chap2 第二章 守恒律 分析力学教学课件

§1.2.2 守恒律与对称性的关系、角动量 一、自然界中的对称性
雪花六角形花样
场离子显微镜下 的针尖图形
-x2
x2
-x1
x1
-x3
镜面
X x3
二、有关对称性的概念 无论是艺术，还是自然科学，对称性都是重要的研究
对象。对称性的概念最初来源于生活。在艺术、建筑等领 域中，所谓“对称”，通常指左右对称。例如，人的外形 就 有近似的左和右的对称性。左右对称性就是前面图中镜像 反射对称性，它只是各种对称性中的一种。除了左右对称 性之外，还有轴对称性、球对称性等。在数学和物理中对 称性的概念是逐步发展的，为了讨论问题的方便，先引入 一些概念。
U
(r1 , r2 ,L
rN )
1 2
N a 1
3 i1
ma
S 1
x
( i
a
)
q
q&
S
1
x
( i
a
)
q
q&
U ( q1 , q 2 ,L
qS )
1 2
S 1
S
m q& q&
1
U (q1, q2 ,L
qS )
m
N a 1
3 i1
ma
x
( i
a
)
q
x( iBiblioteka a)qLa
1 2
m a r&a2
则系统的拉氏函数为
N
L L a —拉格朗日函数的可加性 a 1
若质点间有相互作用，则可以在自由质点系的拉 格朗日函数中加入反映相互作用性质的关于坐标的函 数 UU(r1,r2,LrN)(根据相互作用的性质确定)，于 是得到有相互作用质点系的拉格朗日函数
LaN 112mar& a2U(r1,r2,LrN)
第二章 守恒律
力学规律： LdL0 (1,2,L,S)
q dtq &
拉格朗日方程 1.解方程得到运动规律；2.得到守恒量。
广义坐标：q q(t) 广义速度：q q(t)
由 q (t) 和 q (t) 组成一些不随时间变化的量(守恒量) 守恒量 求运动方程的解；分析解的性质(见第三章)
广义力：
ddL t S1(qLq& q& Lq & & )
拉格朗日方程
L d L ( )
q dt q
d d L t S 1 [d d t( q & L )q & q & L d d t(q & )] S 1 d d t( q & L q & )
d dt
S1q& L q& L0
定义
2. 有约束情况下
系统中存在约束时，引入广义坐标 q(1,2,LS)
笛卡尔坐标与其的关系为
x(a) i
xi(a)(q1,q2,LqS)
且有
x&i(a)
S 1
xi(a) q
q&
，于是
L
N a 1
1 2
m a r&a2
U
(r1 , r2 ,L
rN )
N a 1
3 i1
1 2
m a [ x&i( a ) ]2
d (
LLdp0)
dtq q dt
二、能量
一般情况： LL(q(t),q & (t),t) ——显含时间变量t
例：处于随时间变化外场中的系统，其拉格朗日
函数为 LTU(q,t) ——L显含时间变量t
——系统与外力场的源必有能量交换， 系统不是保守系。
对保守系，L不明显含变量t，则 LL(q(t),q& (t))。
p I
——绕z轴的角动量
由拉格朗日方程得
dp 0 dt
——在有心力场中，绕任意选取轴的角动量守恒
广义动量 p 守恒的原因：在拉格朗日函数L中不包含
对应的广义坐标 。
(这只是数学形式上的原因，物理上的原因？)
一般结论：如果在拉格朗日函数中不包含某一个广义 坐标 q ，则称这一广义坐标为循环坐标。和循环坐标 对应的广义动量守恒。
E
S
1
(q&L q&)
L
——机械能(能量)
显然
dE 0 ——保守系统的能量守恒 dt
在直角坐标系中，动能只是速度 xi 的函数，不是 坐标的 x i 函数，但在广义坐标中，动能为坐标和速度
的函数，即 T T(q,q&)，则 LT(q,q & )U(q)。
动能T是广义速度 q 的二次齐次式：T12S1S1m(q)q&q&
f
Lmglsin
——力矩
例子3：对在有心力场中运动的质点，有
L 1m (r 2 r2 2 r2s2 in 2) U (r)—球坐标系 2
对应于广义坐标的广义动量
p
Lmr2sin2& &
广义力：
f
L
0
质点m到轴的垂直距离：rsin ，则
Im(rsin)2 ——质点绕轴的转动惯量
于是对应于的广义动量可写为
不变。
练习题： 设有齐次函数 f(x ,y ) x 3 3 x2y 3 x y2 y3 ，试验
证齐次函数的欧拉定理。
三、相互作用质点系的拉格朗日函数
第一章：对称性、伽利略相对性原理
自由质点的拉格朗日函数：L 1 m v 2 2
现在：研究质点间有相互作用的质点系的拉氏函数
1. 无约束情况下
若质点间无相互作用，第a个质点的拉氏函数为
1. 系统：即研究对象；2. 系统的状态，同一系统可以
处在不同的状态，不同的状态可以是“等价的”，也可以 是
“不等价的”。例如，右上图中的“圆+点”系统中，点
在不同
•
的地方表示系统处在不同的状态，不同状态
•
是不等价的。如果所选择的系统不包括这一
点，则不同的状态看上去没有区别，于是说
这些状态是等价的；3. 变换(操作)：把系统
例：有心力场中动能 T1m (r 2r2 2r2si2n 2)
2
动能T是广义速度 r&, &, & 的二次齐次式。
通常：动能都是广义速度的二次齐次式。
例外：例子见P95习题12。
根据齐次函数的欧拉定理，如果 f(u1,u2,L,uS) 是
S个变量 u 的n次齐次式，则
S f
1 u u n f
由于动能T是广义速度 q 的二次齐次函数，则有
S 1 q & L q & S 1 q & T q & 2 T[还 需 U U (q )]
而
ES1(q&L q&)L
所以
E 2 T L 2 T ( T U ) T U
——机械能等于动能与势能之和 结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持
从一个状态变到另一状态的过程。如果一个
操作使得系统从一个状态变到另一与之等价
状态 (状态在此操作下不变)，此时称系统对于这一操作是
“对称的”，而这一操作叫做系统的一个“对称操作”。
不选择前一页上图中那一点的圆这一系统来说，关于围 绕中心旋转任意角度的操作都是对称的(旋转任意角度的 操作均为圆的对称操作)。如果选择 “圆+圆内一对互相 垂 直的直径” 作为系统，则该系统的对称操作就少多了， 此 时转角必须是90o 的整数倍，操作才是对称的。