八年级数学全等三角形的证明归类

八年级数学全等三角形的证明归类

初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相

等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件

例1：如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD

∆证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=AC BC=AD

AB=BA(公共边)∴ ABC ∆≌ABD ∆（SSS ）

二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件

例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD

∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ）

在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF

∠A=∠D

AB=DE

A

第2图

∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ）

例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。

∵CE=FB

∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ）

∵AB=DC AE=DF

CF=BE

∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE

三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件

例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。证明：∵DF=CE ，

∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，

∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ）

四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件

例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。

证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形

∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中，

∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）

E

F

E

D

C

B

A

B

五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件

例1已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE．求证：△ABC≌△DCB．证明：∵∠A=∠D AE=DE ∠AEB=∠DEC（对顶角）∴△AED≌△ACD （ASA）∴EC=EB

∴EC+AE=EB+DE（即AC=DB）

在Rt△ABC和Rt△DCB中

∵∠A=∠D=90° AC=DB BC=BC（公共边）

∴△ABC≌△DCB (HL)

七是中点等分线段对应相等是第三个条件

例1，如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

求证：△AED≌△EBC．

证明：∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED

O

E

D

C

B

A

∵DE ＝DE ，DC ＝AE ∴△AED ≌△EDC ∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC ∵DC ∥AB

∴∠DCE ＝∠BEC

∵CE ＝CE ∴△EBC ≌△EDC

∴△AED ≌△EBC

八是其他情形

对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：

一是公共角相等是第三个条件

例1．如图，CA ⊥BF 于A ，BE ⊥CF 于E ，若AC =BE

求证：△AFC ≌△EFB

证明：∵CA ⊥BF BE ⊥CF ∴∠CAF=∠BEF=90°

在 △AFC 和△EFB 中

∵∠CAF=∠BEF ∠F=∠ F （公共角） AC =BE ∴△AFC ≌△EFB

（AAS ）

二是对顶角相等是第三个条件

例1如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，∠CFM=∠E BE=CF 。

求证：△BEM ≌△CFM 证明：∵∠CFM=∠E

∠CMF=∠BME （对顶角） BE=CF

∴△BEM ≌△CFM （AAS ）

三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件

例1. 已知：∠1=∠2，EF//AB ，∠B=∠ACD CD=DE 求证：△EFD ≌△DAC

B

A C

D

F

21E

M

F

E

C

B

A