向量b能由向量组A线性表示
向量组的线性相关性
例：设矩阵
2 1 1 1 2
A
1
1
2
1
4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
求矩阵 的列向量的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表
示。
解：对 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
1 1 2 1 4
A
r
~
0
定义 3：
向量组等价：设有两个向量组 A : a1, a2 ,L , am 及 B : b1, b2 ,L , bl 若 B 组中的每个向量都能 由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能
相互线性表示，则称这两个向量组等价。
定理 2：向量组 B : b1, b2 ,L , bl 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条件是矩阵
性无关。
定理 5：
（1）若向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性相关，则向量组 B : a1, a2 ,L , am , am1 也线性相关。 反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。
（2） m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关。特别地， n 1个 n 向量线性相关。
例 ： 设 n 维 向 量 组 A : a1, a2 ,L , am 构 成 n m 矩 阵 A a1,a2,L ,an ， n 阶 单 位 矩 阵 E e1,e2,L ,en 的列向量叫做 n 维单位坐标向量。
证明： n 维单位坐标向量组 e1, e2 ,L , en 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条 件是 R(A) n .
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
向量组的线性相关性
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
第四章3 向量组的秩1
a 证明向量组 1 , a2
b1 , 与 b2 , b3
等价.
证明 记 a , a , B b , b , b ，根 A 1 2 1 2 3 据定理 1的推论，只要证 R A R B R A, B , 为此 A, B 把矩阵 化成阶梯形式：
1 1 A, B 1 1 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2 2 2 1 0 1 1 r 0 4 0 2 1 1 1 1 1 0 2 3 3 3 3 1 2 0 0 6
1 2 即 b3 b1 b2 , 3 3 8 7 1 b5 b1 b2 b4 , 9 18 6 而对矩阵的初等行变换并不改变矩阵的列向 量组之间的线性关系，因此，对应地有 1 2 a3 a1 a2 , 3 3 8 7 1 a5 a1 a2 a4 . 9 18 6
容易看出矩阵B中有不等于0 的2 阶子式， 故
R B 2 R B R A, B 2, 又 R R 于是知 B 2 . 因此A R B R A, B , a b1 , 从而向量组 1 , a2 与 b2 , b3 等价.
1 r 0 0 0
一个最大无关组，称数 r 为向量组 A 的秩．
（2）向量组 A 中的任意 r 1 个向量均线性相关，
定义3 向量组的最大无关组所含向量的个数称
为该向量组的秩． 例1 只含零向量的向量组没有最大无关组，
规定它的秩为零．
例2
n 维向量的全体组成的集合记作 R 则 n 维单位坐标向量 e1 , e2 ,, en
无关向量组（简称最大无关组）．
定理2
设有向量组 A :
a1 , a2 ,, as ;
线性代数4-3
那么称向量组A0 是向量组 A 的一个最大线性无关 向量组 （简称最大无关组） ; 最大无关组所含向量个 数 r 称为向量组A 的秩，记作 A 。 R 只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定它 的秩 为0。
1
矩 阵 的 秩 与 向 量 组 秩 的 关 系
定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于
a1 a2 a3 a4 a5
2 4 4 9
~
1 r 0 0 0
b1 b2 b3 b4 b5
0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
易知 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x5 o 与 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 b5 x5 o 同解, 故 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有完全相同的线性关系
证一 设向量组 A 与向量组B 合成向量组C，
因为B能由A线性表示, 故 RA RC ,
而 RA RB , 故 RA RB RC ,
由定理 2 的推论可知，A 组与 B 组等价。
11
例2 设向量组 B 能由向量组A 线性表示 且它们的 ,
秩相等，证明向量组 与向量组 B 等价. A 证二 设两个向量组的秩都为，并设 A 组和 B 组的 r
说明
最大无关组不唯一; 若向量组 A 的秩为 r , 则 A 中任意 r 个线性无关的 向量都是A的一个最大无关组.
