知识讲解 带电体在电场中的运动(基础)

物理总复习：带电体在电场中的运动编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、知道带电体在电场中的运动特点；2、会综合力学知识分析带电体在电场中的运动问题；3、会用能量的观点处理带电体在电场中的运动问题。

【考点梳理】考点、带电体在电场中的运动 要点诠释：1、在复合场中的研究方法（1）牛顿运动的定律+运动学公式（2）能量方法：能量守恒定律和功能关系动量方法：动量守恒定律和动量定理2、电场中的功能关系：（1）只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变。

（2）只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。

（3）除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。

（4）电场力做功的计算方法①由公式cos W Fl θ=计算，此公式只在匀强电场中使用，即cos W qEl θ=。

②用公式AB AB W qU =计算，此公式适用于任何形式的静电场。

③静电场中的动能定理：外力做的总功（包括电场力做的功）等于动能的变化。

由动能定理计算电场力做的功。

【典型例题】类型一、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒（1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能 量守恒，即 +PG K P E E E +=电恒定值（2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力 势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。

例1、地球表面附近某区域存在大小为150 N/C 、方向竖直向下的电场．一质量为1.00×10－4 kg 、带电荷量为－1.00×10－7 C 的小球从静止释放，在电场区域内下落10.0 m ．对此过程，该小球的电势能和动能的改变量分别为(重力加速度大小取9.80 m/s 2，忽略空气阻力)( )A ．－1.50×10－4 J 和9.95×10－3 JB ．1.50×10－4 J 和9.95×10－3 JC ．－1.50×10－4 J 和9.65×10－3 JD ．1.50×10－4 J 和9.65×10－3 J【答案】D【解析】本题考查功与能．设小球下落的高度为h ，则电场力做的功W 1＝－qEh ＝－1.5×10－4 J ，电场力做负功，电势能增加，所以电势能增加1.5×10－4 J ；重力做的功W 2＝mgh＝9.8×10－3 J ，合力做的功W ＝ W 1＋ W 2＝9.65×10－3 J ，根据动能定理可知ΔE k ＝W ＝9.65×10－3J ，因此D 项正确．举一反三【变式1】如图所示，a 、b 、c 三条虚线为电场中的等势面，等势面b 的电势为零，且相邻两个等势面间的电势差相等，一个带正电的粒子在A 点时的动能为10J ，在电场力作用下从A 运动到B 速度为零，当这个粒子的动能为7.5J 时，其电势能为（ ）A. 12.5JB. 2.5JC. 0D. －2.5J【答案】D【解析】根据动能定理可知，带电粒子从A 到B ，电场力做功为－10J ，则带电粒子从A 运动到等势面b 时，电场力做功－5J ，粒子在等势面b 时动能为5J ，带电粒子在电场中的电势能和动能之和为5J ，当动能为7.5J 时，其电势能为－2.5J 。

【变式2】图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。

一带正电的点电荷在静电力作用下运动，经过a 、b 点时的动能分别为26eV 和5eV ．当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8eV 时，它的动能应为（ ）A.8eVB. 13eVC. 20eVD. 34eV【答案】C【解析】相邻等势面的电势差相等，电荷在穿过相邻的等势面间时电场力做功相等，动能减少了21eV ，电势能增加了21eV ，即每个等势面间的电势能相差7eV 。

等势面3的电势为0，点势能为零，动能为12eV ，即总能量等于12eV 。

当电势能变为－8eV 时，根据能量的转化和守恒定律，其动能为12(8)20K P E E E eV eV eV =-=--=，故选C 。

这一点在什么地方呢？（在等势面2的左边一点）。

例2、如图所示，在匀强电场中将一带电荷量为+q 、质量为m 的小球以初速度0v 竖直向上抛出，在带电小球由抛出到上升至最大高度的过程中，下列判断正确的是（ ）A.小球的机械能守恒B.小球的电势能增加C.所用的时间为v gD.到达最高点时，速度为零，加速度大于g【思路点拨】运动分析：小球在竖直方向做匀减速运动，在水平方向做匀加速运动。

【答案】C【解析】在带电小球由抛出到上升至最大高度的过程中，电场力方向向右，电场力做正功，动能增大，电势能减小，AB 均错；小球竖直方向只受重力，加速度为重力加速度，到最大高度的时间0v t g=，C 对；到达最高点时，具有水平方向的速度，速度不为零，加速度等于重力加速度与电场力引起的加速度的矢量和，大于重力加速度，D 错。

