信息论-信息论第四次课ch2--平均信息量
第二章基本信息论2_平均互信息量
m j 1
n i 1
p( xi y j ) lb
p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
I ( X ;Y )
m j 1
n i 1
p( xi y j ) lb
p( xi / y j ) p( xi )
p( xi
/
yj)
p( xi y j ) p( y j )
mn j1 i1
p( xi
p(x1) p(1) 1/ 4 p(x2 ) p(0) 3/ 4
信道转移概率p( yj / xi )：
p( y1 / x1) p(1/1) 5/ 6 p( y1 / x2 ) p(1/ 0) 1/ 2
p( y2 / x1) p(0 /1) 1/ 6 p( y2 / x2 ) p(0 / 0) 1/ 2
p(xi y j )I (xi ; y j )
j1 i1
m j 1
n i 1
p( xi y j ) lb
p( xi / y j ) p( xi )
计算步骤：
1）计算联合概率：p(xi y j ) p(xi ) p( y j / xi )
2）计算信宿端概率分布：p( y j ) p(xi ) p( y j / xi )
p( x2
/
y2 )
p(x2 y2 ) /
p( y2 )
3/8 5 / 12
9 10
4）计算互信息量：I
(
xi
;
y
j
)
lb
p(xi / y p( xi )
j
)
I (x1;
y1 )
lb
p(x1 / y1) p( x1 )
lb
5 / 14 1/ 4
信息论
自信息、互信息、信息熵、平均互信息，定义、公式（1）自信息：一个事件（消息）本身所包含的信息量，它是由事件的不确定性决定的。
比如抛掷一枚硬币的结果是正面这个消息所包含的信息量。
随机事件的自信息量定义为该事件发生概率的对数的负值。
设事件 的概率为 ，则它的自信息定义为 （2）互信息：一个事件所给出关于另一个事件的信息量，比如今天下雨所给出关于明天下雨的信息量。
一个事件 所给出关于另一个事件 的信息定义为互信息，用 表示。
（3）平均自信息（信息熵）：事件集（用随机变量表示）所包含的平均信息量，它表示信源的平均不确定性。
比如抛掷一枚硬币的试验所包含的信息量。
随机变量X 的每一个可能取值的自信息 的统计平均值定义为随机变量X 的平均自信息量: （4）平均互信息：一个事件集所给出关于另一个事件集的平均信息量，比如今天的天气所给出关于明天的天气的信息量。
为了从整体上表示从一个随机变量Y 所给出关于另一个随机变量 X 的信息量，我们定义互信息 在的XY 联合概率空间中的统计平均值为随机变量X 和Y 间的平均互信息画出各种熵关系图。
并作简要说明I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)=H(X)+H(Y)-H(XY)当X,Y 统计独立时，I(X;Y)=0实际信源往往是有记忆信源。
对于相互间有依赖关系的N 维随机变量的联合熵存在以下关系（熵函数的链规则） ：定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论： （1）条件熵 随N 的增加是递减的；（2）N 给定时平均符号熵大于等于条件熵 （3）平均符号熵 随N 的增加是递减的；（4）如果 ，则 存在，并且分组与非分组码，奇异与非奇异码，唯一可译码与非唯一可译码。
即时码与非即时码1. 分组码和非分组码将信源符号集中的每个信源符号固定地映射成一个码字 Si ，这样的码称为分组码W i 。
用分组码对信源符号进行编码时，为了使接收端能够迅速准确地将码译出，分组码必须具有一些直观属性。
《信息论》研究生课程讲义
《信息论》研究生课程讲义2-5 平均互信息量的特性平均交互信息量IX,Y在统计平均的意义上,描述了信源、信道、信宿组成的通信系统的信息传输特性。
这一节将进一步讨论IX,Y的数学特性,重点介绍其特性的结论和其物理意义。
2-5-1 IX,Y的非负性当x为大于0的实数时,底大于1的对数logx是x的严格上凸函数,可以证明若fx为上凸函数,则有:f∑pixi≥∑pifxi,如fxlogx,则有:log∑pixi≥∑pilogxi根据这个关系,考虑平均互信息量,IX,Y ∑∑pxi,yjlog[pxi,yj/pxipyj]则:-IX,Y ∑∑pxi,yjlog[pxipyj/pxi,yj]≤log∑∑pxi,yj[pxipyj/pxi,yj]log∑pxi ∑pyj0所以有:IX,Y ≥0只有当PX,YPXPY,即对于所有的i1,2,…n, j1,2,…m。
都有:pxi,yjpxipyj,才有:IX,Y0互信息量可能出现负值,但平均互信息量不可能出现负值。
接收者收到一个Y的符号,总能从中获取道关于信源X的信息量,只有当XY相互独立时,平均互信息量才为0。
由IX,YHX-HX/Y,可知,在信息传输过程中,后验熵不可能大于先验熵,这种特性称为后熵不增加原理。
当XY相互独立时,pxi,yjpxipyj可得:HX,YHX+HY当XY相互独立时,pyj/xipyj可得:HY/XHY当XY相互独立时,pxi/yjpxi可得:HX/YHX由互信息量的定义可知:IX,YHX+HY-HX,YHX-HX/YHY-HY/X02-5-2 平均互信息量的交互性由于pxi,yjpyj,xi则:IX,YIY,X交互性表明在Y中含有关于X的信息,IX,Y;在X中含有关于Y的信息,IY,X;而且两者相等。
实际上IX,Y和IY,X只是观察者的立足点不同,对信道的输入X 和输出Y的总体测度的两种表达形式。
两个园相交的部分为平均互信息量,可见,平均互信息量的大小体现了X和Y 的相关程度。
信息论答案完整版
/8
⎥ ⎦
，其发出的消息为(202
120
130
213
001
203 210 110 321 010 021 032 011 223 210)，求：
(1) 此消息的自信息是多少？
(2) 在此消息中平均每个符号携带的信息量是多少?
