精美编排-历届高考数学真题汇编专题6_不等式最新模拟_理-含答案

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【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题6_不等式_理(2000-2006)

【2006高考试题】一、选择题（共15题） 1．（安徽卷）不等式112x <的解集是（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞ 解：由112x <得：112022x x x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。

2．（江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 解：运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当a-b<0时不成立。

3．（江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（）A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4．（山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）解：令12x e ->2（x <2），解得1<x <2。

令23log (1)x ->2（x ≥2）解得x ∈（10，+∞）选C5．(陕西卷)已知不等式(x+y)(1x + ay)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.86．(陕西卷)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(0<a<3),若x 1<x 2,x 1+x 2=1－a,则( )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )=ax 2+2ax +4(0<a <3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，0<a <3，∴ x 1+x 2=1－a ∈(－2，1)，x 1与x 2的中点在(－1，21)之间，x 1<x 2，∴ x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴ f (x 1)<f (x 2) ，选A ．7．(陕西卷)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定8．(陕西卷)设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为( )A. 6B.9C.12D.15 解析：x ，y 为正数，(x +y )(14x y+)≥414y x x y +++≥9，选B .9．(上海卷)若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（）（A ）2∈M，0∈M；（B ）2∉M ，0∉M ；（C ）2∈M，0∉M ；（D ）2∉M ，0∈M．解：选（A ）方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法2：求出不等式的解集：xk )1(2+≤4k ＋4422min455(1)2[(1)2]2111k x k x k k k k +⇒≤=++-⇒≤++-=+++；10．(上海卷)如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）（A ）11a b< （B <（C ）22a b < （D ）||||a b > 解：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，∴ 11a b<，选A.11．（浙江卷）“a ＞b ＞c ”是“ab＜222b a +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件12．（浙江卷）“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件解：由“a ＞0，b ＞0”可推出“ab>0”，反之不一定成立，选A13．(重庆卷)若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-214．(重庆卷)若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（A ）（B ）3 （C ）2 （D 解：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋（b －c ）2≥12，当且仅当b ＝c 时取等号，故选A15．（上海春）若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.二、填空题（共6题）16．（江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为17．(上海卷)三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而252510x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；18．（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______吨．解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x⋅+万元，40044x x ⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编及答案解析

数学《不等式》复习资料一、选择题1．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8，故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍，根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．在下列函数中，最小值是2的函数是（） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()223f x x =+D ．()42xxf x e e =+- 【答案】D 【解析】【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误；B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2f x ==，故()3f x ≥，C 错误； D. ()4222xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0）∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．已知实数x ，y 满足不等式||2x y +≥，则22x y +最小值为（）A ．2B ．4C ．22D ．8【答案】B 【解析】【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】由题意，可得当0y ≥时，2x y +≥ （2）当0y <时，2x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形，又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2222211d -==+，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812a b b a ==，可排除B 项；因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数22323()13a c ac f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为2232()13a c f x x bx x +-=+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.9．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】【分析】由3log (2)1a b +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.10．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，由题意，()22410t t ∆--<=，解得t <或t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（） A ．32B ．53 C ．74D ．95【答案】D 【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时，Q131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率. 直线330x y -+=与直线10x y +-=交于点13(,)22A -，由图可知，当可行域内的点为A 时，PA k 最小，故min 333211362z -==--. 故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.13．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -，目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．14．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-，故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．15．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为（） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.17．在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，22223sin a b c ab C ++=两式相加，得到()22cos 32cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立，而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形，故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.18．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3-【答案】D 【解析】【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y xy =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z的意义是关键，属于中档题．19．设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编含答案

数学高考《不等式》试题含答案一、选择题1．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩剟…，则x y y +的取值范围是( )A．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】作出不等式121x y x +⎧⎨-⎩剟…表示的平面区域，整理得：x y y +1x y =+，利用yx 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113x y -<-…，问题得解．【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x y y+1xy =+ 易知yk x=表示点(),x y 与原点的连线斜率，当点(),x y 在()1.3A -处时，yk x=取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1，故31k -≤<-，则113x y -<-…，故203x y y +<…. 故选B 【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．2．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．3．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6.【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（）A ．5 B ．45C ．5D ．25【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离，所以AB ()()2242325-+-=故选：C ．本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．5．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，由题意，()22410t t ∆--<=，解得t <或t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.6．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.7．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率. 直线330x y -+=与直线10x y +-=交于点13(,)22A -，由图可知，当可行域内的点为A 时，PA k 最小，故min 333211362z -==--. 故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞【答案】A 【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a的取值范围是5a ≤，故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】【分析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=，解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】222x y x y ++≥Q 且224x y+≤ ，224222x y x y x y ++∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.13．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞；若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．14．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >）所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭，当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．15．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【解析】【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立，而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形，故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.16．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（）AB．2C．D ．172【答案】A【分析】先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.17．已知直线21y kx k=++与直线122y x=-+的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）A．12k>B．16k<-或12k>C．62k-<<D．1162k-<<【答案】D【解析】【分析】联立21122y kx ky x=++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y，由于直线21y kx k=++与直线122y x=-+的交点位于第一象限，可得xy>⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．18．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（） A ．32B ．53 C ．74D ．95【答案】D 【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时，Q131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<，充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.20．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为（）A．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f=,则要考查的不等式转化为：2154m m≤-，解得：114m≤≤，即实数m的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择B选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》分类汇编附答案

【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案一、选择题1．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数，所以21a b +=，又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.5．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( )A ．10B ．4C．2 D．1【答案】B 【解析】【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.7．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C∠所对的边，函数32()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即2()320f x x bx '=+>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为32()1f x x bx x =+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tan tan ββ≤=+当且仅当3tan 3β=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】【分析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=，解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（） A ．2 B ．4C ．6D ．7【答案】B 【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π，解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A 【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0- 当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．12．已知实数,x y满足线性约束条件120xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx+的取值范围为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，(1,3)A，3(1)410QAk--==-，过Q与直线0x y+=平行的直线斜率为－1，∴14PQk-<≤．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1yx+表示动点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．13．已知ABCV外接圆的半径2R=，且223sin2AA=.则ABCV周长的取值范围为（）A．(23,4]B．(4,43]C．(43,423]+D．(423,63]+【答案】C【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案.【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以 2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（）ABC．D ．172【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果.作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π，故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．16．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（） A 5B ．5 C ．3 D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2222523(1)d -⎛⎫+==；所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（） A ．4B ．3C ．232D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++．令1t n =+，则264422223n n S t t a t t+=+-≥⋅=+当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥20．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.。

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编含答案解析

【最新】《不等式》专题一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．若,x y满足约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A．116B．18C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A-，(5,1)B，(3,3)C，因为1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，令z x y=-，当直线y x z=-经过A时，z取得最小值，所以z的最小值为min314z=--=-，则1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的最小值为41216-=.故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．4．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）A．[； B．(,-∞C．)+∞D．(,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得11322a d a =--，当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立；当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.5．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.6．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（） A ．ln ln a b b a ->- B．|||b a < C ．ln ln a b b a -<- D．|||b a ->【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812b a ==，可排除B 项；因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数32()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即2()320f x x bx '=+>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为32()1f x x bx x =+++，所以2()32f x x bx '=++()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 2a c b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.8．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（）A ．{}13x x -≤，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．若直线过点，则的最小值等于（）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】【分析】由223sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin 23a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，232cos 112A A -=-，即3cos 1A A =-，可化为 333A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin 23a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（） A ．14-B ．1C ．3-D 31【答案】D 【解析】【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当3m =时，等号成立. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.14．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．169πB ．89π C ．1627πD ．827π 【答案】A 【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π，故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．16．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.17．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.19．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b +的最小值为（） A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】 ∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ）＝13(366b a a b +++12) ≥13=9 等号成立的条件为66b a a b =，即a=b=1时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题20．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B【解析】【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2x y =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（） A ．12122log 22y y x x ++ C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ，故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（） A ．12122log 22y y x x ++ C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误；对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误，故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

历年(2019-2023)高考数学真题分类(集合、常用逻辑用语与不等式)练习(附答案)

[答案解析]因为
1 ，所以

|
2
C. |3

16
|0

16 ；因为
4 ，所以
}.所以 ∩
|
A.
1 ,2
|0
B. 1 ,2

1|
1 ，得 1
2 ，所以 ∩
9. [2022 北京，4 分]已知全集
1 ，则∁
A.
2,1
16
|3
| |
1|
(B)
[答案解析]由|
历年（2019-2023）高考数学真题分类（集合、常用逻辑用语与不等式）练习
考点：集合
一、选择题
2 , 1 ,0,1,2 ，
1. [2023 新高考卷Ⅰ，5 分]已知集合
6
A.
0 ，则 ∩

(C)
2 , 1 ,0,1
B. 0 ,1,2
2
C.
|
[答案解析]解法一因为
∩
|

6
0
1 ,3 ,
1 ,2,4 ，则
C. 1 ,2,4
D. 1 ,2,4,5
1 ,2,4 ，所以∁
3 ,5 ,又
1 ,3 ，
1 ,3,5 .故选A .
4. [2023 全国卷甲，5 分]设全集
∪
0 .当
(A)
A. 1 ,3,5
|
2
1 ,0,1 ，满足 ⊆ .所以
3. [2023 天津，5 分]已知集合
2 ，故选A .
2 ,4,6 ，则 ∪
B. 1 ,2
C. 2 ,4,6
[答案解析]由集合并集的定义，得 ∪
7. [2022 新高考卷Ⅰ，5 分]若集合