3
例1
全体 n 维向量构成的向量组记 R ，求 R 的 作
n n n
一个最大无关组及 的秩. R
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组
E : e1 , e2 , , en 是线性无关的， 知 R n 中的任意n 1 个向量都 又
第11讲 向量组的线性相关性
例
小结
一 相关性的定义： 相关，无关 二 相关性的判别
｛
定义判别 定理判别
几个特殊定理
三 一个结论
1
A 为方阵
k 2 2
1 1 1
1
1
2 2 k (k 4) 2 2 k ( k 4) 0 0 k 2 0 2 k 2 0 k 2 0 2 k 2
k1 4, k2 2
3、几种特殊的判定定理 （1）向量组含有零向量
相关 相关
P90 定理5
（2) 向量组里有两个向量成比例
1 0 0 0 2 1 0 0 4 1 0 0
1 2 4 0 5 5 0 3 3 ~ 0 9 9
R(A) 2 3
向量组 1， 2， 3 线性相关
例3 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
1 0 2 a1 1 , a2 2 , a3 4 , 1 5 7
k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 4 ) k4 ( 4 1 ) O
(k1 k4 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 (k3 k4 ) 4 O
k1 k4 取 k1 k 2 k2 k3 k 3 k4 0 k k k k 1 2 3 4 0 k1 ,k2 ,k3 ,k4 可以不全为零 0 0 故：向量组 b1，b 2，b 3 线性相关
1 例3 给定向量组: 1 2 3
0 2 1 2 3 3 及向量 4 k
b
1 1 5
问：k为何值时，(1) b 能由α1, α2, α3 线性表示? (2) b 不能由α1, α2, α3 线性表示?
向量的线性相关性
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
a1 x1 a 2 x 2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ，对于任何一
向量 组实数 k 1， k 2， , k m ， k 1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个
向量 b 能
即线性方程组 x 1 1 x 2 2 x m m b 有解 .
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b )的秩 .
定义２ 设有两个向量组
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22 am2
设矩阵 A 经初等行变换变成 向量都是 A 的行向量组的线性组合 组能由 A 的行向量组线性表示 可知， A 的行向量组能由 于是 A 的行向量组与
, 则只有当
1 n 0时 , 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 线性相关 . , 不是线 性无关就是
3. 向量组只包含一个向量
时 , 若 0 则说
.
线性相关 , 若 0 , 则说 线性无关
（ b1 , b 2 , , b s ) 1 , 2 , , m （
向量组的线性相关与线性无关
1 2 4 0 5 5 0 3 3 0 9 9
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 ， 0 0
r(A) =(a1 a2 am)秩2<3 （向量的个数） ，
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
判定定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例2．判断向量组 A: a1(1, 2, 0, 1)，a 2(1, 3, 0, 1)， a 3(1, 1, 1, 0)是否线性相关。
∴此向量组 线性相关
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判定向量组线性相关与线性无关的步骤：
a11 a12 a 设n个m维向量组 A： a1 ， 2 a 1m
a21 a22 a ， ， n a2m
an1 an2 anm
（1）比较向量组 A的个数n与向量的维数m
①当n＞m时，向量组 A线性相关（如例6）
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
11
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推论1：设n个n维向量为 a11 a12 a21 a22 a1 a a ， 2 ， ， n an1 an2
1 0 0 k1 0 若 k1e1 k2 e2 k3 e3 k1 0 k2 1 k3 0 k2 0 0 0 1 k 0 3
＝0，线性相关 （2）当n=m时，计算行列式|A| =| a1 a2 an | ≠0，线性无关 （如例4，例5） ＜ n ，线性相关 （3）当n＜m时，计算r(A)=秩（ a1 a2 an ） ＝ n ，线性无关 （如例1,例2,例3 ）
第三节 向量组的秩
例 3 设矩阵
A
2 1 4
1 1 6
1 2 2
1 1 2
42 4
3 6 9 7 9
求 矩 阵A的 列 向 量 组 的 一 个 最 大无 关 组 ， 并 把 不 属 最 大 无 关 组 的 列 向 量用 最 大 无 关 组 线 性 表 示.
记 A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 )
1 0
,
a2
3 5
,
a3
0 1
,
a4
0 0
,
a5
2 1
,
a6
12 71
1
4
1
1
2
29
证 明 ：a1 , a3 , a4是 向 量 组A的 一 个 最 大 无 关 组.
证明
�1 0 0�
Q A (a1,a3,a4) ����10
1 1
0 1
����ﾣ
1 0
0 1
0 0
2. 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
3. 关于向量组秩的一些结论： 定理 8 、推论 3 、推论 4 ．
4. 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
第三节 向量组的秩
一、向量组的等价
设有两个向量组A :1,2 ,,m;B : b1,b2 ,,bs .
