(黄梦莉)研析二重极限与累次极限的关系讲解

通化师范学院本科生毕业论文（2016 届）题目研析二重极限与累次极限的关系学院数学学院专业数学与应用数学班级12级01班作者姓名黄梦莉学号201206010104指导教师王宏志职称副教授学位硕士论文成绩2016年5月目录摘要 (1)关键词 (1)中文摘要 (1)英文关键词 (1)1 引言 (1)2 预备知识 (1)3 二重极限与累次极限之间的联系 (3)3.1二重极限与累次极限没有必然的联系 (3)3.2二重极限与累次极限在一定条件下的联系 (5)3.3利用累次极限求解二重极限 (5)3.4数列的二重极限与累次极限的关系 (6)4 结束语 (6)5 参考文献 (7)研析二重极限与累次极限的关系数学学院1201 黄梦莉摘 要：二元函数极限概念是多元函数微积分学的一个重要内容，本文利用二重极限与累次极限的概念，讨论它们的本质性区别，归纳总结了二重极限与累次极限存在性之间的内在联系.关键词：多元函数；二重极限；累次极限；关系Research on the Relationship between Double Limitand Repeated LimitClass1201 School of Mathematics HUANG MengliAbstract: The concept of limit of two elements function is an important content of multivariate function differential calculus, using the concept of double limit and the repeated limit, discussed their essential differences, summarizes the inner relation between the double limit and double limit.Key words: multivariate;double limit; repeated limit; relationship1 引言二元函数的两种极限——二重极限和累次极限，二重极限在多元函数微积分中占有突出地位，对于二重极限与累次极限的正确理解和求解是研究多元函数微分学的基础，而二重极限与累次极限的关系是其重要内容．对于初学者，很容易对两者之间的关系产生疑问及误解，甚至分不清这两种极限的概念．为了正确认识这两种极限之间的关系，首先要掌握这两种极限的概念，清楚理解这两种极限实质性的区别，其次深入研究这两种极限存在性的联系．掌握二重极限与累次极限的概念及其关系有利于研究多元函数微积分及多元函数极限的计算．在本文中还将介绍二重极限与累次极限的关系同样适用于数列中——数列的二重极限与累次极限的关系，在这里的数列是指二重数列，而二重数列可以看成二元函数.2 预备知识（1）二重极限与累次极限的概念定义1 设f 为定义在上的2R D 二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数.若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当D P U P);(0δ∈ 时，都有ε＜A P f -)(.则称f 在D 上当0P P →时以A 为极限，记作 A P f DP P P =∈→)(lim 0. 在对于D P ∈不致产生误解时，也可以简单地写作 ()A P f P P =→0lim .当 0,P P 分别用坐标()y x ,，()00,y x 表示时，上式也常写作 ()()()A y x f y x y x =→,lim00,,.在所研究的极限()()()y x f y x y x ,lim00,,→ 中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于0x ，0y ．这种极限也称为二重极限．定义2 设()x,y f ,()D y x ∈,,D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X ，Y ．即 {}D y x x X ∈=),(,{}D y x y Y ∈=),(.0x ，0y 分别是X ，Y 的聚点．若对每一个()0y y Y y ≠∈，存在极限 ()y x f x x ,lim 0→，它一般与y 有关，故记作 ),(lim )(0y x f y x x →=ϕ，如果进一步还存在极限)(lim 0y L y y ϕ→=，则称此极限L为()y x f ,先对()0x x →，后对()0y y →的累次极限记作 ),(lim lim 00y x f L x x y y →→=.类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限),(lim lim 00y x f K y y x x →→=. （2）二重数列及其极限的定义定义3 用D 来表示下面的点集：{}都是自然数n m n m D ,:),(=. (每个点的坐标都是由两个自然数组成的．)在点集D 上定义的函数()y x f ,， 通常写成数列的形式：),2,1,)(,( ==n m y x f a mn .