数学分析知识点汇总
数学分析知识要点整理
数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。
以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。
一、函数函数是数学分析的核心概念之一。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。
（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。
（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。
二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
数学分析知识点最全
数学分析知识点最全数学分析是数学的一个重要分支，它主要研究实数空间上的函数与序列的性质、极限、连续性、可微性等。
以下是数学分析的一些重要知识点：1.实数与复数的性质：包括实数和复数的定义、有理数和无理数的性质、实数的完备性、复数的代数和几何性质等。
2.数列的极限与收敛性：数列极限的定义、极限存在的判定、序列的比较、夹逼定理等。
3.函数的极限与连续性：函数极限的定义、函数极限存在的判定、函数的连续性与间断点、无穷点的连续性等。
4.导数与微分：导数的定义、导数存在的判定、导函数的计算法则、高阶导数与泰勒展开、凸凹性与拐点等。
5.不定积分与定积分：不定积分的定义与计算、变量替换法、分部积分法、定积分的定义与计算、定积分的应用（面积、弧长、体积等）等。
6.级数与幂级数：级数的定义与性质、级数的收敛性判定、常见级数的收敛性、幂级数的收敛半径与求和等。
7.解析几何与曲线的性质：平面曲线的方程、曲线的切线与法线、曲线的弧长与曲率等。
8.参数方程与极坐标系：参数方程与平面曲线的参数方程表示、平面曲线的切线与法线等。
9.函数项级数与傅立叶级数：函数项级数的收敛性判定、幂级数与傅立叶级数的展开等。
10.偏导数与多元函数的微分：偏导数的定义与计算、高阶偏导数、多元函数的全微分与偏微分、隐函数与显函数等。
11.多重积分与曲面积分：二重积分的定义与计算、三重积分的定义与计算、曲面积分的定义与计算等。
12.向量值函数与向量场：向量值函数的极限与连续性、向量场的散度与旋度等。
以上只是数学分析的一部分重要知识点，数学分析还包括很多其他内容，如场论、数学分析在物理学和工程中的应用等。
对于数学分析的学习，需要掌握一定的数学基础和逻辑思维能力，并进行大量的练习与实际应用。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结一、实数系与复数系1.1 实数系的定义实数系是我们熟知的数系，包括有理数和无理数。
实数系满足加法、乘法封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。
在实数系中，每个数都可以用小数形式表示，例如π=3.1415926535…，e=2.7182818284…等。
1.2 复数系的定义复数系是由实部和虚部组成的数，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足虚数单位的定义i²=-1。
复数系具有加法、乘法运算，也满足封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。
1.3 实数系与复数系的关系实数系是复数系的一个子集，所有实数可以看作复数系中的实部为零的复数。
实数系和复数系是数学分析中的基础，涉及了数的概念和性质，对后续的学习具有重要的作用。
二、函数与极限2.1 函数的定义函数是一种对应关系，如果对于每一个自变量x，都有唯一确定的函数值f(x)，那么称f是x的函数，在数学分析中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2.2 极限的概念极限是数学分析中的重要概念，用来描述函数在某一点附近的表现。
通俗地说，极限是函数在某一点上的“接近值”，用数学语言来描述，如果当自变量x趋近于a时，函数值f(x)趋近于L，那么称L是函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2.3 极限的性质极限有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性、保号性等。
同时，极限还具有四则运算性质，即两个函数的极限之和、差、积、商等于分别对应的函数的极限之和、差、积、商。
这些性质为求解极限问题提供了便利。
2.4 极限存在的条件函数在某一点处极限存在的条件有界性、单调性、有序性、保号性等。
在实际问题中，要根据极限存在的条件来判断函数在某一点处的极限是否存在。
2.5 极限的计算方法极限的计算方法包括用极限的性质、夹逼定理、洛必达法则等，这些方法能够帮助我们求解复杂的极限问题，对于深入理解函数的性质有很大的帮助。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学的一个重要分支，它研究数学对象的极限、连续性和变化率等性质。
在数学分析的学习过程中，我们掌握了许多重要的知识点，下面我将对其中的一些知识点进行总结。
1. 极限与连续在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。
我们通常用符号lim来表示一个函数的极限，如lim (x→a) f(x)。
极限可以理解为函数在某一点附近值的稳定性。
如果极限存在且与a点无关，我们就说函数在a点是连续的。
在求极限的过程中，常用的方法有代数运算法、夹逼准则、洛必达法则等。
2. 导数与微分导数是函数在某一点的变化率，也可以理解为函数的斜率。
函数f(x)在点x=a处的导数可以用f'(a)或df/dx(x=a)表示。
导数的计算方法有基本求导法则和高阶导数法则等。
微分是一个近似的概念，它表示函数在某一点附近的线性近似。
微分有利于研究函数的性质和进行近似计算。
3. 积分与微积分基本定理积分是求解曲线下面的面积或曲线长度的运算。
在积分计算中，常用的方法有换元法、分部积分法、定积分的性质等。
微积分基本定理是微积分中的核心理论之一，它将导数与积分联系起来。
基本定理分为牛顿-莱布尼茨公式和柯西中值定理两部分，它们在微积分的理论和应用中都起着重要的作用。
4. 级数与收敛性级数是无穷多项之和，其求和问题是数学分析中的一个重要内容。
级数的收敛性判断是一个关键问题，主要有比较判别法、积分判别法、根值判别法等。
级数的收敛性与和的计算直接关系到级数的应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
5. 无穷极限与无穷小量无穷极限是指当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的趋势和性质。
无穷小量的概念是微积分的基础，它表示比自变量趋于零更小的量。
在求解极限、导数等问题时，无穷小量具有非常重要的应用价值。
6. 参数方程与极坐标参数方程是一种以参数形式给出函数方程的表达方式。
在参数方程中，通常我们会用一个参数来表示自变量和函数值，通过参数的取值范围可以得到函数图形。
数学分析的重要知识点总结
数学分析的重要知识点总结数学分析是研究数学连续性和变化的基础学科，它提供了许多有关函数、极限、导数、积分和级数等方面的重要概念和工具。
在本文中，我们将总结数学分析中的一些重要知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数与极限函数是数学分析的基本概念之一。
函数描述了两个变量之间的关系，并将输入映射到输出。
函数可以是连续的、可微分的或可积分的，它在各种科学和工程领域中都有广泛的应用。
极限是函数连续性和变化的关键概念。
在数学中，极限描述了函数在某个点或无穷远处的趋势。
根据函数的定义域和值域，我们可以讨论函数在某个点的左极限、右极限和无穷极限。
二、导数与微分导数是函数变化率的量度。