(6)不等式——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

（6）不等式——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]若正数a ，b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为()A.4B.6C.9D.162．[2024届·长沙市第一中学·二模]已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为()A.4B.2C.32D.343．[2024届·湖北·模拟考试联考]已知集合{}2230A x x x =∈-->R ∣，集合B 满足B A Ø，则B 可以为()A.[1,3]- B.(,1]-∞- C.(,1)-∞- D.(,3)-∞4．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为()A.12B.24C.D.5．[2024届·重庆市第八中学·模拟考试]已知集合{23}M x x =-<<∣，{}2540N x x x =-+>∣，则M N = ()A.()2,1- B.()2,4- C.()(),14,-∞+∞ D.()(),34,-∞+∞7．[2024届·海南·模拟考试校考]已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}2280N x x x =+-≥，则M N = ()A.{}2,2-B.{}2-C.{}2 D.2二、多项选择题8．[2024届·湖北·模拟考试联考]若0a b c >>>，则()A.a a c b >B.22a ab c >C.a b ba c c->- D.a c -≥9．[2024届·吉林吉林·模拟考试校考]a ，b ，c ，d 均为实数，且0a b >>，0c d >>，则下列结论正确的是()A.ac bd >B.a c b d->- C.a c b d+>+ D.a bd c>三、填空题10．[2024届·贵州·模拟考试联考]以()max min M M 表示数集M 中最大（小）的数.设0a >，0b >，0c >，已知22a c b c +=1，则111min max ,,a b c ⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭__________.11．[2024届·河北衡水·二模联考]设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B =R ，则实数a 的取值范围为__________.12．[2024届·海南省华侨中学·二模]已知0x >，0y >，且122x y +=，则21x y +的最小值为_______________．13．[2024届·全国·模拟考试]已知1x ，2x 是实数，满足221212848x x x x +-=，当1x 取得最大值时，12x x +=_________.14．[2024届·吉林吉林·模拟考试校考]设1x >-，则函数461y x x =+++的最小值是__________.15．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]设x ，y 是正实数，记S 为x ，1y x +，1y 中的最小值，则S 的最大值为______.参考答案1．答案：A解析：方法一：由111a b +=，可得1ba b =-，所以144=1111b a b b +-+---由a ，b 为正数且111a b+=，可得1a >，1b >，所以144=14111b a b b +-+≥=---，当且仅当411b b -=-，即3b =，32a =时等号成立.故选：A.方法二：由111a b +=，可得11b a a =-，11ab b=-，所以144411b a a b a b +=+≥=--，当且仅当4b a a b =，即32a =，3b =时等号成立.故选：A.2．答案：C 解析：()()()()2222222log log log 1log 3log 4log 328x x f x x x x x =⋅=-⋅-=-+ ，由()()12f x f x =，2122log log 4x x ∴+=，即1216x x =，121933242x x ∴+≥=⨯=，当且仅当1219x x =，即143x =，212x =时等号成立.故选C.3．答案：C解析：由集合{}2230{3A x x x x x =∈-->=>R ||或1}x <-，B A Ø则(,1)(3,)(,1)-∞-+∞-∞- Ø.故选：C4．答案：B 解析：32x >，3y >，变形为23030x y ->->，，令230a x =->，30b y =->，则()()33222338123k x y x y x y --≤+--转化为()()33228123233x y x y k x y +--≤--，即224323x y k y x +≥--，其中()()((222222334323a b x y y x b aba+++=+≥+--1224a b b a ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭当且仅当33a b b a a b=⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即3x =，6y =时取等号，可知24k ≤.故选：B 5．答案：D7．答案：C解析：因为2{|280}{|4N x x x x x =+-≥=≤-或2}x ≥，所以{2}M N = .故选：C.8．答案：ACD解析：()a a a b c c b bc --=，又0a b c >>>，所以0b c ->，0b >，所以0a a c b ->，即a ac b>，故A 正觕；当1a =，1b =-，2c =-时，22a a b c <，故B 错误，()()()()()a b b a b c a c b a c b a c c a c c a c c------==---，又0a b c >>>，所以0a c ->，0c b -<，所以0a b b a c c -->-，即a b b a c c->-，故C 正确因为0a b c >>>，所以0a b ->，0b c ->，所以a c a b b c -=-+-≥，当且仅当a b b c -=-时等号成立，故D 正确.故选ACD.9．答案：ACD解析：因为a ，b ，c ，d 均为实数，且0a b >>，0c d >>，由不等式的基本性质可得ac bd >，a c b d +>+，AC 选项正确；因为0c d >>，则110d c >>，故a bd c>，D 选项正确；取3a =，2b =，2c =，1d =，则a c b d -=-，B 选项错误.故选：ACD.10解析：由221a c b c +=，得221a b c +=，设111max ,,M a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则22111,,2M M M a b ab a b c≥≥≥=+≥，由32223M M ab ab=≥=≥M ≥，当且仅当a b c ===.11．答案：()0,1解析：由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0|B x x a a x x a =>>=>或},0x a a <->，若满足A B =R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.12．答案：16解析：()212182228816,y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当82y x x y =时等号成立.即当11,48x y ==时，21x y +取得最小值为16.故答案为：16.13．答案：5解析：221212848x x x x +-= .()()221222122222482x x x x x x -+∴-+=≥.2116x ∴≥，14x ∴≤.取等条件：1221224x x x x -=⎧⎨=±⎩，1241x x =⎧∴⎨=⎩或1241x x =-⎧⎨=-⎩，125x x ∴+=.14．答案：9解析：由1x >-，可得10x +>，则446155911y x x x x =++=+++≥+=++，当且仅当411x x +=+时，即1x =时，等号成立，所以函数461y x x =+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.15解析：方法一：设0a x =>，10b y =>，1110c y x b a =+=+>，当11a b c b a===+时，a b ==不妨设a b ≤，11min ,,S a b b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭①当a b ==时，11min ,,S a bb a ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭②当0a b <≤≤时，1111min ,,min ,S a b ab a b a ⎧⎫⎧⎫=+=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，若11a b a ≤+，则11min ,a a b a ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭若11a b a >+，则1111min ,a a b a b a⎧⎫+=+<≤⎨⎬⎩⎭；③当0a b <≤≤122a ≥，122b ≥，11c b a =+≥，11min ,,S a b ab a ⎧⎫=+=≤⎨⎬⎩⎭；a b ≤≤时，122a ≤，122b ≤，11c b a =+≤，1111min ,,S a bb a b a ⎧⎫=+=+≤⎨⎬⎩⎭同理，当a b >时，可以证明S ≤综上所述：S .方法二：由题意知0S x <≤，10S y <≤，则11x S ≤，1y S≤所以1112S yx S S S≤+≤+=，解得0S <≤，故S。

高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》真题汇编含答案解析

【高中数学】数学《不等式》高考知识点一、选择题1．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（）A B C D ．32【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C A B ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=，整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=，且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1B B =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B-=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（）A B ．1) C ．D ．4【答案】D【解析】【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x>，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x y x x PM P P M x F x Q P x x -+-+====+≥-，当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（）A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．4．若直线过点，则的最小值等于（） A ．5 B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴， ∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．5．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．6．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数， 32z x y =-+，即322z y x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍，根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =. 52x x ⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n +的最小值为（） A ．3B ．1C ．2D ．32【答案】D【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n+的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）A ．[3,3]；B ．(,3]-∞C ．3,)+∞D ．(,3]3,)-∞-⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解.【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得11322a d a =--，当10a >时，11111133323222222a a a d a a a ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭13a 时等号成立；当10a <时，11113332222a a d a a ⎛⎫⎛⎫=--≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13a =-立；∴实数d 的取值范围为(,3][3,)-∞-⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞- 【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（） A ．2B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π，解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积由于()()()()222222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b +++的最大值是（） A ．223- B ．322- C ．221 D ．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b+++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+，所以22,33m n n m a b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++，当且仅当233n m m n =时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是23-. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（） A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件： 2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．13．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -，目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．14．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩………的可行域如图：可行域是扇形，1 4个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．过抛物线24x y=的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率的取值范围是（）A．22⎫+∞⎪⎪⎣⎭B．[)1,+∞C．)2,⎡+∞⎣D．[)2,+∞【答案】C【解析】【分析】假设直线l方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()0,1F，设直线l的方程为()10y kx k=+>，代入抛物线方程得：2440x kx--=，设点()11,A x y，()22,B x y，()00,M x y，则124x x k+=，MQ为线段AB的中点，1222x xx k+∴==，MQ在直线l上，200121y kx k∴=+=+，2211122222OMy kk k kx k k k+∴===+≥⋅=2k=时取等号），即直线OM斜率的取值范围为)2,⎡+∞⎣.故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.16．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（） A ．1(1,)2-B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U C ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2xxf x e ex -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2xx f x ee x --=-+- ()()sin2x x e e xf x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20xxf x e ex x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>，得()()()221f xf x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．17．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）．A B ．C ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a ba b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．18．设集合{}20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（）A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以{}01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A．3 B．4 C．92D．112【答案】B 【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x yx y x y+⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y+++-≥即(24)(28)0x y x y+-++≥，又x+2 y>0，24x y∴+≥20．已知变量,x y满足240240x yx yx+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y--的最小值为（）A．855B．8C．16515D．163【答案】D【解析】【分析】222424512x yx y----=⨯+，而222412x y--+表示点(,)x y到直线240x y--=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案.【详解】因为222424512x yx y----=⨯+，所以24x y--可看作为可行域内的动点到直线240x y--=的距离的5倍，如图所示，点44(,)33A到直线240x y--=的距离d最小，此时224424333512d-⨯-==+所以24x y --163=. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.。

高考理不等式真题汇编(含答案)

