最新高中数学必修课件-【数学】1.4.3 正切函数的性质与图象
高中数学人教B版必修四1.3.2正切函数图象与性质
k
2
(k
Z
)
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
1.4.3正切函数的性质与图象 课件(人教A版必修4)
预习测评 1．f(x)＝tan
1 2
x 是(
)
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
(
2．下列点中，不是函数 y＝tan 3x 的图象的对称中心的坐标为 )
π A. ，0 2 3π B. ，0 2 3π C. ，0 4 π D. ，0 3
π (2)由已知得，f5＝asin
π π ＋btan ＋1＝7， 5 5
2．已知函数 y＝tan ωx(ω≠0)在区间(－π，π)上是增函数，求 实数 ω 的取值范围．
解：由函数是增函数可知，ω＞0，由于正切函数 y＝tan x 在 π π － ， 上是增函数且周期为 π，所以由 y＝tan ωx 在区间(－π，π) 2 2 π 上是增函数，可知 y＝tan ωx 的周期大于 2π.于是ω＞2π，得到 0＜ 1 ω＜2.
思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
解：
7π 2π 2π (1)因为 tan－ 5 ＝tan－π－ 5 ＝tan－ 5 ， 12π 2π 2π tan － 7 ＝tan －2π＋ 7 ＝tan 7 .
x＋ 3＜0，
π π 而－ 3＜tan x＜1 的解集为 kπ－3＜x＜kπ＋4(k∈Z)，故所求 3π π π 2π 5π 函数的定义域为－4，－ 4 ∪－3，4∪ 3 ， 4 .
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】
7π 12π (1)利用正切函数的单调性比较 tan－ 5 与 tan－ 7 的大小； π 99π (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 f ＝7，求 f 的值． 5 5
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 1.4.3正切函数的性质与图象
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.
正切函数的图象与性质+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
∈ ，解得x.
用“基本函数法”求函数＝ tan + (＞，＞)的单调区间、
定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；
第二步：将“＋”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于的不等式
例 题 讲 解
5
−
11
)
4
=
tan ,
4
2
又 ∵ 0 < < < , 且 = tan 在(0， )是增函数
4 5
2
2
2
∴ tan < tan
4
5
11
13
∴ tan( − ) < tan( − ).
4
5
课 堂 小 结
y tan x
y
2
正切函数： = tan , ∈ R, 且 ≠ + , ∈
5.4.3正切函数的性质与图像
温 故 知 新
问题1：正切函数的定义是什么？
正切函数： = tan
{x | x R , x k
2
, k Z}
问题2：根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正
切函数的图象和性质？你能用不同的方法研究正切函数吗？ Nhomakorabea图象→性质
定义
性质
不是轴对称图形，无对称轴
对称中心：( ，0）
2
π
y tan x，x kπ ，k Z
2
x
归 纳 总 结
定义域
x
高中新教材数学人课件必修第一册第章正切函数的性质与图象
反三角函数图象特点分析
反正弦函数图象
反正弦函数的图象是一个上凸的 曲线，关于原点对称。在[-1, 1]
区间内，函数值从-π/2增加到 π/2。
反余弦函数图象
反余弦函数的图象是一个下凸的曲 线，关于y轴对称。在[-1, 1]区间 内，函数值从π减少到0。
反正切函数图象
反正切函数的图象是一个单调递增 的曲线，关于原点对称。在实数范 围内，函数值从-π/2增加到π/2。
正切函数定义域及值域
定义域
正切函数的定义域为所有不等于$kpi + frac{pi}{2}$（$k in mathbb{Z}$）的 实数，即正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不存在。
值域
正切函数的值域为全体实数，即$mathbb{R}$。
周期性、奇偶性与单调性
下一讲预告及预习建议
下一讲将介绍正切函数的复合函数及其应用，包括正切型复合函数的图象与性质 等。
预习建议：提前阅读教材相关内容，了解正切型复合函数的基本概念及性质；思 考如何将正切函数与其他基本初等函数进行复合，并尝试画出其图象。
谢谢聆听
声音的传播和反射特性。
经济学中弹性概念引入
01
价格弹性
正切函数可用于描述商品价格变动对消费者需求量的影响程度，即价格
弹性。通过计算价格弹性系数，可以了解市场对价格变动的敏感程度。
02
收入弹性
正切函数还可用于分析消费者收入变化对商品需求量的影响，即收入弹
性。收入弹性反映了消费者对不同商品的购买能力和偏好。
不连续点
正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不 连续，即在这些点上函数值不存在。这些点称为正切函数的 不可导点或间断点。
人教A版高中数学必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为 T＝ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数．( × ) (3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × )
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x 是增函数 B．y＝tan x 在第一象限是增函数 C．y＝tan x 在某一区间上是减函数 D．y＝tan x 在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.