对于一个函数，它在某一点的导数表示了函数在该点的变化速率。
导数的概念和性质对于研究函数的变化特性和优化问题至关重要。
微分是导数的应用。
通过微分，我们可以研究函数的最值、曲线的凹凸性和曲率等性质。
微分学在科学和工程领域中广泛应用，如物理学中的运动学和力学、经济学中的边际分析等。
三、积分与积分应用积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
积分在计算图形面积、求解微分方程和描述物理量等方面具有重要应用。
不定积分是对函数的原函数进行定义，可以计算出函数的一个特定形式。
定积分是对函数在一定区间上的累积效应进行计算。
定积分在求解曲线下面积、计算变量期望和求解微分方程初始条件等问题中发挥着重要作用。
四、级数与收敛性级数是由一系列项组成的无穷和。
级数的和可以是有限的或无限的。
通过研究级数的收敛性，我们可以确定级数是否趋于一个有限的极限值。
收敛性是级数是否趋于一个固定值的性质。
根据级数的项的大小和符号，我们可以使用各种测试方法来判断级数的收敛性，如比值测试、根值测试和积分测试等。
通过学习数学分析的重要知识点，我们可以更好地理解和应用这些概念。
数学分析对于数学的发展和各个领域的应用都具有深远的影响，它为我们解决问题提供了强有力的工具和方法。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学的基础学科之一，需要掌握的知识点很多。
以下是数学分析的一些基本知识点总结：一、极限与连续1. 实数与数列：实数的定义、有界性与稠密性、数列的极限与收敛性、Cauchy收敛准则。
2. 函数极限与连续：函数极限的定义、单侧极限与无穷极限、函数的连续性、Intermediate Value Theorem、间断点与可去间断点、无穷间断点。
二、导数与微分1.导数的定义与性质：导数的定义、导数的几何意义与物理意义、导数的性质（和差积商法则、链式法则等）、高阶导数、隐函数与由参数方程所确定的函数的导数。
2. 微分与微分中值定理：微分的概念与表达式、Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、Taylor公式与多项式逼近。
三、积分与积分学应用1.不定积分与定积分：不定积分的定义与性质、定积分的定义与性质、牛顿-莱布尼茨公式、换元法与分部积分法、定积分的几何与物理应用。
2.定积分求和与平均值：定积分求和的性质、定积分的平均值定理、定积分的迭加性质、定积分的估值与比较定理。
3.曲线与曲面的长度、面积与体积：曲线的长度、曲面的面积、旋转体的体积、曲线与曲面的参数化等。
四、级数与函数项级数1.数列级数与级数收敛性：数列的级数与偏序集、级数的部分和与极限、级数的收敛性判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等）。
2. 函数项级数：函数项级数的定义与性质、幂级数与Taylor级数、幂级数的收敛半径与收敛区间、函数项级数的逐项求导与逐项求积、函数项级数的一致收敛与逐点收敛。
五、一元多项式与实代数函数1.多项式函数：多项式的定义与性质（系数、次数、根与因式分解等）、多项式函数的性质与图像。
2.真分式函数与部分分式分解：真分式的定义与性质、真分式的等价性、部分分式分解的方法与应用。
3.实代数函数：实代数函数的定义与性质、实代数函数的根与曲线的图像等。
六、基本解析几何1.点、线、面：基础概念与性质、点、线、面间的关系、点、线、面的投影与旋转等。
数学分析知识点
数学分析知识点数学分析是数学的一个重要分支，涵盖了许多基础概念和重要定理。
在学习数学分析的过程中，我们需要掌握一些关键的知识点，这些知识点对于理解和运用数学分析有着重要的作用。
下面将介绍一些数学分析的基本知识点。
一、极限与连续性1. 极限：极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的趋近情况。
对于一个函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于某个常数L，那么我们称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(f(x))=L。
2. 连续性：函数在某一点处连续是指该点的函数值等于极限值。
在实数域上，函数f(x)在区间[a, b]上连续是指f(x)在[a, b]上每一个点都连续。
二、导数与微分1. 导数：导数描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数f(x)在x=a处可导，那么它的导数f'(a)表示f(x)在点a处的变化率。
2. 微分：微分是导数的几何化，是函数在某一点处的线性变化。
函数在点a处的微分df(a)是指函数在点a处的切线方程的增量。
三、积分与微积分基本定理1. 不定积分：不定积分是积分的一种形式，用于求函数的原函数。
如果函数F(x)是函数f(x)的原函数，那么我们记作F(x)=∫f(x)dx。
2. 定积分：定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的总量。
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么它在该区间上的定积分∫[a, b] f(x)dx表示f(x)在[a, b]上的总量。
四、级数与收敛性1. 级数：级数是一种无穷求和的形式，通常用于描述无穷个数的总和。
级数∑a_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n表示从0到无穷大的项的和。
2. 收敛性：级数的收敛性用于描述级数总和的趋向情况。
如果级数∑a_n在无穷大时收敛到一个常数L，那么我们称该级数收敛。
以上介绍了数学分析中的一些基本知识点，这些知识点在数学分析的学习过程中扮演着重要的角色。
通过深入理解和掌握这些知识点，我们可以更好地理解和应用数学分析的概念和定理，从而提高数学分析的学习效率和水平。
数学复习数学分析
数学复习数学分析数学分析是数学的重要分支之一，它研究数学中的变化、极限和连续性等概念。
在学习和应用数学分析的过程中，复习是非常重要和必要的。
本文将为你介绍一些数学分析的基本知识和重点内容，帮助你进行有效的复习。
1. 实数与数列实数是数学分析的基础，它包括有理数和无理数。
在数学分析中，我们常会涉及到实数的性质和运算规律。
另外，数列也是数学分析中的重要概念。
数列可以用来描述一系列有序的数的排列，它的极限和收敛性质十分重要。
2. 函数与极限函数是数学分析的核心概念之一。
数学中的函数可以用来描述两个变量之间的关系，并且可以通过极限来研究函数的性质。
极限是数学分析中非常重要的内容，它可以用来描述变量趋于无穷时的特性。
3. 连续性与导数连续性是数学分析中十分重要的概念，它与函数的极限密切相关。
我们通过判断函数在某点是否连续，来研究函数在该点的性质。
导数是描述函数变化率的概念，它可以通过极限的方法来定义。
4. 不定积分与定积分不定积分和定积分是数学分析中重要的概念和方法。
不定积分可以用来求函数的原函数，而定积分可以用来计算曲线下的面积。
这两个概念在数学分析中有广泛的应用。
5. 级数与收敛级数是由一列数相加的无穷和，它在数学分析中非常重要。
我们通过判断级数的和是否收敛，来研究级数的性质和特点。
级数的收敛性质是数学分析中的重点内容之一。
通过以上五个方面的复习，你将对数学分析的基本内容有一个清晰的了解，为更深入的学习和应用打下基础。
答案与解析：1. 实数与数列答案：实数由有理数和无理数组成。
解析：这个问题是关于实数的构成的基本知识，需要明确实数由有理数和无理数组成的概念。
2. 函数与极限答案：函数可以用来描述两个变量之间的关系，而极限可以用来研究函数的性质。
解析：这个问题是关于函数和极限的基本概念，需要明确函数可以描述变量关系，而极限可以用来研究函数性质的概念。
3. 连续性与导数答案：连续性是描述函数在某点的性质，而导数可以用来描述函数的变化率。
最新数学分析知识点最全汇总
最新数学分析知识点最全汇总
