12×132=78,所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项.故a 81在表中第13行第三列,因此a 81=b 13·q 2=-491.又b 13=-213×14,所以q =2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ,即S =b k (1-q k )1-q =-2k (k +1)·1-2k 1-2=2k (k +1)(1-2k )(k ≥3).。

高二数学摸底测试--函数、不等式、三角、数列综合测试卷

高二数学摸底测试--函数、不等式、三角、数列综合测试卷

函数、不等式、三角、数列综合测试试卷班级_____________ 学号____________ 姓名_____________ 成绩____________一.填空题(每小题4分,共48分)1.已知函数()1a x f x x a -=--的反函数()1f x -的对称中心是()1,3-,则实数a =____________ 2.对于实数a 和b ,定义:22,,a ab a b a b b ab a b⎧-≤⎪*=⎨->⎪⎩.设()()()211f x x x =-*-,且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实根123,,x x x ,则123x x x =__________(用含m 的表达式)3.如果()*3223123......,.. (111)n n n n S S S S n n N T S S S =++++∈=⨯⨯⨯---()*2,n n N ≥∈, 则2013T =____________ 4.已知函数()()()()210110x x f x f x x -≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩,把函数()()1g x f x x =-+的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前n 项和为n S ,则2lim n n S n →∞=____________ 5.若集合12,,......,n A A A 满足12......n A A A A ⋃⋃⋃=则称12,,......,n A A A 为集合A 的 一种拆分.已知:①当{}12133,,A A a a a ⋃=时,A 有33种拆分;②当{}1231234,,,A A A a a a a ⋃⋃=时,A 有47种拆分;……由以上结论,推出一般结论:当{}12121......,,......,n n A A A a a a +⋃⋃⋃=时,A 有__________种拆分6.数列{}n a 的通项222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其前n 项和为n S ,则30S =____________ 7.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,)f x y f x f y xy x y R +=++∈和()12f =, 则()3f -=____________8.已知函数()sin cos 21544x x f x x ππ-+⎫=≤≤⎪⎭,则()f x 的最小值为____________ 9.在ABC ∆中,,,A B C ∠∠∠所对的边长分别为,,a b c ,其外接圆的半径为1,则()222222111sin sin sin a b c A B C ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值为____________ 10.已知()2xf x =可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和,若关于x 的不等式()()20ag x h x +≥对于[]1,2x ∈恒成立,则实数a 的最小值是____________11.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1,1,2,...1n n n S a n n n -+==+,则通项n a =____________ 12. 下图展示了一个由区间)1,0(到实数集R 的映射过程:区间中的实数m 对应数轴上的点M ,如图①;将线段围成一个圆,使两端点A 、B 恰好重合,如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y 轴上,点A 的坐标为,如图③.图③中直线与x 轴交于点,则m 的象就是n ,记作.下列说法:①102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭;②;③是奇函数; ④在定义域上单调递增;⑤的图象关于点 对称.其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)二.选择题(每小题5分,共20分)1.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()cos cos 1,2A C B a c -+==,则C =() A.6π或56πB.6πC.3π或23π D.3π ()0,1AB ()0,1AM (),0N n ()f m n =114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ()f x ()f x 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知()()12...201212...2012f x x x x x x x x R =+++++++-+-++-∈,且()()2321f a a f a -+=-,则a 的值的个数为()A.2B.3C.3D.无数3.已知α为锐角,则“1sin 3α>且1cos 3α>”是“sin 2α>”的(). (A)充要条件(B) 必要非充分条件 (C)充分非必要条件(D) 既不充分又不必要条件 4.已知数列{}n a 满足123,7a a ==,且2n a +总等于1n n a a +的个位数字,则2013a 的值为(). (A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9三.解答题(各题分值依次为10分,12分,14分,16分)1.在ABC ∆中,设内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,已知()()tan 1tan 12A B ++=.(1)求C ;(2)22cos 2sin 1sin ,2B C A a +=+=,求边长b 和ABC ∆的面积.2.解关于实数x 的不等式: (1)225815x x x x --->-+;(2)()2log 121a x a ->-,其中0,1a a >≠3.定义()[)2211,,,,,,A x b f x x A A a b a b a b a x ⎛⎫⎛⎫=-+-∈=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为正实数. (1)求()A f x 的最小值;(2)确定()A f x 的单调区间,并对单调增区间加以证明;(3)若())()())2222*121,1,1,2,K k x I k k x I k k k N +⎡⎡∈=+∈=++∈⎣⎣. 求证:()()()11241k k I I f x f x k k ++>+.4.设数列{}n a 满足211,1,2,3,...n n n a a na n +=-+=(1)当12a =时,求234,,a a a ,并由此猜想出n a 的一个通项公式;(2)当13a ≥时,证明对所有的1n ≥,有①2n a n ≥+;②121111...1112n a a a +++≤+++。

数列测试卷(含答案)

数列测试卷(含答案)

第五章数列测试卷一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分) ( )1. 数列1,-2,3,-4……的一个通项公式是A.a n=(一1)n•nB. a n= (-1)n+1 •nC. a n=nD. a n=-n2.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n,且156是该数列的一项,则n 等于 ( )A.10B.11C.12D.133.若等差数列的前n项和S n=2n2- n,则它的通项公式a n为( )A.4n+3B.4n一3C.2n-1D.2n+14.在数列{ a n}中,若a1=2,a n=a n+1-2,则该数列的第5项等于( )A.16B. 14C.12D.55.已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是 ( )A.4B.4或一4C.10D.566.在等差数列{a n}中,已知S3=54,则a2为 ( )A.6B.12C.18D.247.在等差数列中,若a1=23,公差d为整数,a6>0,a7<0,则d等于 ( )A.-1B. -2C.-3D.-4 8.若a ≠b,且aa 1,a 2a 3,b 和a.b 1b 2b 3,b 4,b 都是等差数列,则a1−a2b1−b2等于( )A.43B.34C. 45D.549.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7= 39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9等于 ( )A.66B.144C.99D.297 10.等差数列{a n }中,若a n = m,a m =n,且m ≠n,那么a m+n .等于( ) A. mn B.m+n C.m-n D.011.已知a,b,c 成等比数列,则函数y=2ax 2+ 3bx+c 与x 轴交点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 12.等比数列{a n }中,a 6=6,a 9=9,则a 3等于 ( ) A.4 B .32C.169D.213.已知等比数列{a n },前3项的和为7,积为8,则此数列的公比等于( )A.2B.2或32C.12D.-2或-12.14.已知等差数列{a n }的公差d=3,若a 1,a 3.a 4.成等比数列,则a 2等于 ( )A.-18B.-15C.-12D. -9 15.在等比数列(a n )中:若 a 2•a 6=8,Iog 2(a 1•a 7)= ( )A. 8 B .3 C.16 D.28 16.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是 ( ) A.2或12B.3或13C.4或14D.9或1917.已知等比数列{a n }的各项均为正数.且a 1, 12a 3,2a 2成等差数列,则a9+a10a7+a8= ( )A.1+√2B.1- √2C.3+2√2D.3-2√2 18.在等比数列{a n }中,著a4a7+a5a6=20.则此数列的前10项之积为( )A.50B.2010C.105D. 1010 19.为了治理沙漠,某农场要在沙漠上赖种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场共裁种植被的公顷数是 ( )A.510公顷B.330公顷C.186公顷D.51公顷 20.《九章算术)“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积是 ( )A.1升B.6766升 C.4744升 D.3733升二、填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分) 21.在等差数列{a n }中,若Sn=3n 2+2n.则公差d 的值是22.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 一49,则当n= 时,S n 有最小值.23.在等差数列{a n }中,已知公差d=12,且a 1+a 3+a 5…+a 97+a 99=60.则a1+a2+a3+…+a99+a100= .24.等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则S6=25.某种储蓄利率为2.5%,按复利计算,若本金为30 000元,设存入工期后的本金和利息为y元,则y随x变化的函数关系为三、解答题(本大题5个小题,共40分)26.(本小题6分)已知等差数列{a n}中,a n=33-3n,求前n项和S n的最大值.27.(本小题8分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n.n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式:(2)已知数列{b n}是等差数列,S n是其前n项和,且满足b1=a3,b3=a1+a2+a3,求S20的值。

高考数学 数列单元测试卷及答案 试题

高考数学 数列单元测试卷及答案 试题
(3)设Sn是数列{an}的前n项和,当n≥2时,Sn与(n+ )a是否有确定的大小关系?假设有,请加以证明,假设没有,请说明理由.
(文)P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n∈N*)都在函数y=log x的图象上.
(1)假设数列{bn}是等差数列,求证数列{an}是等比数列;
三、解答题(本大题一一共6小题,一共70分)
17.(本小题满分是10分)数列{an}是首项a1=4的等比数列,且S3,S2,S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2|an|,Tn为数列{ }的前n项和,求Tn.
解:(1)当q=1时,S3=12,S2=8,S4=16,不成等差数列.
∴n0=2021或者(huòzhě)2021.
(文)(1)∵an+1-2an=0,
∴a3=2a2,a4=2a3,又a3+2是a2、a4的等差中项,
∴a1=2,a2=4,
∴数列(shùliè){an}是以2为首项,2为公比的等比数列(děnɡ bǐ shù liè),那么
an=2n.
(2)∵Sn=2n+1-2,又bn=log2(Sn+2),∴bn=n+1.
12.数列{an}满足an+1= + ,且a1= ,那么该数列的前2021项的和等于()
A. B.3015
C.1005D.2021
答案:A
解析:因为a1= ,又an+1= + ,所以a2=1,
从而(cóng ér)a3= ,a4=1,
即得an= ,故数列(shùliè)的前2021项的和等于S2021=1005(1+ )= .应选(yīnɡ xuǎn)A.
3.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,那么 等于()

高中数学选择性必修二 第四章 数列单元测试(基础卷)(含答案)

高中数学选择性必修二 第四章 数列单元测试(基础卷)(含答案)

