向量b能由向量组A线性表示

∃ 矩阵 Km×m , 使得
(α1 ,α2 , ,αm ) = (β1 , β2 , , βm )K
(1)若 K 可逆,则α1,α2 , ,αm线性无(相)关 ⇔ β1, β2 , , βm线性无(相)关。
(2)若 K 不可逆，则α1,α2 ,
,α
必线性相关。
m
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六、线性相关性与向量组的关系
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵 . 由 E = 1 ≠ 0，知R(E ) = n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理 2知此 向量组是线性无关的 .
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例5 已知
k1α1 + k2α 2 + + kmα m = 0
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
λ1 =
1. 若 α 1 ,α 2 , ,α n线性无关 ,则只有当 = λn = 0时, 才有 λ1α 1 + λ 2α 2 + + λ nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 ,不是线 性无关就是
α1
=
⎜⎛ ⎜
11⎞⎟⎟，α
2
=
⎜⎛ ⎜
0 2
⎟⎟⎞，α
3
=
⎜⎛ ⎜
2 4
⎞⎟⎟，
⎜⎝ 1 ⎠⎟
⎜⎝ 5⎟⎠
⎜⎝ 7⎠⎟
试讨论向量组 α1，α 2，α 3及α1，α 2的线性相关性 .
分析
对A=(α1，α 2，α3）变成行阶梯形矩阵, 可以看出矩阵（α1，α 2，α3）及（α1，α 2）的秩，
利 用 定 理 2即 可 得 出 结 论.
若n < m,则R( A) ≤ n < m,
故m个向量α1,α2 , ,αm线性相关 .
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(4) 设向量组 A : α1 ,α 2 , ,α m线性无关 ,而B : α1 , ,α m , b
线性相关 ,则向量 b 必能由向量组 A线性表示 , 且表示式 是唯一的 .
证明 记 A = (α1 ,α2 , ,αm ), B = (α1,α2 , ,αm , b) , 有 R( A) ≤ R(B) ≤ R( A) + 1
r
~
⎜⎛ 1 ⎜0
0 2
2 2
⎟⎟⎞，
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
所以,R(α1
,α
2
,α
3
)
=
2，向量组α1
,α
2
,α
线性相关；
3
R(α1 ,α2 ) = 2,向量组α1 ,α2线性无关.
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例6 已知向量组α1,α2 ,α3 线性无关 , b1 = α1 + α2 , b2 = α2 + α3, b3 = α3 + α1, 试证b1, b2 , b3线性无关 .
x1α 1 + x2α 2 + + xmα m = 0,即 Ax = 0 有非零解 . 其中 A = (α 1 ,α 2 , α m ).
而 : m 元齐次线性方程组 Ax = o 有非零解 ⇔ R( A) < m m 元齐次线性方程组 Ax = o 只有零解 ⇔ R( A) = m
所以:
定理2 向量组α1,α2 ,
有非零解
1
.
+ x2α 2
其中 A
+ =
+ xmα m = 0,即 (α 1 ,α 2 , α m ).
Ax
=
0
而 : m 元齐次线性方程组 Ax = o 有非零解 ⇔ R( A) < m
m 元齐次线性方程组 Ax = o 只有零解 ⇔ R( A) = m
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结论 向量组 A线性相关就是齐次线性 方程组
3
)⎜⎜⎝⎛
1 1 0
0 1 1
110 ⎟⎟⎠⎞
矩阵的秩
记作B = AK， 而 | K |= 2 ≠ 0，K 可逆
故R(b1,b2 ,b3 ) = R(α1,α2 ,α3 ) = 3
因而 b1,b2 ,b3 线性无关。
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五、线性相关与矩阵相乘关系
"结论
若对于两个 n 维向量组α1,α2 , ,αm与β1, β2 , , βm
则有不全为0的数 k1 , k2 , , km , 使
k1α1 + k2α 2 + + kmα m = 0.