解：（1）因为离散信源是无记忆的，所以它发出的消息序列中各个符号是无依赖的，统计独立的。因
在研究香农信源编码定理的同时，另外一部分科学家从事寻找最佳编码（纠错码）的研究工作，并 形成一门独立的分支——纠错码理论。
1959 年香农发表了“保真度准则下的离散信源编码定理”，首先提出了率失真函数及率失真信源 编码定理。从此，发展成为信息率失真编码理论。
香农 1961 年的论文“双路通信信道”开拓了网络信息论的研究。 现在，信息理论不仅在通信、计算机以及自动控制等电子学领域中得到直接的应用，而且还广泛地 渗透到生物学、医学、生理学、语言学、社会学、和经济学等领域。
I (a4
=
3)
=
− log
P(a4 )
=
− log
1 8
=
log2
8=3(比特)
此消息中共有 14 个符号“0”，13 个符号“1”，12 个符号“2”和 6 个符号“3”，则此消息的自
信息是
I = 14I (a1 = 0) +13I (a2 = 1) +12I (a3 = 2) + 6I (a4 = 3) ≈ 14×1.415 +13× 2 +12× 2 + 6× 3 ≈ 87.71(比特)
此，此消息的自信息就等于各个符号的自信息之和。则可得：
I
(a1
=
信息论.第3章离散信道与平均互信息量
信道
Y1Y2 YN
p( y1 y2 yN | x1 x2 xN )
若Ｘi取值于Ａ，Ｙi取值于Ｂ，并且Xi的分布相同，Yj 的分布相同，i=1,2,…Ｎ
p( y | x) p( y1 y2 ... y N | x1 x2 ... xN ) p( yi | xi )
第3章 离散信道与平均互信息量
研究信源，研究的是信源输出的信息量，即信源 的熵H(X)。 研究信道，研究的是流经信道的信息量，即信道 的输出Y与输入X之间的平均互信息量I(X;Y)。
1
互信息量与平均互信息量
p( xi / y j ) 1 1 log log log p( xi ) p( xi / y j ) p( xi ) p( xi y j ) p( y j / xi ) log log p ( x ) p ( y ) p ( y ) i j j 1.互易性 1 1 I ( y j ; xi ) log log p( yi ) p( yi / x j ) 2 极值性
信息传输速率 信道在单位时间内平均传输的信息量。
1 Rt I ( X ; Y1)对于给定的一个信道，存在输入分布p(x) 使I(X;Y)达到最大,称为最佳输入分布（最 佳信源）； 2)信道容量表征信道传送信息的最大能力； 3)C与p(x)无关，是关于信道p(y|x)的函数。
p( x)
C log s H ( p'1 , p'2 ,..., p's )
二元对称信道的信道容量是 C=1-H(P)。 离散准对称信道
C max I ( X ; Y ) max H (Y ) H (Y / X )
p( x) p( x) def
第四章 信息论基础 习题及解答
第四章 习题解答4-1、某一信源以概率1/2、1/4、1/8、1/16、1/32和1/32产生6种不同的符号1x 、2x 、3x 、4x 、5x 和6x ，每个符号出现是独立的，符号速率为1000（符号）/秒。
（1）请计算每个符号所含的信息量；（2）求信源的熵；（3）求单位时间内输出的平均信息量。
解：（1）按定义，各符号所含的信息量分别为()()()12121log log 12I x p x bit =-=-= ()()()22221log log 24I x p x bit =-=-= ()()()32321log log 38I x p x bit =-=-= ()()()42421log log 416I x p x bit =-=-= ()()()52521log log 532I x p x bit =-=-= ()()()62621log log 532I x p x bit =-=-=（2）信源的熵()()()()521222222log 111111111111log log log log log log 22448816163232323211345516168555025228163232323216i i i H X p x p x ==-=------++++=+++++===∑比特符号（3）单位时间内输出的平均信息量()()2510001562.516S I H X R ==⨯=比特4-2 一个离散信号源每毫秒发出4种符号中的一个，各相互独立符号出现的概率分别为0.4、0.3、0.2和0.1，求该信号源的平均信息量与信息速率。