第四章 数列 单元过关检测 基础A 卷解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 题型:8(单选)+4(多选)+4(填空)+6(解答),满分150分,时间:120分钟一、单选题1.已知数列{a n }的前4项为:l ,−12,13,−14,则数列{a n }的通项公式可能为( ) A .a n =1n B .a n =−1nC .a n =(−1)n nD .a n =(−1)n−1n【答案】D 【解析】 【分析】分母与项数一样,分子都是1,正负号相间出现,依此可得通项公式 【详解】正负相间用(−1)n−1表示,∴a n =(−1)n−1n.故选D . 【点睛】本题考查数列的通项公式,属于基础题,关键是寻找规律,寻找与项数有关的规律. 2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若33a =,621S =,则数列{}n a 的公差为( ) A .1 B .-1C .2D .-2【答案】A【分析】利用等差数列{a n }的前n 项和与通项公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出数列{a n }的公差. 【详解】∴S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 3∴3∴S 6∴21∴∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩∴ 解得a 1∴1∴d ∴1∴ ∴数列{a n }的公差为1. 故选A ∴ 【点睛】本题考查数列的公差的求法,考查等差数列的前n 项和公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.已知数列{}n a ,满足111n n a a +=-,若112a =,则2019a =( ) A .2 B .12C .1-D .12-【答案】C 【分析】利用递推公式计算出数列{}n a 的前几项,找出数列{}n a 的周期,然后利用周期性求出2019a 的值. 【详解】111n n a a +=-,且112a =,211121112a a ∴===--,32111112a a ===---, 111a ===,所以,()a a n N *=∈,则数列{}n a 是以3为周期的周期数列,20193672331a a a ⨯+===-∴. 故选C. 【点睛】本题考查利用数列递推公式求数列中的项,推导出数列的周期是解本题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.4.在等比数列{}n a 中,6124146,5a a a a ⋅=+=,则255a a =( ) A .94或49B .32C .32或23 D .32或94【答案】A 【分析】根据等比数列的性质得6124146a a a a ⋅=⋅=,又由4145a a +=,联立方程组,解得414,a a 的值,分类讨论求解,即可得到答案. 【详解】由题意,根据等比数列的性质,可得6124146a a a a ⋅=⋅=,又由4145a a +=,联立方程组,解得41423a a =⎧⎨=⎩或41432a a =⎧⎨=⎩,当41423a a =⎧⎨=⎩时,则1014432a q a ==,此时201022559()4a q q a ===;当41432a a =⎧⎨=⎩时,则1014423a q a ==,此时201022554()9a q q a ===,故选A. 【点睛】值是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 5.等比数列{}n a 中( ) A .若12a a <,则45a a <B .若12a a <,则34a a <C .若32S S >,则12a a <D .若32S S >,则12a a >【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式,等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中,20q >,∴当12a a <时,可得2212a q a q <,及34a a <,故B 正确;但341a a q =和352a a q =不能判断大小(3q 正负不确定),故A 错误;当32S S >时,则12312+++a a a a a >,可得30a >,即210a q >,可得10a >,由于q 不确定,不能确定12,a a 的大小,故CD 错误. 故选:B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用,属于基础题.6.两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为n S ,n T ,且723n n S n T n +=+,则220715a ab b ++的值为( ) A .14924B .7914C .165D .5110【分析】在{}n a 为等差数列中,当(m n p q m +=+,n ,p ,)q N +∈时,m n p q a a a a +=+.所以结合此性质可得:2202171521a a Sb b T +=+,再根据题意得到答案.【详解】解:在{}n a 为等差数列中,当(m n p q m +=+,n ,p ,)q N +∈时,m n p q a a a a +=+.所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯,又因为723n n S n T n +=+, 所以22071514924a ab b +=+.故选:A . 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质,属于中档题.7.函数()2cos 2f x x x =-的正数零点从小到大构成数列{}n a ,则3a =( )A .1312π B .54π C .1712πD .76π 【答案】B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+,k Z ∈,再求3a 即可. 【详解】解:∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得:2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+,k Z ∈, ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+,k Z ∈,∴ 正数零点从小到大构成数列为:12355,,,4124a a a πππ===故选:B. 【点睛】本题考查三角函数的性质,数列的概念,考查数学运算求解能力,是中档题.8.已知函数3()13xxf x =+(x ∈R ),正项等比数列{}n a 满足501a =,则 1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=A .99B .101C .992D .1012【答案】C 【详解】因为函数31()()()11331x x xf x f x f x ---==∴+-=++(x ∈R ), 正项等比数列{}n a 满足2501995011a a a a =∴==,9921ln ln ln ln ...0a a a a +=+=则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=992,选C二、多选题A .{}n a 可能为等差数列B .{}n a 可能为等比数列C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式,利用定义判定得出答案.【详解】当1n =时,11a S a b c ==++.当2n ≥时,()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+. 当1n =时,上式=+a b .所以若{}n a 是等差数列,则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时,{}n a 是等差数列,不可能是等比数列;当0c ≠时,{}n a 从第二项开始是等差数列. 故选:AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系,利用n S 求通项公式,属于基础题. 10.已知数列{}n a 的首项为4,且满足()*12(1)0n n n a na n N++-=∈,则( )A .n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B .{}n a 为递增数列C .{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D .12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+,所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,从而可求出12n n a n +=⋅,可得数列{}n a 为递增数列,利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和,由于111222n nn n a n n +++⋅==,从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项,2为公比的 等比数列,故A 错误;因为11422n n na n-+=⨯=,所以12n n a n +=⋅,显然递增,故B 正确; 因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅,342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅,所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-,故2(1)24n n S n +=-⨯+,故C 错误;因为111222n n n n a n n +++⋅==,所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==, 故D 正确. 故选:BD本题考查等差数列、等比数列的综合应用,涉及到递推公式求通项,错位相减法求数列的和,等差数列前n 项和等,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.11.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <【答案】AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=,可知不一定成立,从而判定C 错误. 【详解】由已知得:780,0a a ><,结合等差数列的性质可知,0d <,该等差数列是单调递减的数列, ∴A 正确,B 错误,D 正确,310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=,即160a d +=,这在已知条件中是没有的,故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和,属基础题,关键在于掌握和与项的关系.12.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵,如图:该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =,1a a =+,记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有( )1112131.n a a a a ⋯⋯ 2122232.n a a a a ⋯⋯ 3132333.n a a a a ⋯⋯……123.n n n nn a a a a ⋯⋯A .3m =B .767173a =⨯C .()1313j ij a i -=-⨯ D .()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列和等比数列通项公式,结合13611a a =+可求得m ,同时确定67a 、ij a 的值、得到,,A B C 的正误;首先利用等比数列求和公式求得第i 行n 个数的和,再结合等差求和公式得到D 的正误. 【详解】对于A ,2213112a a m m =⋅=,6111525a a m m =+=+,2235m m ∴=+,又0m >,3m ∴=,A 正确;对于B ,612517a m =+=,666761173a a m ∴=⋅=⨯,B 错误;对于C ,()111131i a a i m i =+-=-,()111313j j ij i a a mi --∴=⋅=-⋅,C 正确;对于D ,第i 行n 个数的和()()()()()1131133131122n n n i a m i i S m-----'===--,()()()()()()3111131258313131312224n n nn n S n n n +∴=-⨯+++⋅⋅⋅+-=-⨯=+-⎡⎤⎣⎦,D 正确. 故选:ACD .本题考查数列中的新定义问题,解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式,将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.三、填空题13.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________. 【答案】20 【分析】先由条件求出1,a d ,算出n S ,然后利用二次函数的知识求出即可 【详解】设{}n a 的公差为d ,由题意得135********d a a a a d a a ++++==++即1235a d +=,①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=即1333a d +=,②由①②联立得139,2a d ==-所以()()22139(2)40204002n S n n n n n n -=+⨯-=-+=--+故当20n =时,n S 取得最大值400 故答案为:20等差数列的n S 是关于n 的二次函数,但要注意n 只能取正整数.14.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢?各穿几何?”其大意为:“今有一堵墙厚五尺,两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙,大老鼠第一天打洞1尺,以后每天是前一天的2倍;小老鼠第一天也打洞1尺,以后每天是前一天的12.问大、小老鼠几天后相遇?各自打洞几尺?”如果墙足够厚,S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和,则S n =_____尺.【答案】2n +1﹣21﹣n【分析】写出两只老鼠打洞的通项公式,利用分组求和即可得解. 【详解】根据题意大老鼠第n 天打洞12n na 尺,小老鼠第n 天打洞112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭尺,所以11111242122n n n S --⎛⎫=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111221112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--112122n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1212n n -=+-故答案为:1212n n -+- 【点睛】此题考查等比数列的辨析,写出通项公式,根据求和公式求和,关键在于熟练掌握相关公式,涉及分组求和.15.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是__________.【答案】405 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9,公差为9的等差数列,9989994052S ⨯=⨯+⨯= 16.如图,互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =,22a =,则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】n a =【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等,找到与n a 相关的递推公式,再由递推公式求得通项公式. 【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积,2222i i j jOA B i i OA B j jS OA a SOA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列,且公差d =2221a a -3=,故21(1)332n a n n =+-⨯=-,得n a =故答案为: n a 【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用,根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键,属于中档题.四、解答题17.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且462S =-,675S =-,求: (1)求{}n a 的通项公式n a ; (2)求数列{}n a 的前14项和.【答案】(1)323n a n =-;(2)147. 【分析】(1)由已知条件列出关于1,a d 的方程组,求出1,a d 可得到n a ;(2)由通项公式n a 先判断数列{}n a 中项的正负,然后再化简数列{}n a 中的项,即可求出结果. 【详解】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,依题意得11434622656752a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩,解得120,3a d =-=,∴()2013323n a n n =-+-⨯=-; (2)∵323n a n =-,∴由0n a <得8n <,22(20323)3433432222n n n n n S n n -+--===-∴123141278141472a a a a a a a a a S S ++++=----+++=-223433431414772222⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭()()7424372143147=---=.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算,考查计算能力,属于基础题. 18.数列{}n a 满足11a =,22a =,2122n n n a a a ++=-+ (1)设1n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等差数列(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1)证明过程见详解;(2)21n nS n =+. 【分析】(1)先化简得到()()2112n n n n a a a a +++---=即12n n b b ,再求得1211b a a =-=,最后判断数列{}n b 是以1为首项,以2为公差的等差数列.(2)先求出数列{}n b 的通项公式21n b n =-,再运用“裂项相消法”求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS 即可. 【详解】解:(1)因为2122n n n a a a ++=-+,所以()()2112n n n n a a a a +++---= 因为1n n n b a a +=-,所以12nn b b ,且1211b a a =-=所以数列{}n b 是以1为首项,以2为公差的等差数列. (2)由(1)的()11221n b n n =+-⨯=-,所以()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以12233411111n n n S b b b b b b b b +=++++11111111111121323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111.22121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和,还考查了转化的数学思维方式,是基础题.19.在①112n n a a +=-,②116n n a a +-=-,③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的n S 存在最大值,则求出最大值;若问题中的n S 不存在最大值,请说明理由.问题:设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且14a =,__________,求{}n a 的通项公式,并判断n S 是否存在最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】若选①,求出数列{}n a 是首项为4,公比为12-的等比数列,求出通项公式和前n 项和,通过讨论n 的奇偶性,求出其最大值即可;若选②,求出数列{}n a 是首项为4,公差为16-的等差数列,求出通项公式和前n 项和,求出其最大值即可;若选③,求出217242n n n a -+=,当16n ≥时,0n a >,故n S 不存在最大值.【详解】 解:选①因为112n n a a +=-,14a =,所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列, 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时,141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+,因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少,所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时,81132n nS ⎛⎫=-⎪⎝⎭, 且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上,n S 存在最大值,且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-,14a =.所以{}n a 是首项为4,公差为16-的等差数列, 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤, 所以n S 存在最大值.且最大值为25S (或24S ),因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭,所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-,所以18n n a a n +-=-,所以217a a -=-,326a a -=-,…19n n a a n --=-,则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=, 又14a =,所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时,0n a >,故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式,考查等差数列和等比数列的性质,属于基础题 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足22n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()21n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2nn a =;(2)()12326n n T n +=-⨯+【分析】(1)利用1(2)n n n a S S n -=-≥,11a S =,可得{}n a 为等比数列,利用等比数列的通项公式即可求得通项公式n a ;(2)利用错位相减法求和即可求n T . 【详解】(1)当1n =时,11122a S a ==-,解得12a =,当1n >时,由22n n S a =-可得1122n n S a --=-,1n >两式相减可得122n n n a a a -=-,即12nn a a -=, 所以{}n a 是以2为首项,以2为公比的等比数列,所以1222n nn a -=⋅=(2)由(1)(21)2nn b n =-⋅,23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅,则23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯,两式相减得2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯()112118(12)2(21)226(21)2232612n n n n n n n n -++++-=+--⨯=---⨯=--⋅--,所以()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力.21.已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列[]lg n n b a =,[]x 表示不超过x 的最大整数,求{}n b 的前1000项和1000T . 【答案】(1)32n a n =-;(2)10002631T =. 【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可求出; (2)根据数列特点采用分组求和法求解. 【详解】(1)当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦,将1n =代入上式验证显然适合,所以32n a n =-. (2)因为410a =,34100a =,3341000a =,333410000a =,所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩, 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系,考查分组求和法,属于基础题. 22.在①535S =,②13310a a +=,③113n a n a +=+这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,其前n 项和为n S ,________,且1a ,412a ,9a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()1n n n b a =-,求1ni i b =∑.【答案】(1)32n a n =-;(2)13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数 【分析】(1)利用1a ,412a ,9a 成等比数列∴可得221132690a a d d +-=, 若选①:由535S =得:127a d +=,即可解出1a 和d 的值,即可求出{}n a 的通项公式; 若选②:由13310a a +=可得152d a =-,即可解出1a 和d 的值,即可求出{}n a 的通项公式; 若选③:由113n a n a +=+,可表示出419a a =+,9124a a =+,结合1a ,412a ,9a 成等比数列∴即可解出1a 和d 的值,即可求出{}n a 的通项公式; (2)由(1)可得()()132n n b n =--,分n 为奇数和偶数,利用并项求和即可求解.【详解】 {}n a 是各项均为正数的等差数列,1a ,412a ,9a 成等比数列. 所以241914a a a =⋅,即()()2111348a d a a d +=⋅+, 整理可得221132690a a d d +-=,若选①:535S =,则1545352a d ⨯+=,即127a d +=, 由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得:2230d d --=,解得3d =或1d =-(舍) 所以11a =,所以()11332n a n n =+-⨯=-,若选②:13310a a +=,即152d a =-,代入221132690a a d d +-=得:2111762450a a -+=,即 ()()11117450a a --=解得:113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意; 若选③:113n a n a +=+,则419a a =+,9124a a =+, 代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得:113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意;综上所述:113a d =⎧⎨=⎩, 32n a n =-,(2)()()132n n b n =--, ()()()()()12311231111111n n n i n n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑ ()()()()114710135132n n n n -=-+-++--+-- 当n 为偶数时,13322n i i n n b ==⨯=∑, 当n 为奇数时,()11131322n i i n n b =--=-+-⨯=∑, 所以13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数. 【点睛】关键点点睛:本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ,412a ,9a 成等比数列计算出1a 和d 的值,由{}n a 是各项均为正数的等差数列,所以10a >,0d >,第二问中()1n n n b a =-正负交错的数列求和,需要用奇偶并项求和,注意分n 为奇数和偶数讨论.。