B能由A线性表示，即对每个向量bj ( j 1,2,, s)存
在数k1 j , k2 j ,kmj ,使
b1 b2 bs
k111 k121
k1s1
(b1 ,
k212 k222 k2s2
b2,,bs )
向量组的线性表示
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
二、向量组的线性表示与等价
2.1、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij)mn
1 1,b2
1 2
,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1,2, ,m,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 , , m )
,
a2
1 2
,
a3
1
0
,
a4
0
1
向量组A的一个线性组合：2a1
3a2
a3
a4
2 11
3
1 2
1
0
0 1
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2，
,
，使
m
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b 能 由向量组 A 线性表示．
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
第讲向量组的秩
R(A) =R(A,B)
R(B) R( A)
向量组 B 与向量组A 等价（P83定义）
R(A) =R(A,B)=R(B)
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关（P87定义） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关（P87定义）
R(A) < m R(A) = m
1
1
5
例 设:
R (α1, α2, α3) = R (b1, b2 )
=R (α1, α2, α3 b1, b2 )
向量组1,2 ,3线性相关
R(A) < 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 < 向量个数
向量组1,
2
,
线性无关
3
R(A) = 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 = 向量个数
r 1, ..., m , ......
A
(2) A中的任一个向量都能由部分组A0线性表示 则称部分组A0为向量组A的一个最大无关组。
2 向量组A的秩： RA 最大无关组所含向量的个数
=r
向量组 A 与其最大无关组 A0 关系？
P83定义3
向量组B：b1, b2, …, bl
相互线性表示
向量组A： α1, α2, … αm 等价（P83定义3）
线性表示 其中向量组为：
2
1
1 4
3
或
1
2
1 6
6
1
3
2
2
9
1
4
1
2
7
2
5
4
4
9
1 2 1 4 3 2 1 1 6 6 3 1 2 2 9 4 1 1 2 7 5 2 4 4 9
线性代数课后习题解答第四章习题详解
第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+. 解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a . 解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T)4,3,2,1(=3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示. (2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10．举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.(2) 若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立, 则m a a ,,1线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3) 若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4) 若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使.0 ,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a , 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为 0)()(111=++++m m m b a b a λλ取 m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 . 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m ααα , 取m b b ,,1 为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是m ααα,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.11．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关. 证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=; 212x x k +=; 323x x k +=; 434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关. (2) 若4321,,,a a a a 线性无关, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001= 知此齐次方程存在非零解. 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.12．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解. 则021====r k k k . 所以r b b b ,,,21 线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T Ta a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14011313021512012211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛531053103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------222001512015120122114323~rr r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关.证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关. 不妨设:nnn n n n nn n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T Tnn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e ee 2121222211121121两边取行列式，得T n T T nn n n n nTnTTa a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121= 由 002121≠⇒≠T nT T T n T T a a a e e e 即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n . 故n a a a ,,,21 线性无关.17．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++= 22112222121212121111故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a aa εεε2121222211121121 两边取行列式，得 TnTTnn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由 0021222211121121≠⇒≠nnn n nn T n T T k k k k k k k k k a a a令 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211 . 由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n T T T n T TT n T T T n T Ta a a A A a a a εεεεεε 212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由16题知n a a a ,,,21 线性无关.18. 设向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.证明 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅,λm , 使λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0,而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使λk ≠0, λk +1=λk +2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm =0,于是λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk a k =0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。
向量b能由向量组A线性表示
(二)
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (α 1 ,α 2 ,α 3 ) 1 1 0 0 1 1 记作 B = AK， Bx = o，即 A( Kx ) = o 设
方程零 解法
由于 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关 , 故 R( A) = 3， Ay = o 只有零解。 即
, βm
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六、线性相关性与向量组的关系 定理5 (1) 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
(2) 若 向量组 A： α 1 , α 2 , B : α1 , ,α m 线性相关 , 则 向量组 ,α m ,α m + 1 也线性相关 .反言之 , 若向量组
, am ), B = (a1 , , am , am + 1 )，
则由 α 1 能由 α 2 ,α 3线性表示可知， α 4能由 α 2 ,α 3线性表示，
而 ∴ Kx = o， | K |= 2 ≠ 0，故Kx = o只有零解，∴ x = o
即 B 的列向量组 b1 , b2 , b3 线性无关。
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例6
已知向量组α1 , α 2 , α 3 线性无关 , b1 = α1 3 , b3 = α 3 + α1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
a m）
因 λ1 , λ 2 , , λ m 1 , ( 1) 这 m 个数不全为0， 故 α1 ,α2 , ,αm 线性相关.