解：信号源的平均信息量，即熵为：()()()()5212222log 0.4log 0.40.4log 0.40.4log 0.40.4log 0.41.864i i i H X p x p x ==-=----=∑比特 因为符号速率R S ＝1/10－3＝103，信息速率R b()()31.86410b S R H X R ==⨯比特秒4-3 设有4个消息符号，其出现的概率分别是1/8、1/8、1/4和1/2，各消息符号的出现是相对独立的，求该符号集的平均信息量。
信息论基础课件chp2
定度的差
观察者站在通信系统总体立场上
通信前：输入随机变量X和输出随机变量Y之间没有任何关 联关系,即X与Y统计独立：p(xi yj)=p(xi)p(yj) 先验不确定度 I'(xiyj)lo2gp(xi)1p(yj)
通信后：输入随机变量X和输出随机变量Y之间由信道的统 计特性相联系，其联合概率密度： p(xi yj)=p(xi)p(yj /xi )= p(yj)p(xi / yj) 后验不确定度
（4）两个独立事件的联合信息量应等于它们分别的信息量 之和。
根据上述条件可以从数学上证明这种函数形式是对数形式。
定义2.1 随机事件的自信息量定义为该事件发生概
率的对数的负值。设事件x i 的概率为 p ( xi )，则它的
自信息定义为
I(xi)deflogp(xi)logp(1xi)
当统计独立时,表明xi和yj之间不存在统计约束关系，从yj 得不到关于的xi任何信息,反之亦然。
I(xiyj)lo2g p(xi)1 p(yj)lo2g p(x1 iyj)0
互信息量可为正值或负值
当后验概率大于先验概率时，互信息量为正
当后验概率小于先验概率时，互信息量为负
当后验概率与先验概率相等时，互信息量为零。这就是 两个随机事件相互独立的情况。
解：(1) I(a)log20.0643.96bit I(c)log20.0225.51 bit
( 2 ) I ( a c ) l o g 2 0 . 0 6 4 0 . 0 2 2 3 . 9 6 5 . 5 1 9 . 4 7 b i t
( 3 )I( c |a ) lo g 2 0 .0 4 4 .6 4 b it
信息论_举例讲解(信息量、熵及互信息量)
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25
由条件熵的定义有：
H X Y p(x, y) log (x y)
x, y
2 0.45log 0.9 2 0.05log 0.1 0.469
H (Y | X )
结果表明，虽然每个字符的错误率只有 0.1，可导致整个信宿对信源的平均不确定 性达到了0.469，将近一半。可见通信系统 对信道的要求非常高。
例5 设信源中含有8个消息，其先验概率如下
图,试求当我们收到011所能获取到的信息量,
即计算互信息量I(x3;011).
消息后验概率 信源消息 码字 先验概率
收到0后 收到01后 收到011后
x0
000
1/4
1/3
0
0
x1
001
1/4
1/3
0
0
X2
010
1/8
1/6
1/2
0
X3
011
1/8
1/6
1/2
很显然,信源X的熵H(X)与条件熵H(X|Y) 的差值和信宿Y的熵H(Y)与条件熵H(Y|X)的 差值相等,我们称为X与Y的平均互信息量, 记为：
I (X ;Y ) H (X ) H (X | Y ) H (Y ) H (Y | X )
I(X;Y)是一个用来衡量信道好坏的 非常好的工具。
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3
自信息量的计算公式
综合上述条件，在概率上已经严格证明了
def I(x) log p(x)
其中p(x)为消息的先验概率。 自信息量的单位：若这里的对数底取2，则
单位为比特bit，由于在计算机上是二进制，我 们一般都采用比特。其他单位以及相互之间转 换关系查阅教材。
平均信息量
(3) 平均互信息量的性质
① 对称性 ② 非负性 ③ 极值性 ④ 凸函数性 ⑤ 数据处理定理
① 对称性
I(X;Y)= I(Y;X) 证明：根据互信息量的对称性I(x 证明：根据互信息量的对称性 i;yj)= I(yj;xi)
I ( X ; Y ) = ∑∑ p ( xi y j )I ( xi ; y j ) = ∑∑ p ( xi y j )I ( y j ; xi ) = I (Y ; X )
(2) 平均互信息量的物理含义
① 观察者站在输出端 ② 观察者站在输入端 ③ 观察者站在通信系统总体立场上
① 观察者站在输出端
I ( X ; Y ) = ∑∑ p ( xi y j ) log 2
i =1 j =1 n m n m p ( xi / y j ) p ( xi )