高中数学选择性必修二 第4章数列 综合测试新章节复习

高中数学选择性必修二 第4章数列 综合测试新章节复习
13.
【分析】
设等差数列{an}的公差为 ,利用等比中项求出 和 的关系,代入 求值即为该等比数列的公比.
【详解】
设等差数列{an}的公差为
则 ,即 ,解得
则该等比数列的公比为
故答案为:
14.1
【分析】
利用等差、等比的通项公式结合已知求出公差d、公比q,进而求 .
【详解】
若令 公差、 公比分别为 ,
11.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2022积数列”,且a1>1,则当其前n项的乘积取最大值时,n的最大值为()
A.1009B.1010C.1011D.2020
12.已知数列 的前 项和为 , , 且 ,满足 ,数列 的前 项和为 ,则下列说法中错误的是()
人教A版选择性必修第二册第四章数列综合测试2
一、单选题
1.设数列 满足 ,则 ()
A.2B.4C.8D.16
2.在等差数列 中, ,则 等于().
A.6B.12C.24D.32
3.等比数列 中, , ,则 等于()
A.16B.32C.64D.128
4.设数列 的通项公式为 ,要使它的前 项的乘积大于36,则 的最小值为()
【分析】
由等差数列的性质可得 ,结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为 , ,
所以数列 是以 为首项,公差为3的等差
所以
.
故选:C.
10.D
【分析】
设该女子第 尺布,前 天工织布 尺,则数列 为等差数列,设其公差为 ,根据 , 可求得 的值.
【详解】
设该女子第 尺布,前 天工织布 尺,则数列 为等差数列,设其公差为 ,

新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(有答案解析)

新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(有答案解析)

一、选择题1.设数列{}n a 满足11a =,()*112n n n a a n +-=∈N ,则数列{}n a 的通项公式为( ). A .()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B .()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C .()*1112n n a n -=-∈ND .()*122n n a n =-∈N 2.在各项为正的递增等比数列{}n a 中,12664a a a =,13521a a a ++=,则n a =( ) A .12n +B .12n -C .132n -⨯D .123n -⨯3.天干地支纪年法,源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以此类推.排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,…,以此类推. 在戊戌年你们来到成都七中,追逐那光荣的梦想. 在1980年庚申年,我国正式设立经济特区,请问:在100年后的2080年为( ) A .辛丑年B .庚子年C .己亥年D .戊戌年4.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”:仿此,若3m 的“分裂数”中有一个是2017,则m 的值为( )3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A .44B .45C .46D .475.数列{}n a 满足1n n a a n +=+,且11a =,则8a =( ). A .29B .28C .27D .266.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=,下列命题中错误的是( ) A .1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .13n S n = C .13(1)n a n n =--D .{}3n S 是等比数列7.已知数列{}n a 满足:11a =,*1()2nn n a a n N a +=∈+.则 10a =( ) A .11021B .11022 C .11023D .110248.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列,则{}1n n a a ++是等差数列; ②若{}n a 是等比数列,则{}1n n a a ++是等比数列; ③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,则{}n a 是等差数列; ④若{}n a 是等比数列,则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.其中正确命题的个数有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个9.“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是( ) A .9B .10C .12D .1310.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1>1,且6S n =a n 2+3a n +2.若对于任意实数a ∈[﹣2,2].不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立,则实数t 的取值范围为( ) A .(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) B .(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) C .(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) D .[﹣2,2]11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n nS a =-,则66(S a = ) A .6332B .3116C .12364D .12712812.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且510315S S ==,,则20S =( ) A .255B .375C .250D .200二、填空题13.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n =,*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式为______.设2(1)n n n n b a a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和n T =______.14.已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且11a =,22a =,347a a +=,5613a a +=,则78a a +=______.15.已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+,则{}n a 的通项公式为__________________. 16.等差数列{}n a 满足:123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-12320201111a a a a =++++++++,则其公差d 的取值范围为______.17.已知函数()1eex f x x=+(e 是自然对数的底数),设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩,*n N ∈,数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4039S 的值是______.18.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()22n nn S a a n N *++∈,设()2112n n n na c S +=-⋅,则数列{}n c 的前2019项的和为___________.19.等比数列{}n a 中,11a =,且2436a a a +=,则5a =________. 20.数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*1n n n n a a a n N+-=∈,且3aπ=,则4tan S 等于______.三、解答题21.设等差数列}{n a 的公差为0d >,n *∈N .且满足3616a a +=,4563a a ⋅=. (1)求数列}{n a 的通项公式. (2)记数列11n n n b a a +=,求}{n b 的前n 项和n T . 22.已知数列{}n a 是递增的等比数列且149a a +=,238a a =,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,(1)求n a 和n S ; (2)数列11n n n a S S ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式n T λ≤对任意的*n N ∈恒成立,求实数λ的最大值.23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2512a a +=,424S S =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ; (2)若11n n n n a b S S ++=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,{}n b 是各项均为正数的等比数列,14a b =,______,28b =,1334b b -=,是否存在正整数k ,使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T ≥,若存在,求出k 的最小值;若不存在,说明理由.从①420S =,②332S a =,③3423a a b -=这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)25.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n N ∈,n a ,n S ,2n 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列n b 是首项为1,公比为q 的正项等比数列. (i )求数列{}n b 的前n 项和n T .(ii )若数列1{2}n n b a +-为单调递增数列,求q 的取值范围.26.已知正项等比数列{}n a 满足2139nn a +=⋅,3log n n b a =,且n b ,n c ,4n +成等差数列.(1)求数列{}n c 的通项公式;(2)求数列()1n n c n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前100项和100T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n na a +-=, 所以当2n ≥时,1112n n n a a ---=,12212n n n a a ----=,,21112a a -=, 将上式累加得:1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+,1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥, 又1n =时,11a =也适合,1122n n a -∴=-1212n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】关键点点睛:利用累加法求解是解题关键.2.B解析:B 【分析】设其公比为q ,由等比数列通项公式得34a =,进而得2333221a a a q q++=,解得2q =±或12q =±,再根据数列单调性即可得2q ,进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列,设其公比为q ,()3362312611364a a a a q a q a ∴====,则34a =,13521a a a ∴++=,2333221a a a q q∴++=, 即2244421q q++=, 解得2q =±或12q =±, 又{}n a 各项为正且递增,2q ∴=,3313422n n n n a a q ---∴==⨯=.故选:B . 【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =,进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ,考查运算求解能力,是中档题. 3.B解析:B 【分析】由题意可得:数列天干是以10为公差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,以1980年的天干和地支分别为首项,即可求出答案. 【详解】由题意可得:数列天干是以10为公差的等差数列, 地支是以12为公差的等差数列,从1980年到2080年经过100年,且1980年为庚申年, 以1980年的天干和地支分别为首项, 则1001010÷=余数0,则2080年天干为庚,100128÷=余数为4,则2080年地支为子, 所以2080年为庚子年. 故选:B 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由题意得出数列天干是以10为公差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,1980年为庚申年,计算1001010÷=余数0,则2080年天干为庚,100128÷=余数为4,则2080年地支为子,所以2080年为庚子年. 4.B解析:B 【分析】由题意,从32到3m ,正好用去从3开始的连续奇数,共123(2)(1)2m m m +++=+-个,再由2017是从3开始的第1008个奇数,可得选项. 【详解】由题意,从32到3m ,正好用去从3开始的连续奇数,共123(2)(1)2m m m +++=+-个,212017n += ,得1008n =, 所以2017是从3开始的第1008个奇数,当45m =时,从32到345,用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个, 当44m =时,从32到344,用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个, 所以45m =, 故选:B . 【点睛】方法点睛:对于新定义的数列问题,关键在于找出相应的规律,再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,得以解决.5.A解析:A 【分析】由已知得11n n n a a -=--,运用叠加法可得选项. 【详解】 解:由题意知:1n n a a n +=+,11n n a a n -∴-=-,即:211a a -=,322a a -=,,11n n n a a -=--,把上述所有式子左右叠加一起得:(1)12n n n a -=+, 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选:A. 【点睛】方法点睛:求数列通项公式常用的七种方法:(1)公式法:根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-,或11n n a a q -=进行求解;(2)前n 项和法:根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解;(3)n S 与n a 的关系式法:由n S 与n a 的关系式,类比出1n S -与1n a -的关系式,然后两式作差,最后检验出1a ,是否满足用上面的方法求出的通项;(4)累加法:当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=,即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(5)累乘法:当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=,即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(6)构造法:①一次函数法:在数列{}n a 中,1n n a ka b -=+(k 、b 均为常数,且k ≠1,k ≠0).一般化方法:设()1n n a m k a m -+=+,得到()11b b k m m k =-=-,, 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列,可求出n a ;②取倒数法:这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+(k 、m 、p 为常数,m ≠0),两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子;(7)1nn n a ba c +=+(b 、c 为常数且不为零,n *∈N )型的数列求通项n a ,方法是在等式的两边同时除以1n c +,得到一个1n n a ka b +=+型的数列,再利用(6)中的方法求解即可.6.C解析:C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系,得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,可判断A ,求出n S 后,可判断B ,由1a 的值可判断C ,求出3n S 后可判断D . 【详解】2n ≥时,因为130n n n a S S -+=,所以1130n n n n S S S S ---+=,所以1113n n S S --=, 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,A 正确;1113S a ==,113S =,公差3d =,所以133(1)3n n n S =+-=,所以13n S n =,B 正确; 113a =不适合13(1)n a n n =--,C 错误;1313n n S +=,数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,D 正确. 故选:C . 【点睛】易错点睛:本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式,考查等差数列与等比数列的判断,在公式1n n n a S S -=-中2n ≥,不包含1a ,因此由n S 求出的n a 不包含1a ,需要特别求解检验,否则易出错.7.C解析:C 【分析】根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ,构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,求解出通项,进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+,所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+,则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭,所以121n n a =-,故101011211023a ==-. 故选:C 【点睛】方法点睛:对于形如()11n n a pa q p +=+≠型,通常可构造等比数列{}n a x +(其中1qx p =-)来进行求解.8.D解析:D 【分析】结合等比数列、等差数列的定义,对四个命题逐个分析,可选出答案. 【详解】对于①,设等差数列{}n a 的公差为d ,则()()121n n n n a a a a ++++-+=()()1212n n n n a a a a d +++-+-=为定值,故{}1n n a a ++是等差数列,即①正确;对于②,设等比数列{}n a 的公比为q ,则12111n n n n n n n n a a a q a qq a a a a +++++++==++为定值,故{}1n n a a ++是等比数列,即②正确;对于③,等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为111S a =,设公差为d ,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为nS n=()11a n d +-,所以()11n S na n n d =+-, 则2n ≥时,1n n n a S S -=-()()()()111112na n n d n a n n d =+---+--⎡⎤⎣⎦()121a n d =+-,由1a 符合()121n a a n d =+-,可知{}n a 的通项公式为()121n a a n d =+-,则()()11121222n n a a a n d a n d d -⎡⎤-=+--+-=⎣⎦为定值,即{}n a 是等差数列,故③正确;对于④,设等比数列{}n a 的公比为q ,则()()()211231111n n n T a a a a a a q a q a q -===()12311n n a q ++++-()121n n n a q-=,所以()()12122211n n nnn n n T a q a q --⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则()()2112221211n n n n n n a q q a q T T ----==为定值,即()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,故④正确. 所以正确命题的个数有4个. 故选:D. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的判定,考查学生的推理能力,属于中档题.9.A解析:A 【分析】设只能堆放n 层,由已知得从最上层往下,每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列,且余下的铅笔数小于1n +,根据等差数列的前n 项和公式可求得选项. 【详解】设只能堆放n 层,则从最上层往下,每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列,且余下的铅笔数小于1n +, 于是()11002n n +≤,且()110012n n n +-<+,解得13n =,剩余的根数为131410092⨯-=. 故选:A. 【点睛】 本题考查数列的实际应用,关键在于将生活中的数据,转化为数列中的基本量,属于中档题.10.A解析:A 【分析】根据a n 与S n 的关系,由6S n =a n 2+3a n +2,得6S n ﹣1=a n ﹣12+3a n ﹣1+2,两式相减整理得a n ﹣a n﹣1=3,由等差数列的定义求得a n 的通项公式,然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立,转化为2t 2+at ﹣4≥0,对于任意的a ∈[﹣2,2],n ∈N *恒成立求解. 【详解】由6S n =a n 2+3a n +2,当n =1时,6a 1=a 12+3a 1+2.解得a 1=2, 当n ≥2时,6S n ﹣1=a n ﹣12+3a n ﹣1+2,两式相减得6a n =a n 2+3a n ﹣(a n ﹣12+3a n ﹣1), 整理得(a n +a n ﹣1)(a n ﹣a n ﹣1﹣3)=0,由a n >0,所以a n +a n ﹣1>0,所以a n ﹣a n ﹣1=3, 所以数列{a n }是以2为首项,3为公差的等差数列, 所以a n +1=2+3(n +1﹣1)=3n +2,所以11n a n ++=321++n n =3﹣11n +<3,因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3,对于任意的a ∈[﹣2,2],n ∈N *恒成立, 即为:2t 2+at ﹣4≥0,对于任意的a ∈[﹣2,2],n ∈N *恒成立, 设f (a )=2t 2+at ﹣4,a ∈[﹣2,2], 则f (2)≥0且f (﹣2)≥0,即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩,解得t ≥2或t ≤﹣2,则实数t 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)故选:A . 【点睛】本题主要考查数列与不等式的,a n 与S n 的关系,等差数列的定义,方程的根的分布问题,还考查了转化化归思想和运算求解的能力,属于中档题.11.A解析:A 【分析】利用数列递推关系:1n =时,1121a a =-,解得1a ;2n 时,1n n n a S S -=-.再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出. 【详解】21n n S a =-,1n ∴=时,1121a a =-,解得11a =;2n 时,1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---,化为:12n n a a -=.∴数列{}n a 是等比数列,公比为2.56232a ∴==,66216321S -==-.则666332S a =. 故选:A . 【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式,考查推理能力与计算能力,属于中档题.12.A解析:A 【分析】由等比数列的性质,510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列,先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ,再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列,可得20S . 【详解】由题得,51051510,,S S S S S --成等比数列,则有210551510()()S S S S S -=-,215123(15)S =-,解得1563S =,同理有215101052015()()()S S S S S S -=--,2204812(63)S =-,解得20255S =.故选:A 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质,这道题也可以先由510315S S ==,求出数列的首项和公比q ,再由前n 项和公式直接得20S 。