2021-2021高考理科不等式真题汇编〔含答案〕一．2021年不等式高考真题1．(2021上海)设R b a ∈,,那么“4>+b a 〞是“2,2>>b a 且〞的〔〕（A ）充分条件〔B 〕必要条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既非充分又非必要条件2．(2021四川)假设0a b >>，0c d <<，那么一定有〔〕 A 、a b c d > B 、a b c d < C 、a b d c > D 、a b d c< 3.(2021上海)假设实数x,y 满足xy=1,那么2x +22y 的最小值为______________.4.(2021新课标I).不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P5. (2021新课标II)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，那么2z x y =-的最大值为〔〕A. 10B. 8C. 3D. 26(2021天津)设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩那么目标函数2z x y =+的最小值为〔〕〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕4 〔D 〕57. (2021广东)假设变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，那么M-m=A ．8 B.78. (2021北京)假设,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，那么k 的值为〔〕.2A .2B - 1.2C 1.2D -9(2021天津)设,a bR ，那么|“a b 〞是“a a b b 〞的〔〕〔A 〕充要不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充要也不必要条件10(2021江西) (1).〔不等式选做题〕对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值〔〕 A.1 B.2 C.3 D.4二．填空题1. 〔2021大纲〕设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，那么4z x y =+的最大值为 .2〔2021浙江〕当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，那么实数a 的取值范围是________.3、〔2021福建〕要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是_______〔单位：元〕4〔2021福建〕假设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 那么y x z +=3的最小值为______5 (2021重庆)假设不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是____________.6. 〔2021辽宁〕对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .7(2021湖南).假设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且y x z +=2的最小值为6-，那么____=k .8(2021湖南)x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，那么a =________.9 (2021陕西) (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为三．解答题1. (2021新课标I)〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲假设0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；〔Ⅱ〕是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 2. (2021新课标II)〔本小题总分值10〕选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->〔Ⅰ〕证明：()f x ≥2；〔Ⅱ〕假设()35f <，求a 的取值范围.3. 〔2021辽宁〕〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. 〔1〕求M ；〔2〕当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.4〔2021福建〕〔本小题总分值7分〕选修4—5：不等式选将定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . 〔I 〕求a 的值；〔II 〕假设r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p . 二．2021年不等式高考真题1.【2021高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，那么mn 的最大值为〔〕〔A 〕16 〔B 〕18 〔C 〕25 〔D 〕8122.【2021高考北京，理2】假设x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，那么2z x y =+的最大值为〔〕A ．0B ．1C ．32D ．23．【2021高考广东，理6】假设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 那么y x z 23+=的最小值为〔〕 A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 4.【2021高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，假设p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，那么以下关系式中正确的选项是〔〕 A ．q r p = C ．p r q =<D ．p r q =>5．【2021高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 假设存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，那么正整数n 的最大值是〔〕 A ．3 B ．4 C ．5 D ．66.【2021高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，那么目标函数6z x y =+的最大值为( )〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕18 〔D 〕407.【2021高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为〔〕A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元甲乙原料限额A 〔吨〕 32 12B 〔吨〕 12 88.【2021高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是〔〕〔A 〕〔-，4〕〔B 〕〔-，1〕〔C 〕〔1，4〕〔D 〕〔1，5〕9.【2021高考福建，理5】假设变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩那么2z x y =- 的最小值等于 ( ) A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 10.【2021高考山东，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，假设z ax y =+的最大值为4，那么a = 〔〕〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕-2 〔D 〕-311.【2021高考新课标1，理15】假设,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，那么y x 的最大值为 .12.【2021高考浙江，理14】假设实数,x y 满足221x y +≤，那么2263x y x y +-+--的最小值是．13．【2021高考新课标2，理14】假设x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，那么z x y=+的最大值为____________． 14.【2021高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.15.【2021高考湖南，理4】假设变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么3z x y =-的最小值为〔〕【2021高考上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，以下选项中，能推出方程③无实根的是〔〕A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根2021年高考数学理试题分类汇编一、选择题1、〔2021年北京高考〕假设x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么2x y +的最大值为〔〕A.0B.3C.4D.52、〔2021年山东高考〕假设变量x ，y 满足那么22xy 的最大值是〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10 〔D 〕123、〔2021年四川高考〕设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩那么p 是q 的〔A 〕必要不充分条件〔B 〕充分不必要条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件4、〔2021年天津高考〕设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩那么目标函数25z x y =+的最小值为〔〕〔A 〕4-〔B 〕6〔C 〕10〔D 〕175、〔2021年浙江高考〕在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，那么│AB │= A ．2 B ．4 C ．2 D ．66、〔2021年北京高考〕x ，y R ∈，且0x y >>，那么〔〕 A.110x y-> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +>二、填空题1、〔2021年上海高考〕设x R ∈,那么不等式13<-x 的解集为______________________2、〔2021年上海高考〕设.0,0>>b a 假设关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，那么b a +的取值范围是____________3、〔2021年全国I 高考〕某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料. kg ，乙材料1 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.4、〔2021年全国III 高考〕假设,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩那么z x y =+的最大值为_____________.不等式一．选择题： 1．(2021上海) 【答案】 B 2．(2021四川) 【答案】D 3.(2021上海) 【答案】 22 4.(2021新课标I). 【答案】：C5. (2021新课标II) 答案：B 6(2021天津) 【答案】B 7. (2021广东) 【答案】C 8. (2021北京) 【答案】D 9(2021天津) 【答案】C 【解析】.. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥012222C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上，是充要条件则若则若时，，）当（则若则若时，，）当（是必要条件则若是充分条件则若时，，）当（>>>>==<>>>><>>>>>==>10(2021江西) 【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+= 二．填空题 1. 〔2021大纲〕【答案】5. 2〔2021浙江〕31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、〔2021福建〕60 4〔2021福建〕1 5 (2021重庆)【答案】]211-[，【解析】]211-[∈1-2≥0221≥25221≥)(∴25)21f(|2||21-||21-|)(222，解得，，即恒成立，即有最小值由数轴可知，a a a a a a a x f x x x x f +++++=+++= 6. 〔2021辽宁〕【答案】-2 【解析】2-54-3.2-)4-1(211054-3654-3.58|22|1032,153:2151:)2-2∴)22(≥])153([1⇒]1532151)2-2[≥])153([1])215()2-2[])153([1∴0-)215()2-2-42-42222222222222222的最小值为所以，这时，取最大值时，，即当（（（（cb a b b b b bc b a c b a b c b a b b a b a c b b a b ba c cb ba cb ab a +≥=+=++===++••+•+•+=+•=+=+ 7(2021湖南).【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且不等式组,4y x x y ≤+≤限制的区域如图,所以2k ≤,那么当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划 8(2021湖南)9 (2021陕西) (不等式选做题)A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+三．解答题 1. (2021新课标I) 【解析】：(Ⅰ) 11ab a b ab=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==故3333342ab a b +≥=，且当2a b ==∴33a b +的最小值为42 ………5分〔Ⅱ〕由62326a b ab =+≥，得32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分 2. (2021新课标II)3. 〔2021辽宁〕【答案】〔1〕}34≤≤0|{x x 〔2〕【解析】〔1〕}34≤≤0|{].34,0[1≤)(∴1≤01;34≤≤11≥.1≤1-|1-|2)(x x M x f x x x x x x x f =<<+=所以，的解集为时，解得当时，解得当〔2〕222222223222213()16814444133[0,],[,],[0,]3444()[()][2(1)1](1)(1)(1)(12)111(1)(1)22413()[()],[0,]44g x x x xMN M N x f x x f x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x f x x f x x ，解得--4〔2021福建〕解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.二．2021年高考不等式真题答案1.【2021高考四川，理9】【答案】B 【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..2.【2021高考北京，理2】【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，那么1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2.3．【2021高考广东，理6】【答案】C ．4.【2021高考陕西，理9】【答案】C【解析】(p f ab ab ==()ln22a b a bq f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>，所以q p r >=，应选C ． 5．【2021高考湖北，理10】【答案】B【解析】因为[]x 表示不超过x 1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数n 的最大值是4.6.【2021高考天津，理2】【答案】C7.【2021高考陕西，理10】【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，那么利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影局部区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，应选D ．8.【2021高考山东，理5】【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩ 解〔I 〕得：1x < ,解〔II 〕得：14x ≤< ,解〔III 〕得：x φ∈ , 所以，原不等式的解集为{}4x x < .应选A. 9.【2021高考福建，理5】10.【2021高考山东，理6】【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如以下图中的阴影局部所示，假设z ax y =+的最大值为4，那么最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.应选B.11.【2021高考新课标1，理15】【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影局部所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A 〔1,3〕与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.12.【2021高考浙江，理14】【答案】3.13．【2021高考新课标2，理14】【答案】32【解析】画出可行域，如下图，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，那么z x y =+的最大值为32．学优高考网【考点定位】线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO14.【2021高考江苏，7】【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 15.【2021高考湖南，理4】【答案】A.【解析】如以下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：30x y -=，平移l ，从而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，应选A.【2021高考上海，理17】【答案】B2021年高考数学理试题分类汇编一、选择题1、〔2021年北京高考〕【答案】C2、〔2021年山东高考〕【答案】C3、〔2021年四川高考〕【答案】A4、〔2021年天津高考〕【答案】B5、〔2021年浙江高考〕【答案】C6、〔2021年北京高考〕【答案】C二、填空题1、〔2021年上海高考〕【答案】〔2,4〕2、〔2021年上海高考〕【答案】2+（，）3、〔2021年全国I高考〕【答案】2160004、〔2021年全国III高考〕【答案】3 2。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)不等式(真题+模拟)专项复习及解析.docx

