数值分析第六章数值积分

Newton-Cotes公式
Newton-Cotes 公式误差公式：
n 为奇数 （节点个数为偶数）
f (n1) ( )
(n 1)!
bn
a (x xk )dx ，代数精度为 n ； k 0
n 为偶数 （节点个数为奇数）
f (n2) ( )
(n 2)!
bn
x
a
(x xk )dx ，代数精度为 n 1。
对应的求积公式为
b
ba
ab
f (x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) : S .
a
6
2
辛普森公式的误差
思考：辛普森公式的代数精度为 3 次？
例：利用辛普森公式求 bx3dx 。 a
解： S b a ( f (a) 4 f ( a b) f (b)) b4 a4 ,
称为
Cotes
系数。
注：
n 1 梯形公式 n 2 辛普森公式 n 3 第二辛普森公式 n 4 Cotes 公式
Newton-Cotes 公式性质：
1. 求积系数和为 (b a) ，Cotes 系数和为 1；
2. 系数是对称的；
3. 当 n 7 时，系数全部为正数；当 n 8 ，系数有正有负。
，
若求积系数全为正数，则| I I | (b a) ，公式是稳定的；
若求积系数有正有负，则| I I | 控制不住，公式不稳定。
因此，高次积分至多用到 7 次。
复化积分公式
高次积分是不稳定的，因此实际当中我们并不用基于等距节点的 高次 Newton-Cotes 积分公式。我们可以利用基于分片多项式插值的数 值积分，从而获得高精度。
b
n 1
f (x)dx
a k 0
xk 1 xk
h n1
f
(x)dx
2
k
(
0
f
( xk
)
f (xk 1)) .
复化梯形公式
复化梯形公式又可以写为：
h n1
h
n 1
Tn
(f 2 k0
(xk )
f
(xk 1))
( f (a) 2
f (b) 2
k 1
f
(xk ))
复化梯形公式误差：
ETn
，
A1
b a
l1(x)dx
1 2
(b
a)
，
对应的求积公式为
b
ba
f (x)dx ( f (a) f (b)) : T .
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
类似地，在两相邻对角线值充分接近时，比如| S1 T1 | ，| C1 S1 | ，| R1 C1 | 充分
小时，即可停止加密过程。
高斯型求积公式
b
n
目标：求数值积分公式 (x) f (x)dx a
Ak f (xk ) ，其中 (x) 为给定的权函数。
k 0
给定插值节点 a x0 x1 xn b ，
12
I
T2n
f
"(2 ) (b a)( h)2
12
2
1 (I 4
Tn ) ，
故
I
T2n
1 3 (T2n
Tn )
。
可以用| T2n Tn | 作为迭代终止条件。
Romberg（龙贝格）积分
该递归算法法是由龙贝格最早发现的，因此以其命名。
从区间逐次分半法可以知道对梯形公式有
I
T2n
1 3
T1
T2
S1
T4
S2
C1
T8
S4
C2
R1
T16
S8
C4
R2
Romberg（龙贝格）算法
问题：什么时候终止加密？（注意：精确积分值 I 是未知的）
以复化梯形公式为例：
I
T2n
T2n Tn 3
.
因此当 |
T2n
Tn
| 充分小时即可停止加密，注意到 |
Sn
Tn
|
4 3
|
T2n
Tn
|
，
| Sn Tn | 可作为迭代终止条件。
6
2
4
而精确积分有
bx3dx
a
1 4
x4
|ba
1 4
(b4
a4 )
。
故辛普森公式有 3 次代数精度!
辛普森公式的误差
E b f (3) ( ) (x a)(x a b)(x b)dx
a 3!
2
b f [x, a, a b ,b](x a)(x a b)(x b)dx
a
2
2
Ak
b
alk (x)dx
bn
x xj
dx
(b
a)
1
a
j0 jk
xk
xj
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
记 Ck(n)
1
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
n
求积公式： In (b a)
C(n) k
f
(
xk
)
.
k 0
注：
Ak
称为求积系数，
C (n) k
dx
a
2
4
f (4) () b (x a)2 (x b)2 dx
4! a
4
(b a)5 f (4) ()
2880
一般的Newton-Cotes公式
h
ba n
， xk
x0
kh ， k
0,1,
, n ， f (x) Ln (x) Rn (x) 。
n
Ln (x) lk (x) f (xk ) ， k 0
(T2n
Tn )
因此，我们可以将近似误差
1 3
(T2n
Tn
)
加到 T2n
以获得精度更高的公
式：
41 T2n 3 T2n 3 Tn .
问题：在剖分 P2n 上，T2n 与 Sn 什么关系？
可以证明：
Sn
T2n
4T2n Tn 4 1
Cn
S2n
42 S2n Sn 42 1
，对应的为复化
Cotes
公式；
注意：C2n
43C2n Cn 43 1
，并不是 n
8 所对应的复化
Newton-Cotes
公式。
记 Rn
: C2n
43C2n Cn 43 1
，称为龙贝格积分。
Romberg（龙贝格）算法
k 区间等分数N 2k 梯形序列 辛普森序列 柯特斯序列 龙贝格序列
0
20
1
21
2
22
3
23
4
24
k 0
Newton-Cotes公式
Newton-Cotes 公式的稳定性：
n
n
设 I Ak f (xk ) ， I Ak ( f (xk ) k ) ，
k 0
k 0
n
n
n
则| I I || Ak k | | Ak ||
k 0
k 0
k|
|
k 0
Ak
| ，这里假设了 max k
|
k |
数值分析第六章数值积分
1
2020/11/26
数值积分的基本概念
数值积分的基本思想：
b
考察 f (x)dx ，若其原函数为 F(x) ，即 F '(x) f (x) ，则 a b
有 I : f (x)dx F (b) F (a) 。 a
困难：在可积函数中能够解析积分的函数相当少，而且即使可 以解析积分，让机器模拟人的思维也比较麻烦。借助于数值方法离 散化后计算积分的近似值，称为数值积分。
b
b
n
b
(x) f (x)dx
a
a
(
x)
Ln
(
x)dx
f (xk )
a
(
x)lk
(
x)dx
k 0
对应的求积公式为
b
n
b
(x) f (x)dx
a
Ak f (xk ) ，其中 Ak
aபைடு நூலகம்
(
x)lk
(
x)dx
。
k 0
而对应的误差为
b
n
(x) f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
左矩形公式，具 0 次代数精度；
b
a f (x)dx (b a) f (b)
右矩形公式，具 0 次代数精度；
b f (x)dx (b a) f ( a b) 中矩形公式，具 1 次代数精度。
a
2
插值型求积公式
插值型求积公式：
想法：给定函数 f (x) ，若 f (x) g(x) ，且 g(x) 积分比较好算，
Sn
h5 2880
n 1 k 0
f
(4)
(k
)
h4 2880
b
n
a
n 1 k 0
f
(4)
(k
)
ba 2880
h4
f
(4)
( )
区间逐次分半法
我们首先来考虑复化梯形公式的递归算法：
具有 n 个子区间的复化梯形公式为
Tn
hn 2
(