1、极限的概念：极限是理论数学的基础，它通过描述函数的行为，
我们可以测量函数随着变量变化时函数结果的变化情况，并从中推断函数
的一些性质，比如函数是否可以导数、函数是在一些值附近是否有极值等。
2、微积分的概念：微积分是一门描述函数变化的数学分析，由微分
和积分组成。
它解决了复杂的函数变化问题，比如求函数极值的点、求函
数的曲线与轴线的交点等。
3、复数的概念：复数是一种数学概念，它由实部和虚部组成，可以
使用较复杂的函数来描述复数的变化，并且可以增强函数的可解性。
4、矩阵分析：矩阵分析可以用来描述线性方程组的解，可以对向量
空间及其子空间进行研究。
可以用来分析一些常见的函数、矩阵及它们之
间的关系。
5、定积分：定积分是一种计算函数的积分方法，它可以用来求解一
些复杂的积分问题，如求椭圆的面积等。
6、级数的概念：级数是一种表示数字或函数变化的数学工具，它可
以用来表示一系列数字或函数，比如Maclaurin级数就可以用来表示指数
函数的变化。
7、泰勒级数：泰勒级数是一种描述函数变化的数学工具，它可以用
来估计函数的近似值，比如用泰勒级数估计函数值的精确度高于用极限。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学的重要分支，它研究的是实数集上的函数和序列的性质。
在学习数学分析的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和方法。
本文将对数学分析的一些重要知识点进行总结，并提供一些相关的例子和应用。
一、极限和连续1. 极限的定义和性质在数学分析中，极限是一个基本的概念。
对于一个函数或序列，当自变量趋于某个值时，函数或序列的取值也趋于某个值，我们就称这个值为函数或序列的极限。
极限具有唯一性和保序性等基本性质。
2. 连续函数的定义和性质在实数集上，连续函数是一类非常重要的函数。
连续函数的定义是指函数在定义域内的任意点都满足极限存在，并且函数值与极限值相等。
连续函数具有保号性、介值性和零点定理等重要性质。
二、导数和微分1. 导数的定义和性质导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数图像在该点的切线斜率。
导数的定义是函数在该点的极限，导数具有线性性、乘积法则和链式法则等基本性质。
2. 微分的定义和应用微分是导数的一个重要应用。
微分可以用来近似计算函数的变化量，也可以用来求函数的极值和拐点。
微分具有局部线性逼近的性质，可以用来解决实际问题中的优化和近似计算等应用题。
三、积分和级数1. 定积分的定义和性质定积分是一个函数在某一区间上的累积量，可以理解为函数图像与x轴之间的面积。
定积分的定义是将区间分成无穷多个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行求和，并取极限。
定积分具有线性性、积分中值定理和换元积分法则等基本性质。
2. 级数的定义和收敛性级数是无穷多个数的和，它在数学分析中有着重要的应用。
级数的定义是将无穷多个数按照一定的顺序进行求和，并取其极限。
级数的收敛性是指级数的和存在有限值，而发散性则是指级数的和不存在有限值。
四、微分方程微分方程是数学分析的一个重要分支，它研究的是含有未知函数及其导数的方程。
微分方程具有一阶和高阶、线性和非线性等不同类型。
通过求解微分方程，我们可以得到函数的解析解或数值解，进而应用到实际问题中。
(完整版)数学分析知识点总结
(完整版)数学分析知识点总结数学分析知识点总结导数与微分- 导数的定义：导数是一个函数在某一点的斜率，表示函数的增减速度。
- 常见函数的导数公式：- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$- 指数函数：$(a^x)' = a^x\ln(a)$- 对数函数：$(\log_a(x))' = \frac{1}{x\ln(a)}$- 微分的定义：微分是切线在某一点处的线性近似，表示函数在该点的局部变化情况。
积分与不定积分- 不定积分的定义：不定积分是对函数的原函数的求解，表示函数从某一点到变量的积分结果。
- 常见函数的基本积分公式：- 幂函数：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- 正弦函数：$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$- 余弦函数：$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$一元函数极限- 极限的定义：函数在某一点处的极限是函数在这一点附近的取值逐渐趋于某个固定值的情况。
- 常见函数的极限计算方法：- 算术运算法则：常数的极限是常数本身；极限的和等于极限的和；极限的乘积等于极限的乘积。
- 复合函数法则：对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再求外层函数的极限。
泰勒级数- 泰勒级数的定义：泰勒级数是一个函数在某一点附近的展开式，由函数在该点的导数决定。
- 常见函数的泰勒级数展开：- 幂函数：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$以上是数学分析的一些基本知识点总结，希望对您有所帮助。
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
数学分析知识点的总结
数学分析知识点的总结数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微分和积分等概念与性质。
在学习数学分析的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将对数学分析中的一些重要知识点进行总结和概述。
一、函数与极限函数是数学分析的基础，它是一种特殊的关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
而极限是函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的趋势。
在计算极限时，我们需要使用极限的性质，如极限的四则运算法则、夹逼定理等。
二、连续性与一致连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的无间断性。
一个函数在某一点连续，意味着它在该点的极限存在且与函数值相等。
而一致连续性是连续性的一种更强的形式，它要求函数在整个定义域上都连续。
我们可以使用连续函数的性质来证明一些重要的定理，如介值定理、零点定理等。
三、微分与导数微分是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的局部变化率。
导数是微分的一种表示形式，它是函数在某一点的切线斜率。
在计算导数时，我们可以使用导数的性质，如导数的四则运算法则、链式法则等。
导数的应用广泛，如求极值、判定函数的增减性等。
四、积分与定积分积分是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数与自变量之间的累积关系。
定积分是积分的一种形式，它表示了函数在某一区间上的累积效应。
在计算定积分时，我们可以使用定积分的性质，如定积分的线性性质、换元积分法等。
定积分的应用广泛，如计算曲线下的面积、求函数的平均值等。
五、级数与收敛性级数是数学分析中的一个重要概念，它是无穷个数的和。
级数的收敛性是级数的一个重要性质，它描述了级数的和是否有限。
在判断级数的收敛性时，我们可以使用级数的性质，如比较判别法、积分判别法等。
级数的收敛性对于数学分析中的许多问题都有着重要的应用。
综上所述，数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是函数、极限、连续性、微分和积分等概念与性质。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学的一个重要分支，它研究实数域上的函数、极限、连续性、可导性、积分等基本概念和性质。