第六章不等式26．不等式的性质及不等式的解法1．(2015·重庆)函数f(x)＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1] B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2．(2015·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·江苏)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 4．(2015·四川)如果函数f(x)＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812考点1 不等式的性质1．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c >b dB.a c b cD.a d 1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 34．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c>95．(2013·浙江)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a>b.若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2考点2 解不等式6．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.1527．(2014·大纲全国)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x|<1的解集为()A ．{x|－2＜x ＜－1}B ．{x|－1＜x ＜0}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|x ＞1}8．(2013·广东)不等式x 2＋x －2＜0的解集为________． 9．(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－53<x<13，则a ＝________．10．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．11．(2014·浙江)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x<0，－x 2，x ≥0，若f(f(a))≤2，则实数a 的取值范围是________．12．(2014·浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．13．(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1，或x>12，则f(10x)＞0的解集为( )A ．{x|x ＜－1，或x ＞－lg 2}B ．{x|－1＜x ＜－lg 2}C ．{x|x ＞－lg 2}D ．{x|x ＜－lg 2}14．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p ，q}表示p ，q 中的较大值，min{p ，q}表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －1615．(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．16．(2013·湖北)设a ＞0，b ＞0，已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋1.(1)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x ＞0时，称f(x)为a ，b 关于x 的加权平均数． ①判断f(1)，f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 是否成等比数列，并证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a ； ②a ，b 的几何平均数记为G.称2ab a ＋b为a ，b 的调和平均数，记为H.若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．1．(2105·烟台一模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x<0}，则M∩N等于( )A．(－1，0)B．(－1，1)C．(0，1) D．(1，3)2．(2015·北京昌平区期末)已知a>b>0，则下列不等式成立的是( )A．a2<b2 B.1a>1bC．|a|<|b| D．2a>2b3．(2015·江西师大模拟)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为( )A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q4．(2015·山东枣庄一模)关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )A．a<0或a>4 B．0<a<2C．0<a<4 D．0<a<85．(2015·威海一模)若a>b，则下列不等式成立的是( )A．ln a>ln b B．0.3a>0.3bC．a 12>b12D.3a>3b6．(2014·汕头检测)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )A ．a>ab>ab 2B ．ab 2>ab>a C ．ab>a>ab 2D ．ab>ab 2>a7．(2014·金版原创)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >ab8．(2015·湖北利川模拟)设p: |2x ＋1|>a.q ：x －12x －1>0.使得p是q 的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－2，3]D ．[3，＋∞)9．(2015·四川模拟)设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，52 C ．(1，3) D ．(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，＋∞ 10．(2014·常州质检)已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a<－35或a>1B ．－35<a<1C ．－35<a ≤1或a ＝－1D ．－35<a ≤111．(2015·威海一模)函数f(x)＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )A ．{x|x>2或x<－2}B ．{x|－2<x<2}C ．{x|x<0或x>4}D ．{x|0<x<4}12．(2014·云南省玉溪一中模拟)关于x 的不等式（x －a ）（x －b ）x －c ≥0的解为－1≤x<2或x ≥3，则点P(a ＋b ，c)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．(2014·云南省玉溪一中月考)对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax>4x ＋a －3恒成立的x 取值范围是________．14．(2014·山东省实验中学模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k<0的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围________．15．(2014·天津市耀华中学模拟)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________；16．(2014·枣庄三中模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|（x ≤0），x 2－1 （x>0），则不等式f(x)<0的解集为________．17．(2015·江西师大模拟)若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x|m<x<1}，则实数m ＝________．18．(2014·北京市东城区模拟)若a>0，b>0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a＋1b≥2. 19．(2014·安徽巢湖模拟)设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m ，n(m<n)．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F(x)>0的解集； (2)若a>0，且0<x<m<n<1a ，比较f(x)与m 的大小．20．(2015·浙江余姚模拟)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c 表示)．27.二元一次不等式(组)与简单的线性规划1．(2015·福建)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．22．(2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．(2015·新课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 4．(2015·四川)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492C ．12D ．165．(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．36．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．(2014·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．2．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．3．(2013·安徽)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA→|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 34．(2013·北京)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－53 考点2 利用线性规划求最值5．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．26．(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 7．(2014·山东)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.5D ．28．(2013·湖北)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元9．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13 D. －1210．(2014·福建)已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．(2013·江苏)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．12．(2013·陕西)若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．考点3 利用简单的线性规划求参数的值(范围)13．(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 14．(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1215．(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．816．(2013·课标全国Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3）.若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 17．(2013·四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．1618．(2014·课标全国Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y ≤－1，其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 319．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．20．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 21．(2013·大纲全国)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为 D.若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．22．(2013·广东)给定区域D: ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．1．(2015·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )2．(2015·江南十校模拟)已知点A(－2，0)，点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，上的一个动点，则|AM|的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2 D. 6553．(2015·江西重点中学模拟)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，若t ≤y ＋2x 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≤13B ．t ≤－5C ．t ≤－13D ．t ≤54．(2015·德州一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[－1，1)5．(2015·江西赣县模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为8，则ab 的最大值为( )6．(2015·辽宁师大附中模拟)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤53，5 B ．[0，5] C ．[0，5) D. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫53，5 7．(2015·北京西城模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0表示的平面区域为 D. 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是( )A ．1 B.22 C.12D ．58．(2015·黑龙江绥化模拟)已知关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，则ba 的取值范围是________．9．(2015·湖北八校模拟)已知直线l ：x ＝my ＋n(n>0)过点A(53，5)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆直径为20，则n ＝________．10．(2015·山东菏泽一模)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m<0，y ＋m>0.表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．11．(2015·河北衡水模拟)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋3y|的最小值________．12．(2015·江西重点中学模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3y ≤44x ＋3y ≥12所表示的平面区域为D.若圆C 落在区域D 中，则圆C 的半径r 的最大值为________．13．(2015·威海一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2，则M(x ，y)所在平面区域的面积为________． 14．(2015·潍坊一模)若x 、y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x|－1，y ≤x ＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．15．(2015·北京西城一模)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是________．16．(2015·烟台一模)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x ≤2，y ≤3则z ＝y －x 的最小值是________．17．(2015·浙江余姚模拟)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay(a ≥0)恰好在点(2，2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．18．(2014·北京朝阳模拟)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ＋y －2≥0，y －2≤0，若目标函数z ＝ax ＋y(其中a ＞0)仅在点(2，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________．19．(2014·北京市东城区模拟)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]20．(2015·广东六校联盟模拟)寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划1 2的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？21．(2015·山东省烟台模拟)已知α，β是三次函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0，1)，β∈(1，2)，求动点(a，b)所在的区域面积S.28.基本不等式1．(2015·福建)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )A．2 B．3 C．4 D．52．(2015·山东)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－y2xy(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．3．(2015·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．考点1 利用基本不等式求最值(值域)1．(2013·重庆)（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( )A．9 B.92C．3 D.3222．(2013·福建)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]3．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 34．(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．35．(2014·辽宁)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．6．(2013·四川)已知函数f(x)＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．7．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 8．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．考点2 不等式中恒成立的问题9．(2013·浙江)设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝________．10．(2013·重庆)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．11．(2013·辽宁) (1)证明：当x∈[0，1]时，22x≤sin x≤x；(2)若不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．12.(2013·辽宁) 已知函数f(x)＝(1＋x)e －2x，g(x)＝ax ＋x 32＋1＋2xcos x ．当x ∈[0，1]时，(1)求证：1－x ≤f(x)≤11＋x；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．考点3 基本不等式在实际中的应用13．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．14．(2014·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)15．(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．1．(2014·江西师大模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )A．3 B．4C.92D.1122．(2015·湖北利川模拟)设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A．a＋b>2ab B．(a－b)＋1a－b≥2C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋caD．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|3．(2014·商丘模拟)若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )A．12 B．2 3C．3 2 D．64．(2015·辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A．2 B．4 C．8 D．165．(2014·北京市丰台区模拟)“x>0”是“x＋1x≥2”的( )A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件6．(2015·广东广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A．3 000 B．3 300 C．3 500 D．4 0007．(2014·山东省师大附中模拟)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D. 68．(2014·北京市东城区模拟)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．9．(2015·河北衡水模拟)给出下列四个命题：①若a－1，则a 1＋a ≥b1＋b；③若正整数m 、n 满足m<n ，则m （n －m ）≤n 2； ④若x>0，则ln x ＋1ln x ≥2.其中正确命题的序号是________．10．(2015·潍坊一模)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．11．(2014·山东省青岛模拟)设二次函数f(x)＝ax 2－4x ＋c(x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋1＋9a ＋9的最大值为________．12．(2015·山东德州模拟)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy的最小值为________． 13．(2015·潍坊一模)已知a>b>0，ab ＝1，则a 2＋b2a －b 的最小值为________．14．(2013·金版原创)规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b(a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f(x)＝k ⊗xx的最小值为________．15．(2014·鹤岗模拟)若a ，b ，c>0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．16．(2015·湖北省荆门模拟)设x ∈R, 对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界. 若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－5B ．－4 C.92 D. －9217．(2015·日照模拟)已知x>0，y>0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________．18．(2015·江苏省盐城模拟)已知x>0，y>0，n>0，nx ＋y ＝1，1x ＋4y的最小值为16，则n 的值为________．19．(2014·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．20.(2015·山东省日照模拟)已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4，或x<1}．(1)求实数a，b的值；(2)若0<x<1, f(x)＝ax＋b1－x，求f(x)的最小值．21．(2014·浙江宁波模拟)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且asin A＋(a＋b)sin B＝csin C.(1)求角C；(2)若c＝1，求△ABC的周长l的取值范围．第六章不等式26．不等式的性质及不等式的解法【三年高考真题演练】[2015年高考真题]1．D [需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．A [由|x－2|＜1得，1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3⇒x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1⇒/ 1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.]3．{x|－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x －2＜0，解得－1<x<2.]4．B [令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－n－8m－2，当m＞2时，对称轴x0＝－n－8m－2，由题意，－n－8m－2≥2，∴2m＋n≤12，∵2mn≤2m＋n2≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－n－8m－2≤12，即2n＋m≤18，∵2mn≤2n＋m2≤9，∴mn≤812，由2n＋m＝18且2n＝m，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.] [两年经典高考真题]1．D [∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴0<1－c <1－d .即1－d >1－c >0.又∵a>b>0，∴a －d >b －c ，∴a d <b c.] 2．D [当a ＝0，b ＝－1时，a ＞b 成立，但a 2＝0，b 2＝1，a 2＞b 2不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分条件．反之，当a ＝－1，b ＝0时，a 2＝1，b 2＝0，即a 2＞b 2成立，但a ＞b 不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不必要条件．综上，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，应选D.] 3．D [由a x<a y(0<a<1)，可得x>y ，又因为函数f(x)＝x 3在R 上递增，所以f(x)>f(y)，即x 3>y 3.]4．C 5.C 6.A 7．C[⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，①|x|<1，②由①得，x<－2或x>0，由②得，－1<x<1，因此原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.]8．{x|－2<x<1} [x 2＋x －2<0即(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1，故原不等式的解集为{x|－2<x<1}．]9．－3 [由|ax －2|<3，得－1<ax<5.若a ≥0，显然不符合题意，当a<0时，解得5a <x<－1a ，故－1a ＝13，5a ＝－53，解得a ＝－3.]10.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 [根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m<0.] 11．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）<0f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]12.63 [由a ＋b ＋c ＝0可得c ＝－(a ＋b)．又a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a 2＋b 2＋[－(a ＋b)]2＝1，整理得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0.又由a 2＋b 2＋c 2＝1易知0≤b 2≤1，－1≤b ≤1，因此关于b 的方程2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0在[－1，1]上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－8（2a 2－1）≥0，－1≤a 2≤1，2－2a ＋2a 2－1≥0，2＋2a ＋2a 2－1≥0，解得a ≤63，即a 的最大值是63.]13．D [由题意知－1<10x<12，所以x<lg 12＝－lg 2，故选D.]14．B [∵f(x)－g(x)＝2x 2－4ax ＋2a 2－8＝2[x －(a －2)][x －(a ＋2)]，∴H 1(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ∈（－∞，a －2]，g （x ），x ∈（a －2，a ＋2]，f （x ），x ∈（a ＋2，＋∞），H 2(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），x ∈（－∞，a －2]，f （x ），x ∈（a －2，a ＋2]，g （x ），x ∈（a ＋2，＋∞），可求得H 1(x)的最小值A ＝f(a ＋2)＝－4a －4，H 2(x)的最大值B ＝g(a －2)＝－4a ＋12，∴A －B ＝－16.故选B.]15．解 (1)生产该产品2小时的利润为100⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x ＋1－3x ×2＝200⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x ＋1－3x . 由题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，解得x ≤－15或x ≥3.又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)生产900千克该产品，所用的时间是900x 小时，获得利润为100⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x ＋1－3x ·900x ＝90 000⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3x 2＋1x ＋5，1≤x ≤10.记f(x)＝－3x 2＋1x ＋5，1≤x ≤10，则f(x)＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －162＋112＋5，当且仅当x ＝6时取到最大值．最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．16．解 (1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f ′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b （x ＋1）2.当a>b 时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝2ab a ＋b >0，f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝ab>0，故f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝a ＋b 2·2ab a ＋b ＝ab ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a 2，即f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a 2，(*) 所以f(1)，f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 成等比数列．因a ＋b2≥ab ，即f(1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b ，由(*)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a . ②由①知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝H ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝G. 故由H ≤f(x)≤G ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c ≤f(x)≤f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a .(**)当a ＝b 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a ＝a.这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a>b 时，01，从而ba >ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，得b a ≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b a ，b a . 【两年模拟试题精练】1．C [因为，M ＝{x|x 2－2x －3<0}＝{x|－1<x<3}，N ＝{x|log 2x<0}＝{x|0<x<1}，所以M ∩N ＝{x|0<x<1}，选C.]2．D [利用不等式的性质，选D.]3．B [因为p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab ≤0，所以p ≤q ，则选B.]4．B [因为不等式x 2－ax ＋a>0(a ∈R)在R 上恒成立的充分条件是Δ＝a 2－4a<0，即0<a<4，所以不等式x 2－ax ＋a>0(a ∈R)在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a<2，故选B.]5．D6．D [∵a<0，－1<b<0，∴ab 2－a ＝a(b 2－1)>0，ab －ab 2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab 2>a.也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab2＝－12，ab ＝1，从而ab>ab 2>a.故应选D.]7．A [取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f(x)＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x ＋1x 在(0，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a.]8．A [设|2x ＋1|>a 的解集为A ，x －12x －1>0的解集为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1，或x<12，因为p 是q 的必要但不充分条件，所以B ⊆A ，然后利用排除法选A ；]9．B [令f(x)＝x 2－kx ＋1，因为方程x 2－kx ＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0即k ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，52.] 10．D [①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立，故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立，∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，△＝[－（a －1）]2＋4（a 2－1）<0.解得－35<a<1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35<a ≤1.]11．C [由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x －2)(－ax ＋b)＝(x －2)(ax ＋b)，(2a －b)x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f(x)＝a(x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0. f(2－x)>0即ax(x －4)>0，解得x<0或x>4. 故选C]．12．A [由不等式的解集可知，－1，3是方程的两个根，且c ＝2，不妨设a ＝－1，b ＝3，所以a ＋b ＝2，即点P(a ＋b ，c)的坐标为(2，2)，位于第一象限，选A.]13．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [原不等式等价为x 2＋ax －4x －a ＋3>0，即x 2＋ax －4x －a ＋3>0，所以a(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，令f(a)＝a(x －1)＋x 2－4x ＋3，则函数f(a)＝a(x －1)＋x 2－4x ＋3表示直线，所以要使f(a)＝a(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，则有f(0)>0，f(4)>0，即x 2－4x ＋3>0，且x 2－1>0，解得x>3或x<－1，即不等式的解为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]14．[－3，2) [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k<0得⎩⎪⎨⎪⎧x>2或x<－1（x ＋k ）（2x ＋5）<0要使解集中只有一个整数－2，则由(x ＋k)(2x ＋5)<0可知，不等式(x ＋k)(2x ＋5)<0解得－52<x<－k ，且－2<－k ≤3，即－3≤k<2，所以k 的取值范围是[－3，2)．]15．(－∞，－1]16．(－∞，1) [若x>0，由f(x)<0得x 2－1<0，解得0<x<1.若x ≤0，由f(x)<0得－|x ＋1|<0，解得x ≤0，综上不等式的解为x<1，即不等式的解集为(－∞，1)．]17．－52 [因为不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x|m<x<1}，所以a －3＋5＝0，得a ＝－2，由－2x 2－3x ＋5＝0解得x ＝1或x ＝－52，所以m ＝－52.] 18．①③⑤ [对于命题①由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，命题①正确；对于命题②令a ＝b ＝1时，不成立，所以命题②错误；对于命题③a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确；对于命题④令a ＝b ＝1时，不成立，所以命题④错误；对于命题⑤1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确．所以正确的结论为①，③，⑤.]19．解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x ＝a(x －m)·(x －n)，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F(x)>0，即a(x ＋1)(x －2)>0. 当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}． (2)f(x)－m ＝a(x －m)(x －n)＋x －m ＝(x －m)(ax －an ＋1)， ∵a>0，且0<x<m<n<1a ，∴x －m<0，1－an ＋ax>0. ∴f(x)－m<0，即f(x)<m.20．解 (1)已知得1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)得原不等式可化为x 2－(2＋c)x ＋2c<0 即(x －2)(x －c)<0所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|2<x<c} 当c<2时，所求不等式的解集为{x|c<x<2} 当c ＝2时，所求不等式的解集为∅.27．二元一次不等式(组)与简单的线性规划【三年高考真题演练】 [2015年高考真题] 1．A [如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.]2．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B(1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z.∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O(0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A(2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.]3．3 [约束条件的可行域如下图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.]4．A [xy ＝12×2xy ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋y 22≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1022＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时，等号成立，把x ＝52，y ＝5代入约束条件，满足．故xy的最大值为252.]5．B [不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m)×(1＋m)－12×(2＋2m)×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43，∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1.] 6．D [设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A(2，3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．] [两年经典高考真题] 1．4 2.23．D [以OA→，OB →为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA→|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A(3，1)，点B(3，－1)，点D(23，0)．现设P(x ，y)，则由OP →＝λOA →＋μOB →得(x ，y)＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧3（λ＋μ）＝x ，λ－μ＝y.由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，－1≤y ≤1，画出动点P(x ，y)满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为23×2＝4 3.]4．C [图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－23.故选C.]5．B [线性目标函数z ＝2x －y 满足的可行域如图所示．将直线l 0：y ＝2x 平行移动，当直线l 0经过点M(5，2)时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，也就是z 取最大值，此时z max ＝2×5－2＝8.]6．B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A(1，1)时，z 取最小值，且z min ＝1＋2×1＝3，故选B.]7．B[约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2，1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a)2＝5a 2－85＋20＝5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －4552＋4，即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4.]8．C [设需A ，B 型车分别为x ，y 辆(x ，y ∈N)，则x ，y 需满足⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21y －x ≤7，x ∈N ，y ∈N ，设租金为z ，则z ＝1 600x ＋2 400y ，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x ＝5，y ＝12，此时z 最小等于36 800，故选C.]9．C [不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为－13，故选C.]10．C [由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.。

