高中数学第二章平面向量专题整合课件苏教版
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高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理2同
C
B
e2
A e1 2.5e1
3e2
·O
例2: 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.
请大家动手, 在图中确一组
DM
C
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A
N
B
解析： 设AB = e1,AD = e2,则有：
DC
=
1
2 AB
=
12e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1=
-
1 2
e1
+
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
=
1 2
e1 -
e2
21
-4
e1
=
1 4
e1
-
e2
.
A
N
B
评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。
例3: ABCD中，E、F分别是DC和AB
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数1、2使
a = 1e1 + 2e2 我们把不共线的向量e1、e2叫做表
这一平面内所有向量的一组基底。
思考
（1）平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
M
CF
M
C
Aa
a
O
N BO
N
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数1、2是否相同？
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算2
解(2x y 1) (2) (x y 2) 2 0
2x y 1 (x y 2)
解得：x
1 3
y R
(2)解得：x
y
1 3
1 3
又问：x, y为何值时，a与b相等？
例题2、已知 a 10,b (3, 4)且a // b，
求向量a.
解：设a (x, y),则a x2 y2 10
又b (3,4),a // b
x2 y2 10
4x 3y 0
解得：xy
68或xy
6 8
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB 同向量的单位向量是（ B）
终点的坐标减去起点的坐标．
例2、如图，已知A（1，3），
B（1， 3），C（4，1），D（3，4），
Y
求向量OA，OB，
D
AO，CD的坐标。
A
四边形OCDA 是平行四边形？
O
C X
B
课堂练习:
1、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同， 则n =（C）
1 A. 2
B.± 1 2
与它起点坐标和终点坐标
-4
间有什么联系吗？
y
y2
B
y2-y1
A
y1
x2-x1
0 x1
x2
x
一个重要结论：
AB OB OA
(x2 , y2 ) (x1, y1) (x2 x1, y2 y1)
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
高中数学苏教版必修4课件：第二章 平面向量 2.2.1
【精彩点拨】 → → 要证 AECF 是平行四边形，只要证AE＝FC. 图 223
【自主解答】
→ → → → → → 因为AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，
→ → 又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AB＝DC. → → → → 因为 FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE. → → → → → → 所以AB＋BE＝FD＋DC，即AE＝FC，所以 AE 与 FC 平行且相等，所以四 边形 AECF 是平行四边形．
教材整理 2
向量加法的运算律
阅读教材 P63，完成下列问题．
b＋a (1)交换律：a＋b＝_______. a＋(b＋c) ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝__________ a (3)a＋0＝0＋a＝___.
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝___. 0
→ → → → 1．化简：AO＋OB＋CD＋BC＝________. → → → → 【解析】 (AO＋OB)＋CD＋BC
【解】
→ → 如图，设OA表示小雨滴无风时下落的速度，OB表
→ 示风的速度，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC就是 小雨滴实际飞行的速度．
→ → 在 Rt△OAC 中，|OA|＝4 m/s，|AC|＝3 m/s， → 所以|OC|＝ →2 →2 |OA| ＋|AC| ＝5 m/s.
阶 段 一
阶 段 三
2.2
向量的线性运算 向量的加法
学 业 分 层 测 评
2.2.1
阶 段 二
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几 何意义．(重点) 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运 用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点) 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释 向量加法运算律的合理性．(难点)
【自主解答】
→ → → → → → 因为AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，
→ → 又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AB＝DC. → → → → 因为 FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE. → → → → → → 所以AB＋BE＝FD＋DC，即AE＝FC，所以 AE 与 FC 平行且相等，所以四 边形 AECF 是平行四边形．
教材整理 2
向量加法的运算律
阅读教材 P63，完成下列问题．
b＋a (1)交换律：a＋b＝_______. a＋(b＋c) ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝__________ a (3)a＋0＝0＋a＝___.
