2020-2021学年北师大版数学选修2-1课件：第二章 1 从平面向量到空间向量
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解析：①中|a|＝|b|仅说明模相等，方向没有限定；③中相等向量指大小相等、方向相 同，但起点与终点不一定重合的向量． 答案：②
2．如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB＝Hale Waihona Puke Baidu，AD＝2，AA1＝1.则以八个顶 点中的两点分别为起点和终点的向量中：
(1)单位向量是哪几个？ (2)模为 5的向量是哪些？ (3)与A→B相等的向量是哪些？ (4)A→A1的相反向量是哪些？
§1 从平面向量到空间向量
01课前 自主梳理 02课堂 合作探究 03课时 跟踪训练
一、空间向量 定义 在空间中，既有 大小 又有 方向 的量，叫作空间向量．
表示方法 ①用 a，b，c 表示； ②用 有向线段 表示，如：A→B，其中 A 叫作向量的起点， B 叫作向量 的终点
自由向量 数学中所讨论的向量与向量的 起点 无关，称之为自由向量
探究二 求向量之间的夹角 [典例 2] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求： (1)〈E→F，A→1C1〉，〈A→1C1，F→E〉； (2)〈A→B，B→C〉，〈A→1B1，A→D1〉．
[解析] (1)如图所示，连接 AC， ∵E，F 分别是 AB，BC 的中点， ∴EF∥AC， ∴E→F∥A→1C1，且方向相同， ∴〈E→F，A→1C1〉＝0°. ∴A→1C1∥F→E，且方向相反， ∴〈A→1C1，F→E〉＝180°.
二、向量、直线、平面 1．直线的方向向量
→ 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称 AB 为直线 l 的方向向量．
2．平面的法向量 如果直线 l 垂直于平面 α，那么把直线 l 的 方向向量 a 叫作平面 α 的法向量． 平面 α 有 无数 个法向量，平面 α 的所有法向量都 平行 ．
解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高对应的向量A→A1，A→1A，B→B1，B→1B， C→C1，C→1C，D→D1，D→1D为单位向量． (2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为 5， 故模为 5的向量有A→D1，D→1A，A→1D，D→A1，B→C1，C→1B，B→1C，C→B1. (3)与A→B相等的向量有A→1B1，D→C，D→1C1. (4)A→A1的相反向量为A→1A，B→1B，C→1C，D→1D.
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 [解析] 因为零向量的方向是任意的，且长度为 0，两个单位向量的模相等，但方向不
一定相同，故选 C.
[答案] C
对于概念辨析题，准确熟练地掌握有关概念的差别，特别是细微之处的差别，是解决 这类问题的关键．
1．下列说法正确的有________． ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②0 方向任意； ③相等向量是指它们的起点与终点对应重合．
[疑难提示] 空间向量与平面向量的关系 平面向量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面向量内容的扩展．因此， 平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、 平行向量等概念在空间向量中仍然成立． [想一想] 1．当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多 少？ 提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从 而其夹角为 0(同向时)或 π(反向时)．
(2)∵在正方形 ABCD 中，AB⊥BC， ∴〈A→B，B→C〉＝90°. ∵A1B1⊥平面 A1ADD1，又 AD1 平面 A1ADD1， ∴A1B1⊥AD1. ∴〈A→1B1，A→D1〉＝90°.
1．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，π2]，而 向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线 角却是相等的． 2．对于非零向量 a，b 而言，常有以下结论： (1)当 a，b 同向时，夹角为 0°； (2)当 a，b 反向时，夹角为 180°； (3)当 a，b 垂直时，夹角为 90°.
3.如图，在正四面体 ABCD 中，〈A→B，C→D〉的大小为( )
π
π
A.4
B.3
C.π2
D.π6
解析：在正四面体 ABCD 中，易证 AB⊥CD，所以〈A→B，C→D〉的大小为π2.
答案：C
4．在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝ 3，AA′＝1，AD＝ 6，求〈A→C，A′ →B〉． 解析：如图，连接 A′C′，BC′. ∵A→C＝A′→C′， ∴∠BA′C′的大小就等于〈A→C，A′→B〉． 由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中 A′B＝ AA′2＋AB2＝2，A′C′＝ AB2＋AD2＝3， BC′＝ AD2＋AA′2＝ 7. ∴cos∠BA′C′＝A′C2′·A2′＋CA′′·BA2′－BBC′2＝12. ∴∠BA′C′＝π3.即〈A→C，A′→B〉＝π3.