数列单元测试卷

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第二章单元测验A 卷一、填空题(每题5分,共25分)1. 等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________.2. 在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________3. 两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =___________.4.计算3log n=__________________________.5. 在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根,则=⋅74a a ___________.二、选择题(每题4分,共28分)6.在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中,x 等于 ( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 147.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于 ( ) A. 66 B. 99 C. 144 D. 2978.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ,那么2113-是此数列的第 ( ) A. 2项 B. 4项 C. 6项 D. 8项9.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则=2a ( ) A. 4- B. 6- C. 8- D. 10-10.12+与12-,两数的等比中项是 ( ) A. 1 B. 1- C. 1± D. 2111.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为A. 81B. 120C. 168D. 192 12.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S Sa a 则 ( ) A. 1 B. 1- C. 2 D.21三、解答题(共47分)13.(8分) 成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数. 【设四数为3,,,3a d a d a d a d --++,则22426,40a a d =-=即1333,222a d ==-或,当32d =时,四数为2,5,8,11当32d =-时,四数为11,8,5,2】14.(9分)设等比数列{}n a 前n 项和为n S ,若9632S S S =+,求数列的公比q .【解:显然1q ≠,若1q =则3619,S S a +=而91218,S a =与9632S S S =+矛盾由369111369(1)(1)2(1)2111a q a q a q S S S q q q---+=⇒+=---96332333120,2()10,,1,2q q q q q q q --=--==-=得或而1q ≠,∴243-=q 】15.(10分)求和:)0(),(...)2()1(2≠-++-+-a n a a a n【原式=2(...)(12...)n a a a n +++-+++2(1)( (2)n n a a a +=+++-2(1)(1)(1)12(1)22n a a n n a a n n a ⎧-+-≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩】 16.(10分)在等比数列{}n a 中,,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围. 【22213222236,(1)60,0,6,110,3,a a a a q a a q q ==+=>=+==±当3q =时,12(13)2,400,3401,6,13n n n a S n n N-==>>≥∈-;当3q =-时,12[1(3)]2,400,(3)801,8,1(3)n n n a S n n ---=-=>->≥--为偶数;∴为偶数且n n ,8≥】17.(10分) 已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ,如果)(N n a b n n ∈=,求数列{}n b 的前n 项和. 【解:112,5211,6n n n n b a n n -≤⎧==⎨-≥⎩,当5n ≤时,2(9112)102n n S n n n =+-=-当6n ≥时,255525(1211)10502n n n S S S n n n --=+=++-=-+∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)6(,5010)5(,1022n n n n n n S n 】第二章单元测验B 卷一、填空题(每题5分,共25分)1.等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则=+53a a _________.2.在正项等比数列{}n a 中,252735351=++a a a a a a ,则=+53a a _______.3.已知数列{}n a 中,11-=a ,n n n n a a a a -=⋅++11,则数列通项=n a ___________.4.等比数列{}n a 前n 项的和为12-n,则数列{}2n a 前n 项的和为______________.5.已知数列{}n a 是等差数列,若171074=++a a a ,77141312654=++++++a a a a a a 且13=k a ,则=k _____.二、选择题(每题4分,共28分) 6.数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ,则该数列的前( )项之和等于9A. 98B. 99C. 96D. 977.在等比数列{}n a 中,若62=a ,且0122345=+--a a a 则n a 为 ( ) A. 6 B. ()216--⋅n C. 226-⋅n D. ()2226166--⋅-⋅n n 或或8.在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为 ( ) A. 9 B. 12 C. 16 D. 17 9.A.B.C.D.10.在等差数列{}n a 中,2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ,则1a 为 ( ) A. 5.22- B. 5.21- C. 5.20- D. 20-11.等比数列{}n a 的各项均为正数,且187465=+a a a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) A. 12 B. 10 C. 5l o g 13+ D. 5l o g 23+ 12.等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n n T S ,,若,132+=n n T S n n 则=nn b a( ) A.32 B. 1312--n n C. 1312++n n D. 4312+-n n 三、解答题(共47分)13.(8分)三个数成等差数列,其比为3:4:5,如果最小数加上1,则三数成等比数列,那么原三数为什么?【设原三数为3,4,5,(0)t t t t ≠,不妨设0,t >则2(31)516,5t t t t +==,315,420,525,t t t ===∴原三数为15,20,25】14.(9分) 求和:12...321-++++n nxx x .【记21123...,n n S x x nx -=++++当1x =时,1123...(1)2n S n n n =++++=+当1x ≠时,23123...(1),n n n xS x x x n xnx -=++++-+231(1)1...,n nn x S x x x xnx --=+++++-11nn n x S nx x-=-- ∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠---)1(2)1()1(11x n n x nx xx n n】15.(10分) 已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=,求n a .【解:111132,32,2(2)nn n n n n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥而115a S ==,∴⎩⎨⎧≥==-)2(,2)1(,51n n a n n 】16.(10分) 一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数. 【解:设此数列的公比为,(1)q q ≠,项数为2n,则22222(1)1()85,170,11n n a q q S S q q --====--奇偶2221122,85,2256,28,14n nS a q n S a -======-偶奇∴,2=q 项数为8】17.(10分) 已知数列{}n a 的前n 项和)34()1(...139511--++-+-=-n S n n ,求312215S S S -+的值.【解:(4),2,2121,(4)43,2n n nn n n S S n n n n n ⎧⨯-⎪-⎧⎪==⎨⎨--⎩⎪⨯-+-⎪⎩为偶数为偶数,,为奇数为奇数15223129,44,61,S S S ==-=15223176S S S +-=-】第三章单元测验A 卷一、填空题(每题5分,共25分)1. 若方程()024*******=++++++n mn m x m x 有实根,则实数=m ________;且实数=n ______.2.原点和点()1,1在直线0=-+a y x 的两侧,则a 的取值范围是_________________.3. 当=x ______时,函数)2(22x x y -=有最_______值,且最值是_________.4.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≥--,032,042,02y y x y x 则x y 的最大值是____________________.5.设+∈R y x ,且191=+yx ,则y x +的最小值为________. 二、选择题(每题4分,共28分)6.下列各对不等式中同解的是 ( )A. 72<x 与x x x +<+72B. 0)1(2>+x 与 01≠+xC. 13>-x 与13>-xD. 33)1(x x >+与xx 111<+ 7.已知点()2,a P 在直线0432:=-+y x l 右上方(不包括边界)则a 的取值范围为 ( ) A. 1->a B. 1-<a C. 1-≤a D. 1-≥a8.设11->>>b a ,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.b a 11< B. ba 11> C. 2b a > D. b a 22> 9.不等式x x 22lg lg <的解集是 ( ) A. ⎪⎭⎫⎝⎛1,1001 B. ()+∞,100 C. ()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛,1001,1001 D. ()()+∞⋃,1001,0 10.若214122-+⎪⎭⎫⎝⎛≤x x ,则函数xy 2=的值域是 ( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,81B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,81C. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-81, D. [)+∞,211.下面结论正确的是A. ba b a 11,<>则有若 B. c b c a b a >>则有若, C. b a b a >>,则有若 D. 1,>>bab a 则有若12.由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤9020x y x表示的平面区域内的整点(横、纵坐标都是整数的点)个数为 ( )A. 个55B. 个1024C. 个1023D. 个1033 三、解答题(共47分)13.(8分) 解不等式(1) ()()03log 232>--x x (2) 2232142-<---<-x x ; 14.(9分) 已知1)1()(2++-=x aa x x f , (1)当21=a 时,解不等式0)(≤x f ;(2)若0>a ,解关于x 的不等式0)(≤x f ; 【已知1)1()(2++-=x a a x x f ,(I )当21=a 时,解不等式0)(≤x f ;(II )若0>a ,解关于x 的不等式0)(≤x f 。