故选C 。

【总结升华】本题在电场和重力场的复合场中重点考察带电小球的功能关系转化，在学习过程中要明确各种功能关系是解这类问题的关键。

举一反三【变式】如图所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E ，在其上端，一个质量为m ，带电量为+q 的小球由静止下滑，则（ ）A. 小球运动过程中机械能守恒B. 小球经过最低点时速度最大C. 小球在最低点受到的压力 mg qE +D. 小球在最低点受到的压力为3()mg qE +【答案】BD 【解析】小球在重力场和静电场构成的复合场中运动时，重力势能、动能和电势能之和守恒，小球由静止下滑的过程中，电场力做功，电势能发生变化，因此球的机械能不守恒，选项A 错误；带正电的小球在最低点处电势能和重力势能都最小，由能量守恒知，其动能必定最大，速度最大，选项B 正确；对小球运用动能定理 212mgR qER mv +=； 在最低点运用牛顿第二定律 2v N m g q E m R--=解得小球在最低点受到的压力是3()N mg qE =+类型二、等效“重力场”问题例3、如图所示，光滑绝缘半球槽的半径为R ，处在水平向右的匀强电场中，一质量为m 的带电小球从槽的右端A 处无初速沿轨道滑下，滑到最低位置B 时，球对轨道的压力为2mg 。

求：（1）小球受到电场力的大小和方向； （2）带电小球在滑动过程中的最大速度。

【思路点拨】已知球对轨道的压力，即可根据牛顿第二定律结合圆周运动的特点，求出速度，求出电场力。

求最大速度，最大速度的点加速度为零，合力为零，找出最大速度的地方应用动能定理求解。

【答案】（1）12mg ，方向水平向右；（2 【解析】（1）设小球运动到最低位置B 时速度为v ，此时2v N mg m R-=，求得2v gR =设电场力大小为F ，由题意，小球从A 处沿槽滑到最低位置B 的过程中， 设电场力方向向右，根据动能定理212mgR FR mv -= 联立解得12F mg =，电场力为正，所以方向水平向右 （2）小球在滑动过程中最大速度的条件：是小球沿轨道运动到某位置时切向合力为零，设此时小球和圆心间的连线与竖直方向的夹角为θ，如图所示sin cos mg F θθ= 得1tan2θ=，可得sin θ=，cos θ= 小球由A 处到最大速度位置的过程中，应用动能定理211cos (1sin )022m mgR mgR mv θθ--=-解得m v =【总结升华】求速度最大的点，可以设一个角度，求B 点切线方向合力为零，就可求出角度，这点速度最大。

这点不是最低点，所以叫“等效最低点”。

举一反三【变式】如图所示，在竖直平面内，有一半径为R 的绝缘的光滑圆环，圆环处于场强大小为E ，方向水平向右的匀强电场中，圆环上的A 、C 两点处于同一水平面上，B 、D 分别为圆环的最高点和最低点．M 为圆环上的一点，∠MOA=45°．环上穿着一个质量为m ，带电量为+q 的小球，它正在圆环上做圆周运动，已知电场力大小qE 等于重力的大小mg ，且小球经过M 点时球与环之间的相互作用力为零． 求：（1）带电小球在圆环上做圆周运动的最小速度； （2）小球经过A 点时的动能；（3）小球在圆环上做圆周运动的最大速度及位置。

【答案】（1）min 2v gR =（2）32(1)2KA E mgR =-， （3）连接MO 并延长至与圆环的交点P ，max 52v gR =【解析】（1）小球经过M 点时球与环之间的相互作用力为零，M 是等效“最高点”，此时小球的速度最小，重力与电场力的合力提供向心力，已知qE mg =，∠MOA=45°，=2F mg 合，根据牛顿第二定律 2=2Mv F mg m R=合 所以M 点的动能22kM E mgR =最小速度为min 2v gR =. (等效“重力加速度”为2g g '=，则 min 2v g R gR '==)（2）当小球从M 点运动到A 点的过程中，电场力和重力做功分别为2(1c o s 45)(1)2E W m g R m g R =--=-- 2sin 452G W mgR mgR ==根据动能定理22(1)KA KM mgR mgR E E --=- 所以A 点的动能32(1)2KA E mgR =- （3）速度最大点在等效“最低点”，连接MO 并延长至与圆环的交点P 就是等效“最低点”，如图所示。

从M 到P 点（前面已求出的A 、B 、C 、D 的动能都能用，但要保证正确，从B 到P 最简单）根据动能定理 2sin 452cos 45KP KM mg R F R E E +=-解得最大动能为2KP E mgR =，最大速度max v =类型三、电场中的功能关系【高清课堂：带电体在电场中的运动2例4】例4、一个质量为m 的带电量为－q 的物体，可以在水平轨道O x 上运动，轨道O 端有一与轨道垂直的固定墙。

轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E ，方向沿O x 轴正方向。

当物体m 以初速度0v 从0x 点沿x 轴正方向运动时受到轨道大小不变的摩擦力f 的作用，且f Eq <，设物体与墙面碰撞时机械能无损失，且电量不变，求：（1）小物体m 从0x 位置运动至与墙面碰撞时电场力做了多少功？ （2）物体m 停止运动前，它所通过的总路程为多少？【思路点拨】对小物体进行运动过程分析，根据静电场场力做功与路径无关求出小物体所通过的总路程。

【答案】20022mv qEx x f+=【解析】运动过程分析：小物体受到的电场力F Eq =，大小不变，方向指向墙壁；摩擦力的方向总是与小物体运动的方向相反。