建筑力学课件 第五章 平面一般力系

5.2 平面一般力系的简化
应用解析法可以求出力系的主矢的大小和方向。 通过点O坐标系,如图b所示，则有： 式中FRx/和FRy/以及F1x、 F2x、 Fnx和F1y 、F2y 、 Fny分别为主矢FR/ 以及原力系中各分力F1 、 F2 、…、 Fn在x轴和y轴上的投影。
5.2 平面一般力系的简化
根据式（5-5）和（5-7）
5.3平面一般力系的平衡
所以，上面的平衡条件可用下列解析 式表示：
5.3平面一般力系的平衡
由此可得平面一般力系平衡的解析条 件是：
力系中所有各力在两个任意选取的坐 标轴中每一轴上的投影的代数和分别 等于零，各力对于平面内任意一点之 矩的代数和也等于零。
通常将式（5—9）称为平面一般力系 平衡方程的一般式。
5.2 平面一般力系的简化
在平面内任取一点O,称为简化中心； 应用力的平移定理,把每个力都平移 到简化中心点O。这样,得到作用于点 O的力F1/、F2/、F3/,以及相应的附加 力偶,其力偶矩分别为M1、M2、M3,如 图b所示。这些力偶作用在同一平面 内,它们分别等于力F1 、 F2、 F3对简 化中心O点之矩，即：
5.2 平面一般力系的简化
（2）简化为一个合力的情形之另一：FR/≠0， MO≠ 0
如图F将成Ra作为/，/表用 一此示于 个时，点 作，并用O将令的在矩F力点R为=FOMRF//和RO的/的=力力－力偶FF偶R（R，用//F如(两R图图、个bc)力F。所RF于示//）R是和。合可
5.2 平面一般力系的简化
5.1 力的平移定理
由于这三个力也可看作是一个作用在点B 的力F/和一个力偶（F，F//）。这样一 来，原来作用在点A的力，现在被一个 作用在点B的力F/和一个力偶（F，F//） 等效替换。
5.1 力的平移定理
也就是说 ,可以把作用于点A的力平移到另 一点B,但必须同时附加上一个相应的力偶, 这个力偶称为附加力偶,如图所示。很明显 ,附加力偶的矩为：M = Fd
FR/，仍然作用于点O，并等于F1/、F2/、F3/的矢
量和，如图c所示。由于F1/、F2/、F3/各力分别与
F1 、 F2、 F3各力大小相等，方向相同，所以
FR/ =F1 + F2 + F3
（5-1a）
5.2 平面一般力系的简化
（2）对于平面力偶系M1、M2、M3合成后，仍为 一个力偶，合力偶的力偶矩MO等于各分力偶矩 的代数和。注意到附加力偶矩等于力对简化中心 O点的矩，所以，可有式（5-1b）
因此,主矢FR/ 的大小和方向分别由下列两式确定
式中，为主矢与x轴间成的最小锐角，而主矢
F进R行/所判在别的。象限数，可有FRx/和FRy/的正负直接
5.2 平面一般力系的简化
现在我们可以解释固定端支座的约束反力为何有 三个分力了。如图a所示，许多建筑物的雨篷或 阳台梁的一端，被插入墙内嵌固，它是一种典型 的约束形式，为固定端支座也称为固定端约束。 一端嵌固的梁，当AC端完全被固定时，AC段部 分将会提供足够的约束反力与作用于梁AB上的 主动力系平衡。
5.1 力的平移定理
式中,d为附加力偶的力偶臂。由图易见，d 就是点B到力F的作用线的垂直距离，因此 Fd也等于力F对点B的矩。即有：MB(F) = Fd
所以有
M = MB(F)
5.1 力的平移定理
由此得到力的平移定理：作用在刚体上任 一点的力可以平行移动到刚体上任一点,但 必须同时附加一个力偶,这个力偶的力偶矩 等于原来的力对新作用点之矩。
5.2 平面一般力系的简化
上面所得的简化结果可以表述如下：
在一般情形下,平面一般力系向作用面内任选一 点O简化,可以得到一个力和一个力偶。这个 力等于该力系的主矢,作用在简化中心;这个力 偶的矩等于该力系对于简化中心的主矩。由 于主矢等于各力的矢量和,所以,它与简化中心 的位置选择无关。而主矩等于各力对简化中 心之矩的代数和,取不同的点为简化中心,各力 的力臂将发生改变,则各力对简化中心的矩也 会改变,所以在一般情况下主矩与简化中心的 选择有关。因此,以后如果说到主矩时,必须指 出是力系对于哪一点的主矩。
5.2 平面一般力系的简化
一般情况下，AC端所受的约束力应是复杂的分 布力，可以看成是一个平面一般力系，如果将这 些力向梁端A的简化中心处简化，必将得到一个 力FRA/和一个力偶MA 。 FRA/便是反力系向A端简 化的主矢， MA是主矩。如图b所示。
5.2 平面一般力系的简化
在受力分析中,我们通常认为固定端支座的 约束反力是作用于梁端的一个约束反力和 一个约束力偶,因为约束反力的方向未知， 所以经常该将这个约束反力分解为水平方 向和竖直方向的两个分力,如图c所示。
5.3平面一般力系的平衡
应当指出，上式方程个数为三个，所以研 究一个平面一般力系的平衡问题，一次只 能求出三个未知数。 下面举例说明求解平面一般力系平衡问题 的方法和主要步骤。