因k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0，
不妨设 k1 ≠ 0,则有
α1
=
⎜⎛ − ⎝
k2 k1
⎟⎞α
⎠
2
+
⎜⎛ − ⎝
k3 k1
⎟⎞α
⎠
3
+
+
⎜⎛ ⎝
−
km k1
⎟⎞α
⎠
m
.
即 α1 能由其余向量线性表示.
,α
线性相关
m
⇔
R(
A)
<
m,
相关性 其中A = (α1,α2 , ,αm );
秩的判 定定理
向量组α1,α2 ,
,α
线性无关
m
⇔
R( A)
=
m.
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四、线性相关例子
例4 n 维向量组
e1 = (1,0, ,0)T ,e2 = (0,1, ,0)T , ，en = (0,0, ,1)T
(b1
,
b2
,
b3
)
=
(α1
,α
2
,α
3
)⎜⎜⎝⎛
1 1 0
0 1 1
1 0 1
⎟⎞ ⎟⎠
解法
记作B = AK，设 Bx = o，即 A(Kx) = o
由于 α1,α2 ,α3 线性无关 , 故 R( A) = 3，即 Ay = o 只有零解。
∴ Kx = o，而 | K |= 2 ≠ 0，故Kx = o只有零解，∴ x = o
(2) 反证法，若α4能由α1,α2 ,α3线性表示， 则由 α1 能由α2 ,α3线性表示可知， α4能由α2 ,α3线性表示，
与已知向量组α2 ,α3 ,α4线性无关矛盾， 故假设错误， 即α4不能由α1,α2 ,α3线性表示。
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补例1
设 A 为 n 阶方阵，且 | A |= 0，则（ 3 ） (1)A 中必有两列（行）元素对应成比例； (2)A 中任一列（行）向量是其余列（行）向量的
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思考题解答
证明
（３）充分性
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例5 已知
α1
=
⎜⎛ ⎜
1 1
⎞⎟⎟，α
2
=
⎜⎛ ⎜
0 2
⎟⎟⎞，α
3
=
⎜⎛ ⎜
2 4
⎟⎟⎞，
⎜⎝ 1 ⎠⎟
⎜⎝ 5⎟⎠
⎜⎝ 7⎟⎠
试讨论向量组 α1，α 2，α 3及α1，α 2的线性相关性 .
解 ⎜⎛1 0 2⎟⎞
(α1 ,α 2 ,α 3 ) = ⎜1 2 4⎟
⎜⎝1 5 7⎟⎠
k1α 1
+
k
α
2
2
+
+
k
α
m
m
=
0.
只有零解 ⇔ k1 = k2 = = km = 0. 有非零解 ⇔ k1, k2 , , km不全为0.
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§4.2 向量组的线性相关性
一、定义 给定向量组A :α1 ,α 2 , ,α m ,如果存在不
全为零的数k1 , k2 , , km使
证法(一) 设有x1 , x2 , x3使
x1b1 + x2b2 + x3b3 = 0
即 x（1 α1 + α 2）+ x2 (α 2 + α 3 ) + x3 (α 3 + α1 ) = 0,
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
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例7
设向量组α1,α2 ,α3线性相关，向量组 α2 ,α3 ,α4线性无关，证明 (1) α1能由 α2 ,α3 线性表示； (2)α4不能由α1,α2 ,α3线性表示。
证明
(1) 由于向量组α2 ,α3 ,α4线性无关，故 α2 ,α3 线性无关，
而向量组α1,α2 ,α3线性相关，故α1能由 α2 ,α3 线性表示。
因
α
1，α
2，α
线性无关，故有
3
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
⎪⎩ x2 + x3 = 0.
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⎧ ⎪ ⎨
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
⎪⎩ x2 + x3 = 0.