= ∑∑ p ( xi y j ) log
自然对数性质： 时取等号。 自然对数性质：lnx≤x-1，x>0，当且仅当 ， ，当且仅当x=1时取等号。 时取等号
② 非负性
I(X;Y)≥0
证明： I ( X ; Y ) = ∑∑ p( xi y j ) log
i =1 j =1 n m p ( xi y j ) 2 p ( xi ) p ( y j )
i =1 j =1
1 2 p ( xi )
− ∑∑ p ( xi y j ) log 2
i =1 j =1
n
m
1 p ( xi / y j )
= H (X ) − H (X /Y )
H(X/Y) —信道疑义度 损失熵。 Y关 信道疑义度/损失熵 信道疑义度 损失熵。 关
于X的后验不确定度。表示收到变量 的后验不确定度。 Y后，对随机变量X仍然存在的不确 后 对随机变量 仍然存在的不确 定度。代表了在信道中损失的信息 损失的信息。 定度。代表了在信道中损失的信息。
信息论复习知识点
信息论复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
信息熵和平均信息量
信息熵和平均信息量
信息熵和平均信息量是信息论中非常重要的概念。
信息熵是一种衡量一个消息系统的复杂程度的指标，它可以用来评价一个系统的整体信息量。
它指越高，这个系统中的信息量就越大，也就说这个系统更加复杂。
而平均信息量则用来衡量每个信息事件中有多少信息量，它表示了一个信息系统中平均每一个信息具有多少不同的信息量。
信息熵和平均信息量在日常生活中有着极大的应用价值，其中一个最典型的例子就是在技术活动中使用信息熵和平均信息量来帮助安排任务的顺序。
技术活动的任务的复杂程度不同，有的很简单，有的则非常复杂，用信息熵和平均信息量来度量这些任务的复杂程度就显得尤为重要，根据信息熵和平均信息量从包含高复杂性的任务中抽取出简单任务，然后靠它们作为开始，就能有效地安排出技术活动的任务进度了。
此外，信息熵和平均信息量还可以用来研究信息源的复杂程度。
如果研究的是一个文本系统，那么就可以通过计算该文本的信息熵和平均信息量来获取关于此文本的信息，从而客观地判断出这个文本的复杂程度。
信息熵和平均信息量是信息论中一种非常重要的概念，它们可以用来衡量任务复杂程度和信息源复杂程度，因此它们在我们日常生活中有着极大的实际意义。
平均信息量计算例题
平均信息量计算例题摘要：一、引言二、平均信息量的概念和计算方法1.离散型信息量计算2.连续型信息量计算三、平均信息量的应用场景1.信息论2.数据压缩3.机器学习四、平均信息量的例题解析1.例题一2.例题二3.例题三五、总结正文：一、引言在信息时代，信息的传输、处理和存储变得越来越重要。
平均信息量作为一个衡量数据不确定性的指标，广泛应用于信息论、数据压缩和机器学习等领域。
本文将介绍平均信息量的计算方法及其在各个领域的应用。
二、平均信息量的概念和计算方法1.离散型信息量计算离散型信息量是指离散随机变量的不确定性。
对于离散型随机变量X，其概率分布为P(X=x)，其中x 为随机变量的取值。
离散型信息量的计算公式为：H(X) = - ∑ P(X=x) * log2(P(X=x))2.连续型信息量计算连续型信息量是指连续随机变量的不确定性。
对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，其中x 为随机变量的取值。
连续型信息量的计算公式为：H(X) = - ∫ f(x) * log2(f(x)) dx三、平均信息量的应用场景1.信息论信息论是研究信息传输、处理和存储的学科。
平均信息量作为信息论的基本概念之一，用于衡量数据的不确定性，对于设计高效的信息传输系统和优化数据存储结构具有重要意义。
2.数据压缩数据压缩是信息传输和存储的关键技术。
平均信息量可以帮助我们评估数据的压缩潜力，为设计高效的数据压缩算法提供理论依据。
3.机器学习在机器学习中，特征选择是关键步骤。
通过计算特征的信息量，可以筛选出对分类或回归任务有较大影响的特征，提高模型的泛化性能。
四、平均信息量的例题解析1.例题一：设离散型随机变量X 的取值为1 和2，对应的概率分别为0.6 和0.4。
求X 的信息量。
解：根据离散型信息量的计算公式，可得：H(X) = - (0.6 * log2(0.6) + 0.4 * log2(0.4)) ≈ 0.682.例题二：设连续型随机变量X 的概率密度函数为f(x) = 2x，其中x∈[0,1]。
等概率的平均信息量
等概率的平均信息量在信息论中，我们可以用信息量来表示一条信息的重要程度或者说不确定性。