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝___. 0
→ → → → 1．化简：AO＋OB＋CD＋BC＝________. → → → → 【解析】 (AO＋OB)＋CD＋BC
【解】
→ → 如图，设OA表示小雨滴无风时下落的速度，OB表
→ 示风的速度，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC就是 小雨滴实际飞行的速度．
→ → 在 Rt△OAC 中，|OA|＝4 m/s，|AC|＝3 m/s， → 所以|OC|＝ →2 →2 |OA| ＋|AC| ＝5 m/s.
阶 段 一
阶 段 三
2.2
向量的线性运算 向量的加法
学 业 分 层 测 评
2.2.1
阶 段 二
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几 何意义．(重点) 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运 用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点) 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释 向量加法运算律的合理性．(难点)
高中数学第1部分第2章2.32.3.1平面向量基本定理课件苏教版必修.pptx
[例 3] 如图，△ABC 中，D 为 BC 的中 点，G 为 AD 的中点，过点 G 任作一直 线 MN 分别交 AB、AC 于 M、N 两点， 若 AM ＝x AB， AN ＝y AC ，试问：1x＋1y是否为定值？
5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M， AB＝a， AD＝b， 试用 a，b 表示 MC ， MA， MB和 MD. 解：∵ AC ＝ AB＋ AD＝a＋b， 又∵平行四边形的对角线互相平分， ∴ MC ＝12 AC ＝12a＋12b， MA＝－ MC ＝－12a－12b， ∴ MB＝12 DB＝12( AB－ AD)＝12a－12b， MD＝－ MB＝12b－12a.
(2)平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相 对于基底e1，e2而言的．一旦选定一组基底，则给定向量 沿着基底的分解是唯一的．
[例1] 若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断c，d能否作为基底．
[思路点拨] 要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是 否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
4. 如图所示，△ABC 中，若 D、E、F
依次是 AB 的四等分点，则以CB＝e1， CA＝e2 为基底时，CF ＝________. 解析： CB ＝e1， CA＝e2， ∴ AB＝e1－e2. ∵ AF ＝34 AB，∴ AF ＝34(e1－e2)． ∴CF ＝CA＋ AF ＝e2＋34(e1－e2)＝34e1＋14e2. 答案：34e1＋14e2
问题4：根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a? 提示：因OM ＝λ1e1，ON ＝λ2e2， OC ＝OM ＋ON ，则 a＝λ1e1＋λ2e2，λ1、λ2 是常数．
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个 不共线 的向量，那么对 于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 .
高中数学 第二章 平面向量专题整合课件 苏教版必修4
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
＝12－m2 (m<1 且 m≠－1)．
[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
＝12－m2 (m<1 且 m≠－1)．
[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
(新课程)高中数学 《第二章平面向量》归纳整合课件 苏教版必修4
用．
几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量 的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条 对角线的向量．注意两向量要移至共起点． 减法也满足交换律、结合律． (3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上 向量长度的伸缩变换．
数乘向量满足结合律和分配律．
3．共线定理与平面向量基本定理 (1)共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一 个实数 λ，使得 b＝λa. 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问 题的重要方法． 特别地，平面内一点 P 位于直线 AB 上的条件是存在实数 x， → ＝xAB → (或 xAC → )，或对直线外任意一点 O，有OP → ＝xOA → ＋yOB → 使AP (x＋y＝1)．
1＋μ 1－μ ＝ a＋ b， 2 2 1＋μ 1－μ λ λ ∴2a＋4b＝ 2 a＋ 2 b. ∵向量 a、b 不共线，由平面向量基本定理，得 λ ＝1＋μ， 2 2 λ 11 解得 λ＝3，故AF＝3a＋3b.
2 1 答案 3a＋3b
专题二 向量的坐标运算 1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐 标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． 2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转 化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体 现． 3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹 角，判断共线、平行、垂直等问题．
专题一 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫做向量的线 性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决诸如三点共 线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解 相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．
高中数学苏教版必修二《平面向量》课件
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
4
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• 单击此处3编.相辑等母向版文量本:长样度式相等且方向相同的向量.
• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
21
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• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
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• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
12
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• 单击此四处．编辑运母算版律文本样式
• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
4
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• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
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• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
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• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
12
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• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
答案
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
高中数学苏教版必修4课件：第二章 平面向量 2.3.2.1
5．已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，求点 C，D 及C→D的 坐标. 【导学号：06460055】
【解】 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)，D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－ 3，－6)． ∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2 ABCD 中，O 为中心，且O→A＝(－1，－1)，则O→B＝ ________；O→C＝________；O→D＝________.
图 2-3-13
【解析】 如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)， 所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1,1)． 【答案】 (1，－1) (1,1) (－1,1)
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝(3－3t,3－3t)， 若 OABP 是平行四边形，则O→A＝P→B， 所以33－ －33tt＝ ＝12， ， 此方程组无解； 故四边形 OABP 不可能是平行四边形．
已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题， 其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点 的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于 参数的方程组或不等式组，求解即可.
1．若 a＝(－1,2)，b＝(3,4)，则 a＋b＝________；a－b＝________；3a＝ ________；－5b＝________.
【解析】 a＋b＝(2,6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3,6)，－5b＝(－15，－ 20)．
【答案】 (2,6) (－4，－2) (－3,6) (－15，－20)
平面向量坐标的线性运算的方法： 1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量 数乘的运算法则进行. 2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算. 3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
高中数学苏教版必修4课件：第二章 平面向量 2.4.1
2 2 2
整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.
【答案】
2
求向量的夹角
已知 a，b 都是非零向量，且 a＋3b 与 7a－5b 垂直，a－4b 与 7a－ 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角．
【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而
0° ≤θ≤180° 2．范围：_____________.
图 241 0°时，a 与 b 同向；当 θ＝______ 180°时，a 与 b 反向． 3．当 θ＝___
4．当 θ＝______ 时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 90°
试指出图 242 中向量的夹角， → → 图①中向量OA与OB的夹角________； → → 图②中向量OA与OB的夹角____பைடு நூலகம்___； → → 图③中向量OA与OB的夹角________； → → 图④中向量OA与OB的夹角________．
【精彩点拨】 分别列出 a 在 b 方向上的投影和 b 在 a 方向上的投影，解 方程组便可．
【自主解答】 b a· |b| ＝－3， 3 b a· |a| ＝－2， b＝－9， a·
由题意可知
∴|a|＝6，|b|＝3， －9 1 a· b ∴cos θ＝ ＝ ＝－ ， |a||b| 6×3 2 2π 又 0≤θ≤π，∴θ＝ . 3
求向量的模 → → 已知向量 OA＝a， OB ＝b，∠AOB＝60° ，且 |a |＝ |b|＝4.求 |a＋b |， |a
－b|，|3a＋b|.
【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a|＝ a· a转化为数量积的运算 求解．
【自主解答】
整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.
【答案】
2
求向量的夹角
已知 a，b 都是非零向量，且 a＋3b 与 7a－5b 垂直，a－4b 与 7a－ 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角．
【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而
0° ≤θ≤180° 2．范围：_____________.
图 241 0°时，a 与 b 同向；当 θ＝______ 180°时，a 与 b 反向． 3．当 θ＝___
4．当 θ＝______ 时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 90°
试指出图 242 中向量的夹角， → → 图①中向量OA与OB的夹角________； → → 图②中向量OA与OB的夹角____பைடு நூலகம்___； → → 图③中向量OA与OB的夹角________； → → 图④中向量OA与OB的夹角________．
【精彩点拨】 分别列出 a 在 b 方向上的投影和 b 在 a 方向上的投影，解 方程组便可．
【自主解答】 b a· |b| ＝－3， 3 b a· |a| ＝－2， b＝－9， a·
由题意可知
∴|a|＝6，|b|＝3， －9 1 a· b ∴cos θ＝ ＝ ＝－ ， |a||b| 6×3 2 2π 又 0≤θ≤π，∴θ＝ . 3
求向量的模 → → 已知向量 OA＝a， OB ＝b，∠AOB＝60° ，且 |a |＝ |b|＝4.求 |a＋b |， |a
－b|，|3a＋b|.