本文将对数学分析的一些重要知识点进行总结，帮助读者加深对数学分析的理解。
一、实数和实函数1.实数的定义和性质：实数是指具有无理数和有理数两类的数字，它们共同构成了实数域。
实数具有有序性和完备性两个重要性质。
2.函数的概念：函数是一种映射关系，它将自变量的值映射到因变量的值上。
函数可以通过函数关系式、函数图像和函数表达式等方式表示。
3.实函数的性质：实函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
另外，实函数可以是周期函数、有界函数、单调函数、非负函数等。
二、极限和连续性1. 极限的概念：函数f(x)在x趋于无穷大或无穷小时的极限表示为lim(x→∞)f(x)=L或lim(x→a)f(x)=L。
其中，无穷大极限表示函数在x趋向于∞或-∞时的极限，而有限极限表示函数在x趋向于其中一点a 时的极限。
2. 极限的性质：极限具有唯一性、有界性、局部性和四则运算的性质。
也就是说，如果lim(x→a)f(x)=L，那么L是唯一确定的，并且lim(x→a)c= c、lim(x→a)(c*f(x)) = c*lim(x→a)f(x)等。
3. 连续性的概念：函数f(x)在其中一点a处连续，表示为f(a)=lim(x→a)f(x)。
也就是说，在这一点上，函数的值等于极限。
4.连续性的性质：连续函数具有限制相容性、四则运算的连续性、复合函数的连续性等性质。
另外，闭区间上的连续函数是有界的，且在闭区间上存在最大值和最小值。
三、可导性和微分1. 可导性的概念：函数f(x)在其中一点a处可导，表示为f'(a)=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。
也就是说，在这一点上，函数在图像上具有一条切线。
数学分析知识点
数学分析知识点数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微分和积分等概念与性质。
在数学分析中，有一些重要的知识点需要我们掌握和理解。
本文将介绍数学分析中的一些常见知识点，帮助读者对这些概念有更清晰的认识。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系等方面。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
2. 极限的概念与性质极限是函数的重要性质之一，它描述了函数在某一点附近的表现。
极限的定义包括数列极限和函数极限，它们都与趋近性和收敛性有关。
极限的性质包括四则运算法则、夹逼准则等。
二、连续性与可导性1. 连续函数与间断点连续函数是指在定义域内的每一个点上都具有极限，并且函数值与极限相等。
间断点是指函数在某一点上不满足连续性的情况，包括可去间断、跳跃间断和无穷间断等。
2. 可导函数与导数可导函数是指在定义域内的每一个点上都具有导数。
导数是函数在某一点处的切线斜率，它描述了函数的变化率。
导数的计算方法包括求导法则、高阶导数和隐函数求导等。
三、微分与积分1. 微分的概念与应用微分是导数的另一种表示形式，它描述了函数在某一点附近的局部线性近似。
微分的应用包括切线方程、极值与最优化等。
2. 积分的概念与计算积分是函数的反导数，它描述了函数在某一区间上的累积效应。
积分的计算方法包括不定积分和定积分，其中不定积分是求解原函数，定积分是计算曲线下的面积或求解定积分方程等。
四、级数与收敛性1. 数列与级数的概念数列是一系列数按照一定规律排列的结果，级数是数列的部分和的无穷和。
数列和级数的性质包括单调性、有界性和收敛性等。
2. 收敛级数的判别法收敛级数的判别法是判断级数是否收敛的方法。
常见的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法等。
以上是数学分析中的一些常见知识点，它们构成了数学分析的基础理论。
掌握这些知识点对于进一步学习和应用数学分析具有重要意义。
数学分析 知识点总结
数学分析知识点总结1. 极限与连续性在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。
通俗地讲，极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于某一确定的值。
极限的定义是通过趋近过程来描述的，当自变量趋近某一值时，函数的取值也会趋近某一确定的值。
而连续性则是指函数在某一点上存在极限，并且该极限等于函数在该点的取值。
在数学分析中，我们研究了函数的极限存在性、连续性的定义和判定方法，以及连续函数的性质和应用。
2. 导数与微分导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点附近的局部变化趋势。
微分是导数的积分过程，是一种用于近似计算的方法。
在数学分析中，我们研究了导数的定义、性质和计算方法，以及导数在几何、物理等方面的应用。
我们还讨论了函数的可导性和导数存在的条件，以及相关的微分中值定理和泰勒展开公式等内容。
3. 积分与微积分学积分是导数的逆运算，表示在一定范围内函数取值的总和。
微积分学是研究积分和导数之间关系的学科，它涉及了不定积分和定积分、微积分基本定理、微分方程等内容。
在数学分析中，我们学习了积分的定义和性质，以及不定积分和定积分的计算方法和应用。
我们还研究了微积分基本定理和微分方程的基本理论，以及积分变量变换和分部积分等高级计算方法。
4. 实变函数与泛函分析实变函数是指定义在实数集上的函数，它们的性质和变化规律是数学分析的研究对象。
泛函分析则是实变函数的推广，研究定义在函数空间上的函数的性质和变化规律。
在数学分析中，我们学习了实变函数的基本性质和分类，以及实变函数的极值、最大值、最小值等问题。
我们还研究了泛函分析的基本理论和应用，包括数学物理、偏微分方程、控制理论等方面的内容。
5. 复变函数与复分析复变函数是指定义在复数集上的函数，它们具有很多独特的性质和变化规律。
复分析是研究复变函数的学科，它涉及了复数、复变函数、复积分等内容。
在数学分析中，我们学习了复数的基本性质和运算规律，以及复变函数的解析性和全纯性等概念。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结考点一：集合与简易规律集合局部一般以选择题消失，属简单题。
重点考察集合间关系的理解和熟悉。
近年的试题加强了对集合计算化简力量的考察，并向无限集进展，考察抽象思维力量。
在解决这些问题时，要留意利用几何的直观性，并注意集合表示方法的转换与化简。
简易规律考察有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考察命题及其关系、规律联结词、“充要关系”、命题真伪的推断、全称命题和特称命题的否认等，二是在解答题中深层次考察常用规律用语表达数学解题过程和规律推理。
考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考察函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、根本初等函数（一次和二次函数、指数、对数、幂函数）的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考察函数的性质。
导数局部一方面考察导数的运算与导数的几何意义，另一方面考察导数的简洁应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式消失，属于简单题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式消失，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。
考点三：三角函数与平面对量一般是2道小题，1道综合解答题。
小题一道考察平面对量有关概念及运算等，另一道对三角学问点的补充。