而平均信息量则是所有可能的信息量的期望值，即等概率的情况下所需要的平均信息量。
这个概念在通信和编码领域中有着广泛的应用。
首先，我们需要明确什么是信息量。
在信息论中，信息量指的是一条信息所包含的信息量大小。
如果一条信息是确定的，那么它的信息量就为0，因为我们不需要任何信息来描述它；如果一条信息是完全不确定的，那么它的信息量就越大，因为我们需要更多的信息来描述它。
比如，从一个正方形区域中随机选取一个点，我们需要两个数来确定这个点的位置，因此它的信息量就是2。
接下来，我们来看看如何计算等概率的平均信息量。
假设我们有n个不同的符号，每个符号出现的概率都是相等的。
那么，每个符号出现的概率就是1/n。
因此，每个符号的信息量就是-log2(1/n)，这里的log2是以2为底的对数。
根据信息论的公式，我们可以得到等概率的平均信息量为H = - (1/n) * Σ [log2(1/n)]，其中Σ表示对所有符号的信息量求和。
简单来说，就是把每个符号的信息量相加再除以符号的总数。
举个例子，假设我们有4个符号A、B、C、D，它们的出现概率都是1/4。
那么，每个符号的信息量就是-log2(1/4) = 2。
因此，等概率的平均信息量就是(1/4) * (2 + 2 + 2 + 2) = 2。
实际上，等概率的平均信息量只是信息熵的一个特例。
信息熵是所有符号出现概率不同的情况下的平均信息量。
信息熵越小，说明某个系统的不确定性越小，信息的重要性也就越高。
因此，在通信和编码领域中，我们会使用一些算法来最大化信息熵，从而提高数据传输的效率和安全性。
等概率的平均信息量
等概率的平均信息量等概率的平均信息量在信息论中，信息量是用来衡量一个事件或者信源发出的符号的随机性或者不确定性的大小。
这个概念首次由克劳德·舍能于上世纪四十年代提出来，并被广泛应用于通信、密码学、数据压缩等领域。
等概率的平均信息量，就是指对于一个拥有n个符号的等概率信源，每个符号所携带的平均信息量。
在一个拥有n个符号的等概率信源中，每个符号的概率为p=1/n，那么每个符号的信息量H(p)就可以表示为： H(p) = log2(1/p)。
根据信息量的定义，符号概率越小，其信息量就越大；符号概率越大，其信息量就越小。
因此，当所有符号的概率都相等时，它们所携带的信息量也就相等。
那么这n个符号的平均信息量可以表示为：∑H(p)/n在这里，我们可以将上述式子稍稍简化一下，也就是：H(p) = log2(n)，代入上面的式子中，可以得到：∑H(p)/n = ∑log2(n)/n = log2(n)因此，在一个拥有n个符号的等概率信源中，每个符号所携带的信息量的平均值为log2(n)比特。
这个结果是有很多用途的，例如在数据传输时，我们可以根据这个结果来确定每个符号的编码长度。
除此之外，等概率的平均信息量还可以用来衡量一篇文章的信息量大小。
在一个足够大的文本数据集中，所有字符的出现频率相近，那么它们所携带的信息量也就是相似的。
因此，如果我们知道文本的长度和字符集大小，就可以通过等概率的平均信息量来得到该文本所包含的大约信息量。
在实际应用中，等概率的平均信息量有着广泛的应用，在数据压缩和编码中都有重要的应用。
例如，我们常常使用的Huffman编码就是一种利用等概率的平均信息量来构建的编码方式，能够有效的压缩数据并减小数据传输的开销。
总而言之，等概率的平均信息量是信息论中非常重要的一个概念，它被广泛应用于通信、数据压缩、密码学等领域。
通过等概率的平均信息量，我们可以获得有关符号集的很多重要信息，并为我们的实际应用提供更优秀的解决方案。
平均自信息的概念
平均自信息的概念
平均自信息是信息论中的一个概念，用于衡量一个事件的平均
信息量。
它是以信息熵为基础计算得出的，信息熵是表示一个随机
事件的不确定性的度量。
首先，我们需要了解一些信息论的基本概念。
在信息论中，信
息量用来衡量一个事件的意外程度或不确定性。
在离散情况下，一
个事件的信息量可以通过其概率来计算，即信息量等于事件发生的
概率的负对数。
如果一个事件的概率越小，那么它的信息量就越大，因为它的发生是意外的。
平均自信息是指在一个随机事件集合中，每个事件的信息量的
平均值。
它可以用以下公式表示：
H(X) = -Σ p(x)log₂p(x)
其中，H(X)表示随机变量X的信息熵，p(x)表示事件X=x发生
的概率。
平均自信息可以用以下公式计算：
H(X) = -Σ p(x)log₂p(x)
这个公式表示了每个事件的信息量与其发生概率的乘积的累加。
换句话说，平均自信息是每个事件的信息量的加权平均值。
平均自信息有助于衡量一个随机变量的不确定性。
当一个随机
变量的平均自信息越大，表示该随机变量的不确定性越高，即事件