历年(2014-2023)全国高考数学真题分项(不等式选讲)好题汇编(附答案)

历年（2014-2023）全国高考数学真题分项（不等式选讲）好题汇编题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a ()12f x x x =+--()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m 0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=设函数()5|||2|f x x a x =-+--． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集； (2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像；(II )求不等式(x)1f ൐的解集．(I )见解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥． 5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >>+>是a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．12．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． (I )求M ；(II )证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+．330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤13．(2016高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5：不等式选讲]设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．参考答案题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】(1)(][),42,-∞-+∞ ．(2)3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．答案解析：(1)当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．(2)依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．答案解析：(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭． (2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方答案解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【答案解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a -<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】见答案解析【答案解析】当0x <时，原不等式可化为122x x -+->，解得13x <-；当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +->，即1x <-，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +->，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->．为为(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．答案解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +．由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >．所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可答案解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-．综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++-=++-≥++-=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++-=-++<当03a <<时，()3f =165a a -+<，解得12a +>当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得52a +>综上所述，a的取值范围为15(,22++．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)．【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【答案解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而所以不等式的解集为(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得．所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a 112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1-1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x -+++--≤x 1x <-11x -≤≤1x >[1,1]x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[1,1]-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()12f -≥()12f ≥11a -≤≤a []1,1-1a =()()f x g x ≥21140x x x x -+++--<1x <-2340x x --≤11x -≤≤220x x --≤11x -≤≤1x >240x x +-≤112x -<≤()()f x g x≥112xx ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[]1,1-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩11a -≤≤a []1,1-()12f x x x =+--(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【答案解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时，当时，当时，所以所以不等式的解集为空集时，所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m {}1x x ≥5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩()1f x ≥131x <-⎧⎨-≥⎩12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩231x >⎧⎨≥⎩131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥-+m ()2f x x x m ≥-+()2m f x x x >-+()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩()max m F x >⎡⎤⎣⎦1x <-()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭12x -≤≤()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x >()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭()2f x x x m ≥-+54m >()2f x x x m ≥-+m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦x R ∈2()f x x x m -+≥2max [()]f x x x m -+≥2()()g x f x x x =-+由(1)知当时，，其开口向下，对称轴所以当时，，其开口向下，对称轴为所以当时，，其开口向下，对称轴为所以综上所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ){}13x x -≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【答案解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩1x ≤-2()3g x x x =-+-112x =>-()()11135g x g ≤-=---=-12x -<<()231g x x x =-+-32x =()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-= ⎪⎝⎭2x ≥()23g x x x =-++12x =()()24231g x g ≤=-++=()max 54g x =⎡⎤⎣⎦m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．【答案】答案解析:(1,得,且当时等号成立,故,且当∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =-，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b +变形为，再利用柯西不等式的最大值．答案解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b ==33a b +?a b =33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +==≤4==1=，即1t=时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c>>>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c++的值；(Ⅱ)求2221149a b c++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．答案解析：(Ⅰ)因为(x)|x||x||(x)(x)||a|f a b c a b c b c=++++?-++=++，当且仅当a x b-＃时，等号成立，又0,0a b>>，所以|a b|a b+=+,所以(x)f的最小值为a b c++, 所以a b c4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a ba b c c a b c⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222118497a b c++?．当且仅当1132231ba c==,即8182,,777a b c===时，等号成立所以2221149a b c++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x=-+--．(1)当1a=时，求不等式()0f x≥的解集；(2)若()1f x≤，求a的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a=时，24,1,()2,12,26, 2.x xf x xx x+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤可得()0≥f x的解集为{}|23≤≤x x-．(2)()1f x≤等价于|||2|4≥x a x++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ． 2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】(1),33a a ⎛⎫⎪⎝⎭(2)2答案解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x =--<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =--<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2)2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩．画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a ,所以211||222ABC S AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．【答案】(1)[2,2]-； (2)8．答案解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-(2)作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】(1)详解答案解析；(2)7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【答案解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f ൐的解集．【答案】 (I )见答案解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =-时，得13x =或5x = 故()1f x ൐的解集为{}13x x <<；()1f x -൏的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x -<<∴或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方答案解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间答案解析】(1)()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】答案解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, ,所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥．【答案】(1)见答案解析 (2)见答案解析【答案解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以1143a c ≥+，由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++，当且仅当124a c =，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．【答案】(1)证明见答案解析(2)证明见答案解析．答案解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】(1)43；(2)见详解．【官方答案解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦…故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦…故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．【答案】(1)[0，43]；(2)见答案解析．答案解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②．解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14-≤x ≤34，∴N =[14-，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]．答案解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥+29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=-+≥． (江苏苏州褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．(II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥⨯+⨯+⨯=++++=++即2223q pr ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+>是a b c d -<-的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见答案解析；(Ⅱ)详见答案解析．答案解析：(Ⅰ)因为2ab=++2cd=++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22+>+>．(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-，则22()()a bc d -<-．即22()4()4ab abcd cd +-<+-．因为a bc d +=+，所以ab cd >>+>，则22>+，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4aba b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<->a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明:(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见答案解析；(2)详见答案解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法，假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：又，所以．当时，等号成立．所以，，即．(2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为，所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为，所以：．又，所以: 。

高考数学压轴专题专题备战高考《不等式》单元汇编含答案

数学《不等式》高考复习知识点一、选择题1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.2．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．3．若直线过点，则的最小值等于（）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．4．若33log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】【分析】由33log (2)1loga b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为33log (2)1loga b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(8216)3333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.5．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由20x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．6．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（） A ．43B ．2log 3C ．25D ．24log 3【解析】【分析】利用基本不等式求出2a b +的最小值后可得221a b a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可得c 的最大值. 【详解】因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.又因为2222a b c a b c ++++=，故2114211212133a b ca b a b +++==+≤+=--，当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3c =. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.7．已知实数x ，y满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（）A ．2B ．4C．D ．8【答案】B 【解析】【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形，又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2d ==，所以24d =，即22xy +最小值为4.【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．已知点(2,0)M，点P在曲线24y x=上运动，点F为抛物线的焦点，则2||||1PMPF-的最小值为（）AB．1)C．D．4【答案】D【解析】【分析】如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11PF PN PQ-=-=，设(),P x y，0x>，则2||4||1PMxPF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11PF PN PQ-=-=，设(),P x y，0x>，则()()22222224||||44||1x y x xPM PPMxF xQP x x-+-+====+≥-，当4xx=，即2x=时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．已知x、y满足约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y=+，则实数z的最小值为（）A 2B．25C．12D．2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y+的最小值，进而可得出实数z的最小值.【详解】作出不等式组122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min212x y+==⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（）A ．4B ．3C ．232D ．2【答案】D 【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++．令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．12．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．13．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．14．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项. 点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．15．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( )A ．14πB ．12π C ．π D ．32π 【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（） A ．22⎫+∞⎪⎪⎣⎭ B ．[)1,+∞ C ．)2,⎡+∞⎣ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OM y k k k x k k +∴===+≥=k =时取等号），即直线OM斜率的取值范围为)+∞.故选：C .【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2252d ⎛⎫==；所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）． A 5B ．3C ．23 D ．22【答案】D【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---2()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立所以22a b a b+-的最下值为2故答案选D考点：基本不等式．19．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（）A ．0B ．3-C ．32D ．3【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.20．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为（）AB ．25C ．12D ．2【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22x y +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．【详解】由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z +≥恒成立，只需()22min z x y ≥+，因为22x y +表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，其中最小值距离为2d ==，则212d =，即12z ≤ 所以数z 的最大值12．故选：C ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区x y 的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能域，结合22力．。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》全集汇编附答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题1.已知实数x 0,y 0，则’2x2y4”是xy 1 ”的（）A.充要条件B.必要不充分条件c.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】c【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断【详解】Q2x2y 2、2xy且2x2y4 ,2.2xy4 2x y 2x y 2 ,等号成立的条件是x y,又Q x y 2 xy , x 0,y 02 xy 2 xy 1 ,等号成立的条件是x y,2x 2y 4 xy1,反过来，当x 2,y 1-时，3此时xy1,但2x2y4，不成立,2x2y4 ”是“xy 1 ”的充分不必要条件•故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型x 3y 6 2.若x, y满足约束条件x y 6y 1, A. 4 B. 0【答案】D【解析】0,0,则z x y的最小值为（）C. 2D. 4【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】x 3y 6 0由题意，画出约束条件x y 6 0所表示的可行域，如图所示,y 1目标函数z x y，可化为直线y x z当直线y x z经过A时，z取得最小值,x 3y 6 0 ..-..又由，解得A( 3,1),y 1所以目标函数的最小值为z min 3 1 4.本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力.3.关于x的不等式ax b0的解集是(1,)，则关于x的不等式(ax b)(x 3)0的解集是( )A.(,1)U(3,)B. ( 1,3)C. (1,3)D. ( ,1)U(3,)【答案】A【解析】【分析】由ax b0的解集，可知a 0及-a1，进而可求出方程ax b x 3 0的解, 从而可求出ax b x30的解集•【详解】由ax b 0的解集为(1, +?)，可知a 0且b1,令ax b x 3 0，解得为 1 , X2 3,因为a 0，所以ax b x 3 0的解集为，1 U 3,故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题•x 2y 3 04.已知x, y 满足约束条件 2x 3y 4 0，若目标函数z mx ny 2的最大值为1y 01 1（其中m 0,n 0），则的最小值为（）2m n3A . 3B . 1C. 2D .2【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数 z 的最大值求得 m, n 的关系式m 2n 3，再利用基本不等式1 1求得的最小值.2m n【详解】m 0,n 0,所以基准直线mx ny 0的斜率为负数，故本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题•5.已知点p , Q 分别是抛物线x 2 8y 和圆x 2 （y 2）2 1上的动点，点A （0,4），则画出可行域如下图所示，由于m 2n 21，所以 m 2n 3.1 1 1 1 1c 1 m 2n —35 n m 1 5 m n32n m2m n3 2m n2 1 m n ，当且仅当n m,m n 1时等号成立，所以1 1 的最小值为3m n2m n219 3 3 2 2目标函数在点A 1,2处取得最大值，即业的最小值为()|PQ|【答案】B 【解析】【分析】当且仅当y o| PA |2所以的最小值为4.|PQ|故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题•6.已知函数f x log 2x 2 1 x ，若对任意的正数 a,b ，满足3 1f a f 3b 10，则的最小值为()a bA . 6B . 8C. 12D . 24【答案】C 【解析】【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得 a 3b 1，最后根据基本不等式求最值•A . 10B . 4c. 2、、3 2D . 4.2 1，用y o 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值【详解】设出点P 的坐标x o , y o设点P x o ,y o ，因为点P 在抛物线上，所以 2 Xo8y o y oPQ因为点A (o,4)，则|PA |2x o y o 4 28y oy o2y o 16.又知点Q 在圆x 2 (y 2)2 1上，圆心为抛物线的焦点F(0,2),的值最小，则|PQ |的值应最大，即PQmaxPF 1 y o 3.所以| PA||PQ|y 16y o32y o 3 6 y o 325yo3y o 3^6y oy o 253 6 42时等号成立.0,所以定义域为R ,7 .已知，均为锐角，且满足 sin2cos ，则的最大值为（） A .B.-c.—D.—12643【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan3tan ，由，均为锐角，则—— -,，要求出的最大值，只需求出tan(）的最大值，利用两角差2 2的正切公式，将t a n （）表示为t a n 的关系式，结合基本不等式，即可求解【详解】sin由2cos 整理得 sin 2cos sinsin即 sin cos cos sin 2cos sin , 化简得sin cos3cos sin ，贝U tan 3ta n ，tan所以tan tan 2ta n 21 tan tan21 3ta n3ta n ，tanf xf x ，f x 为奇函数，因为 faf 3b 10，所以f a f 13b ， a 所以3 13 19b aa 3b—6，a b a bab因为 9b a 2、 9b a Q —6，a b * ■ a b所以 3 1 12 （当且仅当a 丄，b 1时,等号成立）a b26log 2、x 2 11 3b ，即 a 3b 1 ,【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题，选 C.1也丁二，【详解】因为因为flog L X 2「一x ，所以 x 为减函数因为fx ，所以又因为为锐角，所以tan 0 ,2根据基本不等式 —13tan tan当且仅当tan3时等号成立,3因为，，且函数y tanx 在区间，一上单调递增,2 2 2 2则的最大值为-.6故选B【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题&已知不等式 x ax 4 > 0对于任意的x ［1,3］恒成立，则实数a 的取值范围是（）A .( ,5]B . [5,) c.( ,4] D . [4,)【答案】 C【解析】若不等式2 xax 4 > 0对于任意的x［1,3］恒成立,则a4 x对于任意的xx [1,3]恒成立，T 当x4 [1,3]时，x[4,5] x，二 a 4,即实数 a 的取值范围是（,4］，故选C .【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题•不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a f x 恒成立（a f X max 即可）或a f x恒成立（a f x min 即可）；②数形结合（y f x 图象在y g x 上方即可）；③ 讨论最值f x min 0或f X max 0恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a 的取值范围的•x y 4 0,9 •若x , y 满足约束条件x 2 0, 且z ax y 的最大值为2a 6，则a 的取值范x y 2 0,围是（）A . [ 1,)B .(71]C.(1,) D . ( , 1)【答案】A 【解析】2 2,3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断 a 的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示•因为z ax y 的最大值为2a 6，所以z ax y 在点A(2,6)处取得最大值，则a 1，即a 1.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.F ，准线为I , A , B 是抛物线上的两个动点，且满ABF 中考点：抛物线的性质. 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物io .抛物线―於筲二①的焦点为足AFB —，设线段AB 的中点3M 在I 上的投影为N ，则MNAR 的最大值是()24【答案】B 【解析】【分析】【详解】B .C.2试题分析：设A,B 在直线I 上的投影分别是A’B ,，则 AF AA , BF BB i ，又 M 是AB 中点，所以MN匚(AA iAB (AF (|AF |ABAFBF )2BF )22BFAF AF BF cosBF (AFAFBFAF BFBF )2AFBF)2BF )2，所以2 3—，所以3MN AB，故选B .BB i )，则，在43，即线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化•象本题弦 AB 的中点M 到准线的距离首先等于 A, B 两点到准线距离之和的一半,然后转化为代B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长 AB 之间可通过余弦定理建立关系.11 •在三角形ABC 中，给出命题P ：ab c 2”命题q ： C — ”则p 是q 的（）3A .充分不必要条件 C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理将c 2化为a 2 b 2 2abcosC ，整理后利用基本不等式求得1 2cosC2 ,求出C 范围，即可判断充分性，取 a 4, b 7 , c 6，则可判断必要性不成立，两者当且仅当a b 时等号成立,1 此时，1 2cos C 2，即 cosC ，解得 C —,23充分性得证;必要性：取a 4 , b 7 , c 6，则cosC 故C ，但ab 28 c 2，故C 推不出ab c 2. 3 3故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题•B .必要不充分条件【详解】充分性：由余弦定理， 2 c2 2a b 2abcosC ,所以ab c 2，即 ab 2a b 2 2abcosC ,整理得， 1 2cosC2a b 2ab 由基本不等式,a 2b 2 2 a 2b 2 abab16 49 36 29 1 2 4 756 2，结合可得正确的选项x y 2,12.若变量x, y满足｛2x 3y 9,则x2+y2的最大值是x 0,A. 4B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点 A (3, 1)到原点距离最大，所以2 2(x y )max 10，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目•从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13.已知函数f(x)1mcos2x (m 2)sin x，其中1 m 2，若函数f x的最大值2记为g m，则g m的最小值为()1A. —4【答案】D【解析】【分析】B. 1C. .3D.、一3 1 f(x) 2ms in x (m 2)sin x m，令sinx2t [ 1,1]，则2mmt (m 2)t m，结合1m 2可得【详解】y t丄丄m 22m2 (m 2)24m-m - 1，再利用基本不等式即可得到答案4 mm 乙3时，等号成立.3故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用, 考查学生的数学运算能力，是一道中档题•若a > b>0 ,则a b >0,则可得出ab a b >0 ；故“ab a b >0 ”是“a > b >0 ”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决.15.若均不为1的实数a 、b 满足a b 0,且ab 1，则（） A . log a 3 log b 3B .3a 3b 6C.3ab 1 3a b D . a b b a【答案】B 【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明 B 成立•【详解】由已知，f （x ）12m (12sin 2x)2 m(m 2)sin x msin x (m 2)sin x —,令 sin x t1,1]，则mt 2（m 2）ti ，因为 1 m 2，所以对称轴为2 m 2m 1[0,2，所以g m y t2m 2(m4m2)2 1 2 3m 11 ..3 1，当且仅当V4 m14.若a 、b 均为实数，则 ab a b 0”是 a b 0”的()A .充分不必要条件 c.充分必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性【详解】B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件若 ab a b >0 中，取 a = 1, b =2，则推不出a > b >0 ;本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题值范围是（【答案】【解析】【分析】2 4k 2k 1 6k 1 2k 1故选：D . 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征.y x17.若实数x , y 满足不等式组 x y 1，则2x y的最小值是（）y 1当 a 9,b 3时 log a 3 log b 3 ；当 a 2,b1 时 3ab 1 3a b ;当 a 4,b2 时 a bb a ;因为a b 0, ab 1，所以3a 3b 综上选B.【点睛】2.3a 3b 2.厂 2 32 ab 6，16.已知直线ykx 2k 1与直线y 2的交点位于第一象限，则实数 k 的取B .c.D .y 联立ykx 2k1x 2，可解得交点坐标（x,y ），由于直线y kx 2k1与直线2的交点位于第一象限,可得，解得即可.【详解】解：联立kx 2k 1，解得22 4k 2k 1 6k 1 2k 1Q 直线ykx 2k 1与直线1x 2的交点位于第一象限, 2，解得:【答案】D 【解析】【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数y 2x z ，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求 Z 的最小值.【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的 ABC ,由z 2x y 可得y 2x z ，则z 为直线在y 轴上的截距y x把直线l : y2x 向上平移到 A 时，z 最小，此时由' 可得A( 1, 1)y 1此时z 3 , 故选：D .本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的 z 的意义是关键，属于中档题.18.设集合Mx—0 ,N x 2小x 2x0，则M N 为()x 1A . x0 x 1B . x0 x 1C.x 0 x 2D .x 0 x 2【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合M {x0 x 1}, N {x|0 x 2}，再结合集合交集的运算，即可求解【详解】A . 33 B.-2C. 0D .3z 2x y 可得X2由题意，集合 MX —- 0 {xO x 1}, N x x 2x 0 {x|0 x 2},所以 M N xO x 1 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合 A,B 是解答的关键，着重考查了计算能力•的公差d 0，且a 1,a 3,a 13成等比数列，若 & 1, S n 为数列昂n(1 2n 1)故选：D . 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题.2 21120.已知直线2mx ny 2 m 0,n 0过圆x 1 y 2 5的圆心，则一一19.已知等差数列 a n 2S 的前n 项和，贝U —nA . 4B . 3【答案】D【解析】【分析】由题意得（12d ）2 1 12d ，求出公差d2S n 从而可得 -6，换元，利用基本不等式,a n 3【详解】解：Qa 11 ,a 1、a 3、a 13成等比数列，2(1 2d) 1 12d .得d 2或d 0 （舍去），D . 2的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和, 2n 1 ,2S n a n6 32nf 6 2n2S n a n6 3当且仅当t 2，即 n 1时,2Sn 卫的最小值为2.3a n即可求出函数的最小值.a n a nm n 的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】圆心坐标为（1,2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.【详解】2)25的圆心为(1,2),圆(X 1)2(y由题意可得2m2n 2，即m n 1, m , n 0,1 111n m n m, 1则一(—)(m n) 2—一…4 , 当且仅当且m n 1 即m n —m n m n m n m n2时取等号，故选：D .【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：- -正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题.。

高考数学各地模拟汇编---不等式与绝对值不等式(有答案)

2014年12月28日高中数学不等式与绝对值不等式一．解答题（共30小题）1．（2015•开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．2．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．3．（2014•广安一模）已知函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．4．（2014•天津一模）若满足ab=a+b+3的任意正数a，b均有|x﹣6|≤ab，则实数x的取值范围是_________．5．（2014•望江县模拟）当a＞0，b＞0时，不等式+≥，则λ的最大值为_________．6．（2014•河南二模）若2x+y=2，则32x+3y的最小值为_________．7．（2014•宁波模拟）若x，y∈R，xy≠0且x2+my2=mxy，则实数m的取值范围是_________．8．（2014•呼和浩特二模）已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．9．（2014•安阳一模）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．10．（2014•宜春模拟）若不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_________．11．（2014•郑州一模）选修4﹣5：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．12．（2014•福建模拟）已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．13．（2014•辽宁模拟）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．14．（2014•甘肃二模）设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．15．（2014•洛阳一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a的取值范围．16．（2014•河南二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．17．（2014•洛阳二模）设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．18．（2014•呼和浩特一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．19．（2014•郑州一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）．（Ⅰ）若f（x）的最小值为3，求a值；（Ⅱ）求不等式f（x）≥3﹣x的解集．20．（2014•银川模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（a）．21．（2013•安阳模拟）设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．22．（2014•吉林二模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．23．（2014•长葛市三模）已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．24．（2014•葫芦岛二模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若∃x∈R，使得不等式|x﹣3|+|x﹣a|＜4成立，求实数a的取值范围．25．（2014•兴安盟一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1）．（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．26．（2014•河南一模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣3|，x∈R（Ⅰ）若a=1时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若a=2时，g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．27．（2014•海口二模）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．28．（2014•福州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．29．（2014•商丘三模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围；（2）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．30．（2014•邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2014年12月28日高中数学不等式与绝对值不等式参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）利用基本不等式的性质即可得出；（II）利用基本不等式的性质即可得出．解答：（I）证明：，（II）解：，即，又∵得，即，∴．∴当且仅当上式等号成立．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．3．（2014•广安一模）已知函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．考点：基本不等式；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）首先求出点P关于直线x=2的对称点，然后把点（8，2）和P的对称点的坐标代入函数f（x）的解析式联立解方程组可求f（x）的解析式；（Ⅱ）把f（x）的解析式代入函数g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），整理后把得到的函数中对数式的真数运用基本不等式求出最小值，然后借助于对数函数的单调性可求函数g（x）的最小值．解答：解析：（Ⅰ）点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q的坐标为Q（1，﹣1）结合题设知，可得，即，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x．（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=（x＞1），∵，当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了利用基本不等式求函数最小值，利用基本不等式求最值一定要注意应满足的条件，即“一正、二定、三相等”，是中档题．4．（2014•天津一模）若满足ab=a+b+3的任意正数a，b均有|x﹣6|≤ab，则实数x的取值范围是[﹣3，15]．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据基本不等式可将式子中的a+b用ab表示，代入题设等式中得关于的不等式方程，进而求得的范围，再解不等式求出范围，解答：解：∵正数a，b∴ab=a+b+3≥2+3∴ab≥2+3∴≥0∴≥3或≤﹣1，∴ab≥9则若满足ab=a+b+3的任意正数a，b均有|x﹣6|≤ab，必有|x﹣6|≤9，解得﹣3≤x≤15，则实数x的取值范围是[﹣3，15]．故答案为：[﹣3，15]．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．5．（2014•望江县模拟）当a＞0，b＞0时，不等式+≥，则λ的最大值为8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式的性质a+b，化简计算即可．解答：解：∵+≥，a＞0，b＞0∴，∵，∴λ≤8，∴λ的最大值为8．故答案为：8．点评：本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．6．（2014•河南二模）若2x+y=2，则32x+3y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质、指数运算法则即可得出．解答：解：∵2x+y=2，则32x+3y≥==2=6，当且仅当2x=y=1时取等号．∴32x+3y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算法则，属于基础题．7．（2014•宁波模拟）若x，y∈R，xy≠0且x2+my2=mxy，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪[4，+∞）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知变形利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵x，y∈R，xy≠0且x2+my2=mxy，∴==，当分母大于0时，m≥4；当分母小于0时，m＜0．综上可得：m的取值范围是（﹣∞，0）∪[4，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪[4，+∞）．点评：本题考查了二次函数的单调性、不等式的基本性质，属于中档题．8．（2014•呼和浩特二模）已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4，从而可求a 的取值范围．解答：解：（I）若a=1，则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4，可得x≤﹣3当﹣3＜x≤时，原不等式可化为4﹣x≥2x+4，可得3x≤0当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2综上，A={x|x≤0，或x≥2}；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4∴x≥a+1或x≤∴a+1≤﹣2或a+1≤∴a≤﹣2综上，a的取值范围为a≤﹣2．点评：本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．（2014•安阳一模）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．考点：绝对值三角不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得≥==4．（2）由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，由于的最小值为4，故有x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．解答：解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．（4分）由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．（8分）∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）点评：本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想．10．（2014•宜春模拟）若不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用|x﹣a|﹣|x|≥|a|可得|a|＜2﹣a2，即（|a|+2）（|a|﹣1）＜0，求得|a|的范围，可得实数a的取值范围．解答：解：根据|x﹣a|﹣|x|≥|（x﹣a）﹣x|=|a|，不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2对x∈R恒成立，可得|a|＜2﹣a2恒成立，（|a|+2）（|a|﹣1）＜0，解得|a|＜1，即﹣1＜a＜1，故答案为：（﹣1，1）．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，得到，（|a|+2）（|a|﹣1）＜0，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．（2014•郑州一模）选修4﹣5：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式，求出f（x）的最小值为，则由，解得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，当时，不等式为﹣x﹣2≤2，解得．（1分）当时，不等式为3x≤2，解得．（2分）当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．（3分）综上，不等式的解集为．（5分）（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，故，即f（x）的最小值为．（8分）所以，当f（x）≤log2a有解，则有，解得，即a的取值范围是．（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．12．（2014•福建模拟）已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①当x≤1时，不等式①等价于﹣2x+1＞0，解之得x；②当1＜x≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，无实数解；③当x＞5时，不等式①等价于2x﹣11＞0，解之得x综上所述，函数f（x）的定义域为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，∴只要a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）+（x﹣5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）∴a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（﹣∞，4）．点评：本题给出含有绝对值的对数形式的函数，求函数的定义域并讨论不等式恒成立．着重考查了函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法与性质等知识，属于中档题．13．（2014•辽宁模拟）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的值域．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（1）对不等式）|2x﹣1|+|2x﹣3|≤5，分x≥，＜x＜和x＜三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，把求的结果求并集，就是原不等式的解集．（2）的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值．解答：解：（1）或或不等式的解集为（2）若的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解又f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m＞﹣2．点评：问题（1）考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，属中档题；问题（2）考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，属中等题．14．（2014•甘肃二模）设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）解不等式f（x）＜1，可得2a﹣1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，由此解得a的值．（2）由题意可得不等式|x﹣2a|＜3﹣x有解，即x﹣3＜x﹣2a＜3﹣x有解，即有解，即有解，由此求得a的范围．解答：解：（1）由于函数f（x）=|x﹣2a|，由不等式f（x）＜1，可得﹣1＜x﹣2a＜1，解得2a﹣1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，解得a=1．（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，即不等式|x﹣2a|＜3﹣x有解，即x﹣3＜x﹣2a＜3﹣x有解，即有解，即有解，故有a＜，即a的范围为（﹣∞，）．点评：本题主要考查绝对值不等式额解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．15．（2014•洛阳一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+l|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，而对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，由此可得不等式f（x）≥2 的解集．（Ⅱ）先求得f（x）的最大值等于3，则由题意可得3≤|a﹣2|，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+l|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，而对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，故不等式f（x）≥2 的解集为[，+∞）．（Ⅱ）由不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，可得f（x）的最大值小于或等于|a﹣2|．而f（x）的最大值等于3，∴3≤|a﹣2|，∴a﹣2≤﹣3，或a﹣2≥3．解得a≤﹣1，或a≥5，故实数a的取值范围为{a|a≤﹣1，或a≥5}．点评：本题主要考查绝对值的意义．绝对值不等式的解法，属于中档题．16．（2014•河南二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．考点：绝对值不等式的解法；不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．解答：解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．17．（2014•洛阳二模）设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）=|x﹣a|≤3，即a﹣3≤x≤a+3．由此建立关于a的不等关系能求出a的取值范围．（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质得|x﹣2a|+|x|最小值就是2|a|，若f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a对x∈R恒成立，则只要满足2|a|≥1﹣2a，由此能求出实数a的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|≤3，即a﹣3≤x≤a+3．依题意，由此得a的取值范围是[0，2]．…（4分）（Ⅱ）f（x﹣a）+f（x+a）=|x﹣2a|+|x|≥|（x﹣2a）﹣x|=2|a|．…（6分）当且仅当（x﹣2a）x≤0时取等号．解不等式2|a|≥1﹣2a，得a≥．故a的最小值为．…（10分）点评：本题考查不等式的解集的求法，考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意零点分段讨论法和绝对值不等式性质的合理运用．18．（2014•呼和浩特一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的值域．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分当时和当时两种情况，分别求出不等式的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，为f（x）═，f（x）有最小值的充要条件为，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3，故实数a的取值范围是[﹣3，3]．…（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（2014•郑州一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）．（Ⅰ）若f（x）的最小值为3，求a值；（Ⅱ）求不等式f（x）≥3﹣x的解集．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）因为函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|a﹣4|，由题意可得|a﹣4|=3，由此求得a的值．（2）不等式即|x﹣4|+|x﹣a|≥3﹣x，a＜4，分①当x＜a时、②当a≤x≤4时、③当x＞4时三种情况，去掉绝对值，求得不等式f（x）≥3﹣x的解集．解答：解：（1）因为函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|（x﹣4）﹣（x﹣a）|=|a﹣4|，因为a＜4，所以当且仅当a≤x≤4时等号成立，故|a﹣4|=3，即a=1．（2）不等式f（x）≥3﹣x，即不等式|x﹣4|+|x﹣a|≥3﹣x，a＜4，①当x＜a时，原不等式可化为4﹣x+a﹣x≥3﹣x，x≤a+1．所以，当x＜a时，原不等式成立．②当a≤x≤4时，原不等式可化为4﹣x+x﹣a≥3﹣x，即x≥a﹣1，所以，当a≤x≤4时，原不等式成立．③当x＞4时，原不等式可化为x﹣4+x﹣a≥3﹣x，即x≥由于a＜4时4＞．所以，当x＞4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f（x）≥3﹣x的解集为R．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论以及等价转化的数学思想，属于中档题．20．（2014•银川模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（a）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）依题意，f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2⇔|x﹣2|+|x|≤2，通过对x范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解得每个不等式的解，最后取其并集即可；（Ⅱ）f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|，a＜0时，|利用绝对值不等式|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|+|﹣ax+a|≥|ax ﹣1﹣ax+a|=|a﹣1|=f（a）即可证得结论．解答：选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）∵f（x﹣1）+f（1﹣x）=|x﹣2|+|x|．因此只须解不等式|x﹣2|+|x|≤2．当x≤0时，原不式等价于2﹣x﹣x≤2，即x=0．当0＜x＜2时，原不式等价于2≤2，即0＜x＜2．当x≥2时，原不式等价于x﹣2+x≤2，即x=2．综上，原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．…（5分）（Ⅱ）∵f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|，又a＜0时，|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|+|﹣ax+a|≥|ax﹣1﹣ax+a|=|a﹣1|=f（a），∴a＜0时，f（ax）﹣af（x）≥f（a）．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．21．（2013•安阳模拟）设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x﹣3|≥1，由此求得不等式f（x）≥5x+1的解集．（Ⅱ）由f（x）≤0 得|2x﹣a|+5x≤0，此不等式化为不等式组，或．分别求得这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x﹣3|≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由此可得x≥2 或x≤1．故不等式f（x）≥5x+1的解集为{x|x≥2 或x≤1{．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由f（x）≤0 得|2x﹣a|+5x≤0，此不等式化为不等式组，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）即，或．因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故a=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．22．（2014•吉林二模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，∴不等式的解集为．…（5分）（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…（10分）点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．23．（2014•长葛市三模）已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）当a=1时，原不等式可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，易知函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，依题意，解不等式3a＜6即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，当时，不等式为3﹣x+1﹣2x＞5，∴，当时，不等式即3﹣x+2x﹣1＞5，∴x＞3，所以x∈∅，当x＞3时，不等式即x﹣3+2x﹣1＞5，∴x＞3，综上所述不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞3}．…（5分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，所以函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，根据题意可得3a＜6，即a＜2，所以a的取值范围为（﹣∞，2）．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号是关键，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题．24．（2014•葫芦岛二模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若∃x∈R，使得不等式|x﹣3|+|x﹣a|＜4成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由a=0知原不等式为|x﹣3|+|x﹣a|＞4，分x≥3、0≤x＜3、x＜0 三种情况，分别求出解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值小于4，再由绝对值的意义可得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值等于|a﹣3|，故有|a﹣3|＜4，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由a=0知原不等式为|x﹣3|+|x﹣a|＞4，当x≥3时，有2x﹣3＞4，解得x＞．当0≤x＜3 时，3＞4，无解．当x＜0时，﹣2x+3＞4，解得x＜﹣．故解集为{x|x＞，或x＜﹣}．（Ⅱ）由∃x∈R，使得不等式|x﹣3|+|x﹣a|＜4成立，可得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值小于4．又|x﹣3|+|x﹣a|≥|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，∴|a﹣3|＜4，∴﹣4＜a﹣3＜4，即﹣1＜a＜7，故实数a的取值范围为（﹣1，7）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．25．（2014•兴安盟一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1）．（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由|x﹣4|+|x﹣a|≥|a﹣4|结合题意可得|a﹣4|=3，由此求得a的值．（2）分当x≤4时、当4＜x＜7时、当x≥7时，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（1）因为|x﹣4|+|x﹣a|≥|x﹣4﹣（x﹣a）|=|a﹣4|，…（3分）所以|a﹣4|=3，即a=7，或a=1．…（5分）由a＞1知a=7．…（6分）（2）当x≤4时，不等式化为﹣2x+11≤5解得：3≤x≤4．…（7分）当4＜x＜7时，不等式化为3≤5，恒成立，所以：4＜x＜7．…（8分）当x≥7时，不等式化为2x﹣11≤5，解得：7≤x≤8．…（9分）综上，不等式f（x）≤5 的解集为{x|3≤x≤8}．…（10分）点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．26．（2014•河南一模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣3|，x∈R（Ⅰ）若a=1时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若a=2时，g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）通过对x取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式，解之取并即可；（Ⅱ）依题意知，f（x）+m=0在R上无解；利用绝对值不等式可求得f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，从而可得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|，∵f（x）≤5，∴或或，解得﹣≤x＜，或≤x≤3，或x∈∅，∴﹣≤x≤3．∴不等式的解集为[﹣，3]…5分（Ⅱ）g（x）=的定义域为R，则f（x）+m≠0，即f（x）+m=0在R上无解；又a=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，即f（x）min=2，∴m＞﹣2…10分点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．27．（2014•海口二模）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．28．（2014•福州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）﹣af（x）≤|a﹣1|，结合题意可得2a﹣3≥|a﹣1|，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|，所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．29．（2014•商丘三模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围；（2）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可求得（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1，从而可求得k的取值范围；（2）当k=1时，对x分类讨论后去掉绝对值符号，从而可求得每部分的解集，最后取各种情况之并即可．解答：解：（1）|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，∀x∈R恒成立即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，∴k≥2；…5分（2）当k=1时，若x≤2，f（x）＜3x⇔2﹣x+3﹣x+1＜3x，∴5x＞6，解得x＞，∴＜x≤2；当2＜x＜3时，同理可得3x＞2，解得x＞，∴2＜x＜3当x≥3时，x＞﹣4，∴x≥3综上所述，不等式的解集为（，+∞）…10分．点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查分析转化与解决问题的能力，属于中档题．30．（2014•邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，…（2分）当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（5分）（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．。

