2014青岛一模文科数学试题含答案及评分标准

山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试试题
文 科 数 学
第Ⅰ卷（共75分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的．
1. 若集合2
{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = ( ) A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|0x x >或1}x <- C ．{|12}x x <≤
D ．{|02}x x <≤
2. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +
”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，样本 重量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]， 则样本重量落在[15,20]内的频数为( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
4. 双曲线22
145x y -=的渐近线方程为( )
A ．54y x =±
B ．52
y x =± C ．55y x =±
D ．255
y x =± 5. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A ．5 B ．7 C ．9
D ．11
6. 函数2
2sin y x =图象的一条对称轴方程可以为( )
A ．4x π=
B ．3x π
= C ．3
4
x π= D ．x π=
7. 函数22)(3
-+=x x f x
在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
8. 已知实数y x ,满足约束条件04340x x y y >⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最小值是 ( )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．
83
9. 设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是
A ．a α⊥，//b β，αβ⊥
B ．a α⊥，b β⊥，//αβ
C ．a α⊂，b β⊥，//αβ
D ．a α⊂，//b β，αβ⊥
10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意的,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且
具有以下性质：
① 对任意R a ∈，0a a *=； ② 对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1
()()x x f x e e
=*的最小值为 A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 复数1
2z i
=
+（其中i 为虚数单位）的虚部为 ； 12. 从等腰Rt ABC ∆的底边BC 上任取一点D ，ABD ∆为锐角三角形的概率为 ；
13. 直线21y x =+被圆2
2
1x y +=截得的弦长为 ；
14. 右图是一个四棱锥的三视图，则其体积为 ；
15. 已知函数213
,1
()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式2
3()4f x m m ≤-恒成立，
则实数m 的取值范围为 .
20?S <
开始
1S =
是
否
2
S S k =+
2k k =+
输出k 结束
1k =
俯视图
侧视图
主视图
2
2
2
2
山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试试题
文 科 数 学
第Ⅱ卷（共75分）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos 12sin sin A C A C +=. （Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若33
2
a c +=
，3b =,求ABC ∆的面积.
17．（本小题满分12分）
某公司销售A 、B 、C 三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计12月份共销售1000部手机（具体销售情况见下表）
A 款手机
B 款手机
C 款手机
经济型 200 x y 豪华型
150 160 z
已知在销售1000部手机中，经济型B 款手机销售的频率是21.0.
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在A 、B 、C 三款手机中抽取50部，求在C 款手机中抽取多少部？ （Ⅱ）若133,136≥≥z y ，求C 款手机中经济型比豪华型多的概率. 18．（本小题满分12分）
如图几何体中,四边形ABCD 为矩形，36AB BC ==，2====DE AE CF BF ，4EF =，//EF AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且2CM =. （Ⅰ）证明：//AF 面BDG ；
（Ⅱ）证明：面BGM ⊥面BFC ； （Ⅲ）求三棱锥F BMC -的体积V .
19．（本小题满分12分）
已知{}n a 是等差数列，公差为d ，首项31=a ，前n 项和为n S . 令(1)(n n n c S n *=-∈
,{}n c 的前20项和20330T =. 数列}{n b 满足n b =2
12(2)2n n a d
---+，R a ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1
n n b b +≤，n *∈N ，求a 的取值范围.
20．（本小题满分13分）
已知椭圆221121:1(1)x C y a a +=>与22
2222
:1(01)x C y a a +=<<的离心率相等. 直线l :
: (01)l y m m =<<与曲线1C 交于, A D 两点（A 在D 的左侧），与曲线2C 交于, B C 两点
（B 在C 的左侧）,O 为坐标原点，(0,1)N -．
（Ⅰ）当m =
32，5
4AC =时，求椭圆12, C C 的方程； （Ⅱ）若2||||ND AD ND AD ⋅=⋅
，且AND ∆和BOC ∆相似，求m 的值．
21．（本小题满分14分）
已知函数3
22()233
f x
x ax x =--. （Ⅰ）当0a =时，求曲线)(x f y =在点(3,(3))f 的切线方程；
（Ⅱ）对一切()+∞∈,0x ,2()4ln 31af x a x x a '+≥--恒成立,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，试讨论()f x 在(1,1)-内的极值点的个数.