发生的意外性越大。
相反，当平均自信息越小，表示该随机变量的
不确定性越低，即事件发生的意外性越小。
总之，平均自信息是信息论中衡量随机事件集合中每个事件信息量平均值的一个概念。
它可以帮助我们理解和量化随机事件的不确定性。
平均自信息的概念
平均自信息的概念
平均自信息（Average Self-Information）是信息论中的一个重要概念，用于衡量一个随机变量中每个可能取值所包含的平均信息量。
平均自信息可以通过计算每个可能取值的自信息，并将它们相加并除以可能取值的总数来得到。
自信息是指当一个事件发生时，所提供的关于该事件的信息量。
它的计算公式为：$I(x)=-log_{2}P(x)$
其中，$x$表示事件，$P(x)$表示事件$x$发生的概率。
对于一个离散型随机变量$X$，其平均自信息可以表示为：
$I(X)=\sum_{x\in X}I(x)P(x)$
其中，$I(x)$是变量$x$的自信息，$P(x)$是变量$x$的概率。
平均自信息的单位是比特（bit），它表示每个可能取值所包含的平均信息量。
平均自信息的值越大，说明变量中每个可能取值所包含的信息量越多，也意味着该变量的不确定性越高。
平均自信息在信息论中有广泛的应用，例如在数据压缩、信息传输和熵的计算等方面。
它可以帮助我们评估一个随机变量的不确定性和信息量，并用于优化信息处理和通信系统的性能。
信息论基本计算
（一）信息论基本计算1、平均信息量的计算(以高斯分布的信源为例)；根据题目要求，用高斯过程X(t)d 的一维概率密度函数服从正态分布的表达式f=1/(u*sqrt(2*pi))*exp(-(x-o)^2/2*u^2来完成信源平均信息量的计算。
平均信息量：平均每个符号所能提供的信息量，也叫平均自信息量。
H(X)= —()()i ii x p x p log ∑；高斯分布函数：()πσ*21p =x ex p [﹣()222a -x σ]； 2、离散信道容量的计算(以输入符号等概分布为例)；我们利用函数dmessage 来求信源的熵，利用函数hemssage 来求平均互信息量，并最终得到信道的容量。
离散信道容量：信道容量是信道所能传送的最大的信息量。
C=max[I(X;Y)] （比特/码元）I(X;Y)=H(Y)﹣H(Y/X);代码1）、以高斯分布的信源编程实现信源平均信息量的计算 syms x u ou=3; %均值o=4; %方差f=1/(u*sqrt(2*pi))*exp(-(x-o)^2/2*u^2); %正态分布函数f t=-f*log(f)/log(2);r=int(t,-inf,inf);disp('平均信息量为')r=double(r)2）、以输入符号等概分布编程实现离散信道容量的计算function r=dmessage(x,n) %参数x 按概率分布，n 是离散信源的分布值数目r=0;for i=1:n;r=r-x(i)*log2(x(i));enddisp('平均信息量为');r=double(r)function h=hmessage(x,f,nx,my) %x为输出的概率分布，f为转移的概率分布，nx为输出的符号的可选个数，my是矩阵的列数，即输出概率空间中的元素个数sum=0;for i=1:nxfor j=1:myt=f(i,j)*x(i)if(f(i,j)~=0)sum=sum-t*log(f(i,j))/log(2);end;end;end;h=sum;disp('平均互信息量为');double(h)x=[0.25,0.25,0.25,0.25]f1=[1/2,1/2,0,0 %定义信道概率转移概率0,1/2,1/2,00,0,1/2,1/21/2,0,0,1/2];hf1=hmessage(x,f1,4,4) %求平均互信息量hx=dmessage(x,4)c1=hx-hf1;。
信息论基本概念(1)_OK
2021/9/16
三 、平均互信息的性质
1.非负性——I(X;Y) ≥0，
尽管I(xi;yj) 的某些元素可为负 2.对称性——I(X;Y) = I(Y;X)
3.极值性—— I(X;Y) ≤ H(X)
I(X;Y) ≤ H(Y)
[特例]
I(X;Y)= H(X) – H(X/Y)
＊当 H(X/Y) = 0 时， I(X;Y)= H(X)
a2a2a2 q13
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【说明】
XN信源集中，共有qN个元素(序列种类) 每个元素bi ——由 N 个ai组成的某一序列 (两者
‘i’不等)
无记忆， 故 p(bi ) p(ai1 ) p(ai2 )...p(aiN )