【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a|＝ a· a转化为数量积的运算 求解．
【自主解答】
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法课件 苏教
＝B→C＋C→B ＝0. 【答案】 0
用已知向量表示其它向量
如图 2-2-11 所示，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
O→D＝d，O→E＝e，O→F＝f，试用 a，b，c，d，e，f 表示：
(1)A→D－A→B；(2)A→B＋C→F；
(3)B→F－B→D.
图 2-2-11
【精彩点拨】 寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向
2．向量的减法法则 以 O 为起点，作向量O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即当向量 a，b 起点相 同时，从__b_的终点指向_a__的终点的向量就是 a－b.
图 2-2-10
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)O→P－O→Q＝P→Q.( ) (2)若－b 与 a 同向，则 a－b 与 a 同向．( ) (3)向量的减法不满足结合律．( ) (4)A→B＝O→B－O→A.( )
阶
阶
段
段
一
三
2.2 向量的线性运算
2.2.2 向量的减法 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点) 2．掌握向量减法的几何意义．(难点) 3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)
[基础·初探] 教材整理 向量的减法 阅读教材 P66～P67 的全部内容，完成下列问题． 1．向量减法的定义 若__b_＋__x_＝__a___，则向量 x 叫做 a 与 b 的差，记为__a_－__b_，求两个向量差的 运算，叫做向量的减法．
【解析】 (1)×.O→P－O→Q＝Q→P； (2)√.－b 与 a 同向，则 a－b＝－b＋a 与 a 同向． (3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)． (4)√. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
用已知向量表示其它向量
如图 2-2-11 所示，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
O→D＝d，O→E＝e，O→F＝f，试用 a，b，c，d，e，f 表示：
(1)A→D－A→B；(2)A→B＋C→F；
(3)B→F－B→D.
图 2-2-11
【精彩点拨】 寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向
2．向量的减法法则 以 O 为起点，作向量O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即当向量 a，b 起点相 同时，从__b_的终点指向_a__的终点的向量就是 a－b.
图 2-2-10
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)O→P－O→Q＝P→Q.( ) (2)若－b 与 a 同向，则 a－b 与 a 同向．( ) (3)向量的减法不满足结合律．( ) (4)A→B＝O→B－O→A.( )
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一
三
2.2 向量的线性运算
2.2.2 向量的减法 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点) 2．掌握向量减法的几何意义．(难点) 3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)
[基础·初探] 教材整理 向量的减法 阅读教材 P66～P67 的全部内容，完成下列问题． 1．向量减法的定义 若__b_＋__x_＝__a___，则向量 x 叫做 a 与 b 的差，记为__a_－__b_，求两个向量差的 运算，叫做向量的减法．
【解析】 (1)×.O→P－O→Q＝Q→P； (2)√.－b 与 a 同向，则 a－b＝－b＋a 与 a 同向． (3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)． (4)√. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课
规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量 加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘 定义，解题时要注意解题途径的优化与组合. (2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思 路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的 方 中，AB∥DC，且 AB＝2CD， E、F 分别是 DC、AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试以 a、 b 为基底表示D→C、B→C、E→F. 解 如图，连结FD. ∵DC∥AB，AB＝2CD，E、F分别是DC、 AB的中点，
第二章——
2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
[学习目标] 1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本 定理的含义，了解基底的含义. 2.理解并掌握平面向量基本定理.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
要点二 用基底表示向量 例 2 如图所示，设 M，N，P 是△ABC 三边上的点，且B→M ＝13B→C，C→N＝31C→A， A→P＝31A→B，若A→B＝a，A→C＝b， 试用 a，b 将M→N、N→P、P→M表示出来.
解 N→P＝A→P－A→N＝13A→B－32A→C＝31a－23b， M→N＝C→N－C→M＝－13A→C－23C→B＝－13b－32(a－b) ＝－32a＋13b， P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13(a＋b).