大题中假如没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考察平面对量为主的试题，要留意数形结合思想在解题中的应用。
向量重点考察平面对量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型。
考点四：数列与不等式不等式主要考察一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简洁线性规划问题、根本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。
对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进展考察。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学的基础，并且在大部分数学领域都有应用。
下面将对数学分析中的一些关键知识点进行总结和概述。
一、函数与极限在数学分析中，函数是起到连接自变量与因变量的桥梁，函数的性质和极限的概念是数学分析的基础。
函数的定义域、值域以及图像都是研究函数的重要内容。
极限可以用来描述函数在自变量趋近某一值时的行为，可以分为左极限和右极限，以及无穷远处的极限。
极限有一系列基本的性质和计算方法，如极限的四则运算、夹逼定理等。
二、导数与微分导数是描述函数变化率的重要工具，它表示函数在某一点的切线斜率。
导数的定义和计算方法非常重要，可以通过极限来定义导数，而导数的计算则有一系列的规则和公式。
微分是导数的积分，通过微分可以计算函数在某一点的增量。
导数与微分在应用中具有广泛的意义，如切线问题、最值问题以及曲线的凹凸性等。
三、级数与收敛性级数是将一系列数加和的运算，其中有很多重要的级数如等比数列、调和级数等。
级数的收敛性是研究级数行为的关键，收敛的级数具有一系列的性质和判别法，如比较判别法、积分判别法等。
级数的收敛性与数学分析中很多问题相关，如函数展开、数值逼近等。
四、积分与积分计算积分是对函数进行求和的运算，它的定义和计算也是数学分析的重要内容。
积分的基本性质和计算方法有很多，如定积分的基本公式、换元积分法、分部积分法等。
积分还有一些重要的应用，如面积计算、弧长计算、物理中的功和能量等。
五、常微分方程常微分方程是研究函数关系及其导数关系的方程，它在数学分析中具有重要的地位和广泛的应用。
常微分方程分为一阶和高阶方程，解常微分方程的方法有很多，如分离变量法、变量代换法、齐次方程与非齐次方程的方法等。
常微分方程的解具有一些特殊的性质，如唯一性定理和稳定性等。
总之，数学分析是一门重要的数学课程，它涉及了丰富的知识和方法。
通过对函数与极限、导数与微分、级数与收敛性、积分与积分计算、常微分方程等知识点的总结与概述，我们可以更好地理解数学分析的核心内容，并能够应用到实际问题中。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结一、引言数学分析是研究函数、极限、导数、积分等概念的数学分支。
它是现代数学的基础，对于理解和应用更高级的数学理论至关重要。
二、极限与连续性1. 极限的定义与性质- 极限的概念- 极限的性质和运算法则- 无穷小与无穷大- 极限存在的条件2. 无穷级数- 级数的收敛性- 收敛级数的性质- 级数的极限3. 函数的连续性- 连续函数的定义- 间断点的分类- 连续函数的性质三、导数与微分1. 导数的定义- 导数的直观理解- 导数的严格定义2. 导数的计算- 导数的基本公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 高阶导数3. 微分- 微分的概念- 微分的几何意义- 微分的应用四、中值定理与泰勒展开1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒展开- 泰勒级数- 泰勒展开的应用- 泰勒级数的收敛性五、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分- 定积分的定义- 定积分的性质- 定积分的计算3. 积分的应用- 面积计算- 体积计算- 平面曲线的弧长六、级数1. 级数的收敛性- 收敛级数的定义- 收敛性的判别方法2. 幂级数- 幂级数的收敛半径- 幂级数的应用3. 傅里叶级数- 傅里叶级数的概念- 傅里叶级数的物理意义七、多元函数分析1. 多元函数的极限与连续性 - 多元函数的极限- 多元函数的连续性2. 偏导数与梯度- 偏导数的定义- 梯度的概念3. 多重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法八、结论数学分析是数学学科的基石，它的概念和方法广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。
掌握数学分析的知识点对于理解和解决实际问题具有重要意义。
以上是数学分析的主要知识点概述。
每个部分都可以进一步扩展，包含更多的细节和例子。
这篇文章的结构旨在提供一个清晰的框架，便于读者理解和复习数学分析的核心概念。
数学分析的知识点总结
数学分析的知识点总结•相关推荐数学分析的知识点总结上学的时候，看到知识点，都是先收藏再说吧！知识点有时候特指教科书上或考试的知识。
相信很多人都在为知识点发愁，以下是小编为大家整理的数学分析的知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
数学分析的知识点总结1圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】（3）过圆上一点的切线方程：圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含；当时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
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第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数(,q p q p ⎧≠⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 01(1)9999nn a a --0,a =则记表示为无限小数，现在所得的小数之前加负例： 2.001 2.0009999→；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-；；00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =.对于负实数01.nx a a a =-，其n 位不足近似011.10n n nx a a a =--；n 位过剩近似01.n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤； 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥． 命题：记01.n x a a a =，01.n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）． 命题应用例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<． 证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ∀∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：a b c R ∀∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． 2、几何意义从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； 5）||||||ab a b =⋅；6）||||a ab b =（0b ≠）． 