这叫做二重数列．这种数列也可以写成“无穷阶矩阵”的形式：212222111211m m n n a a a a a a a a当m ,n 以任意的方式无限增大时，这个二重数列的极限定义为 ()y x f y x D y x mna n m ,,lim lim +∞→+∞→∈=∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛3 二重极限与累次极限的关系3.1二重极限与累次极限没有必要的联系累次极限与二重极限是两个独立的不同概念，它们的存在性没有必然的包含关系．由此开始将逐一进行分类并说明二重极限与累次极限没有什么关联． 3.1.1二重极限存在，而两个累次极限不存在 例1 ()()yx y x y x f 1sin 1sin,+= . 解 ()()y x yx y x y x f +≤+=≤1sin 1sin ,0，()()()0lim 0,0,=+→y x y x ，由两边夹定理可知：()()()0,lim0,0,=→y x f y x ，但是，对任意给定的0≠y ，由于01sin 1sin lim 0=→yx x x ，而y x y x 1sin 1sin lim 0→不存在， 所以 ()yx y x x 1sin 1sin lim 0+→ 不存在，即 ()y x f x y ,lim lim 00→→ 不存在，同理，()y x f y x ,lim lim 00→→ 也不存在．由例1发现二重极限的存在并不能保证累次极限的存在． 3.1.2二重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在由例1知道二重极限存在，两个累次极限不存在，但一个二元函数的两个累次极限不一定相等，虽然只是对两个不同变量求极限的次序不同，但结果并不一定总是相等的，有时甚至会出现一个累次极限存在而另一个不存在的情形．例2 函数()x yy x f sin 1,=满足00lim 1sin lim lim 000==→→→x y x x y ，x y x y 1sin lim lim 00→→不存在. 又 01sin →≤y xy ()()()0,0,→y x ，故()()01sin lim 0,0,=→xy y x .3.1.3二重极限与累次极限都不存在以上例1与例2都是说明二重极限存在时，累次极限的存在性无法保证，由下面例3与例4可以看到二重极限与累次极限都可以不存在. 例3 设()xyy x f 1,=，则其在()0,0重极限与累次极限都不存在. 例4 设()xye e y xf yx sin ,-=在()0,0点的累次极限 xy e e y x y x sin lim lim 00-→→不存在，xye e yx x y sin lim lim 00-→→也不存在，即函数()y x f ,的两个累次极限均不存在，当动点()y x ,沿x 轴正向趋于()0,0时，()()xye e yx y x sin lim 0,0,-→不存在，故函数()y x f ,的二重极限也不存在．3.1.4 两个累次极限存在且相等时，二重极限不存在由例5开始说明累次极限的存在也不能保证二重极限的存在性． 例5 ()()()0,0,,22≠+=y x yx xyy x f ，,()y x f ,在()0,0处的两个累次极限都存在且相等，()()0,lim ,lim lim 00==→→→y x f y x f y y x ，再求二重极限，当动点()y x ,沿着直线mx y =而趋于定点()0,0时，由于此时()()21,,mmmx x f y x f +==，因而有()()()22220220,0,11lim lim m mm x mx y x xy x y x mxy +=+=+→→=，这一结果说明动点沿着不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在． 3.1.5 两个累次极限存在且不相等时，二重极限不存在同样的，当两个累次极限结果不同时，也不能保证二重极限的存在性．例6设()222,y x xy y x y x f ++-=，它关于原点的两个累次极限分别为：()11lim lim lim lim 0202200=+=+=+++-→→→→x x x x y x y x y x x x y x . ()11lim lim lim lim 0202200-=-=-=+++-→→→→y yy y y x y x y x x y x y . 当沿斜率不同的直线mx y =，()()0,0,→y x 时，对应的极限值也不同，因此该函数的二重极限不存在．3.2 二重极限与累次极限在一定条件下的联系通过以上的五个情形以及例题，已清楚地了解到累次极限与二重极限之间的存在性并没有什么关联，那么在它们之间是否真的毫无关系可寻的呢？并非如此．定理1 若()y x f ,在点()00,y x 存在重极限 ()()()y x f y x y x ,lim00,,→与累次极限()y x f y y x x ,lim lim 00→→，则它们必相等．由定理1可导出如下两个便于应用的推论．