X和XN是两种不同的模型，描述的却是同一信源。 X描述信源单个符号的统计特性，描述信源N长符
（最小值）——失真函数的基础
12
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[例] 二进制对称信道
0( p) q q
0
Xq
Y
1( p)
q
1
H (X ) H ( p) p log p p log p I(X;Y)
H (Y / X ) H (q) q log q q log q
1-H(q)
H (Y ) H ( pq pq) I ( X ;Y ) H (Y ) H (Y / X )
p(ai1 ) log p(ai1 ) p(ai2 )
i1 1
i2 1
q
p(aiN )
iN 1
q
q
q
p(ai2 ) log p(ai2 ) p(ai1 ) p(ai3 )
i2 1
i1 1
i3 1
信息论信息的量
甲地极端情况:
极端情况1：晴天概率＝1
X P(x)
晴
1
阴 0
大雨 0
小雨
0
H (X ) 1 log1 0 log 0 0 log 0 0 log 0
lim log 0 H (X ) 0(bit / 符号) 0
极端情况2：各种天气等概率分布
X 晴 阴 大雨 小雨
P(x) 1/4 1/4 1/4
其
概
率YP空( y间)分
a1 别0.为5
:
a2 0.5
计算其熵，得：H(X)=0.08（ bit /符号）
H(Y)=1（bit / 符号）
H(Y)＞H(X)，因此信源Y比信源X的平均不确定性要大。
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[例] 设甲地的天气预报为：晴(占4／8)、阴(占2／8)、
大雨(占1／8)、小雨(占1／8)。又设乙地的天气预报为：
• 对称性
q
H ( X ) pi log pi H ( p1, p2, i 1
说明熵函数仅与信源的总体统计特性有关。
, pq ) H (p)
H ( p1, p2 , , pq ) H ( p2 , p1, , pq )= = H ( pq , p1, , pq1)
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2.2.2 熵函数的性质
H (p) H ( p1, p2 , , pq ) 0
第17页/共31页
2.2.2 熵函数的性质
• 扩展性
这个
性
质
的
含
义lim是0增H加q一1个( 基p1本, 不p会2出, 现
,
的
pq ， )
小概率事件，信源
Hq
的熵
( p1,
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Jenson不等式
q
q
f [ k xk ] k f (xk )
k 1
k 1
当且仅当x1=x2=…=xq或λk=1（1 ≦k≦ q）且λj=0（j ≠k）时，等 式成立
1.凸函数
★ 特别地，当xk为离散信源符号的
取值，λk为相应的概率，f(x)为 对数函数时，有
E[log (x)] log[E(x)]
• A measure of the information lost when Q is used to approximate P • A measure of the inefficiency of assuming that the distribution is q
when the true distribution is p:
举例
例2.13
对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴 雨两种状态，气温分成冷暖两种状态。调查结果 得到的各数据联合出现的相对频率如下表所示。
D( p // q) (1 1/ 2) log 1 1/ 2 1/ 2 log 1/ 2
11/ 4
1/ 4
1 (log 3) / 2 0.2075 bit
2.信息散度
解：
D(q // p) (11/ 4) log 11/ 4 1/ 4 log 1/ 4
11/ 2
1/ 2
3 log 3 1 0.1887bit 4
x
y
2.信息散度
定
义 ★ P和Q为定义在同一概率空 间的两个概率测度，则P相 对于Q的散度：
D(
P
//
Q)
x
P(
x)
log
P( Q(
x) x)
上式中，概率分布的维数不限，可以是一维，也可以是多维。
相对熵，Kullback_Leibler距离
Relative entropy
• A non-symmetric measure of the distance (difference) between two distributions.