3－tan x>0 (2)要使 y＝lg( 3－tan x)有意义，需使x≠kπ＋π2k∈Z ，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z
.
求函数的定义域注意函数中分母不等于 0，真数大于 0，正切 函数中的 x≠kπ＋π2，k∈Z 等问题．
tan2x＋π2＋π3，所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝π2. 答案：B
类型一 求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋1tan
； x
(2)y＝lg( 3－tan x)．
【解析】
(1)要使函数
y＝1＋1tan
有意义， x
1＋tan x≠0， 需使x≠kπ＋π2k∈Z，
函数 y＝tan x 的图象与性质 解析式
图象
y＝tan x
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_＋_2π_，__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_－__π2_，_k_π_＋__2π__，_k_∈__Z_上都是增函数
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
数学必修四课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
17π － 【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝ 的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z
【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】 求函数 间．
【解题探究】 利用正切函数的定义域， 求出函数的定义域， 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区 间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝ ＝2. π 2 π π π π 由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－ ＋2k＜x＜ ＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小 的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．
正切函数的性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
问：求
y
tan
3x
3
1
的单调区间和对称中心呢？
【练习 1例】题讲【【练练练习习11】】
（1）【已练知习函1数】（（f 11x）） 已已t知a知n函函 数2数xffx3x，tta则ann下列22对xx该3函3数，，性则则质下下的列列描对对述该该中函函数数性性质质的的描描述述中中
（1）不不 A已．正正知确f确函的的x数是是的f（图（ x像不A不 A．关）．正正）于t确fa确f点n的的xx是是2的的23（（x图,图0像像成3关）关）中于，于心点则点对下称列2323,,0对0该成成函中中心数心对性对B称质称．的f 描 x述 的中最小正BB周．．期ff为xx2的的最最小小正正周周
§5.4.3 正切函数的性质
人教版高中数学必修一
【要点整合】
由 由 由任 任 任意 意 意角 角 角三 三 三角 角 角函 函 函数 数 数的 的 的定 定 定义 义 义知 知 知： ： ：
正 正 正切 切 切函 函 函数 数 数 yyy tttaaannn xxx 的 的 的定 定 定义 义 义域 域 域是 是 是 xxx
, 2 2 ]
]
例题讲练
（2）
y
2 tan x 1, 1 tan x
x
4
,
6
例题讲练
（3）
y
sin
x
cos2 x (cos x sin
, x)
x
4
,
4
例3
例题讲练
求函数 y tan
3x
3
例3
求函数
y
tan
3x
的定义域、值域，最小正周期，单调区间和对称中心．
3
单调区间和对称中心．
数学(人教A版)必修4课件：1-4-3 正切函数的性质与图象
3π 7π 解得2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当k＝－1时，－ 4 ≤x≤－4.
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
第一章
1.4
高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
新课引入
∴当cosx＝－1时，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数取得最大 值．
第一章
1.4
高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
π 3π π y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
4．求函数
[解析]
π π 3π 由2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
第一章
1.4
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课前自主预习
第一章
1.4
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温故知新 1．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x B．y＝cos2x D．y＝cosx )
[答案]
D
第一章
1.4
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[解析] 递减函数．
结合函数 y＝cosx 的图象可知其在[0，π]上为单调
第一章
1.4
高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
高一数学人教A版必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
§1.4 三角函数的图象与性质
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性 质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
明目标、知重点
填要点·记疑点
函数y＝tan x的性质与图象
③是奇函数的是( C )
A.y＝tan x
B.y＝cos x
C.y＝tan
x 2
D.y＝－tan x
明目标、知重点
1234
4.方程 tan2x＋π3＝ 3在区间[0,2π)上的解的个数是( B )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析 由 tan2x＋π3＝ 3解得 2x＋π3＝π3＋kπ(k∈Z)，∴x＝k2π (k∈Z)，又 x∈[0,2π)，∴x＝0，π2，π，32π.故选 B.
明目标、知重点
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. (1)tan－65π与 tan－173π； 解 ∵tan－65π＝tan－π－π5＝tan－π5， tan－173π＝tan－2π＋π7＝tan π7， 又函数 y＝tan x 在－π2，π2上是增函数，
明目标、知重点
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份,并作出相应终边的正切线. (3)在 x 轴上，把－π2，π2这一段分成 8 等份，依次确定单位圆上 7 个分点的位置. (4)把角x的正切线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合.
明目标、知重点
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到y＝tan x,x∈ －π2，π2 的图象,如图所示.