4．若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m________p. 答案：＝
探究一 空间向量的概念辨析
[典例 1] 下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为 0，两个单位向量不一定是相等向量
长度或模
与平面向量一样，空间向量A→B或 a 的 大小 也叫作向量的
长度或模，用
→ |AB| 或
|a|
表示
如图，两非零向量 a，b，在空间中任取一点
夹角
定义 O，作O→A＝a，O→B＝b，则 ∠AOB 叫作向 量 a，b 的夹角，记作 〈a，b〉
范围 规定 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 向量平行
π 当〈a，b〉＝ 2 时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b 当〈a，b〉＝ 0 或 π 时，向量 a 与 b 平行，记作 a∥b
[练一练]
2．在长方体 ABCD A′B′C′D′的棱所在的向量中，与向量AA→′的模相等的向量
至少有( )
A．0 个
B．3 个
C．7 个
D．9 个
解析：与向量AA→′的模一定相等的向量有A′ →A，B→ B′，B′ →B，CC→′，C′ →C，D→D′，
D′ →D，共 7 个．
答案：C
3．下列命题中正确的是( ) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 C．零向量没有确定的方向 D．直线的所有方向向量方向相同 解析：对于 A，若 b 为零向量，则 a 与 c 不一定共线，故 A 错；对于 B，考虑到零向 量与任意向量平行，可知 B 错；C 正确；显然 D 错，故选 C. 答案：C
2．如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB＝Hale Waihona Puke Baidu，AD＝2，AA1＝1.则以八个顶 点中的两点分别为起点和终点的向量中：
(1)单位向量是哪几个？ (2)模为 5的向量是哪些？ (3)与A→B相等的向量是哪些？ (4)A→A1的相反向量是哪些？
§1 从平面向量到空间向量
01课前 自主梳理 02课堂 合作探究 03课时 跟踪训练
一、空间向量 定义 在空间中，既有 大小 又有 方向 的量，叫作空间向量．
表示方法 ①用 a，b，c 表示； ②用 有向线段 表示，如：A→B，其中 A 叫作向量的起点， B 叫作向量 的终点
自由向量 数学中所讨论的向量与向量的 起点 无关，称之为自由向量
探究二 求向量之间的夹角 [典例 2] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求： (1)〈E→F，A→1C1〉，〈A→1C1，F→E〉； (2)〈A→B，B→C〉，〈A→1B1，A→D1〉．
[解析] (1)如图所示，连接 AC， ∵E，F 分别是 AB，BC 的中点， ∴EF∥AC， ∴E→F∥A→1C1，且方向相同， ∴〈E→F，A→1C1〉＝0°. ∴A→1C1∥F→E，且方向相反， ∴〈A→1C1，F→E〉＝180°.
二、向量、直线、平面 1．直线的方向向量
→ 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称 AB 为直线 l 的方向向量．
2．平面的法向量 如果直线 l 垂直于平面 α，那么把直线 l 的 方向向量 a 叫作平面 α 的法向量． 平面 α 有 无数 个法向量，平面 α 的所有法向量都 平行 ．
解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高对应的向量A→A1，A→1A，B→B1，B→1B， C→C1，C→1C，D→D1，D→1D为单位向量． (2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为 5， 故模为 5的向量有A→D1，D→1A，A→1D，D→A1，B→C1，C→1B，B→1C，C→B1. (3)与A→B相等的向量有A→1B1，D→C，D→1C1. (4)A→A1的相反向量为A→1A，B→1B，C→1C，D→1D.
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 [解析] 因为零向量的方向是任意的，且长度为 0，两个单位向量的模相等，但方向不
一定相同，故选 C.
[答案] C
对于概念辨析题，准确熟练地掌握有关概念的差别，特别是细微之处的差别，是解决 这类问题的关键．
1．下列说法正确的有________． ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②0 方向任意； ③相等向量是指它们的起点与终点对应重合．
[疑难提示] 空间向量与平面向量的关系 平面向量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面向量内容的扩展．因此， 平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、 平行向量等概念在空间向量中仍然成立． [想一想] 1．当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多 少？ 提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从 而其夹角为 0(同向时)或 π(反向时)．
(2)∵在正方形 ABCD 中，AB⊥BC， ∴〈A→B，B→C〉＝90°. ∵A1B1⊥平面 A1ADD1，又 AD1 平面 A1ADD1， ∴A1B1⊥AD1. ∴〈A→1B1，A→D1〉＝90°.
1．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，π2]，而 向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线 角却是相等的． 2．对于非零向量 a，b 而言，常有以下结论： (1)当 a，b 同向时，夹角为 0°； (2)当 a，b 反向时，夹角为 180°； (3)当 a，b 垂直时，夹角为 90°.
3.如图，在正四面体 ABCD 中，〈A→B，C→D〉的大小为( )
π
π
A.4
B.3
C.π2
D.π6
解析：在正四面体 ABCD 中，易证 AB⊥CD，所以〈A→B，C→D〉的大小为π2.
答案：C
4．在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝ 3，AA′＝1，AD＝ 6，求〈A→C，A′ →B〉． 解析：如图，连接 A′C′，BC′. ∵A→C＝A′→C′， ∴∠BA′C′的大小就等于〈A→C，A′→B〉． 由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中 A′B＝ AA′2＋AB2＝2，A′C′＝ AB2＋AD2＝3， BC′＝ AD2＋AA′2＝ 7. ∴cos∠BA′C′＝A′C2′·A2′＋CA′′·BA2′－BBC′2＝12. ∴∠BA′C′＝π3.即〈A→C，A′→B〉＝π3.
4．若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m________p. 答案：＝
探究一 空间向量的概念辨析
[典例 1] 下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为 0，两个单位向量不一定是相等向量
长度或模
与平面向量一样，空间向量A→B或 a 的 大小 也叫作向量的
长度或模，用
→ |AB| 或
|a|
表示
如图，两非零向量 a，b，在空间中任取一点
夹角
定义 O，作O→A＝a，O→B＝b，则 ∠AOB 叫作向 量 a，b 的夹角，记作 〈a，b〉
范围 规定 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 向量平行
π 当〈a，b〉＝ 2 时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b 当〈a，b〉＝ 0 或 π 时，向量 a 与 b 平行，记作 a∥b
[练一练]
2．在长方体 ABCD A′B′C′D′的棱所在的向量中，与向量AA→′的模相等的向量
至少有( )
A．0 个
B．3 个
C．7 个
D．9 个
解析：与向量AA→′的模一定相等的向量有A′ →A，B→ B′，B′ →B，CC→′，C′ →C，D→D′，
D′ →D，共 7 个．
答案：C
3．下列命题中正确的是( ) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 C．零向量没有确定的方向 D．直线的所有方向向量方向相同 解析：对于 A，若 b 为零向量，则 a 与 c 不一定共线，故 A 错；对于 B，考虑到零向 量与任意向量平行，可知 B 错；C 正确；显然 D 错，故选 C. 答案：C