非线性振动及控制作业---李浩

1 1.2136 Q m / K sin(1.25 K / mt 3.1334)
2
3
K / mt 1.8065) K / mt 0.0267)
14.784 Q 0.1080 Q
m / K sin(1.25 m / K sin(1.25

所以，通解为
c c k 2m 2m m
c t 2m c k t 2m m
2
2
x A1es1t A2es2t e
g 10 N / kg ，临界阻尼为

[ A1e
A2e
c k t 2m m
2
k 1.479 / s 。 m
c 0.15 1 ，为小阻尼状态。 Cc
若要振幅衰减至 10%，则有等式 10%，则有
A1 10 ,假设 n 个周期后衰减至 A2
1 j A0 Aj
nTr 2 / 1 2 ln
所以解得： j 2.42s
Tr 2 / d ， d 1 2 n
⑤求原几何坐标表示的稳态响应
1.2136 Q m / K sin(1.25 K / mt 3.1334) x1 0.328 0.737 0.591 1 Q m 0.591 0.328 0.737 14.784 Q m / K sin(1.25 K / mt 1.8065) x2 m K x 0.737 0.591 0.328 3 0.1080 Q m / K sin(1.25 K / mt 0.0267)
相位角：
i arctan(
2i ) 1 i2
1 179 31'59'' 3.1334rad
2 103 30'28'' 1.8605rad
3 1 31'54'' 0.0267rad
6
正则响应：
3 0.1080 Q m / K sin(1.25 K / mt 0.0267)
1
k m
7
0 2
2
5k 2m
1 2 A 1 1
③模态矢量正规化： 由
M r ( A( r ))T MA
( r )
可得：
M1 ( A(1) )T MA(1) 3m
M 2 ( A(2) )T MA(2) 6m
令
( r ) AN ( r ) A / Mr 得
2
]
k c 2m m
所以，临界阻尼系数为 Cc 2 mk 443.62 N s / cm 。 （2）四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数 c 16.8N s / cm ，则等效阻尼 为 c 67.2 N s / cm 。由（1）知，系统的固有频率 n 则易知：
2
3
2 2 2 n 1 0.198K / m ， n 2 1.555K / m ， n 3 3.247 K / m ，
5
n1 0.445 K / m ， n 2 1.247 K / m ， n3 1.802 K / m
求得主阵型为
1.000 1.000 1.000 (2) (3) A 1.802 , A 0.445 , A 1.247 0.555 0.802 2.247
整理写成矩阵形式：
[M][x] [ K ][x] [F(t)]
m 0 其中质量矩阵 M 0 2m
②求固有频率和振型： 由频率方程
2k 0 2 m k k
2k k 刚度矩阵 K k 3k
3k 20 2 m
0
计算得
0 2
0 C3 C3
0 K K
0 2K K3 K K3 0
Q P(t ) Q sin t ， 1.25 K / m Q
②求系统无阻尼时固有频率 n 、主阵型 A 和振型矩阵 P 特征方程为
B K 2 m
展开后，整理得
2 K m 2 K 0
K 2 K m 2 K
0 K K m 2

解得特征值为
2 3
2 K K K 5 2 6 2 0 m m m
解： （1）首先，如图所示，振动系统由质量 m，刚度 k，和阻尼系数 c 三部分 组成，则阻尼力为 cx。取初始静止点为原点，竖直方向为 x 轴，对质量块进行 受力分析，列出运动微分方程如下：
mx mg k st kx cx
化简得：
mx cx kx 0
同时求得并联弹簧的等效刚度为
k 2 m 0 0 K1 UT K U 1 0 0 2 2 0
其中
m 0 0 C1 C2 m 0 m 0 ， C C2 0 0 0 m K1 K 2 K K2 0 K2 K 2 K3 K3
C2 C2 C3 C3
K 2K K
m1 gl 3 系统的振幅为 A ym1 3EI
6. 某 洗 衣 机 机 器 部 分 重 15kN ， 用 四 个 弹 簧 对 称 支 承 ， 每 个 弹 簧 的 刚 度 为 k=820N/cm。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数 cc； (2)这个系统装有四个阻尼缓冲器， 每个阻尼系数 c=16.8N· s/cm。 试问此系统自由 振动时经过多少时间后，振幅衰减到 10%？ (3)衰减振动的周期是多少？ 根据题目画出图形：
第二章
2.有一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方 程，并求出其固有频率
解： 已知题中振动物体的质量是 m， 弹簧常数为 K， 取图中 x 方向为正方向， 质量块静平衡位置为原点。静平衡时： mg sin
k st 。在其他任意时刻，对
物体 m 在 x 位置时受力分析，根据牛顿第二定律可列方程：
0.328 0.737 0.591 1 N 0.591 0.328 0.737 m 0.737 0.591 0.328
④计算正则力、放大因子 Z、相位角 及正则解
Q 1 0.591 Q 0.328 0.737 1 Q Q 2 m 0.591 0.328 0.737 Q sin t Q Q 0.737 0.591 0.328 3
Q 1
放大因子
1.656 0.474 0.182 Q sin t ， Q 2 Q sin t ， Q 3 Q sin t m m m
Zi 1/
1 2
2 2 i i i
2
Z1 0.1451 ， Z 2 48.50 ， Z3 1.9266