三、几个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈∀R n a a a 记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即：1212111n n a a a nn a a a +++≤≤+++等号当且仅当n a a a === 21时成立.3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过),1->∀x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++⇒≠+111)1(1)1( ,01 n n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+⇒4、利用二项展开式得到的不等式:对,0>∀h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥（））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 、区间与邻域1、 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧∈<<=⎪⎪⎪∈≤≤=⎪⎨⎪⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）； {}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-二 、有界集与无界集1、 定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ∀∈≤；2）00,,o x S x M εε∀>∃∈>-使得.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε∃>∀∈≤-使得均有，与是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设不是的上确界，即0M ∃是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ∃∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是的上界矛盾.定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.M M E E命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ∀∈≥；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<有sup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤则有.inf s up B A ≤证明：,B y ∈∀y 是A 的上界,.sup y A ≤⇒A sup ⇒是B 的下界,A sup =η⇒A x ∈∀η≤x.inf sup B A ≤⇒例6A 和B 为非空数集,.B A S =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥⇒又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ⇒是A 的下界,;inf inf A S ≤⇒同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ⊂非空，，我们可以找到一个整数p ，使得不是上界，而1p +是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数，如此下去，E x ∈∃p E E 9.,,2.,1.p p p 1+p 0q 900≤≤q 0.q p E )1.(0+q p E 1q ,最后得到，它是一个实数，即为的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得1），有；2）存在，有；把区间10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得1），有；；2）存在，使得． 再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在，使得1）对任何，有；2）存在，使继续重复此步骤，知对任何，存在使得1）对任何，；2）存在，．因此得到．以下证明．（ⅰ）对任意，；（ⅱ）对任何，存在使．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.210.q q q p E S n S x ∈∀n x >S x ∈11+≤n x ]1,(+n n 1n S ∈∀1.n n x >S x ∈210112.+≤n n x 2n S x ∈21.n n n x >2x 2101212.+≤n n n x ,2,1=k k n S x ∈k k n n n n x 10121.-> S x k ∈k k n n n n x 21.≤ k n n n n 21.=ηS inf =ηS x ∈η>x ηα>S x ∈'x '>α教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１设,D M R∀∈，⊂，如果存在对应法则f，使对x D存在唯一的一个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作→:f D M→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f D.f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．几点说明（1）函数定义的记号中“:f D M→”表示按法则f建立D到M 的函数关系，|x y→表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作→.习惯上称x自变量，y为因变量.|()x f x（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈ ().x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二 、函数的表示方法1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2 可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如 1,0s g n 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）（借助于sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 １）[]y x =（取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关一个的函数[]{}y x x x =-（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩当为既约分数),当和内的无理数.三 函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈. 注：１）若12D D D φ==，则f 与g 不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代入f ，即得221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2．定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应D 内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y f g x x E =∈.