定义法
由于此方程组的系数行 列式
1 01 1 1 0 =2≠0 011
即 B 的列向量组 b1,b2 ,b3 线性无关。
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例6 已知向量组α1,α2 ,α3 线性无关 , b1 = α1 + α2 , b2 = α2 + α3, b3 = α3 + α1, 试证b1, b2 , b3线性无关 .
(三) 由已知可得
(b1
,
b2
,
b3
)
=
(α1
,α
2
,α
而 R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,
因此,向量组B线性相关 .
部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
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（3）m 个 n维向量组成的向量组， 当维数 n 小于向量 个数 m 时一定线性相关 。特别的 n + 1 个 n 维向 量必线性相关。
证明
m 个 n 维向量 α1,α2 , ,αm 构成矩阵 An×m = (α1,α2 , ,αm )，
证毕.
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三、线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某方程是其余方程的线性组合,那么, 这个方程就是多余的，则称方程组（各个方程）是线性相关的；
方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关 （或线性独立）.
方程组解
向量组 A线性相关就是齐次线性 方程组
与相Hale Waihona Puke Baidu性
结论
x1α
即有 am = λ1α1 + λ2α 2 + λ α + m−1 m−1
故 λ1α1 + λ2α 2 + + λ α m−1 m−1 + (− 1)am = 0
因 λ1 , λ2 , , λm−1 , (− 1) 这 m 个数不全为0，
故 α1,α2, ,αm 线性相关.
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必要性 设 α1 ,α 2 , ,α m 线性相关，
线性相关 .
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3.向量组只包含一个向量 α 时,若α = 0则说 α 线性相关 ,若α ≠ 0,则说 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向 量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，
几何意义是两向量共线； 三个向量相关的几何意义是三向量共面.
因A组线性无关，有 R( A) = m ; 所以 m ≤ R(B) ≤ m + 1，
因B组线性相关，有 R(B) < m + 1。即有R(B) = m.
由R( A) = R(B) = m,知方程组 (α1,α2 , ,αm )x = b有唯一解，
即向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯 一.
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定理1
复
⇔ Ax = b 有解 ⇔ R( A) = R( A, b),
向量b能由向量组A线性表示
⇔⇔ 习 定理2 方程 AX = B 有解 R( A) = R( A, B) 向量组 B : β1, β2 , , βl 可由向量组 A :α1,α2 , ,αm 线性表示
问题 Ax=0只有零解可有非零解，怎么用向量组说明？
线性组合； (3)A 中有一列（行）向量是其余列（行）向量的
线性组合； (4)A 中至少有一列（行）的元素全为零。
"结论 n 阶方阵A可逆的充要条件为A的列（行）向量组 线性无关。
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七、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）
定理5 (1) 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
(2) 若 向量组 A：α1,α2 , ,αm 线性相关 ,则 向量组 B : α1, ,αm ,αm+1 也线性相关 .反言之 , 若向量组
B 线性无关 ,则 向量组 A也线性无关 .
证明 记A = (a1, ,am ), B = (a1, ,am ,am+1 )， 若向量组A线性相关 ,则有R( A) < m，
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
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思考题
试证明 :
(1) 一个向量 α 线性相关的充要条件是 α = 0； (2) 一个向量 α 线性无关的充要条件是 α ≠ 0； (3) 两个向量 α，β 线性相关的充要条件是
α = kβ或者β = kα ,两式不一定同时成立 .
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二、线性相关与线性表示的关系
定理 向量组α1,α2, ,α（m 当 m ≥ 2时）线性相关
的充分必要条件是α1 ,α 2 , ,α m 中至少有一个向
量可由其余 m − 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示.
故方程只有零解 x1 = x2 = x3 = 0， 所以 向量b1,b2 ,b3 性
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例6 已知向量组α1,α2 ,α3 线性无关 , b1 = α1 + α2 , b2 = α2 + α3, b3 = α3 + α1, 试证b1, b2 , b3线性无关 .
(二) 由已知可得
方程零