3log3=log27>log24
3.熵的基本性质(2)
极值性
定理2. 4 (离散最大熵定理) 对于离散随机变量集合，当集合中的事件
等概率发生时，熵达到最大值
证明
设随机变量集合有n个符号，概率分布为P(x) ；Q(x)为等概率分布，即
Q(x)=1/n。 根据散度不等式有
P(x)
D(P // Q) P( x) log
仅当对所有x，p(y)= p(y/x ) 时，等式成立。 证毕。
2.平均互信息
定
义
★ 集合X、Y之间的平均互信息 ：
I ( X ;Y ) p(x)I (Y ; x)
x
p(x) p( y / x) log p( y / x)
x,y
p( y)
p(x) p( y / x) log p( y / x)
- Average description length H(p) bits are required to describe random variable with true distribution p
- H(p) + D(p||q) bits on the average to describe the random variable if assuming q
x2
x1
下凸函数(cup)
★ 对于α(0≤α≤1) 及任意两矢量x1,x2，有 f[αx1+(1-α)x2]≤αf(x1)+(1-α)f(x2)
当且仅当x1 = x2或α= 0,1时等式成立 严格下凸函数
x2 x1
1.凸函数
f(x)是区间上的实值 连续严格上凸函数
任意一组 x1,x2,…,xq
λ1,λ2,…,λq， ∑λk=1
Then
H ( X ) p log p (1 p) log(1 p)
def
H ( p)
H(p)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
0.4 Concave function of p
0.3 0.2 0.1
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
p
x
Q(x)
P( x) log P( x) P( x) log(1/ n)
x
x
H ( X ) log n 0
H ( X ) log n
只适用于有限离散 随机变量集合；
无限可数离散随机 变量集合的最大熵 是无限大。
3.熵的基本性质(3)
★ 确定性
★ 上凸性
H(1,0) = H(1,0,0)= … = H(1,0,…0) = 0。
References
• Kullback, S.; Leibler, R.A. (1951). "On Information and Sufficiency". Annals of Mathematical Statistics 22 (1): 79–86.
• S. Kullback (1959) Information theory and statistics (John Wiley and Sons, NY).
x
y
p(x)H (Y / x)
x
H (Y / x) p( y / x) log p( y / x)
y
为在x取某一特定值时Y的熵
2.联合熵
定
★联合集XY上，联合自信息
义 I(xy)的平均值：
H (XY ) E [I (x y)] p( xy)
p(x y) log p(x y)
xy
§2.2.3 熵的基本性质
• Kullback, S. (1987). "Letter to the Editor: The Kullback–Leibler distance". The American Statistician 41 (4): 340–341.
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如果要求熵函数满足以下条件：
★ 是概率的连 ★ 信源符号等概率时是n
续函数
（信源符号数）的增函数
★ 可加性
那么，熵函数的表示是唯一的。
§2.3 平均互信息
★ 平均互信息的定义 ★ 平均互信息的性质 ★ 平均条件互信息
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1.集合与事件之间的互信息
定
I (x; y) log p(x / y) p(x)
第2章 离散信息 的度量
授课教师：顾昕钰
北京邮电大学信息论
§2.2.1 信息熵的定义与计算
离散信源X的熵定义为自信息的平均值,记为H(X)
H (X ) E [I(x)] p(x)log p(x)
p(x)
x
简记为 H ( X ) H ( p1, p2 , pn )
1
I(x)为事件x 的自信息
★ 对于一般的凸函数有
E[ f (x)] f [E(x)]
注意
1.凸函数
有用的 不等式
对于任意x，有：
1 1 ln x x 1 x
这是怎么得来的？
① x=1为稳定点
设f (x) ln x x 1
x=1处有极大值
② x=1时，2阶导数小于0
y 1 代入等式 1 1 ln y y换成x
x
x
2.信息散度
例2.11
设一个二元信源的符号集为{0，1}，有两个概 率分布为p和q，并且p(0)=1-r, p(1)=r, q(0)=1-s
q(1)=s,求散度 D( p // q) 和 D(q // p) 并分别求当
r=s和 r=2s=1/2 时散度的值
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2.信息散度
解：
D(
P
当随机变量集合中任 一事件概率为1时，熵 为0
H(p)=H(p1,p2,…,pn) 是 (p1,p2,…,pn) 的严格的上 凸函数
Entropy
H(X ) p(x) log p(x) x
• Example: Let
•
X
1 0
withprobability p w ith probabilit y 1-p
//
Q)
x
P(
x)
log
P( Q(
x) x)
根据式（2.19）得
D( p // q) (1 r) log 1 r r log r
1 s
s
和 D(q // p) (1 s) log 1 s s log s
1 r
r
当r=s时，有 D( p // q) D(q // p) 0
当r=2s=1/2时，有：
2
E
p(x)
表示对随机变
量x用p(x)来进行
取平均运算
4n
pi 1
0 pi 1
i1 特别是当n=2时，
H (X ) H ( p,1 p) H ( p)
3
熵的单位为比特
（奈特）／信源
符号
信息熵的含义
1）信源输出前 信源的平均 不确定性
2）信源输出后 一个信源符号所 提供的平均信息量
3）表示信源随机性 大小：H(X)大的，
4.各类熵的关系
★ 条件熵不大于信息熵
定理 熵的不增原理
H (Y | X ) H (Y )
H (Y ) H (Y / X ) q( y) log q( y)
p(x) p( y / x) log p( y / x)
Y
xy
p(x) p( y / x) log p( y / x)
x
x,y