高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练.pptx

书山有路
2020 年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 古典概型
例 1 从甲、乙等5名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为（ ）.
A. 1
5 9 25
B. 2
5
C. 8
D.
25
【答案】 B
【解析】 可设这 5 名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出 2 人的方
法有：
一次随机摸出2 只球，则这2 只球颜色不同的概率为
．
【答案】 P 5
6
8
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【解析】1只白球设为 a ，1只红球设为b ， 2 只黄球设为 c ， d ，
则摸球的所有情况为a,b，a,c， a,d， b,c ，b,d，c,d，共 6 件， 满足题意的事件为a,b ， a,c，a,d， b,c ， b,d，共 5 件，故概率为P 5 ．
参考数据： 7 yi 9.32 ， 7 ti yi 40.17 ， 7 ( yi y) 2 0.55 ， 7 2.646.
i1
i1
i1
参考公式：相关系数r
n
(ti t )( yi y)
i1
，
n
n
(ti t )2 (yi y)2
i1
i1
回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），
（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10种选法，其中只有前 4 种是甲被选中， 所以所求概率为 4 2 .故选 B.
10 5
例 2 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书
相邻的概率为
2xn 1的均值为
．
【答案】11
【解析】 因为样本数据x1， x2 ， ， xn 的均值x 5，又样本数据2x1 1， 2x2 1，
， 2xn 1的和为2x1 x2 xn n ，所以样本数据的均值为2x 1 ＝11.
例 3 某电子商务公司对10000名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计，发
相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为
1 a 2
2 2 .故选 B.
a2
8
例 2 在区间[0,5]上随机地选择一个数 p ，则方程x2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的
概率为
.
【答案】 2
3
4 p2 4(3p 2) 0
【解析】方程 x2+2 px +3 p -
得 a 224 ，所以月平均用电量的中位数是224 .
（3）月平均用电量为220,240的用户有0.0125 20100 25 （户）； 月平均用电量为240,260的用户有0.007520100 15 （户）；
月平均用电量为260,280的用户有0.005 20100 10 （户）；
月平均用电量为280,300的用户有0.002520100 5 （户）.
.
【答案】 2
3
【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数 1，数 2，语; 数 1，
语，数 2;数 2，数 1，语; 数 2，语，数 1;语，数 2，数 1; 语，数 1，数 2 共有 6
种，其中 2 本数学书相邻的有 4 种，则其概率为： p 4 2 ．
63
【易错点】列举不全面或重复,就是不准确 【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数. 题型二 几何概型
2
4
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因为0.002 0.0095 0.01120 0.45 0.5，
又 0.002 0.0095 0.011 0.0125 20 0.7 0.5 ，
所以月平均用电量的中位数在220,240内. 设中位数为a ，由 0.002 0.0095 0.01120 0.0125a 220 0.5，
则点数之和小于10共有3 0 种，所以概率为30 5 ．
36 6
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫
猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）.
A． 1
【易错点】没有读懂题意,计算错误. 【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据.
题型五 独立性检验
例 1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性作试验，并用
回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和m 如下表：
甲乙丙丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中的a =
.
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为
.
频率/组距
a 2.5 2.0 1.5
0.8 0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 金额/万元
【答案】 a 3 人数为0.610000 6000 【解析】 由频率分布直方图及频率和等于1，可得
【巩固训练】
题型一 古典概型
1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具）
先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是
．
【答案】 5
6
【解析】将先后两次点数记为x, y ，则基本事件共有6 6 36 （个），
其中点数之和大于等于10 有 4,6,5,5, 5,6, 6, 4, 6,5, 6,6 ，共 6 种，
12
【答案】 C
B． 1
14
C． 1
15
D． 1
18
【解析】不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个，
随机选取两数有45 （种）情况，其中两数相加和为 30 的有 7 和 23，11 和 19，
P3 1
13 和 17，共 3 种情况，根据古典概型得 45 15 .故选C . 3.袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1只白球，1只红球， 2 只黄球，从中
m 115 106 124 103
则哪位同学的试验结果体现A、B 两变量更强的线性相关性？( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】D
【解析】 D 因为 r>0 且丁最接近 1，残差平方和最小，所以丁相关性最高
【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系
7
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【思维点拨】相关系数 r 的绝对值越趋向于 1,相关性越强.残差平方和 m 越小相 关性越强
图
年 生 1.80
活
垃 圾
1.60
无
害 1.40
化 处 1.20 理
量 y
1.00
0.80 1
2
3
4
5
6
7
年份代码t
5
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1由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，请用相关系数加以说 明 2建立 y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无 害化 处理量.
300 ，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取
60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
件．
【答案】18 【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取300 60 18(件)．
1000
例 2 已知样本数据x1， x2 ， ， xn 的均值x 5，则样本数据2x1 1， 2x2 1， ，
3
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0.20.1 0.80.11.50.1 20.1 2.50.1 a0.1 1 ，解之得a 3.
于是消费金额在区间0.5，0.9内频率为0.20.1 0.80.1 20.1 30.1 0.6 ， 所以消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为0.610000 6000 .
例 4 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180 ，180, 200 ， 200, 220， 220, 240，240, 260， 260, 280， 280,300分组的频率分布直方图如图
7 (t i t )2 2 7 5.292 ，
7
(
y
i
y)2
0.55 ，
i1
i1
i1
i 1
i 1
所以r 7 40.17 289.32 0.99 ，故可用线性回归模型拟合变量 y 与t 的关系.
75.292 0.55
（2）
t
4
，
y
1 7
7 i1
yi
，所以bˆ
7
tiyi 7t y
i1 7
ti2 7t 2
40.17 7 4 1 9.32
7
0.10 ，
28
i1
aˆ y bˆx 1 9.32 0.10 4 0.93 ，所以线性回归方程为 yˆ 0.1t 0.93.
7
当 t 9 时， yˆ 0.190.931.83.因此，我们可以预测 2016 年我国生活垃圾无害化
处理1.83 亿吨.
i1
yi y
7
ti yi
i1
t
7 i1
yi
40.17 4 9.32 2.89 ， r
2.89
0.99 .
0.55 2 2.646
因为 y 与t 的相关系数近似为0.99 ，说明 y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用
线性回归模型拟合 y 与t 的关系.
（1）变量 y 与t 的相关系数r
所示．
频率 组距 0.0125 0.011 0.0095
x
0.005
0.0025 0.002
0
160 180 200 220 240 260 280 300 月平均用电量/度
1 求直方图中x 的值；
2 求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为220, 240，240, 260，260, 280，280,300的四组用户中，
7
(ti t )(yi y)i1 Nhomakorabea7
7
7
7 ti yi ti yi
i1 i1
， i1
7
7
7
7
(ti t )2 ( yi y)2 7 (ti t )2 ( yi y) 2
i1
i1
i1
i1
6
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7
7
7
又 ti 28， yi 9.32 ， tiyi 40.17 ，
1
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例 1 如图所示，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极
A
D
图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成
中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率
是（ ）. A. 1
4
【答案】 B
B. π
8
C. 1
2
B
C
D. π
4
【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积
6
题型二 几何概型 1.某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，学.小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车 站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概
率是（ ）.
抽取比例为
11
1，
25 15 10 5 5
所以从月平均用电量在220,240的用户中应抽取25 1 5 （户）．
5
【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题
【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2 牵涉到策略问题,一般可以转化 为比较两个指标的大小.
题型四 回归与分析
例 1 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线
2
，故填：
2
.
3
50
3
3
【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化. 【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与 x 轴负半轴有两个交点.从而得到参
数 p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.
2
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题型三 抽样与样本数据特征
例 1 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200 ， 400 ，
n
(ti t )( yi y)
b i1 n
a= y bt .
(ti t )2
i1
【答案】见解析
7
2
【 解 析 】（ 1 ） 由 折 线 图 中 数 据 和 附 注 中 参 考 数 据 得 t 4 ， ti t 28 ，
i1
7
2
yi y 0.55，
i 1
7 ti t
用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在220,240的用户中应抽取
多少户？
【答案】见解析
【解析】（1）由0.002 0.0095 0.011 0.0125 x 0.005 0.0025 20 1 ，
得 x 0.0075 ． （2）由图可知，月平均用电量的众数是 220 240 230 .
2 = 0 有两个负根的充要条件是
x1 x 2 2 p 0
即
x1x2 3 p 2 0
2 p 1, 或 p 2 ，又因为 p [0,5] ，所以使方程 x2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的 p
3
的取值范围为(
2 ,1]
(1 2) (5 2)
[2,5]，故所求的概率 3