复合函数知识总结及例题

复合函数问题

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求

的定义域

思路：设函数

的定义域为D ，即

，所以

的作用范围为D ，又f 对

作用，作用范围

不变，所以D x g ∈)(，解得

，E 为

的定义域。

例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。 解析：函数

的定义域为（0，1）即

，所以的作用范围为（0，1）

又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以

解得，故函数

的定义域为（1，e ）

例2.若函数

，则函数

的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由，知

即f 的作用范围为

，又f 对f(x)作用所以

，即

中x 应

满足即，解得

故函数的定义域为

（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设

的定义域为D ，即

，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作

用，作用范围不变，所以

为

的定义域。

例3.已知的定义域为，则函数的定义域为_________。 解析：

的定义域为

，即

，由此得

所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以

即函数的定义域为例4.已知，则函数的定义域为-------

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2

2

248

-=-，知

解得，f 的作用范围为

，又f 对x 作用，作用范围不变，所以，

即

的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设

的定义域为D ，即

，由此得，

的作用范围为E ，又f 对

作

用，作用范围不变，所以

，解得

，F 为

的定义域。

例5.若函数

的定义域为

，则

的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，由此得

的作用范围为，又f 对作用，所以，解得

即的定义域为

评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即

),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；

ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

))((x g f y =为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），

则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练

例1、求函数)32(log 2

2

1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明

解：定义域130322

-<>⇒>--x x x x 或 单调减区间是),3(+∞设2121),3(,x x x x <+∞∈且则

)32(log 1212

11--=x x y )32(log 22

22

12--=x x y

---)32(12

1x x )32(22

2--x x =)2)((1212-+-x x x x

∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x

∴)32(12

1--x x >)32(22

2--x x 又底数12

1

0<<

∴012<-y y 即12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数

同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数

［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为

}.3

1

,1|{-<>x x x 或

则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若3

1-

当10<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若3

1

-

例3、.已知y=a log (2-x

a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1

当a ＞1时，函数t=2-x

a >0是减函数

由y=a log (2-x

a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1

由x ∈［0，1］时，2-x

a ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2

当0

a >0是增函数

由y=a log (2-x

a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0

由x ∈［0，1］时，2-x

a ≥2-1＞0,∴0

例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设

)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(

数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。 ［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ，