函数与方程.ppt

点评：解本题的关键是把函数零点转化为方程的根， 针对函数的最高次项系数进行分类讨论．
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跟踪训练
2．若函数f(x)＝x2－2x＋a没有零点，则实数a的 取值范围是( B )
A．a<1
B．a>1
Cห้องสมุดไป่ตู้a≤1
D．a≥1
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数．
讨论曲线的公共点 求函数f(x)＝ln x与g(x)＝6－2x的公共点的个
解析：法一：利用信息技 术直接画出函数F(x)＝f(x)－g(x) ＝ln x＋2x－6的图象
4．直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 公共点的个数至多有：__2_个___.
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思考应用
1．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，
用二分法逐步将零点所在区间拆分，逼近得到方程的近似
解．这一方法中，体现了数学的哪些基本思想方法？
解析：第一次用二分法将零点所在区间[a，b]拆分得到两个子区间a，a＋2 b，b
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根据零点个数求参数范围
值．
若函数y＝mx2－2x－1只有1个零点，求实数m的
解析：当m＝0时，函数只有一个零点等价于－2x－1 ＝0只有1个实数解，解方程得：x＝－ 1 满足题意，当
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m≠0时，函数只有1个零点等价于方程mx2－2x－1＝0有两 个相等实根，所以Δ＝4＋4m＝0解得m＝－1.
综合所述，m的值为0或-1.
函数与方程
学习目标
1．正确理解函数零点与方程根及函数图象与x轴 交点横坐标的关系．
2．正确应用函数零点判定定理判定函数零点所在 区间．
3．综合应用二分法与数形结合法与求根公式等方 法研究与方程的根相关问题．
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基础梳理 1．设点(m,n)是两曲线C1：y＝f(x)，C2：y＝g(x)的
一个公共点，则方程f(x)＝g(x)的一个解是：_x_＝__m____； 函数y＝f(x)－g(x)的一个零点是：__m____.
设函数f(x)＝ 1 x－ln x(x>0)，则函数y＝f(x)( ) 3
A．在区间 1e，1 ，(1，e)内均有零点 B．在区间 1e，1，(1，e)内均无零点 C．在区间 1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间 1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点
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解析：∵f1e＝31e＋1>0, f(1)＝13>0，
2．函数f(x)＝ln(2－x)的零点是唯一的，从函数图 象的变化趋势来看，这是因为： ____函__数__f_(x_)_＝__l_n_(2_－__x_)_是__区__间__上__的__减__函__数_______.
3．若方程2x＝a的解是唯一的，则实数a的取值范
围是：_(_0_，__＋__∞_)_；若方程2x＝a无解，则实数a的取值 范围是：(_－__∞_，__0_]_.
解析：易知函数f(x)在定义域(0，＋ )内是增函数， f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜ 0，f(3)＝ln 3＞0， f(2)·f(3)＜0，即函数f(x)零点所在区间是 (2,3)． 答案：B 点评：求零点所在区间判断是否有f(2)·f(3)＜0，需注意的 是f(a)·f(3)＞0并不能说明该函数没有零点．
解析：若a>0，则f(x0)<0，结合图象可知， 二次函数f(x)有两个零点，分 别在区间 (－∞，x0) 和(x0，＋∞) 上. a<0时有相同的结论．
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自测自评
1．若 f(x)＝x－x 1，则方程 f(4x)＝x 的根是(
)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：f(4x)＝x 即：4x4－x 1＝x， 即 4x2－4x＋1＝0，解得：x＝12.
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2．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，当f(x)在区间[a， b]上具有什么样的条件时， 连续函数f(x)的零点是唯一的？
解析：当f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数时， 可以确保连续函数 f(x)的零点是唯一的．
3．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若存在x0∈R，使a·f(x0)<0，你 能判断它的零点个数吗？
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法二：利用函数零点存在性定理 因为函数f(x)的图象在(0，＋∞)是连续的，f(2)＝－ 1.3069<0，f(3)＝1.0986>0则f(2)f(3)<0， 这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点， 由于函数f(x)在定义域内是增函数， 所以它仅有一个公共点． 法三：图象法
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f(x)＝ln x＋2x－6的零点，就是方程ln x＋2x－6＝0的解， 即是ln x＝－2x＋6的解．
2．解析：f(1)＝ －1, f(2)＝2, f(1)·f(2)<0， 函数f (x)在区间(1,2)上必有零点． 答案：B 3．解析：函数f(x)在区间(0,1)上有零点等价于f(0)·f(1)<0.f(1)＝ －1<0，f(0) ＝ 2a－4>0， 解得：a >2. 答案：(2，＋ )
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判断零点所在的区间
这个方程的解，我们可以看作是函数y＝ln x与y＝－2x ＋6图象交点的横坐标．
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a
这两个子区间中必有一个包含函数的零点，区间的长度是原区间长度的一半为a＋2 b，b ，
再数用的二零分点法的时区，间包的含长函度数为的b－零a点的，区当间n→长＋度∞是时b，－4 包a ，含…函，数第的零n次点用的二区分间法的时长，度包趋含向函于 2n
0.所以二分法体现了数学中无限逼近的极限思想，也融合了数形结合思想．
f(e)＝e3－1<0，
∴y＝f(x)在区间(1，e)内有零点． 又在区间(0,1)上，ln x<0，∴f(x)＝13x－ln x>0，
∴y＝f(x)在区间1e，1内无零点．
答案：D
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跟踪训练
1．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
答案：A
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2．已知a是实数，函数f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.在下列所给区间中，函数f (x)必有零 点的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 3．已知a是实数，函数 f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.如果函数f(x)在区间(0,1)上有零点， 则a的取值范围是：_________.