[预习导引] 1.平面向量基本定理 (1)定理： 如果e1，e2是同一平面内两个 不共线 的向量，那么对于这 一平面内的 任一 向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底： 把 不共线 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 所有 向量的一 组基底. 2.正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1 ＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的 分解 .当e1，e2所在直线 互相 垂直 时，这种分解也称为向量a的正交分解.
苏教版数学高一-必修4课件 第二章 平面向量
2.向量的线性运算 主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广 到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向 量运算的性质和法则及运算律.同时要灵活运用这些知识解决三点 共线、两线段相等及两直线平行等问题. 3.向量的坐标运算 主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运 算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线； 能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量.
第二章——
章末复习提升
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
1.平面向量的基本概念 主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一 般都是以填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与 垂直的坐标形式结合考查.
例2 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4). (1)求证：AB⊥AD； 证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3). ∵A→B·A→D＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两
λ＝1， 即
∴m＝－2，
λm＝－2，∴当m＝－2时，A、B NhomakorabeaC三点共线.
方法二 假设满足条件的m存在，根据题意可知
i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴A→B＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，B→C＝(1,0)
＋m(0,1)＝(1，m)，
由 A、B、C 三点共线，即A→B∥B→C，
故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2， ∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
高中数学苏教版必修4课件第二章 平面向量 2.2.3精选ppt课件
2.2 向量的线性运算
2.2.3 向量的数乘
学 业
分
层
测
评
1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点) 2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理． 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
[基础·初探] 教材整理 1 向量的数乘定义 阅读教材 P68 第一、二、三个自然段，完成下列问题． 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是__一__个_向__量___，记作 λa，它的长度和方向规 定如下： (1)|λa|＝_|_λ_||a_|_； (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向_相__同__；当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向_相_反___；当 a＝0 时，λa＝__0_；当 λ＝0 时，λa＝_0__. 实数 λ 与向量 a 相乘，叫做__向_量__的_数__乘______．
[再练一题] 3.如图 2-2-21，在▱OADB 中，设O→A＝a，O→B＝b，B→M＝ 13B→C，C→N＝13C→D.试用 a，b 表示O→M，O→N及M→N. 【解】 由题意知，在▱OADB 中，B→M＝13B→C＝16B→A＝ 16(O→A－O→B)＝16(a－b)＝16a－16b. 则O→M＝O→B＋B→M＝b＋16a－16b＝16a＋56b， O→N＝23O→D＝23(O→A＋O→B)＝23(a＋b)＝23a＋23b， M→N＝O→N－O→M＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
[探究共研型]
向量共线的有关结论 探究 1 已知 O 为平面 ABC 内任一点，若 A，B，C 三点共线，是否存在 α， β∈R，使O→C＝αO→A ＋βO→B，其中 α＋β＝1? 【提示】 存在，因 A，B，C 三点共线，则存在 λ∈R，使A→C＝λA→B， ∴O→C－O→A＝λ(O→B－O→A)， ∴O→C＝(1－λ)O→A＋λO→B. 令 1－λ＝α，λ＝β，则 O→C＝αO→A＋βO→B，且 α＋β＝1.