5. 如下图所示， 双质量弹簧系统在 m1 上作用一谐波激励 F1sint 。 已知， m1 m ，
m2 2m ， k1 k2 k ， k3 2k ，试用解耦分析法求系统的响应。
解：①由牛顿第二定律建立运动方程：
m1 x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) f1 (t) m2 x2 k3 x2 k2 ( x1 x2 ) f 2 (t)
k k1 k2 k3 k4 4k 3280 N / cm
解此方程，设其解为 x
Aest 带入方程得 ms 2 cs k Aest 0 ，由于
Aest 0 ，所以要使对任意时刻 t 都成立，则 ms 2 cs k =0。
所以，解得
2
s1,2
(1)
系统振型矩阵为
1.000 1.000 1.000 P 1.802 0.445 1.247 2.247 0.802 0.555
③计算正则因子 和正则矩阵 N 由 P m P ,得：
T
1 0.328 / m ， 2 0.737 / m ， 3 0.591/ m
行列式为 0 得频率方程
A1 0 K 2 K3 I 2 2 A2 0 K2
2I 2 4 2KI 2 3K 2 0
2
n1
K GJ p I Il
2
n2
3K 3GJ p I Il
得
1 1 . 5 4 0 s 4， / 2 2.6681/ s 。
3
解：这是一个两自由度扭转振动系统。取两飞轮偏离平衡位置的角位移为 1 和 2 。各轴段扭转刚度分别为 K 1 K 2 K 3 GJ p / l ，对两盘受力分析，列出 振动方程
I11 K11 K2 (2 1 ) I 22 K2 (2 1 ) K32
（3）衰减振动的周期为 Tr
2
n 1 2
0.43s 。
第三章
1.如下图所示， 一根两端固定的轴上装有两个飞轮， 各部分尺寸如图所示(单位为 mm)，飞轮材料之比重为=0.077 (N/cm3)，轴的剪切弹性模量
G 7.8 104 N / mm2 ,试求系统的扭转固有频率。
解：由材料力学的知识可知，系统静平衡时的挠度为：
y ym1 ym 2
m1 gl 3 m2 gl 3 3EI 3EI
1
分析 m2 释放后的情况知，振动系统由质量块 m1 和梁组成，其振动平衡位 置为质量块 m1 的平衡位置，m2 的释放使系统开始振动，所以，系统的振幅为 m1 静平衡的位置，即：
整理得
I11 ( K1 K2 )1 K22 0 I 22 K21 ( K2 K3 )2 0
令飞轮 I1 和 I 2 以同频率同相位做简谐振动，即
1 A1 sin(t )
2 A2 sin(t )
带入化简并整理成矩阵形式
K1 K 2 I1 2 K2
AN (1) A(1) / M1
1 T 1 1 3m 1 T 2 1 6m
AN (2) A(2) / M 2
令 , x Uy
则原方程 [M][x] [ K ][x] [F(t)] 变为 [M1 ][ y] [ K1 ][ y] [F2 (t)] 其中 M1 U T MU I
3.如图所示，已知 k1 k2 k3 k ， m1 m2 m3 m ， P 1 P 2 P 3 P sin t ，
4
1.25
k ，各阶振型阻尼比为 1 2 3 0.01 ，求各质量的稳态响应 。 m
解： ①建立系统的运动方程
mx C x K x P(t )
mx mg sin k st kx
又因为 mg sin
k st ，则
mx kx 0
设其固有频率为 n 则有
2 x Baidu Nhomakorabea n x0
解得其固有频率为： n
k m
g sin
st
4.如下图所示，有一等截面的悬臂梁，其质量不计。在梁的自由端有两个集中质 量 m1 与 m2，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使 m2 突然释放。 试求 m1 的振幅。