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λ1α 1 + λ 2α 2 +
+ λ m 1α m 1 + ( 1)a m = 0
线性代数同济大学第五版课件4-2
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由于此方程组的系数行 式 列 1 1 0 0 1 1 1 0 20 1
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证法二 利用矩阵秩的性质证R(B) = 3 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) (a1 , a2 , a3 ) 1 1 0 , 0 1 1
记作 B = AK . 因 |K| = 2 0，知 K 可逆，根据
上章所述
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定理 4 向量组 a1 , a2 , · , am 线性相关的充 · ·
要条件是它所构成的矩阵 A = (a1 , a2 , · , am) 的秩 · · 小于向量的个数 m ; 向量组线性无关的充要条件 是 R(A) = m. 证明 向量组 A 线性相关, 等价于齐次线性 方程组 x1a1 + x2a2 + · + xmam = 0, 即 Ax = 0 · ·
称为 n 维单位坐标向量组 , 试讨论它的线性相关
性.
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解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
E = (e1 , e2 , · , en) · ·
是 n 阶单位矩阵. 由 |E| = 1 0, 知 R(E) = n , 即
R(E) 等于向量组中向量的个数, 故由定理 4 向量组
知此向量组线性无关.
解 分析
对 矩 阵 （ 1，a 2，a 3） ， 施 行 初 等 行 变 换 变 a 成 行 阶 梯 形 矩 阵可 同 时 看 出 矩 阵 （1，a 2，a 3） , a 及 （a 1，a 2） 的 秩 ， 利 用 定 理即 可 得 出 结 论 4 .
线代7
18
二、线性相关与齐次方程组的联系
向量a1,a2,…,am同上所设，则
k1a1 k2a2 km am 0
a11k1 a12k2 a1m km 0 a k a k a k 0 可表为 21 1 22 2 2m m an1k1 an 2 k2 anm km 0
线性无关的充要条件是a0。
4、两个向量a,b线性相关的充要条件是a,b的 对应分量成比例；线性无关的充要条件是对应 分量不成比例。
23
5、向量组A：a1,a2,…,am∈Rn线性相关的充要
条件是A中至少有一个向量可由其余r-1个向
量线性表示。 6、 m个n维向量组成的向量组，当n<m时一定 线性相关；特别地，n+1个n维向量必线性相关。 证明：设有向量a1,a2,…,am，矩阵A=(a1,a2,…,am) 当n<m时，R(A)≤n<m，向量a1,a2,…,am 线性相关。
则
b k1a1 k2a2 km am
a11k1 a12 k2 a1m km b1 a k a k a k b 21 1 22 2 2m m 2 有解。 表示 an1k1 an 2 k2 anm km bn
一概念与线性方程组的联系。
★ 理解向量组能由向量组线性表示的概念及 其矩阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联
系。知道两个向量组等价的概念；
★ 理解向量组线性相关、线性无关的概念， 并熟悉这一概念与齐次线性方程组的联系。
3
§4.1 向量组及其线性组合 一、向量的概念
定义1：由n个数a1,a2,…,an组成的有序数组称为n
向量组的线性相关性
3 1
,
4线1性,表21示 ？
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,amx M 2aM 21 aM 22 L
a2mx2 M M
xm an1 an2 L anmxm
l l l b 1 a 12 a 2 L m a m
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm1 cm2 L cmn am1 am2 L amlbl1 bl2 L bln
1 1 1 1 1 0 3 2
(A,b)1 2 1 0~r 0 1 2 1 2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
3x3 2 x2 2x3 1
3 2 3c2
通解为
x c
2 1
2c1
1 0 c
所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
2. 增广矩阵的形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
向量组b可由向量组a线性表示则r a和rb的关系式
向量组b可由向量组a线性表示则r a和rb的关系式
向量组可以用来分析多维数据，是数学中重要的概念。
它们在力学，热学和弹性等各个领域都有重要的应用。
在数学中，向量组可以表示为有限个向量的线性组合，它们之间存在一定的关系。
假设现有两个向量组，a和b，b可以由a表示出来，则a与b之间存在一个向量乘数矩阵r，ra=b，可以表示b中的每一个向量可以由a中的向量的线性组合而成。
首先，ra即a中的每一个向量与系数矩阵r相乘，结果即为b中的每一个向量，比如说，系数矩阵r=[2,3]，a=[3,4]，由ra=b，可以得出b=[6, 12]。
以此类推，a和b两个向量组之间的关系式可以简写为： ra=b。
由此可见，系数矩阵r的作用是者它是将a中的每一个向量映射到b中的每一个向量，而这种映射是通过一系列的线性组合实现的。
在使用向量组时，需要明确它们之间的关系式，这样才能更好地理解它们之间的联系。
第一节 向量组及其线性组合4-1
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= ⋮ T β m
线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = bm .