简记为f g .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例子例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f = 并求定义域.例 ⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则) ( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例 讨论函数(),[0,)y f u u =∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引言在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.２.反函数概念定义设R 是一函数，如果，, 由(或由)，则称在上是 1-1 的.若，，称为满的.若 是满的 1-1 的，则称为1-1对应.R 是1-1 的意味着对固定至多有一个解，是1-1 的意味着对，有且仅有一个解.→X f :∀1x X x ∈2)()(2121x f x f x x ≠⇒≠2121)()(x x x f x f =⇒=f X Y X f →:)(X f Y =f Y X f →:f →X f :)(x f y =y x Y X f →:Y y ∈)(x f y =x定义 设是1-1对应., 由唯一确定一个, 由这种对应法则所确定的函数称为的反函数，记为.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域显然有(恒等变换） (恒等变换) .从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 , 这样它的图形与 的图形是关于对角线对称的.严格单调函数是1-1但 1-1 例子它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件.固定 ，解方程 得出. 2. 按习惯，自变量、因变量互换，得. 例 求 ：R R 的反函数. 解 固定，为解 ，令 ，方程变为( 舍去)得，即，称为反双曲正弦. 定理 给定函数，其定义域和值域分别记为和， 若在上存在函数，使得 , 则有. Y X f →:Y y ∈∀)(x f y =X x ∈)(x f y =)(1y f x -=YX f →:X Y f →-:1X X I f f→=-:1Y Y I f f →=-:1 Y X f f →=--:)(11)(1x f y -=)(x f y =x y =⎩⎨⎧≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f Y X f →:X Y Y y ∈y x f =)()(1y f x -=x y )(1x f y -=2)(xx e e x sh y --==→y 2x x e e y --=z e x =122-=z zy 0122=--zy z 12+±=y y z 12+-y y )1ln(2++=y y x )()1ln(12x sh x x y -=++=)(x f y =X Y Y )(y g x x f g =))(()()(1y f y g -=分析：要证两层结论：一是的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证1()()g y f y -=. 证 要证的反函数存在，只要证是到的 1-1 对应.，，若， 则由定理条件，我们有，即 是 1-1 对应.再证1()()g y f y -=.，，使得.由反函数定义 ，再由定理条件()(())g y g f x x ==.1()()g y f y -⇒=例 :f R R →，若存在唯一（）不动点，则也不动点.证 存在性，设，，即是的不动点，由唯一性， 即存在的不动点. 唯一性： 设，，说明 是的不动点，由唯一性，=.从映射的观点看函数. 设函数(),y f x x D =∈.满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.３、注释a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f -为映射f的逆映射，它把()f D D→)(x f y =)(x f y =)(x f X Y ∀1x X x ∈2)()(21x f x f =11))((x x f g =22))((x x f g =21x x =⇒Y X f →:∀Y y ∈∃X x ∈)(x f y =)(1y f x -=))((x f f |∃)(x f |∃)]([* * x f f x =)]([)(* * x f f f x f =)(* x f ff * * )(x x f =)(x f * x )(x f x =))(()(x f f x f x ==x f f x *x；b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f f x x x D -≡∈ 1(()),().f f x y y f D -≡∈c) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为1(),().y f x x f D -=∈应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六 、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)x y a a a =>≠；对数函数 l o g (0,a y x a a =>≠；三角函数 s i n ,c o s ,,y x y x y t g x y t g x ====； 反三角函数 a r c s i n ,a r c c o s ,y x y x y a r c t g x y a r c c t g x ====. 注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：{}{}sup |,1|,01r x r xr a r a a a r a <⎧>⎪=⎨<<⎪⎩r<x为有理数当时,inf 为有理数当时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：22112sin cos ,sin(),l g ,||.a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１）y = （２） ln |sin |.y x = 3.初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则（1） )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f =（2）{})( , )(m ax )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(m in )(x g x f x =φ都是初等函数, 因为 {})( , )(m ax )(x g x f x =Φ[])()()()(21x g x f x g x f -++=, x a{})( , )(m in )(x g x f x =φ [])()()()(21x g x f x g x f --+= . （3）幂指函数 ()()0)( )()(>x f x f x g 是初等函数,因为()(). )()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g ==［作业］ 15P ： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数 教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：引 言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义1设f 为定义在D 上的函数，若存在数()M L ，使得对每一个x D ∈有()(())f x M f x L ≤≥，则称f 为D 上的有上（下）界函数，()M L 称为f 在D 上的一个上（下）界.