高中数学——函数的周期性

高中数学——函数的周期性

一、知识回顾

1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

3．关于函数周期性常用的结论

(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；

(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()

f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；

(3)若函数满足1()()

f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．

（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．

（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．

（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．

二、方法规律技巧

1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|

计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．

2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．

4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．

三、例题讲解：

1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．

2、已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）

A ．2

B ．﹣2

C ．﹣1

D ．2013

3、定义在R 上的函数的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭

成中心对称，且对任意的实数x 都有f(x)＝－f 32x ⎛

⎫+ ⎪⎝⎭

，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝( ) A ．0 B ．－2

C ．1

D ．－4

4、已知周期函数f(x)的定义域为R ，周期为2，且当－1

A ．{a|a ＝2k ＋

34或2k ＋54

，k ∈Z} B ．{a|a ＝2k －14或2k ＋34

，k ∈Z} C ．{a|a ＝2k ＋1或2k ＋54，k ∈Z} D ．{a|a ＝2k ＋1，k ∈Z}

5、设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝1,102,01ax x bx x x a

+-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩，其中a ，b ∈R.若f 12⎛⎫

⎪⎝⎭＝f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则a ＋3b 的值为________．

四、新题变式探究

【变式一】已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )

A.()()()7 6.5 4.5f f f <<

B.()()()7 4.5 6.5f f f <<

C.()()()4.5 6.57f f f <<

D.()()()4.57 6.5f f f <<

【变式二】设g(x)是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 .

【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．

五、易错试题常警惕

易错典例1：若函数f (x )＝k －2x

1＋k ·2x

在定义域上为奇函数，则实数k ＝________. 易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为

( )

A ．0

B ．1

C ．3

D ．5 【变式】设()f x 是连续的偶函数，且当0x >时，()f x 是单调函数，则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为 ( )

A ．－3

B ．3

C ．－8

D ．8

练习：A 基础测试

1.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x

f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 . 2.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数