期末复习-数列测试卷

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苍溪中学课改2013级数列复习测试卷第I 卷(选择题 共50分)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求) 1.在等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为 ( )A .4B.32C.169D .22.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10等于 ( ) A .45B .50C .75D .603. 设,a b 为正整数,且lg(3)a -与lg(4)b -的等差中项为,则,a b 的值分别为 ( ) ()8,3A a b == ()8,32,9B a b a b ====或()28,3C a b == ()2,9D a b ==4.在数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +1是等差数列,那么a 11等于 ( )A.13B.12C.23D .15.设a n =-n 2+10n +11,则数列{a n }前n 项的和最大时n 的值为 ( )A .10B .11C .10或11D .126.在等比数列{a n }中,若a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5的值为 ( ) A .16B .81C .36D .27 7.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n,则公比为 ( ) A .2B .4C .8D .168.在等比数列{a n }中,a 3=12,a 2+a 4=30,则a 10的值为( )A .3×10-5B .3×29C .128D .3×2-5或3×299.在等差数列{a n }中,设公差为d ,若前n 项和为S n =-n 2,则通项和公差分别为 ( )A .a n =2n -1,d =-2B .a n =2n -1,d =2C .a n =-2n +1,d =-2D .a n =-2n +1,d =2 10.在数列{x n }中,2x n =1x n -1+1x n +1(n≥2),且x 2=23,x 4=25,则x 10等于( )A.211B.16C.112D.15第II 卷(非选择题 共100分)二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置) 11.若数列{a n }是等差数列,a 3,a 10是方程x 2-3x -5=0的两根,则a 5+a 8=________. 12.已知等差数列{a n },公差d≠0,a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 1+a 5+a 17a 2+a 6+a 18=________.13.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 011项和S 2 011=________.14.把自然数1,2,3,4,…按下列方式排成一个数阵.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________.15.已知等比数列{a n }为递增数列,且a 25=a 10,2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的通项公式a n =________. 三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分) 已知{a n }为等差数列,且a 3=-6,a 6=0. (1)求{a n }的通项公式;(2)若等比数列{b n }满足b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n }的前n 项和公式.17.(本小题满分12分) 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式;(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是等比数列.18.(本小题满分12分) 已知点(1,2)是函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象上一点,数列{a n }的前n 项和S n =f(n)-1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log a a n +1,求数列{a n b n }的前n 项和T n .19.(本小题满分12分) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=12S n (n =1,2,3,…).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)当b n =312log (3)n a +时,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n +1的前n 项和T n =n1+n .20.(本小题满分12分) 已知数列{a n}满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n(n∈N*).(1)证明:数列{a n+1-a n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.21.(本小题满分14分) 已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1(3)nn a(n∈N*),S n=b1+b2+…+b n,是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有S n>t36总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.参考答案1.解析 在等比数列{a n }中,a 3,a 6,a 9也成等比数列 ∴a 62=a 3a 9,∴a 3=629=4.答案 A2.解析 由已知:a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150, ∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50. ∵a 4+a 10=a 1+a 13,∴a 4+a 10=50.答案 B 3.答案 A4.解析 设b n =1a n +1,则数列{b n }是等差数列,由等差数列的性质可知b 3,b 7,b 11成等差数列,又b 3=1a 3+1=13,b 7=1a 7+1=12,所以b 11=2b 7-b 3=23,所以1a 11+1=23,解得a 11=12. 答案 B5.解析 令a n ≥0得n 2-10n -11≤0,∴1≤n≤11. 即1≤n≤10时,a n >0,当n≥12时,a n ≤0,而a 11=0, 故前10项和等于前11项和,它们都最大.答案 C6.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =1-a 1a 1q 3=9-a 1q2⇒∴a 4+a 5=14×33+14×34=27.答案 D7.解析 由a n a n +1=16n ,知a 1a 2=16,a 2a 3=162,后式除以前式得q 2=16,∴q =±4. ∵a 1a 2=a 12q =16>0,∴q>0,∴q =4.答案 B 8D .3×2-5或3×29解析 ∵a 2=a 3q ,a 4=a 3q ,∴a 2=12q ,a 4=12q.∴12q +12q =30,即2q 2-5q +2=0.∴q =12或q =2.当q =12时,a 2=24,∴a 10=a 2q 8=24×⎝ ⎛⎭⎪⎫128=3×2-5;当q =2时,a 2=6,∴a 10=a 2q 8=6×28=3×29.答案 D9.解析 a n =S n -S n -1=-n 2-[-(n -1)2]=-2n +1(n>1,n ∈N *).当n =1时,a 1=S 1= -1满足上式,显然d =-2.答案 C10.解析 由已知得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列,设该数列的公差为d ,∴1x 4-1x 2=2d =1,∴d =12,∴1x 10=1x 2+(10-2)×d==112,∴x 10=211.答案 A11.解析 ∵数列{a n }为等差数列,∴a 3+a 10=a 5+a 8. ∵a 3+a 10=3,∴a 5+a 8=3.答案 312.解析 由题意得(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d), ∵d≠0,∴a 1=-4d ,∴a n =-4d +(n -1)d ,即a n =(n -5)d ,∴a 1+a 5+a 17a 2+a 6+a 18=-4d +12d -3d +d +13d =811.答案 81113.解析 a 1=-1,a 2=2,a 3=-1,a 4=2,…,∴a 2 011=-1,∴S 2 011=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2 009+a 2 010)+a 2 011=1 005×1+(-1)=1 004. 答案 1 00414.解析 该数阵的第1行有1个数,第2行有2个数,…,第n 行有n 个数,则第n -1(n≥3)行的最后一个数为-+n -2=n 22-n 2,则第n 行从左至右的第3个数为n 22-n2+3. 答案 n 22-n2+315.解析 由a 25=a 10得(a 1q 4)2=a 1q 9,∴a 1=q. ∵2(a n +a n +2)=5a n +1,∴2a n (1+q 2)=5a n q. ∴2(1+q 2)=5q ,∴2q 2-5q +2=0. ∴q=2(q =12舍),∴a 1=2,a n =2n.16.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 3=-6,a 6=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =-6,a 1+5d =0.解得a 1=-10,d =2.所以a n =-10+(n -1)×2=2n -12.(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2=a 1+a 2+a 3=-24,b 1=-8,所以-8q =-24,q =3. 所以数列{b n }的前n 项和公式为S n =b 1-q n1-q=4(1-3n).17. (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a -d ,a ,a +d , 依题意,得a -d +a +a +d =15,解得a =5. 所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d =2或d =-13(舍去). 故{b n }的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54.所以{b n }是以54为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n =54-2n1-2=5·2n -2-54,即S n +54=5·2n -2. 所以S 1+54=52,S n +1+54S n +54=5·2n -15·2n -2=2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是以52为首项,2为公比的等比数列. 18.解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)=a x得a =2, 所以数列{a n }的前n 项和为S n =f(n)-1=2n -1. 当n =1时,a 1=S 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1,对n =1时也适合,∴a n =2n -1.(2)由a =2,b n =log a a n +1得b n =n , 所以a n b n =n·2n -1.T n =1·20+2·21+3·22+…+n·2n -1,①2T n =1·21+2·22+3·23+…+(n -1)·2n -1+n·2n.②由①-②得:-T n =20+21+22+…+2n -1-n·2n,所以T n =(n -1)2n+1. 19. (1)解 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a n +1=12S n,a n=12Sn -1(n≥2),得a n +1=32a n (n≥2).∴数列{a n }是以a 2为首项,以32为公比的等比数列.又a 2=12S 1=12a 1=12,∴a n =a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2(n≥2).∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2, n≥2.(2)证明 b n =log 32(3a n +1)=log 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1=n.∴1b n b n +1=1+=1n -11+n .∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+…+1b n b n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫11-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-14+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -11+n =1-11+n =n 1+n . 20. (1)证明 ∵a n +2=3a n +1-2a n ,∴a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ),∴a n +2-a n +1a n +1-a n =2.∵a 1=1,a 2=3,∴{a n +1-a n }是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)得a n +1-a n =2n,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n -1+2n -2+…+2+1=2n-1.故数列{a n }的通项公式为a n =2n-1.21.解 (1)由题意得(a 1+d)(a 1+13d)=(a 1+4d)2,整理得2a 1d =d 2. ∵a 1=1,解得(d =0舍),d =2.∴a n =2n -1(n ∈N *). (2)b n =1n +=1+=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴S n =b 1+b 2+…+b n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=n +.假设存在整数t 满足S n >t36总成立,又S n +1-S n =n +1+-n +=1++>0,∴数列{S n }是单调递增的.∴S 1=14为S n 的最小值,故t 36<14,即t<9.又∵t ∈N *,∴适合条件的t 的最大值为8.。

数列测试卷(含答案)

数列测试卷(含答案)

第五章数列测试卷一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分) ( )1. 数列1,-2,3,-4……的一个通项公式是A.a n=(一1)n•nB. a n= (-1)n+1 •nC. a n=nD. a n=-n2.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n,且156是该数列的一项,则n 等于 ( )A.10B.11C.12D.133.若等差数列的前n项和S n=2n2- n,则它的通项公式a n为( )A.4n+3B.4n一3C.2n-1D.2n+14.在数列{ a n}中,若a1=2,a n=a n+1-2,则该数列的第5项等于( )A.16B. 14C.12D.55.已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是 ( )A.4B.4或一4C.10D.566.在等差数列{a n}中,已知S3=54,则a2为 ( )A.6B.12C.18D.247.在等差数列中,若a1=23,公差d为整数,a6>0,a7<0,则d等于 ( )A.-1B. -2C.-3D.-4 8.若a ≠b,且aa 1,a 2a 3,b 和a.b 1b 2b 3,b 4,b 都是等差数列,则a1−a2b1−b2等于( )A.43B.34C. 45D.549.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7= 39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9等于 ( )A.66B.144C.99D.297 10.等差数列{a n }中,若a n = m,a m =n,且m ≠n,那么a m+n .等于( ) A. mn B.m+n C.m-n D.011.已知a,b,c 成等比数列,则函数y=2ax 2+ 3bx+c 与x 轴交点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 12.等比数列{a n }中,a 6=6,a 9=9,则a 3等于 ( ) A.4 B .32C.169D.213.已知等比数列{a n },前3项的和为7,积为8,则此数列的公比等于( )A.2B.2或32C.12D.-2或-12.14.已知等差数列{a n }的公差d=3,若a 1,a 3.a 4.成等比数列,则a 2等于 ( )A.-18B.-15C.-12D. -9 15.在等比数列(a n )中:若 a 2•a 6=8,Iog 2(a 1•a 7)= ( )A. 8 B .3 C.16 D.28 16.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是 ( ) A.2或12B.3或13C.4或14D.9或1917.已知等比数列{a n }的各项均为正数.且a 1, 12a 3,2a 2成等差数列,则a9+a10a7+a8= ( )A.1+√2B.1- √2C.3+2√2D.3-2√2 18.在等比数列{a n }中,著a4a7+a5a6=20.则此数列的前10项之积为( )A.50B.2010C.105D. 1010 19.为了治理沙漠,某农场要在沙漠上赖种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场共裁种植被的公顷数是 ( )A.510公顷B.330公顷C.186公顷D.51公顷 20.《九章算术)“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积是 ( )A.1升B.6766升 C.4744升 D.3733升二、填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分) 21.在等差数列{a n }中,若Sn=3n 2+2n.则公差d 的值是22.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 一49,则当n= 时,S n 有最小值.23.在等差数列{a n }中,已知公差d=12,且a 1+a 3+a 5…+a 97+a 99=60.则a1+a2+a3+…+a99+a100= .24.等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则S6=25.某种储蓄利率为2.5%,按复利计算,若本金为30 000元,设存入工期后的本金和利息为y元,则y随x变化的函数关系为三、解答题(本大题5个小题,共40分)26.(本小题6分)已知等差数列{a n}中,a n=33-3n,求前n项和S n的最大值.27.(本小题8分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n.n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式:(2)已知数列{b n}是等差数列,S n是其前n项和,且满足b1=a3,b3=a1+a2+a3,求S20的值。

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(含答案解析)(2)

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(含答案解析)(2)

一、选择题1.已知数列{}n a 中,12a =,111(2)n n a n a -=-≥,则2021a 等于( ) A .1-B .12-C .12D .22.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩3.已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-,则22212n a a a +++=( )A .()221n -B .()1213n- C .41n -D .()1413n- 4.已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和为n S ,且点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上,则12320191111S S S S ++++=( )A .20192020B .20191010C .20194040 D .201920202⨯ 5.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=,数列{}n a 满足11a =,且21n n S an n=-,(n S 为{}n a 的前n 项和,*)n N ∈,则56()()f a f a +=( )A .1B .3C .-3D .06.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .457.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列,则{}1n n a a ++是等差数列; ②若{}n a 是等比数列,则{}1n n a a ++是等比数列; ③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,则{}n a 是等差数列; ④若{}n a 是等比数列,则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.其中正确命题的个数有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个8.两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为n S ,n T ,且723n n S n T n +=+,则220715a ab b ++的值为( ) A .14924B .7914C .165D .51109.数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,则10a =( ) A .511B .513C .1025D .102410.已知数列{}n a 满足:11a =,()*12nn n a a n N a +=∈+.若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围为( ) A .2λ>B .3λ>C .2λ<D .3λ<11.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1220a a +=,334S =,且2n a S a ≤≤+,则实数a 的取值范围是( ) A .0,1B .[]1,0-C .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.在公差不为零的等差数列{}n a 中,1a ,3a ,7a 依次成等比数列,前7项和为35,则数列{}n a 的通项n a 等于( ) A .nB .1n +C .21n -D .21n二、填空题13.数列1,()12+,()223234122,1222,(1222()2),....+++++++++的前n 项之和n S =____________.14.已知正项数列{}n a 中,21129n n a a +=+,若对于一切的*n N ∈都有1n n a a +>成立,则1a 的取值范围是________.15.设数列{}n a 的前n 项和,n S 若11a =-,()*1102n n S a n N +-=∈,则{}n a 的通项公式为_______.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()*11111n n n n N S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,且112a =-,则20191S =_______.17.设数列{}n a 是首项为1的正项数列,且()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=,则它的通项公式n a =______.18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列,29a =,且3a 是1a 和4a 的等比中项,则数列{}n a 的前10项和10S =________.19.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且675S S S >>,给出以下结论:①0d <;②110S >;③120S >;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤67a a >其中正确的有______.(写出所有正确结论的序号) 20.若数列{}n a 满足11a =,且()*1111n nn a a N +∈-=,则 ①数列{}na e是等比数列;②满足不等式:1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减,则数列(){}n f a 是单调递减数列; ④存在数列{}n a 中的连续三项,能组成三角形的三条边; ⑤满足等式:122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________三、解答题21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且122n n n S a +=-,*n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令11n n n n b a a n +=-+,记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .求证:43n T <,*n N ∈. 22.在①535S =,②122114b b S -=,③35S T =这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题:已知正项等差数列{}n a 的公差是等差数列{}n b 的公差的两倍,设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,且13a =,23T =,________,设2n b n n c a =⋅,求{}n c 的前n 项和n A .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,162a a +=,40a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求n S 的最大值及相应的n 的值.24.已知正项数列{}n a 满足2220n n a na n --=,数列(){}12n nn aa -⋅+的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求n S .25.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:2n n S a =-. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设41n n c a =+,求数列{}n c 的前n 项和n T .26.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,()()31n n n S a n a -=-. (1)求n a ; (2)若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:1n T <.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】先计算出{}n a 的前几项,然后分析{}n a 的周期性,根据周期可将2021a 转化为2a ,结合12a =求解出结果.【详解】因为12a =,所以23412311111,11,12,......2a a a a a a =-==-=-=-= 所以3211111111111111111111n n nn n n n na a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-=------, 所以{}n a 是周期为3的周期数列,所以20213673+2212a a a ⨯===, 故选:C. 【点睛】思路点睛:根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤:(1)先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项,直至出现数列中项循环,判断循环的项包含的项数A ;(2)证明()*n A n a a A N+=∈,则可说明数列{}na 是周期为A 的数列.2.B解析:B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==,上式也成立,()*21n a n n N ∴=-∈,故选:B. 【点睛】易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题.3.D解析:D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ,进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列,确定该数列的首项和公比,利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时,112a S a ==-;当2n ≥时,()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列,则12a a =-满足12n na ,所以,022a -=,解得1a =,()12n n a n N -*∴=∈,则()221124n n na --==,2121444n n n n a a +-∴==,且211a =, 所以,数列{}2n a 为等比数列,且首项为1,公比为4, 因此,222121441143n n na a a --+++==-. 故选:D. 【点睛】方法点睛:求数列通项公式常用的七种方法:(1)公式法:根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解;(2)前n 项和法:根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解;(3)n S 与n a 的关系式法:由n S 与n a 的关系式,类比出1n S -与1n a -的关系式,然后两式作差,最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项;(4)累加法:当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=,即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列,就可以利用这种方法; (5)累乘法:当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=,即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(6)构造法:①一次函数法:在数列{}n a 中,1n n a ka b -=+(k 、b 均为常数,且1k ≠,0k ≠).一般化方法:设()1n n a m k a m -+=+,得到()1b k m =-,1bm k =-,可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列,可求出n a ;②取倒数法:这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+(k 、m 、p 为常数,0m ≠),两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b-=+的式子;⑦1nn n a ba c +=+(b 、c 为常数且不为零,n *∈N )型的数列求通项n a ,方法是在等式的两边同时除以1n c +,得到一个1n n a ka b +=+型的数列,再利用⑥中的方法求解即可.4.B解析:B 【分析】由点在直线上得到数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式,根据公式特征利用裂项相消可得答案. 【详解】点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上,所以11n n a a +=+,即1=1n n a a +-所以{}n a 是以1为首项,公差为1的等差数列,即=n a n ,(1)=2n n nS +, 所以1211=2(1)1n S n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭, 123201911111111112121223201920202020S S S S ⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20191010=. 故选:B. 【点睛】 裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和,注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.5.C解析:C 【分析】判断出()f x 的周期,求得{}n a 的通项公式,由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且满足3()()2f x f x -=, 所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭,所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①, 当1n =时,11a =,当2n ≥时,()1121n n S a n --=--②,①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+(2n ≥),所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=,652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选:C 【点睛】如果一个函数既是奇函数,图象又关于()0x a a =≠对称,则这个函数是周期函数,且周期为4a .6.B解析:B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 7.D解析:D 【分析】结合等比数列、等差数列的定义,对四个命题逐个分析,可选出答案. 【详解】对于①,设等差数列{}n a 的公差为d ,则()()121n n n n a a a a ++++-+=()()1212n n n n a a a a d +++-+-=为定值,故{}1n n a a ++是等差数列,即①正确;对于②,设等比数列{}n a 的公比为q ,则12111n n n n n n n n a a a q a qq a a a a +++++++==++为定值,故{}1n n a a ++是等比数列,即②正确;对于③,等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为111S a =,设公差为d ,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为nS n=()11a n d +-,所以()11n S na n n d =+-, 则2n ≥时,1n n n a S S -=-()()()()111112na n n d n a n n d =+---+--⎡⎤⎣⎦()121a n d =+-,由1a 符合()121n a a n d =+-,可知{}n a 的通项公式为()121n a a n d =+-,则()()11121222n n a a a n d a n d d -⎡⎤-=+--+-=⎣⎦为定值,即{}n a 是等差数列,故③正确;对于④,设等比数列{}n a 的公比为q ,则()()()211231111n n n T a a a a a a q a q a q -===()12311n n a q ++++-()121n n n a q-=,所以()()12122211n n nnn n n T a q a q --⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则()()2112221211n n n n n n a q q a q T T ----==为定值,即()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,故④正确. 所以正确命题的个数有4个. 故选:D. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的判定,考查学生的推理能力,属于中档题.8.A解析:A 【分析】在{}n a 为等差数列中,当(m n p q m +=+,n ,p ,)q N +∈时,m n p q a a a a +=+.所以结合此性质可得:2202171521a a Sb b T +=+,再根据题意得到答案.【详解】解:在{}n a 为等差数列中,当(m n p q m +=+,n ,p ,)q N +∈时,m n p q a a a a +=+.所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯, 又因为723n n S n T n +=+, 所以22071514924a ab b +=+. 故选:A . 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质,属于中档题.9.B解析:B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -,求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-,所以121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-,所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠, 所以{}1n a -是首项为1,公比为2的等比数列,所以112n n a --=,所以121n n a -=+,所以91021513a =+=,故选:B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式,难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式,可以采用构造等比数列的方法进行求解.10.C解析:C 【分析】 数列{a n }满足()*12nn n a a n N a +=∈+,两边取倒数可得1121n na a +=+,从而得到11=2n n a +,于是b n +1=(n ﹣λ)(11a +1)=(n ﹣λ)•2n ,由于数列{b n }是单调递增数列,可得b n +1>b n ,解出即可. 【详解】∵数列{a n }满足:a 1=1,()*12nn n a a n N a +=∈+, ∴1121n n a a +=+,化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11a +1=2,公比为2的等比数列,∴11=2n na +, ∴b n +1=(n ﹣λ)(11a +1)=(n ﹣λ)•2n , ∵数列{b n }是单调递增数列,∴b n +1>b n ,∴n ≥2时,(n ﹣λ)•2n >(n ﹣1﹣λ)•2n ﹣1,化为λ<n +1, ∵数列{n +1}为单调递增数列,∴λ<3.当n =1时,b 2=(1﹣λ)×2>﹣λ=b 1,解得λ<2. 综上可得:实数λ的取值范围为λ<2. 故选:C . 【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、考查由数列的单调性求解参数问题,考查等比数列的通项公式,考查推理能力与计算能力,属于中档题.11.D解析:D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由1220a a +=,334S =,列方程求出1,a q ,进而可求出n S ,列不等式组可求出a 的取值范围【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q , 因为1220a a +=,334S =, 所以121(12)03(1)4a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩,解得111,2a q ==-, 所以11()212[1()]1321()2nn n S --==----, 所以当1n =时,n S 取得最大值,当2n =时,n S 取得最小值12, 所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩,解得112a -≤≤, 故选:D 【点睛】此题考查等比数列的通项公式与求和公式及其性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题12.B解析:B 【分析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差,从而求出通项公式. 【详解】由题意得,等差数列{}n a 中,1a ,3a ,7a 依次成等比数列,故2317a a a =,则()()211126a d a a d +=+, 故12a d =,① 又数列7项和为35, 则1767352da ⨯+=,②,联立①②解得:1d =,12a =, 故()211n a n n =+-=+, 故选:B. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质,公式,重点考查计算能力,属于基础题型.二、填空题13.【分析】先归纳出通项公式然后再分组求和【详解】由题意∴故答案为:【点睛】本题考查求等比数列的前项和分组(并项)求和法数列求和的常用方法:设数列是等差数列是等比数列(1)公式法:等差数列或等比数列的求 解析:122n n +--【分析】先归纳出通项公式,然后再分组求和. 【详解】由题意211212222112n n n n a --=+++==--, ∴2212(12)(21)(21)(21)(222)2212n nnn n S n n +-=-+-++-=+++-==---.故答案为:122n n +--。