一、 n 维向量的概念
定义1 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 ,⋯ , an 所组成的数 维向量， 个分量， 组称为 n维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量，
第i个数a i 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为实数的向量称为实向量， 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
⋯ k1 s ⋯ k2 s ⋮ ⋯ k ms
矩阵K m × s = ( k ij )称为这一线性表示的系 数矩阵 .
由：AK = B有解 ⇔ R ( A ) = R ( A, B )
定理2 向量组B：b1 , b2 ,⋯ , bl能由向量组A： a1 , a2 ,⋯ am线性表示的充分必要条件是矩阵 矩阵 ( A, B ) = ( a1 , a2 ,⋯ am , b1 , b2 ,⋯ , bl )的秩， A = ( a1 , a2 ,⋯ am )的秩等于
3α－β ＝
−1 1 −3 1 −4 3 0 − 1 = 0 − 1 = −1. 1 0 3 0 3
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故m个向量α1,α2 , ,αm线性相关 .
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(4) 设向量组 A : α1 ,α 2 , ,α m线性无关 ,而B : α1 , ,α m , b
线性相关 ,则向量 b 必能由向量组 A线性表示 , 且表示式 是唯一的 .
证明 记 A = (α1 ,α2 , ,αm ), B = (α1,α2 , ,αm , b) , 有 R( A) ≤ R(B) ≤ R( A) + 1
r
~
⎜⎛ 1 ⎜0
0 2
2 2
⎟⎟⎞，
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
所以,R(α1
,α
2
,α
3
)
=
2，向量组α1
,α
2
,α
线性相关；
3
R(α1 ,α2 ) = 2,向量组α1 ,α2线性无关.
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例6 已知向量组α1,α2 ,α3 线性无关 , b1 = α1 + α2 , b2 = α2 + α3, b3 = α3 + α1, 试证b1, b2 , b3线性无关 .
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
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思考题
试证明 :
(1) 一个向量 α 线性相关的充要条件是 α = 0； (2) 一个向量 α 线性无关的充要条件是 α ≠ 0； (3) 两个向量 α，β 线性相关的充要条件是
α = kβ或者β = kα ,两式不一定同时成立 .
3
)⎜⎜⎝⎛
1 1 0
0 1 1
110 ⎟⎟⎠⎞
矩阵的秩
记作B = AK， 而 | K |= 2 ≠ 0，K 可逆
故R(b1,b2 ,b3 ) = R(α1,α2 ,α3 ) = 3
因而 b1,b2 ,b3 线性无关。
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五、线性相关与矩阵相乘关系
"结论
若对于两个 n 维向量组α1,α2 , ,αm与β1, β2 , , βm
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例5 已知
α1
=
⎜⎛ ⎜
1 1
⎞⎟⎟，α
2
=
⎜⎛ ⎜
0 2
⎟⎟⎞，α
3
=
⎜⎛ ⎜
2 4
⎟⎟⎞，
⎜⎝ 1 ⎠⎟
⎜⎝ 5⎟⎠
⎜⎝ 7⎟⎠
试讨论向量组 α1，α 2，α 3及α1，α 2的线性相关性 .
解 ⎜⎛1 0 2⎟⎞
(α1 ,α 2 ,α 3 ) = ⎜1 2 4⎟
⎜⎝1 5 7⎟⎠
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二、线性相关与线性表示的关系
定理 向量组α1,α2, ,α（m 当 m ≥ 2时）线性相关
的充分必要条件是α1 ,α 2 , ,α m 中至少有一个向
量可由其余 m − 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示.
因A组线性无关，有 R( A) = m ; 所以 m ≤ R(B) ≤ m + 1，
因B组线性相关，有 R(B) < m + 1。即有R(B) = m.
由R( A) = R(B) = m,知方程组 (α1,α2 , ,αm )x = b有唯一解，
即向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯 一.