【高中数学必修四】专题1.4.3 正切函数的性质与图象
第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 .学科-网 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在(,)22-,(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ； (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24.由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象．【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．【解析】（1）要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥－1tan x <1， ∴⎩⎨⎧k π－π4≤x <k π＋π2，k ∈Z k π－π2<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴k π－π4≤x <k π＋π4，k ∈Z ，故函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为[k π－π4，k π＋π4)k ∈Z .（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )．【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.【答案】－π6或π3.1．下列说法中，正确的是 A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限内是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数 2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R }3．下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x4．下列不等式中，正确的是 A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)5．函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是________． 6．函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标是________．7．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．8．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围． （1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.9．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π810．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是11．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是A ．πB ．2πωC ．πωD ．π2ω12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1213．已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A ．()f x 在定义域内是增函数B ．()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的对称轴是()ππ212k x k =+∈Z 14．函数y ＝tan(cos x )的值域是________． 15．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．学！科网16．若函数f(x)＝tan2x－a tan x(|x|≤π4)的最小值为－6，求实数a的值．17（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较()πf与1 2 3 4 9 10 11 12 13 CCDCCACAB1．【答案】C【解析】令x 1＝π3，x 2＝13π6，则tan x 1＝3，tan x 2＝33，即x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ；由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ． 2．【答案】C【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，故选D ．3．【答案】D【解析】函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．5．【答案】5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z 【解析】（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--，由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z ， 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z, 故函数tan(2)3y x π=-的单调减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z . 6．【答案】(k π4＋π8，0)，k ∈Z【解析】由2x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π8，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标为(k π4＋π8，0)，k ∈Z .8．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .9．【答案】C【解析】由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意的只有C 选项．10．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 11．【答案】C【解析】相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．13．【答案】B【解析】()f x 在定义域内不单调，且不具有奇偶性，没有对称轴，所以A 、C 、D 错误； 由ππ232k x +=，得ππ,64k x k =-+∈Z ，即()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，所以B 正确，故选B.14．【答案】[－tan1，tan1]【解析】∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]，又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，且－π2<－1<1<π2， ∴tan(cos x )∈[－tan1，tan1]．15．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 16．【解析】设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]． 则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. ①若－1<a 2<1，即－2<a <2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去，不合题意)．②若a2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增，∴y min ＝1＋a ＝－6， ∴a ＝－7.③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 17．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<， ∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：学科！网（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。
高中数学人教A版必修4课件：1-4-3正切函数的性质与图象
=
-sin������ =tan -cos������
x,
所以 y=tan x 是一个周期函数.
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2.填空:(1)正切函数的图象(如图):
(2)正切函数的图象叫做正切曲线. (3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线
π 4
π
; .
的单调递增区间是
.
所以函数的单调递增区间是 ������π- 4 ,������π + 4 (k∈Z).
π 3π
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答案:(1) ������ ������ ≠ 2 + 12 ,������∈Z π 3π (2) ������π- ,������π + (k∈Z)
5π 2������π + 3 ,������∈Z
.
由正切函数的值域可知该函数的值域也是(-∞,+∞). (2)依题意 3-tan x≥0,所以 tan x≤ 3. 结合 y=tan x 的图象可知,在 -2<x≤3,所以函数 y=
π ,������∈Z 3 π π ππ 22
上,满足 tan x≤ 3的角 x 应满足
π
3-tan������的定义域为 ������ ������π- 2 < ������ ≤ ������π +
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高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
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请问:研究正弦函数、余弦函数之后 你积累了那些经验？
单位圆技法 诱导公式、函数性质
平移正弦线、余弦线 五点法
画函数图象
描点法
二、正切函数的性质
1t 、周a x 期 n 性π ) T(ta πx ,x n R ,x π k π ,k Z
yAta nx ()
y tanx Tπ T
3
奇 函 数 ， T3
（5）y tan x
偶函数，T
利用正切线画出函数在
2
,
2
的图象
y
2
34
6
x
O1
O
643 2
正切函数的性质 :
定义域：x
x
2
k,kZ
值域： R
周期性：T
奇偶性：奇函数
单调性：在开区间2k,2kkZ内递增 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说 正切函数在整个定义域上单调递增？
2 k
,
k
2
kZ
三、例题研究
例2、求函y数tanπxπ的定义域、
2 3
周期和单调 . 区间
理清 : (1)换元法
y
tan2
x
3
(2)周期 T π ω
(3)复合函数的单调性四、来自结与作业:(1)定义域： {x|xk,kZ}
2
(2周 ) T 期 π
( 3 )f(x ) t a n x ,x R 为奇函数
(4) 单调性：增区间：
2
2、奇偶性 ta x n ) (ta x ,x n R ,x π k π ,k Z
2
正切函数是奇函数
例1、判断下列函数的奇偶性并求周期：
(1) y tan3x
奇函数，T 3.
(3) y ta n x 2
奇 函 数 ， T2.
(2) ytan2x
奇函数，T 2.
(4) y tan x