数列 直线 圆专项综合测试卷及参考答案

数列 直线 圆专项综合测试卷及参考答案

数列直线圆专项综合测试卷一.选择题(共20小题)1.设{a n}为等差数列,其前n项和为S n.若2a8=6+a11,则S9=()A.54 B.40 C.96 D.802.已知S n为等差数列{a n}的前n项之和,且S3=15,S6=48,则S9的值为()A.63 B.81 C.99 D.1083.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=2a3,则=()A .B .C .D .4.不论m为何实数,直线(m﹣1)x﹣y﹣2m+1=0恒过定点()A.(1,﹣1)B.(2,﹣1)C.(﹣2,﹣1)D.(1,1)5.已知数列{a n}为等比数列,,则a1a10的值为()A.16 B.8 C.﹣8 D.﹣166.设S n为正项等比数列{a n}的前n项和,a5,3a3,a4成等差数列,则的值为()A .B .C.16 D.177.已知数列{a n}的前n 项和,则a5=()A.6 B.8 C.12 D.208.在等差数列{a n}中,若a6,a7是方程x2+3x﹣1=0的两根,则{a n}的前12项的和为()A.6 B.18 C.﹣18 D.﹣69.在等差数列{a n}中,a2+a4=2,a5=3,则{a n}的前6项和为()A.6 B.9 C.10 D.1110.若直线l1:y=k(x﹣2)与直线l2关于点(1,2)对称,则直线l2恒过点()A.(2,0)B.(0,2)C.(0,4)D.(4,0)11.某厂今年产值是a亿元,计划今后十年内年产值平均增长率是10%.则从今年起到第10年末的该厂总产值是()A.11(1.110﹣1)a亿元B.10(1.110﹣1)a亿元C.11(1.19﹣1)a亿元D.10(1.19﹣1)a亿元12.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3•a11=16,则=()A.﹣4 B.﹣5 C.﹣6 D.﹣713.已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+a,则数列{a n2}的前n项和为()A .B .C .D.9n﹣114.已知数列{a n}的递增的等比数列,a1+a4=9,a2•a3=8,则数列的前2019项和S2019=()A.22019B.22018﹣1 C.22019﹣1 D.22020﹣115.在数列{a n}中,a1=1,a n =(n≥2,n∈N*),则a4=()A .B .C.2 D.616.已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n﹣2,若存在两项a m,a n,使得a m a n=64,则的最小值为()A .B .C .D .17.已知数列{a n}的首项a1=35,且满足a n﹣a n﹣1=2n﹣1,则的最小值为()A.2B .C .D.1218.已知M,N分别是曲线C1:x2+y2﹣4x﹣4y+7=0,C2:x2+y2﹣2x=0上的两个动点,P 为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A .B .C.2 D.319.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是()A.2x+y﹣1=0 B.2x+y+1=0 C.2x﹣y+1=0 D.x+2y+1=020.已知P为直线2x+y﹣5=0上的动点,过点P作圆C:(x﹣1)2+(y+2)2=2的一条切线,切点为Q,则△PCQ面积的最小值是()A .B .C.3 D.6二.填空题(共6小题)21.已知圆C过点(2,0),圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x﹣2被该圆所截得的弦长为2,则圆C 的标准方程为.22.已知圆C:x2+y2+8x﹣m+1=0与直线相交于A,B两点.若|AB|=2,则实数m的值为.23.已知数列{a n}首项为a1=1,且,则数列的前n项和为.24.已知m∈R,A(3,2),直线l:mx+y+3=0.点A到直线l的最大距离为;若两点A和B(﹣1,4)到直线l的距离相等,则实数m等于25.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,且A,B,C成等差数列,则ac最小值为.26.如图,已知点C的坐标是(2,2)过点C的直线CA与X轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,则点M的轨迹方程为.三.解答题(共2小题)27.在等比数列{a n}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,数列{b n}的前n项和为S n,当取最大值时,求n 的值.28.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足3S n=2a n﹣3n.(1)求数列{a n}的前三项a1,a2,a3;(2)证明数列{a n+1}为等比数列;(3)求数列的前n项和T n.参考答案与试题解析一.选择题(共20小题)1.【分析】由等差数列的性质可得:2a8=6+a11=a11+a5,解得a5.再利用等差数列的性质求和公式即可得出.【解答】解:由等差数列的性质可得:2a8=6+a11=a11+a5,解得a5=6.则S9==9a5=54.故选:A.2.【分析】根据等差数列的性质,S m,S2m﹣S m,S3m﹣S2m……也成等差数列,进而可得S9的值.【解答】解:依题意,数列{a n}为等差数列,所以S3,S6﹣S3,S9﹣S6也成等差数列,又S3=15,S6﹣S3=48﹣15=33,所以S9﹣S6=2(S6﹣S3)﹣S3=66﹣15=51,所以S9=S3+S6﹣S3+S9﹣S6=15+33+51=99.故选:C.3.【分析】根据等差数列的前n项和S2n﹣1=(2n﹣1)a n ,将转化为a5和a3的算式即可得到所求.【解答】解:依题意,数列{a n}为等差数列,所以==,又因为a5=2a3,所以===,故选:D.4.【分析】直线(m﹣1)x﹣y﹣2m+1=0化为:m(x﹣2)+(﹣x﹣y+1)=0,令x﹣2=0,﹣x﹣y+1=0,即可得出定点坐标.【解答】解:直线(m﹣1)x﹣y﹣2m+1=0化为:m(x﹣2)+(﹣x﹣y+1)=0,令x﹣2=0,则﹣x﹣y+1=0,解得x=2,y=﹣1.∴直线(m﹣1)x﹣y﹣2m+1=0恒过定点(2,﹣1).故选:B.5.【分析】由,可得20=﹣2a4a7,可得a1a10=a4a7.【解答】解:∵,∴20=﹣2a4a7,解得a4a7=﹣8,∴a1a10=a4a7=﹣8,故选:C.6.【分析】设等比数列的公比为q,q>0,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比q,再由等比数列的求和公式,计算可得所求值.【解答】解:正项等比数列{a n}的公比设为q,q>0,a5,3a3,a4成等差数列,可得6a3=a5+a4,即6a1q2=a1q4+a1q3,化为q2+q﹣6=0,解得q=2(﹣3舍去),则===1+q4=1+16=17.故选:D.7.【分析】利用a5=S5﹣S4即可得出.【解答】解:数列{a n}的前n 项和,则a5=S5﹣S4=52﹣5﹣(42﹣4)=8.故选:B.8.【分析】由韦达定理得a6+a7=﹣3,{a n}的前12项的和为S12=(a1+a12)=,由此能求出结果.【解答】解:在等差数列{a n}中,a6,a7是方程x2+3x﹣1=0的两根,∴a6+a7=﹣3,∴{a n}的前12项的和为:S12=(a1+a12)===﹣18.故选:C.9.【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵a2+a4=2,a5=3,∴2a1+4d=2,a1+4d=3,解得:a1=﹣1,d=1,则{a n}的前6项和=﹣6+×1=9.故选:B.10.【分析】直线l1:y=k(x﹣2)恒过点P(2,0).求出点P关于点(1,2)的对称点即可得出.【解答】解:直线l1:y=k(x﹣2)恒过点P(2,0).设点P关于点(1,2)的对称点为Q(a,b),则,解得a=0,b=4.∴直线l2恒过点(0,4).故选:C.11.【分析】从今年起到第10年末的该厂总产值是S10=a+a×1.1+a×1.12+a×1.13+…+a ×1.19,由此能求出结果.【解答】解:∵某厂去年产值是a亿元,计划今后五年内年产值平均增长率是10%.∴从今年起到第10年末的该厂总产值是:S10=a+a×1.1+a×1.12+a×1.13+…+a×1.19==10×(1.110﹣1)a(亿元).故选:B.12.【分析】公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3•a11=16,根据通项公式可得:•212=16,解得a1,利用通项公式与对数运算性质即可得出.【解答】解:公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3•a11=16,∴•212=16,∴a1=2﹣4.∴a10=2﹣4×29=25.则=﹣5.故选:B.13.【分析】等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+a,所以a1=3+a,a2=(9+a)﹣(3+a)=6,a3=(27+a)﹣(9+a)=18,所以=a1×a3得a的值,因为数列{a n}为等比数列,故数列{a n2}为以为首项,以q2为公比的等比数列,求出数列{a n2}的的首项和公比,求出其前n项和.【解答】解:依题意,等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+a,所以a1=3+a,a2=(9+a)﹣(3+a)=6,a3=(27+a)﹣(9+a)=18,所以=a1×a3得a=﹣1,所以a1=2,q=3,所以数列{a n2}的首项为4,公比为9,所以数列{a n2}的前n项和T n ==.故选:A.14.【分析】根据数列{a n}是递增的等比数列,q>1,由a1+a4=9,a2a3=8,求解a1和q,可前n项和,从而求解2019项之和S2019的值.【解答】解:由题意,{a n}是递增的等比数列,则q>1,a1>0.由a1+a4=9,a2a3=8,即a1+a1q3=9,a12q3=8,解得:a1=1,q=2.那么前n项和S n=2n﹣1,则S2019=22019﹣1.故选:C.15.【分析】利用所给递推关系式,依次计算即可.【解答】解:因为a1=1,(n≥2,n∈N*),所以,所以,则.故选:D.16.【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n=2n.求得m+n=6,=(m+n)()=(10++),运用基本不等式,检验等号成立的条件,即可得到所求最小值.【解答】解:S n=2a n﹣2,可得a1=S1=2a1﹣2,即a1=2,n≥2时,Sn﹣1=2a n﹣1﹣2,又S n=2a n﹣2,相减可得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1,即a n=2a n﹣1,{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.所以a n=2n.aman=64,即2m•2n=64,得m+n=6,所以=(m+n)()=(10++)≥(10+2)=,当且仅当=时取等号,即为m =,n =.因为m、n 取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则>,验证可得,当m=2,n=4时,取得最小值为.故选:B.17.【分析】运用累加法和等差数列的求和公式,可得a n,再由基本不等式和n=5,6时,的值,即可得到所求最小值.【解答】解:数列{a n}的首项a1=35,且满足a n﹣a n﹣1=2n﹣1,可得a n=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(a n﹣a n﹣1)=34+(1+3+5+…+2n﹣1)=34+n(1+2n﹣1)=34+n2,则=n +≥2,此时n =,解得n不为自然数,由于n为自然数,可得n=5时,5+=;n=6时,6+=<,则的最小值为,故选:C.18.【分析】分别求得两个曲线的表示的圆心和半径,由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|﹣1,|PN|的最小值为|PC2|﹣1,过C2作直线x+y+1=0的对称点B,设坐标为(m,n),由中点坐标公式和两直线垂直的条件可得B的坐标,当且仅当B,P,C1三点共线可得所求最小值.【解答】解:曲线C1:x2+y2﹣4x﹣4y+7=0,为以C1(2,2),半径为1的圆,C2:x2+y2﹣2x=0为C2(1,0),半径为1的圆,由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|﹣1,|PN|的最小值为|PC2|﹣1,过C2作直线x+y+1=0的对称点B,设坐标为(m,n),可得=1,+=1=0,解得m=﹣1,n=﹣2,即B(﹣1,﹣2),连接BC1,交直线于P,连接PC2,可得|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PB|≥|BC1|==5.当且仅当B,P,C1三点共线可得|PC1|+|PC2|的最小值为5,则则|PM|+|PN|的最小值为5﹣2=3.故选:D.19.【分析】把A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,求出2(a1﹣a2)=b2﹣a1,再用两点式方程求过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程.【解答】解:把A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,∴2(a1﹣a2)=b2﹣b1,过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程是:,∴y﹣b1=﹣2(x﹣a1),则2x+y﹣(2a1+b1)=0,∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=﹣1,∴所求直线方程为:2x+y+1=0.故选:B.20.【分析】求出圆心C到直线l的距离,得出|PC|的最小值,连接圆C和切点Q,得出CQ⊥PQ,计算△PCQ面积的最小值即可.【解答】解:点P是直线l:2x+y﹣5=0上的动点,则圆心C(1,﹣2)到直线l的距离为d ==;则|PC|的最小值为,过点P作圆C的切线,切点为Q,连接CQ,则CQ⊥PC;所以△PCQ 的面积等于×CQ×PQ =××=,即△PCQ 面积的最小值为.故选:A.二.填空题(共6小题)21.【分析】根据题意,设圆心为C(a,b),算出点C到直线y=x﹣2的距离,根据垂径定理建立方程,再由圆C过点(2,0),得(2﹣a)2+(0﹣b)2=r2,结合圆心在x 轴的正半轴上,得b=0,a>0,求解a与r值,即可得到所求圆的方程.【解答】解:设所求的圆的方程是(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,则圆心(a,b)到直线l:y=x﹣2的距离为,()2+2=r2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①由于圆C过点(2,0),∴(2﹣a)2+(0﹣b)2=r2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②又∵圆心在x轴的正半轴上,∴b=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③联立①②③,a>0,解得a=4,b=0,r2=4,∴所求的圆的方程是(x﹣4)2+y2=4.故答案为:(x﹣4)2+y2=4.22.【分析】化圆C 的方程为标准方程,利用圆心到直线的距离d与弦长和半径的关系列方程求出m的值.【解答】解:圆C:x2+y2+8x﹣m+1=0化为标准方程是(x+4)2+y2=15+m;则圆心C(﹣4,0),半径为r =(其中m>﹣15);所以圆心C 到直线的距离为d ==,化简得=,解得m=﹣11.故答案为:﹣11.23.【分析】由数列的恒等式:a n=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(a n﹣a n﹣1),结合已知递推式,结合等差数列的求和公式,可得a n ,求得==2(﹣),再由数列的裂项相消求和,可得所求和.【解答】解:a1=1,且,可得a n=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(a n﹣a n﹣1)=1+2+3+…+n =n(n+1),则==2(﹣),可得数列的前n项和为2(1﹣+﹣+…+﹣)=2(1﹣)=.故答案为:.24.【分析】求出直线l恒过定点(0,﹣3),由两点间的距离公式求点A到直线l的最大距离;再由点到直线的距离公式列式求实数m.【解答】解:∵直线l:mx+y+3=0恒过定点(0,﹣3),∴点A(3,2)到直线l 的最大距离为;∵两点A(3,2)和B(﹣1,4)到直线mx+y+3=0距离相等,∴,解得m =,或m=﹣6.故答案为:;或﹣6.25.【分析】本题的关键在于写出余弦定理运用均值不等式.【解答】解:∵A、B、C成等差数列,∴2B=A+C,又∵A+B+C=π,∴B =,∴,∴ac=2b,由余弦定理有:b2=a2+c2﹣2ac cos B,∴,∴ac≥4,故填4.26.【分析】由题意可知:点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点,又是Rt△OAB的斜边AB 的中点,可得|OM|=|CM|,利用两点间的距离公式即可得出.【解答】解:由题意可知:点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点,又是Rt△OAB的斜边AB的中点.∴|OM|=|CM|,设M(x,y),则,化为x+y﹣2=0.故答案为x+y﹣2=0.三.解答题(共2小题)27.【分析】(1)由条件判断a n>0,再由等比数列的性质和通项公式,解方程可得首项和公比,进而得到所求通项公式;(2)求得b n=log2a n=log224﹣n=4﹣n,可得S n =,=,再由等差数列的求和公式和配方法,可得所求最大值时的n的值.【解答】解:(1)a1a3+2a2a4+a3a5=25,可得a22+2a2a4+a42=(a2+a4)2=25,由a3=2,即a1q2=2,①,可得a1>0,由0<q<1,可得a n>0,可得a2+a4=5,即a1q+a1q3=5,②由①②解得q =(2舍去),a1=8,则a n=8•()n﹣1=24﹣n;(2)b n=log2a n=log224﹣n=4﹣n,可得S n =n(3+4﹣n )=,=,则=3++…+=n(3+)==﹣(n ﹣)2+,可得n=6或7时,取最大值.则n的值为6或7.28.【分析】(1)由条件3S n=2a n﹣3n,分别令n=1,2,3,结合前n项和的定义,计算可得所求;(2)运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,即可得到所求;(3)设,则,再由数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和.【解答】解:(1)由题意得3a1=3S1=2a1﹣3,可得a1=﹣3;3S2=2a2﹣6=3(﹣3+a2),可得a2=3;3S3=2a3﹣9=3(﹣3+3+a3),可得a3=﹣9;(2)证明:因为3S n=2a n﹣3n,所以S n=(2a n﹣3n)①当n≥2时,S n﹣1=(2a n﹣1﹣3n+3)②①﹣②,得,∵a1+1=﹣2,∴{a n+1}是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,a+1=(﹣2)n,可得a n=(﹣2)n﹣1;n(3)设,则,所以T n=b1+b2+b3+…+b n,∴,∴=,两式相减得T n=++…+﹣=﹣=﹣﹣,则T n=﹣﹣=﹣.。