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编试卷含答案(不等式)

2
2
故 sin cos sin cos sin cos 3 ， 2
故 sin cos ,sin cos ,sin cos 不可能均大于 1 .
2
取，，，
6
3
4
则 sin cos 1 1 ,sin cos 6 1 ,sin cos 6 1 ，
42
42
，
上下平移直线 y 3x z ，数形结合可得当直线过点 A 时, z 取最小值，
此时 zmin 31 3 6 .
故选：C.
3．B
x 1 0
【解析】画出满足约束条件
x
y
0
的可行域，如下图所示：
2x 3y 1 0
目标函数 z x 1 y 化为 y 2x 2z ， 2
x 1
x 1
_________．
20．（2020·江苏）已知 5x2 y2 y4 1(x, y R) ，则 x2 y2 的最小值是_______．
x y 0, 21．（2020·全国（文））若 x，y 满足约束条件 2x y 0，，则 z=3x+2y 的最大值为
x 1,
_________．
2x y 2 0, 22．（2020·全国（理））若 x，y 满足约束条件 x y 1 0, 则 z=x+7y 的最大值为
__________．
34．（2017·山东（文））若直线 x y 1(a＞0，b＞0) 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为 ab
______.
四、双空题
x 2,
35．（2019·北京（文））若
x，y
满足
y
1,
则 y x 的最小值为__________，

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》真题汇编附答案

【最新】数学复习题《不等式》专题解析一、选择题1．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（）A ．73B ．35C ．33D ．32【答案】B 【解析】【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C AB ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=，整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=，且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B-=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭335254≥⨯=，当且仅当5tan B =时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．若直线过点，则的最小值等于（）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．3．若33log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】【分析】由33log (2)1loga b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为33log (2)1loga b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(8216)3333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2B ．52C ．3D ．32【解析】()2200{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为5．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=，令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ，故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.6．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（） A ．ln ln a b b a ->- B．|||b a < C ．ln ln a b b a -<- D．|||b a ->【答案】C 【解析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1,1a b e b a e -=--=-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==，则71,1812a b b a -=-=，可排除B 项；因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．若，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（）A．7 2 -B．52-C．32-D．1-【答案】D【解析】【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4yx-表示该平面区域中的点(),x y与(0,4)A确定直线的斜率由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B时，4yx-取最大值443183-=-故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9．若x，y满足约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y=+的最大值为26a+，则a的取值范围是（）A．[1,)-+∞B．(,1]-∞-C．(1,)-+∞D．(,1)-∞-【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y=+的最大值为26a+，所以z ax y=+在点(2,6)A处取得最大值，则1a-≤，即1a≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知,x y满足33025010x yx yx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36yzx-=-的最小值为（）A．157B．913C．17D．313【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥Q 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.13．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩………的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形. 故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.15．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（） A．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞C．)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OMy k k k x k k +∴===+≥=k =时取等号），即直线OM斜率的取值范围为)+∞. 故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.16．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，所以有()4E X np ==， ()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14q p +=，（0p >，0q >）所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭，当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．17．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A ．12k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．18．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.19．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.20．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（） A ．512B ．8C ．256D ．64 【答案】C【解析】【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案.【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8，故2x y y +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.。

高考数学压轴专题新备战高考《不等式》单元汇编含答案

新数学《不等式》专题解析一、选择题1．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为4．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（） A ．43B ．2log 3C ．25D ．24log 3【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式求出2a b+的最小值后可得221a ba b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可得c 的最大值. 【详解】因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222abca b c++++=，故2114211212133a b ca b a b +++==+≤+=--，当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3c =. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C．2 D．1【答案】B 【解析】【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B.【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tan tan ββ≤=+当且仅当tan 3β=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.7．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.8．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8，故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】【分析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=，解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-，故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222222a b a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<，充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.13．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( )A．1 4πB．12πC．πD．32π【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】实数x，y，对任意实数m，满足2221222(1)()1x y mx y mx y m--⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．在ABC∆中，22223sina b c ab C++=，则ABC∆的形状是 ( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】D【解析】【分析】由余弦定理可知2222cosa b c ab C+-=，与已知条件相加，得到cos3Cπ⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos13Cπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，从而得到C的大小，判断出ABC∆的形状，得到答案.【详解】由余弦定理可知2222cosa b c ab C+-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立，而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ 所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ 所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形，故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.15．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4y x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围.【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min y m m x ->+即可， 142x y +=Q ，1212x y∴+=，则121221112121124422482y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x y y x =，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =，即()24min y x +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．16．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2222523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪；所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b +++的最大值是（） A ．222 B ．322- C ．221 D ．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+，所以22,33m n n m a b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++，当且仅当233n m m n =时取等号.所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（） A ．{}13x x -≤，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.。

最新全国高考理科数学试题分类汇编6：不等式 Word版含答案

全国（高|考）理科数学试题分类汇编6：不等式一、选择题1 ． (普通高等学校招生统一考试山东数学 (理 )试题 (含答案 ) )设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,那么当xy z 取得最|大值时,212x y z +-的最|大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3【答案】B2 ． (（高|考）陕西卷 (理 ) )设[x ]表示不大于x 的最|大整数, 那么对任意实数x , y , 有 ( )A ．[ -x ] = -[x ]B ．[2x ] = 2[x ]C ．[x +y ]≤[x ] +[y ]D ．[x -y ]≤[x ] -【答案】D3 ． (（高|考）湖南卷 (理 ) )假设变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是( )A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】C4 ． (普通高等学校招生统一考试天津数学 (理 )试题 (含答案 ) )函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 假设11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 那么实数a 的取值范围是 ( )A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭D．⎛- ⎝⎭∞ 【答案】A5 ． (普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理 ) (纯WORD 版含答案 ) )0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,假设2z x y =+的最|小值为1,那么a =( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B6 ． (普通高等学校招生统一考试天津数学 (理 )试题 (含答案 ) )设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩那么目标函数z = y -2x 的最|小值为 ( )A ． -7B ． -4C ．1D ．2【答案】A7 ． (（高|考）湖北卷 (理 ) )一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至|停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是 ( )A ．125ln5+B ．11825ln 3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+【答案】C8 ． (普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理 )试题 (纯WORD 版 ) )一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,那么(10)>0x f 的解集为( )A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x【答案】D9 ． (上海市春季（高|考）数学试卷(含答案) )如果0a b <<,那么以下不等式成立的是( )A ．11a b< B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 【答案】D10． (普通高等学校招生统一考试山东数学 (理 )试题 (含答案 ) )在平面直角坐标系xoy中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,那么直线OM 斜率的最|小值为( )A ．2B ．1C ．13-D ．12-【答案】C11． (普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理 ) (纯WORD 版含答案 ) )设357log 6,log 10,log 14a b c ===,那么( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】12． (（高|考）北京卷 (理 ) )设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0 -2y 0 =2,求得m 的取值范围是 ( )A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 二、填空题13． (普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理 )WORD 版含答案 (已校对 ) )记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ,假设直线()1y a x =+与D 公共点,那么a 的取值范围是______.【答案】1[,4]214． (（高|考）陕西卷 (理 ) )假设点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 那么2x -y 的最|小值为___ -4_____. 【答案】 - 415． (（高|考）四川卷 (理 ) )()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.【答案】(7,3)-16． (普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理 )卷 (纯WORD 版 ) )给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上取得最|大值或最|小值的点},那么T 中的点共确定______条不同的直线.【答案】617． (普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理 )试题 (纯WORD 版 ) )设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,假设z 的最|大值为12,那么实数=k ________.【答案】218． (普通高等学校招生统一考试天津数学 (理 )试题 (含答案 ) )设a + b = 2, b >0, 那么当a = ______时,1||2||a a b+取得最|小值. 【答案】2-19． (普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理 )卷 (纯WORD 版 ) )不等式220x x +-<的解集为___________.【答案】()2,1-20． (（高|考）湖南卷 (理 ) )222,,,236,49a b c a b c ab c ∈++=++则的最小值为______.【答案】12 三、解答题21． (上海市春季（高|考）数学试卷(含答案) )如图,某校有一块形如直角三角形ABC 的空地,其中B ∠为直角,AB 长40米, BC 长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最|大占地面积.【答案】[解]如图,设矩形为EBFP , FP 长为x 米,其中040x <<,健身房占地面积为y 平方米.因为CFP ∆∽CBA ∆,以FP CF BA CB =,504050x BF -=,求得5504BF x =-, 从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+25(20)5005004x =--+≤,当且仅当20x =时,等号成立.答:该健身房的最|大占地面积为500平方米.ABCFP E AB C22． (（高|考）上海卷 (理 ) )(6分 +8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最|大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最|大利润.【答案】(1)根据题意,33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤,可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元,那么4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时,max 457500y =元.。