山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A B B C D B A C B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 15- 12. 12 13.455 14．4 15．1
4
m ≤-或1m ≥
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∴1
cos()2
A C +=-
，……4分 3
B π
∴=
……………6分
（Ⅱ）22()21
22a c ac b ac +--∴
=，……8分， ∴5
4ac =……10分
115353
sin 224216
ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. …………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 210x =……2分 y+z=280…… 3分
142801000
50
=⨯（部）.……5分 （Ⅱ）设C 款手机中经济型比豪华型多为事件A ，因为280y z +=，*
,N y z ∈，满足事件133,136≥≥z y 的基本事件有：
(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)， (143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133) 共12个
事件A 包含的基本事件为(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133) 共7个
所以P (A )= 7
12
………………………………12分
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ,
因为点G 为CF 中点，所以OG 为AFC ∆的中位线,所以//OG AF ，…………2分 AF ⊄面BDG ， OG ⊂面BDG ，
∴//AF 面BDG , ………………………4分
（Ⅱ）连接FM 2BF CF BC === ，G 为CF 的中点 BG CF ∴⊥ 2CM = ，4DM ∴=
//EF AB ，ABCD 为矩形 //EF DM ∴， 又4EF = ，EFMD ∴为平行四边形 2FM ED ∴==，
FCM ∴∆为正三角形 MG CF ∴⊥，
MG BG G = CF ∴⊥面BGM
CF ⊂ 面BFC ∴面BGM ⊥面BFC …………………8分 （Ⅲ）11
233
F BMC F BM
G C BMG BMG BMG V V V S FC S ---=+=
⨯⨯=⨯⨯ 因为3GM BG ==，22BM = 所以1
22122
BMG S =⨯⨯=
所以222
33
F BMC BMC V S -=⨯=………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)n n n c S =- 所以20123420330T S S S S S =-+-+++=
则24620330a a a a ++++= ……………………………………………………………3分 则109
10(3)23302
d d ⨯++
⨯= 解得3d =
所以33(1)3n a n n =+-= ………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知n b =2
12(2)3
2n n a ---+
1n n b b +-1212(2)32[2(2)32]n n n n a a ---=-+--+214(2)32n n a --=-+
2212
43[(2)()]23
n n a --=⋅-+
由1n n b b +⇔≤212(2)()023n a --+≤2
122()23
n a -⇔≤- …………………………10分
因为2122()23n --随着n 的增大而增大，所以1n =时，2122()23n --最小值为5
4
所以5
4
a ≤…………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵12,C C 的离心率相等， ∴
21221
11a a a -=-,∴121a a =，………………………………………………………2分
32
m =
Q ，将3
2y =分别代入曲线12,C C 方程，
C
A B
D E F
G
M
O
由212131
142A x x a a +=⇒=-， 由222231
142
C x x a a +=⇒=. ∴当m =
32时，13(,)22a A -,23
(,)22
a C ．
又∵54AC =,12115
224a a ∴+=.
由12121152241a a a a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得122
12
a a =⎧⎪⎨=⎪⎩.
∴12,C C 的方程分别为2
214
x y +=，2241x y +=． ……………………………………5分 （Ⅱ）将m y =代入曲线1:C 22
211x y a +=得211,A x a m =--211,D x a m =-
将m y =代入曲线2:C 22
22
1x y a +=得221B x a m =--，2
21C x a m =-
由于121a a =，
所以21(1,)A a m m --,2
1(1,)D a m m -，21
1(1,)B m m a -
-，211(1,)C m m a -． 2||||ND AD ND AD ⋅=⋅ ，1
cos cos ,2
||||ND AD ADN ND AD ND AD ⋅∴∠=<>==⋅
，
3
ADN π
∴∠=
………………………………………………………………………………8分
根据椭圆的对称性可知：ND NA =，OB OC =， 又AND ∆和BOC ∆相似，
3
ADN BCO π
∴∠=∠=
，
tan tan 3ADN BCO ∴∠=∠=，2
211
131
11m m a m
m a +⇒
=
=--
由22
11
1
111m m
a m m a +=
--化简得21
1
m a m += 代入222
1(1)3(1)m a m +=-得3
4
m = ………………………………………………………13分
21．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ) 由题意知3
2()33
f x x x =-,所以2()23f x x '=- 又(3)9f =，(3)15f '=
所以曲线)(x f y =在点(3,(3))f 的切线方程为15360x y --=………………………4分
(Ⅱ)由题意:
221ln ax x +≥,即2
ln 1
2x a x
-≥
设221ln )(x x x g -=,则3
2ln 23)(x x
x g -=
' 当230e x <<时,0)(>'x g ；当2
3e x >时, 0)(<'x g 所以当32
x e =时，()g x 取得最大值max 31()4g x e
= 故实数a 的取值范围为31
[
,)4e
+∞. ……………………………………………………9分 (Ⅲ)2
()243f x x ax '=-- ，)41(4)1(-=-'a f ，)4
1(4)1(+-='a f
①当14a >时, ∵'1(1)4()04
1(1)4()0
4
f a f a ⎧'
-=->⎪⎪⎨⎪=-+<⎪⎩
∴存在),1,1(0-∈x 使得0)(0='x f
因为342)(2
--='ax x x f 开口向上，所以在0(1,)x -内()0f x '>,在0( ,1)x 内()0f x '<
即()f x 在0(1,)x -内是增函数, ()f x 在0( ,1)x 内是减函数 故1
4
a >
时，()f x 在(1,1)-内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ………………11分 ②当104a <≤时,因 '1(1)4()04
1(1)4()0
4f a f a ⎧'
-=-≤⎪⎪⎨⎪=-+<⎪⎩
又因为342)(2
--='ax x x f 开口向上
所以在(1,1)-内()0,f x '<则()f x 在(1,1)-内为减函数，故没有极值点…………13分
综上可知：当1
4a >
，()f x 在(1,1)-内的极值点的个数为1； 当1
04
a <≤时, ()f x 在(1,1)-内的极值点的个数为0. ………………14分。