注：（1）f 在D 上有上（下）界，意味着值域()f D 是一个有上（下）界的数集；（2）又若()M L 为f 在D 上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f 在D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin y x =，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：f 在D 上有界⇔()f D 是一个有界集⇔f 在D 上既有上界又有下界⇔f 在D 上的有上界函数，也为D 上的有下界函数.2、有界函数定义定义2设f 为定义在D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个x D ∈有|()|f x M ≤，则称f 为D 上的有界函数.注：（1）几何意义：f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；（2）f 在D 上有界⇔f 在D 上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在D 上无上界、无下界或无界的定义.3、 例题例1 证明:f X R →有界的充要条件为：,，使得对,.证明 如果:f X R →有界，按定义>0，有()f x M ≤，即()M f x M -≤≤,取,即可.反之如果,使得,()x X m f x M ∀∈≤≤，令{}0max 1,M M m =+，则0()f x M ≤，即00M >，使得对x X ∀∈有0()f x M ≤，即:f X R →有界.例2．证明 1()f x x=为(0,1]上的无上界函数.例3．设,f g 为D 上的有界函数.证明：（1）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+； （2）{}sup ()()sup ()sup ()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+.例4验证函数 325)(2+=x x x f 在R 内有界. 解法一 由,62322)3()2(32222x x x x =⋅≥+=+当0≠x 时,有 .3625625325325 )( 22≤=≤+=+=x x x x x x x f 30 )0( ≤=f ,∴ 对 ,R ∈∀x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有界. ∃M m X x ∈∀M x f m ≤≤)(∃M X x ∈∀M m -=M M =∃M m ∃解法二 令 ,3252⇒+=x x y 关于x 的二次方程 03522=+-y x yx 有实数根. 22245 y -=∆∴.2 ,42425 ,02≤⇒≤≤⇒≥y y 解法三 令 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2 ,23ππt tgt x 对应). , (∞+∞-∈x 于是 ==+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t t t t tg tgt tgt tgt x x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)( .6252sin 625)( ,2sin 625≤=⇒=t x f t二、单调函数定义3设f 为定义在D 上的函数，1212,,,x x D x x ∀∈< （1）若12()()f x f x ≤，则称f 为D 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为D 上的严格增函数.（2）若12()()f x f x ≥，则称f 为D 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为D 上的严格减函数.例5．证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数.证明：设， 如，则如，则22331122120,x x x x x x ++>⇒<故即得证. 例6．讨论函数[]y x =在R 上的单调性.12,x x R ∀∈，当12x x <时，有[][]12x x ≤，但此函数在R 上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1．设(),y fx x D =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f -在其定义域()f D 上也是严格增（减）函数.21x x <))((222121213231x x x x x x x x ++-=-021<x x 3231120x x x x <⇒>>120x x >03231<-x x证明：设f 在D 上严格增函数.对(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=有使.下面证明这样的x 只有一个.事实上，对于D 内任一1,x x ≠由于f 在D 上严格增函数，当1x x <时1()f x y <，当1x x >时1()f x y >，总之1()f x y ≠.即(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=都只存在唯一的一使得，从而例7 讨论函数2y x =在(,)-∞+∞上反函数的存在性；如果2y x =在(,)-∞+∞上不存在反函数，在(,)-∞+∞的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：x y a =当1a >时在Ｒ上严格增，当01a <<时在R 上严格递减.三、奇函数和偶函数定义4. 设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数.若对每一个x D ∈有（1）()()f x f x -=-，则称f 为D 上的奇函数；（2）()()f x f x -=，则称f 为D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]f x x x =∈没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪≡⎩奇函数:y=sinx 偶函数:y=sgnx 非奇非偶函数:y=sinx+cosx既奇又偶函数:y 0； （4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数1、定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0σ>，使得对一切x D ∈有()()f x f x σ±=，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期.2、几点说明：（1）若σ是f 的周期，则()n n N σ+∈也是f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如sin ,2,4,y x σππ==.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的“基本周期”，简称“周期”.如sin y x =，周期为2π；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）1y x =+，不是周期函数；2）y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限。