2.2.3 向量的数乘
学 业
分
层
测
评
1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点) 2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理． 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
[基础·初探] 教材整理 1 向量的数乘定义 阅读教材 P68 第一、二、三个自然段，完成下列问题． 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是__一__个_向__量___，记作 λa，它的长度和方向规 定如下： (1)|λa|＝_|_λ_||a_|_； (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向_相__同__；当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向_相_反___；当 a＝0 时，λa＝__0_；当 λ＝0 时，λa＝_0__. 实数 λ 与向量 a 相乘，叫做__向_量__的_数__乘______．
[再练一题] 3.如图 2-2-21，在▱OADB 中，设O→A＝a，O→B＝b，B→M＝ 13B→C，C→N＝13C→D.试用 a，b 表示O→M，O→N及M→N. 【解】 由题意知，在▱OADB 中，B→M＝13B→C＝16B→A＝ 16(O→A－O→B)＝16(a－b)＝16a－16b. 则O→M＝O→B＋B→M＝b＋16a－16b＝16a＋56b， O→N＝23O→D＝23(O→A＋O→B)＝23(a＋b)＝23a＋23b， M→N＝O→N－O→M＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
[探究共研型]
向量共线的有关结论 探究 1 已知 O 为平面 ABC 内任一点，若 A，B，C 三点共线，是否存在 α， β∈R，使O→C＝αO→A ＋βO→B，其中 α＋β＝1? 【提示】 存在，因 A，B，C 三点共线，则存在 λ∈R，使A→C＝λA→B， ∴O→C－O→A＝λ(O→B－O→A)， ∴O→C＝(1－λ)O→A＋λO→B. 令 1－λ＝α，λ＝β，则 O→C＝αO→A＋βO→B，且 α＋β＝1.
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[分析] AB、AD 为▱ABCD 的边，故可先用A→B、A→D作为基底 表示出A→M、A→N,再解出用A→M、A→N表示A→B、A→D的表达式.
[解] 设A→B＝a，A→D＝b，则由 M、N 分别为 DC，BC 的 中点，可得B→N＝12b，D→M＝12a. 在△ABN 和△ADM 中，
a＋21b＝d， ①
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)， B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
从而 5t＝－11，所以 t＝－151.
[点评] 数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数量积 可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问 题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
向量的共线问题
证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量 a、b(a≠0) 共线⇔存在惟一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量 a 与 b 共线⇔|a·b| ＝|a||b|；(4)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的基线共线时，除满足定理 的要求外，还应说明此两基线有公共点．
(2)设实数 t 满足(A→B－tO→C)·O→C＝0，求 t 的值．
[分析] 对角线的长即为向量的模，利用模的计算公式求解.
[解] (1)由题意知A→B＝(3，5)，A→C＝(－1，1)， 则A→B＋A→C＝(2，6)，A→B－A→C＝(4，4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10，4 2. (2)由题设知O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t，5＋t)，由 (A→B－tO→C)·O→C＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即(－2)(3＋2t)＋(－1)(5＋t)＝0.
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．引入向量的 坐 标表示后，向量的运算完全转化为代数运算，达到了数与 形 的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向 量 的模、判断共线、平行等问题．
已知A、B、C、D四点的坐标分别是A(1，0)、 B(4，3)、C(2，4)、D(m，n)，当m，n满足什么条件 时， 四 边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、 梯 形 (A、B、C、D按逆时针方向排列)? [分析] 将平行四边形、菱形等的判断条件用向量的关 系 式 表示出来求解．
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
(2)当 m＝－1，n＝1 时，A→B＝(3，3)，A→D＝(－2，1)，
则A→B＝3 2，|A→D|＝ 5，|A→B|≠|A→D|. 因此，使四边形 ABCD 为菱形的 m，n 不存在． (3)当 m＝－1，n＝1 时，A→B·A→D＝(3，3)·(－2，1)＝－3≠0， 即 AB，AD 不垂直，因此使四边形 ABCD 为矩形的 m， n 不存在．
已知 A(－1，1)，B(1，5)，C(－2，－5)，D(4，7)， 试判断两线段 AB 与 CD 是否共线？ [分析] 本题主要考查向量共线定理，要判断 AB 与 CD 是否 共线．首先看是否满足A→B＝λC→D，再说明线段 AB 与 CD 是否 有公共点．
[解] ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(－1，－6)， ∴－1×4－(－6)×2＝－4＋12＝8≠0，
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
有
b＋21a＝c. ②
①×2－②，得 a＝23(2d－c)．
②×2－①，得 b＝23(2c－d)． 故A→B＝43d－23c，A→D＝43c－23d. [点评] 该类题常以解答题出现，主要考查用基底表示向 量，选择一组基底，结合三角形法则或平行四边形法则 可用基底向量表示同一平面内任一向量．
向量的坐标运算
(4)由(2)(3)知，使四边形 ABCD 为正方形的 m，n 不存在．
(5)若四边形 ABCD 为梯形，则D→C＝λA→B或A→D＝λB→C，其 中 λ 为实数，且 λ>0，λ≠1，所以24－ －mn＝＝33λλ，，(λ>0 且 λ≠1) 或mn＝－λ1，＝－2λ，(λ>0 且 λ≠1)． 整理得 m，n 的取值条件为 n＝m＋2(m<2 且 m≠－1)或 n
[解] 设A→B＝a，A→D＝b，则由 M、N 分别为 DC，BC 的 中点，可得B→N＝12b，D→M＝12a. 在△ABN 和△ADM 中，
a＋21b＝d， ①
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)， B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
从而 5t＝－11，所以 t＝－151.