精品试卷:新课标数列测试题

精品试卷:新课标数列测试题

高一数学数列测试题农五师高级中学:胡明杰一、选择题(每小题4分,共48分)1、在数列1,1,2,3,5,8,x ,21,34,55,…中,x 等于A .11B .12C .13D .14 2、已知数列{a n }的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 03、在数列{}n a 中,12a =,1221n n a a +=+,则101a 的值为A .49B .50C .51D .524、已知等差数列}{n a 的公差为2,若1a ,3a ,4a 成等比数列,则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-5、等比数列{a n }的前3项的和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为( )A .-2B .1C .-2或1D .2或-16、等差数列}a {n 中,已知前15项的和90S 15=,则8a 等于( ).A .245 B .12 C .445D .67、在等差数列{a n }中,a 1 +a 2=40,a 3 +a 4=60,则a 5+a 6=( )A 、80B 、90C 、100D 、1108、首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是 (A) 38>d (B) 3<d (C)338<≤d (D)338≤<d9、某商店提价10%后要恢复原价,应由现价降价 ( ) (A) 10% (B) 9% (C)%111 (D) 11%10、 在等比数列{a n }中,4S =1,8S =3,则20191817a a a a +++的值是A .14B .16C .18D .2011、计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低31,现在价格为8100元的计算机,9年后的价格可降为( ) A .2400元B .900元C .300元D .3600元12、若数列{n a }的前n 项和323-=n n a S ,则这个数列的通项公式是( )A .132-⨯=n na B .nna 23⨯= C .33+=n a nD .nna 32⨯=二、填空题(每小题4分,共16分)13、在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根,则74a a ⋅=___________. 14、已知等差数列{}n a 中,首项13a =,2016a =-,则公差 d = 15、 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、数列{}n a 的前n项的和S n =3n 2+ n +1,则此数列的通项公式a n =_______. 三、解答题17、(本小题满分8分)等差数列{}n a 中,已知33,4,31521==+=n a a a a ,试求n 的值18、(本小题满分8分)在等比数列{}n a 中,5162a =,公比3q =,前n 项和242n S =,求首项1a 和项数n .19、(本小题满分10分)有四个数,前三个数成等差数列,其和为3,后三个数成等比数列,其积为27,求这四个数。

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编号14-数列综合测试卷
编写 牛松 审核 李志强
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)
1.下列各组数成等比数列的是( )
①1,-2,4,-8;②-2,2,-22,4;③x ,x 2,x 3,x 4;④a -1,a -2,a -3,a -4.
A .①②
B .①②③
C .①②④
D .①②③④
2.数列1,-3,5,-7,…的一个通项公式为( )
A .a n =2n -1
B .a n =(-1)n +1(2n -1)
C .a n =(-1)n (2n -1)
D .a n =(-1)n (2n +1)
3.等差数列{a n }中,若a 2+a 8=16,a 4=6,则公差d 的值是( )
A .1
B .2
C .-1
D .-2
4.在等比数列{a n }中,已知a 3=2,a 15=8,则a 9等于( )
A .±4
B .4
C .-4
D .16
5.已知数列{a n }为等差数列,S n 是它的前n 项和.若1a =2,S 3=12,则S 4=( )
A .10
B .16
C .20
D .24
6.等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
7.在等比数列中,已知a 1a 83a 15=243,则113
9a a 的值为( ) A .3 B .9 C .27 D .81
8.如果数列{a n }的前n 项和S n =32
a n -3,那么这个数列的通项公式是( ) A .a n =2(n 2+n +1) B .a n =3·2n C .a n =3n +1 D .a n =2·3n
9.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n -1,…的前n 项和为( )
A .2n +1-n
B .2n +1-n -2
C .2n -n
D .2n
10.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=-2 018,22016
201820162018=-S S ,则a 2=( ) A .-2 016 B .-2 018 C .2 018 D .2 016
11.(2017·安徽安庆二模,5)数列{a n }满足:a n +1=λa n -1(n ∈N *,λ∈R 且λ≠0),若数列{a n -1}是等比数列,则λ的值等于( )
A .1
B .-1 C.12
D .2 12.(2017·黄冈质检)设等比数列{a n }的各项均为正数,公比为q ,前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *,有S 2n <3S n ,则q 的取值范围是( )
A .(0,1]
B .(0,2)
C .[1,2)
D .(0,2) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)
13.2+1与2-1的等比中项是________.
14.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________.
15.在等差数列{a n }中,a 3=-12,a 3,a 7,a 10成等比数列,则公差d 等于________.
16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,且每过滤一次可使杂质含
量减少13
,则要使产品达到市场要求,至少应过滤________次.(取lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1) 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应先出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81.
(1)求a n ;
(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .
18.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,b n =12
a n -30, (1)求通项公式a n ;
(2)求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值.
19.(本小题满分12分)购买一件售价为5 000元的商品,采用分期付款的办法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付款一次,如此下去,到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%,每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金),那么每期应付款多少元?(精确到1元)
20.(本小题满分12分)已知数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,且满足4S n =(a n +1)2.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=1
a n·a n+1
,数列{b n}的前n项和为T n,求T n.
21.(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S,且S n=4a n-p,其中p是不为零的常数.
(1)证明:数列{a n}是等比数列;
(2)当p=3时,数列{b n}满足b n+1=b n+a n(n∈N*),b1=2,求数列{b n}的通项公式.
22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a2n+1=S n+1+S n.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设n
a n n a
b 212⋅=-,求数列{b n }的前n 项和T n .
【参考答案】。

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