吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试数学（理）试题

吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试数学

（理）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 设为虚数单位，则( )

A．B．C．5 D．

2. 集合的子集的个数为( )

A．4 B．7 C．8 D．16

3. 右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：

①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；

②二班成绩不够稳定，波动程度较大；

③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．

其中正确结论的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )

A．6 B．7 C．8 D．9

5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )

A．92，94 B．92，86 C．99，86 D．95，91

6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线

上，则角的取值集合是（）

A．B．

C．D．

7. 已知，，且，则的最小值为

A．8 B．9

C．12 D．16

8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（）

A．立方丈B．立方丈C．立方丈D．立方丈

9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，

，且四棱锥的体积为，则等于（）A．4 B．

D．

C．

10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）

A．求首项为，公比为的等比数列的前项的和

B．求首项为，公比为的等比数列的前项的和

C．求首项为，公比为的等比数列的前项的和

D．求首项为，公比为的等比数列的前项的和

11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（）

A．1 B．2 C．4

D．

12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，

，则函数在区间上所有零点之和为( )

A．B．C．D．

二、填空题

13. 已知角满足，，则的取值范围是__________．

14. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则

_______．

15. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

cos A＝sin A cos C，且a＝，则△ABC面积的最大值为________.

16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为

__________．

三、解答题

17. 已知数列的前项和．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求证：．

18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将

点击量

节数 6 18 12

（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．

（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间

内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．

19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为

的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

20. 已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若

，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．

21. 已知函数，．

（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）证明：．22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角

为，圆以为圆心，3为半径.

（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；

（2）设直线与圆相交于、两点，求.

23. 设不等式的解集为

（1）求集合；

（2）若，证明：．