三、平面一般力系的合力矩定理
由图b，合力FR对点的矩为 M o (FR ) FRd M o
由力系向一点简化的理论可知，分力（即
原力系的各力）对点O的矩的代数和等于
主矩，即
Mo(F) Mo
5.2 平面一般力系的简化
所以有
在这里，由于简化中心的位置是任意选取 的，故上式有普遍意义，可叙述如下：
平面一般系的合力对作用面内任一点之 矩，等于力系中各分力对同一点之矩的 代数和。这就是平面一般力系的合力矩 定理。
MO = M1 + M2 + M3 = MO (F1)+ MO (F2)+ MO (F3) 即合力偶的力偶矩等于原来各力对点O之矩的代 数和。
5.2 平面一般力系的简化
那么，对于力的数目为n的平面一般任 意力系，不难推广为
5.2 平面一般力系的简化
关于FR/ 与MO的含义 上面得到的平面一般力系中所有 各力的矢量和FR/ ，称为该力系的 主矢；而所有这些力对于任选的 简化中心O点的矩的代数和MO， 称为该力系对于简化中心的主矩 。
本章讨论平面一般力系的简化和平衡问题。
5.1 力的平移定理
如图a所示,设F是作用于刚体上点的一个力。点B 是刚体上位于力作用面内的任意一点，在B点加 上两个等值反方向的平衡力F/和F//，使它们与力 F平行，且F=F/=F//，如图b所示。显然，根据加 减平衡力系公理，三个力F、F/、F//组成的新力 系与原来的一个力F等效。
M1 = MO (F1) M2 = MO (F2) M3 = MO (F3)
5.2 平面一般力系的简化
将图b所示的新力系进 行分组，这样，平面一 般力系分解成了两个力 系：平面汇交力系和平 面力偶系。然后，再分 别对这两个力系进行合 成。
5.2 平面一般力系的简化
（1）由F1/、F2/、F3/等力组成的平面汇交力系， 可按平面汇交力系的合成法则，合成为一个力
5.2 平面一般力系的简化
二、平面一般力系的简化结果讨论 平面一般力系向作用面内一点简化的结果，
初始结果可能有以下四种情况：
但是，如果对上面四种情况进行归纳，其最 后简化结果应该是三种。
5.2 平面一般力系的简化
1. 平面一般力系简化为一个力偶的情形： FR/=0，MO≠0
此时，作用于简化中心的力相互平衡，因而相互 抵消。但是，附加的力偶系并不平衡，可合 成为一个力偶，即为原力系的合力偶，其力 偶矩等于
5.3平面一般力系的平衡
反过来，如果已知刚体平衡，则作用力应当 满足上式的两个条件。 事，实则上平，面假任如意F力R系/ 和就M可O其以中简有化一为个合不力等或于合零力 偶，于是刚体就不能保持平衡。所以式（58）又是平衡的必要条件。
5.3平面一般力系的平衡
于是，平面一般力系平衡的必要和充分条 件是：力系的主矢和力系对于平面内任一 点的主矩都等于零。
5.2 平面一般力系的简化
力系对点O的主矩为：
5.2 平面一般力系的简化 (方2)向求，力以系及的合合力力作FR用的线大到小点和 O的水平距离x 合力的大小和方向与主矢相 同,其作用线位置到点的水平 距离x的值可根据合力矩定理 求得（图c）。即
M o M o (FR ) M o (FR x ) M o (FR y )
5.1 力的平移定理
力的平移定理是研究平面一般力系的理论基础，它不仅 是力系向一点简化的依据，而且可以用来解释一些实际 问题。例如，攻丝时，必须用两手握扳手，而且用力要 相等。为什么不允许用一只手扳动扳手呢（如图a）？因 为作用在扳手AB一端的力F，与作用在点C的一个力F/和 一个矩为M的力偶矩（如图b）等效。这个力偶使丝锥转 动，而这个力F/使丝锥折断
5.2 平面一般力系的简化 由于其中
M o (FR x ) 0 所以
Mo Mo (FR y ) FR y x
所以可求得
5.3平面一般力系的平衡
一、平面一般力系的平衡条件和平衡方程 现在讨论静力学中最重要的情形，即平面一般力 系的主矢和主矩都等于零的情形。
显然，由FR/ =0可知，作用于简化中心的力F1 、 F2 、…、 Fn相互平衡。又由MO=0可知，附加 力偶也相互平衡。所以，FR/ =0， MO=0 ，说明 了在这样的平面一般力系作用下，刚体是处于平 衡的，这就是刚体平衡的充分条件
5.2 平面一般力系的简化
例5-1 重力坝受力情 形如图所示。设 GGF112===342050000kkkNNN，， ， F的2=合7力0kFNR。的求大力小系 和方向，以及合 力作用线到点O的 水平距离x。
5.2 平面一般力系的简化
解：（1）先将力系向点O简化，求得其主矢FR/和主矩
MO（图5—6b）。主矢FR/在x、y轴上的投影为：
作用在点O /的这个力FR就是原力系的合力。合 力的大小等于主矢；合力的作用线位于点的哪一
侧，则需根据主矢和主矩的方向确定；而合力作