[点评] 数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数量积 可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问 题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
向量的共线问题
证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量 a、b(a≠0) 共线⇔存在惟一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量 a 与 b 共线⇔|a·b| ＝|a||b|；(4)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的基线共线时，除满足定理 的要求外，还应说明此两基线有公共点．
(2)设实数 t 满足(A→B－tO→C)·O→C＝0，求 t 的值．
[分析] 对角线的长即为向量的模，利用模的计算公式求解.
[解] (1)由题意知A→B＝(3，5)，A→C＝(－1，1)， 则A→B＋A→C＝(2，6)，A→B－A→C＝(4，4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10，4 2. (2)由题设知O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t，5＋t)，由 (A→B－tO→C)·O→C＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即(－2)(3＋2t)＋(－1)(5＋t)＝0.
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．引入向量的 坐 标表示后，向量的运算完全转化为代数运算，达到了数与 形 的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向 量 的模、判断共线、平行等问题．
已知A、B、C、D四点的坐标分别是A(1，0)、 B(4，3)、C(2，4)、D(m，n)，当m，n满足什么条件 时， 四 边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、 梯 形 (A、B、C、D按逆时针方向排列)? [分析] 将平行四边形、菱形等的判断条件用向量的关 系 式 表示出来求解．
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
(2)当 m＝－1，n＝1 时，A→B＝(3，3)，A→D＝(－2，1)，
则A→B＝3 2，|A→D|＝ 5，|A→B|≠|A→D|. 因此，使四边形 ABCD 为菱形的 m，n 不存在． (3)当 m＝－1，n＝1 时，A→B·A→D＝(3，3)·(－2，1)＝－3≠0， 即 AB，AD 不垂直，因此使四边形 ABCD 为矩形的 m， n 不存在．
已知 A(－1，1)，B(1，5)，C(－2，－5)，D(4，7)， 试判断两线段 AB 与 CD 是否共线？ [分析] 本题主要考查向量共线定理，要判断 AB 与 CD 是否 共线．首先看是否满足A→B＝λC→D，再说明线段 AB 与 CD 是否 有公共点．
[解] ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(－1，－6)， ∴－1×4－(－6)×2＝－4＋12＝8≠0，
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
有
b＋21a＝c. ②
①×2－②，得 a＝23(2d－c)．
②×2－①，得 b＝23(2c－d)． 故A→B＝43d－23c，A→D＝43c－23d. [点评] 该类题常以解答题出现，主要考查用基底表示向 量，选择一组基底，结合三角形法则或平行四边形法则 可用基底向量表示同一平面内任一向量．
向量的坐标运算
(4)由(2)(3)知，使四边形 ABCD 为正方形的 m，n 不存在．
(5)若四边形 ABCD 为梯形，则D→C＝λA→B或A→D＝λB→C，其 中 λ 为实数，且 λ>0，λ≠1，所以24－ －mn＝＝33λλ，，(λ>0 且 λ≠1) 或mn＝－λ1，＝－2λ，(λ>0 且 λ≠1)． 整理得 m，n 的取值条件为 n＝m＋2(m<2 且 m≠－1)或 n