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(2) 反证法，若α4能由α1,α2 ,α3线性表示， 则由 α1 能由α2 ,α3线性表示可知， α4能由α2 ,α3线性表示，
与已知向量组α2 ,α3 ,α4线性无关矛盾， 故假设错误， 即α4不能由α1,α2 ,α3线性表示。
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补例1
设 A 为 n 阶方阵，且 | A |= 0，则（ 3 ） (1)A 中必有两列（行）元素对应成比例； (2)A 中任一列（行）向量是其余列（行）向量的
故方程只有零解 x1 = x2 = x3 = 0， 所以 向量b1,b2 ,b3 性
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例6 已知向量组α1,α2 ,α3 线性无关 , b1 = α1 + α2 , b2 = α2 + α3, b3 = α3 + α1, 试证b1, b2 , b3线性无关 .
(二) 由已知可得
方程零
∃ 矩阵 Km×m , 使得
(α1 ,α2 , ,αm ) = (β1 , β2 , , βm )K
(1)若 K 可逆,则α1,α2 , ,αm线性无(相)关 ⇔ β1, β2 , , βm线性无(相)关。
(2)若 K 不可逆，则α1,α2 ,
,α
必线性相关。
m
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六、线性相关性与向量组的关系
线性相关 .
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3.向量组只包含一个向量 α 时,若α = 0则说 α 线性相关 ,若α ≠ 0,则说 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向 量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，
几何意义是两向量共线； 三个向量相关的几何意义是三向量共面.
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例7
设向量组α1,α2 ,α3线性相关，向量组 α2 ,α3 ,α4线性无关，证明 (1) α1能由 α2 ,α3 线性表示； (2)α4不能由α1,α2 ,α3线性表示。
证明
(1) 由于向量组α2 ,α3 ,α4线性无关，故 α2 ,α3 线性无关，
而向量组α1,α2 ,α3线性相关，故α1能由 α2 ,α3 线性表示。
线性组合； (3)A 中有一列（行）向量是其余列（行）向量的
线性组合； (4)A 中至少有一列（行）的元素全为零。
"结论 n 阶方阵A可逆的充要条件为A的列（行）向量组 线性无关。
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七、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）
(b1
,
b2
,
b3
)
=
(α1
,α
2
,α
3
)⎜⎜⎝⎛
1 1 0
0 1 1
1 0 1
⎟⎞ ⎟⎠
解法
记作B = AK，设 Bx = o，即 A(Kx) = o
由于 α1,α2 ,α3 线性无关 , 故 R( A) = 3，即 Ay = o 只有零解。
∴ Kx = o，而 | K |= 2 ≠ 0，故Kx = o只有零解，∴ x = o
,α
线性相关
m
⇔
R(
A)
<
m,
相关性 其中A = (α1,α2 , ,αm );
秩的判 定定理
向量组α1,α2 ,
,α
线性无关
m
⇔
R( A)
=
m.
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四、线性相关例子
例4 n 维向量组
e1 = (1,0, ,0)T ,e2 = (0,1, ,0)T , ，en = (0,0, ,1)T
定理1
复
⇔ Ax = b 有解 ⇔ R( A) = R( A, b),
向量b能由向量组A线性表示
⇔⇔ 习 定理2 方程 AX = B 有解 R( A) = R( A, B) 向量组 B : β1, β2 , , βl 可由向量组 A :α1,α2 , ,αm 线性表示
问题 Ax=0只有零解可有非零解，怎么用向量组说明？
k1α1 + k2α 2 + + kmα m = 0
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
λ1 =
1. 若 α 1 ,α 2 , ,α n线性无关 ,则只有当 = λn = 0时, 才有 λ1α 1 + λ 2α 2 + + λ nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 ,不是线 性无关就是
则有不全为0的数 k1 , k2 , , km , 使
k1α1 + k2α 2 + + kmα m = 0.
因k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0，
不妨设 k1 ≠ 0,则有
α1
=
⎜⎛ − ⎝
k2 k1
⎟⎞α
⎠
2
+
⎜⎛ − ⎝
k3 k1
⎟⎞α
⎠
3
+
+
⎜⎛ ⎝
−
km k1
⎟⎞α
⎠
m
.
即 α1 能由其余向量线性表示.
证法(一) 设有x1 , x2 , x3使
x1b1 + x2b2 + x3b3 = 0
即 x（1 α1 + α 2）+ x2 (α 2 + α 3 ) + x3 (α 3 + α1 ) = 0,
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
α1
பைடு நூலகம்