推论1 若累次极限 ()y x f y y x x ,lim lim 00→→，()y x f x x y y ,lim lim 00→→和重极限()()()y x f y x y x ,lim00,,→都存在，则三者相等．推论2 若累次极限()y x f y y x x ,lim lim 00→→ 与 ()y x f x x y y ,lim lim 00→→存在但不相等，则重极限()()()y x f y x y x ,lim00,,→必不存在．但是，定理1保证了在二重极限与其中一个累次极限都存在时，它们必相等，但它们对另一个累次极限的存在性却不能得出什么结论．推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可用于否定重极限的存在性.3.3 利用累次极限求解二重极限求二重极限的方法大致可归纳为如下几种： （1）利用二重极限的“δε-”定义；（2）利用有界变量替换与无穷小量的乘积仍为无穷小量及等价无穷小的代换； （3）利用两边夹定理；（4）利用变量替换，将二重极限转化为已知极限或一元函数极限．本文将重点分析如何利用累次极限求解二重极限．二重极限与累次极限虽然没有必要的联系，但是仍然可以通过累次极限和二重极限的一些关系来求解二重极限．例7 ()()()()().,lim ,0,1sin,0,0,222222y x f y x yx y x y x f y x →≠+++=求 解 先求累次极限，()0,lim lim 00=→→y x f y x ，再利用定义验证也是二重极限的值．事实上，对于任意的()()0,0,≠y x ，都有()()2222221sin 1,y x yx y x y x f +≤++=-，0＞ε∀，取2εδ=，当δ＜＜x 0时，有()()ε＜11sin1,2222-++=-yx y x y x f ，即()()()0,lim 0,0,=→y x f y x ． 3.4 数列的二重极限与累次极限的关系考虑二重数列() ,2,1,=n m a mn ，这个数列的二重极限和累次极限分别表示为mn m a n →∞∞→lim ，mn m n a ∞→∞→lim lim ，mn n m a ∞→∞→lim lim ．已经知道，二重数列可以看成二元函数()() ,2,1,,==n m a n m f mn ，这样就有下面的结论．定理2 假设(1)二重极限mn m a n →∞∞→lim 存在；(2)对于所有充分大的n ，极限mn m a ∞→lim 存在；那么先m 后n 的累次极限一定存在，并且等于二重极限：mn m n mn m a a n ∞→∞→∞→=→∞lim lim lim .说明：关于先n 后m 的累次极限mn n m a ∞→∞→lim lim ，也有类似的结论．定理3 对于数列() ,2,1,=n m a mn .假设 （1）二重极限mn m a n →∞∞→lim 存在；（2）对于所有充分大的n ，极限mn m a ∞→lim 存在；对于所有充分大m ，极限mn n a ∞→lim 也存在；那么两个累次极限都存在，并且都等于二重极限mn m mn n m mn m n a a a n →∞∞→∞→∞→∞→∞→==lim lim lim lim lim .由此就可以看出，二重数列的累次极限与二重极限的关系与上文所提的关系存在相似，所以累次极限与二重极限的关系同样适用于数列中，这也便于记忆和了解累次极限与二重极限的关系．4 结束语在前文中可以知道二重极限与累次极限的存在性彼此不能等价．也就是说，二重极限的存在不能保证累次极限的存在；两个累次极限存在且相等，也不能保证二重极限的存在，更不用说三个极限能相等了．二重数列的极限也符合这样的规律．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2002.[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].上海:同济大学出版社,2004.[3]赵丽琴,白云芬.累次极限与二重极限的关系研究[J].石家庄学院学报,2005,7(3):19-20.[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.[5]戴中元.二重极限与累次极限的联系及应用[J].高等数学研究,2013,16(2):24-27.[6]董建伟.数学分析中的非蕴含关系[J].高师理科学刊,2012,32(2):43-45.[7]许汪涛.关于多元函数极限概念[J].陕西师范大学教育学报,2003,20(3):98-99.[8]齐小忠.浅谈二元函数中六大重要概念间的关系[J].喀什师范学院学报,2013,34(3):24-26.[9]王爱国.二重极限存在的一个充分必要条件[J].襄樊学院学报,2005,26(5):10-11.[10]张雅平.二重极限的几种求法[J].雁北师范学院学报,2005,21(2):65-67.[11]房明磊,许峰.关于二重极限与累次极限的研究[J].吉林教育学院学报,2015,12(2):153-154.[12]张同琦.浅议二元函数重极限与累次极限的关系[J].渭南师范学院学报,2000,12(3):69-70.。