双因素试验的方差分析

双因素试验的方差分析
（一）摘要：
实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因
素方差分析。

主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。

双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。

（二）关键词：
双因素 方差分析 EXCEL 应用
（三）引言：
在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。

每一因素的
改变都有可能影响产品的数量和质量。

有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。

根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。

本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。

（四）算法原理：
双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定
因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。

（一）双因素等重复试验的方差分析
设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。

因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,），
i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。

因 素A 因素B
1B 2B
......
s B 1A
t
X X X 11112111...,,,
t
X X X 12122121...,,,
...... st
s s X X X 12111...,,,
2A t X X X 21212211...,,,
t X X X 22222221...,,,
...... st s s X X X 22212...,,,
......
......
......
......
s A
t
r r r X X X 11211...,,,
t
r r r X X X 22221...,,,
...... rst
rs rs X X X ...,,,21
并设
),(~2σμij ijk N X ，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=;t k ,...,2,1=,各ijk X 独立。

这里，
ij μ，2σ均为未知参数。

或写成 ijk X =ij μ+ijk ε，
ijk ε~),0(2σN ，各ijk ε独立， r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=; t k ,...,2,1=. 引入记号
μ=ij s
j r i rs μ∑∑==1
11，
∙i μ=ij s
j s μ∑=1
1，r i ,...,2,1=
j ∙μ=ij r
i r μ∑=1
1，s j ,...,2,1=
i α=∙i μ-μ，r i ,...,2,1= j β=j ∙μ-μ，s j ,...,2,1=。

易见
i r i α∑=1
=0，j s
j β∑=1
=0.
称μ为总平均，称i α为水平i A 的效应，称j β为水平j B 的效应。

这样可将 ij μ表示成
ij μ=μ+i α+j β+(ij μ-∙i μ-j ∙μ+μ),
r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=.
记 ij γ=ij μ-∙i μ-j ∙μ+μ，r i ,...,2,1=，s j ,...,2,1=， 此时
ij μ=μ+i α+j β+ij γ.
ij γ称为水平i A 和水平j B 的交互效应，这是由i A ，j B 搭配起来联合其作用而引起的。

易见
,01=∑=ij r
i γs j ,...,2,1=，
,01
=∑=ij s
j γr i ,...,2,1=.
这样（2.1）可写成
ijk X =μ+i α+j β+ij γ+ijk ε， ijk ε~),0(2σN ，各ijk ε独立，
r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=； t k ,...,2,1=， i r i α∑=1
=0，j s j β∑=1
=0， ij r i γ∑=1=0，ij s
j γ∑=1
=0.
其中μ，i α，j β，ij γ及2σ都是未知参数。

（2.5）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型。

对于该模型我们要检验三个假设：
01H :1α=2α=...=r α=0，
11H ：1α，2α，...，r α不全为零， 02H ：1β=2β=...=s β=0, 12H :1β,2β,...,s β不全为零， 03H ：1γ=2γ=...=rs γ=0， 13H ：1γ，2γ，...，rs γ不全为零. 平方和的分解：
X =ijk t
k s j r i X rst ∑∑∑===1
111，
·ij X =ijk t
k X t ∑=11，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=；
贩i X =ijk t
k s j X st ∑∑==1
11，r i ,...,2,1=，
·
·i X =ijk t
k r i X rt ∑∑==1
11，s j ,...,2,1=； 再引入总偏差平方和（称为总变差） T S =2111)(X X ijk t
k s
j r
i -∑∑∑===
=2i ij 111)]--()-()()[(X X X X X X X X X X j j i ij ijk t
k s
j r
i +++-+-∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙===∑∑∑
=2
111)(∙===-∑∑∑ij ijk t k s j r i X X +2
1)(X X st i r
i -∙∙=∑+21
)(X X rt j s
j -∙∙=∑
+2i ij 1
1)--(X X X X t j s
j r i +∙∙∙∙∙==∑∑
即得平方和的分解式
T S =E S +A S +B S +B A S ⨯, 其中 E S =2111)(∙===-∑∑∑ij ijk t
k s
j r
i X X ，
A S =2
1)(X X st i r
i -∙∙=∑，
B S =21
)(X X rt j s
j -∙∙=∑,
B A S ⨯=2i ij 1
1)--(X X X X t j s
j r i +∙∙∙∙∙==∑∑.
E S 称为误差平方和，A S ，B S 分别称为因素A 、因素B 的效应平方和，B A S ⨯称为A ，B 交互效应平方和。

可以证明B A B A E T S S S S S ⨯,,,,的自由度依次为1-rst ，)1(-t rs ，1-r ，1-s ，
)1)(1(--s r ，且有
2))
1((
δ=-t rs S E E
，
（2.14） 1
)1(
122
-+=-∑=r st r S E r
i A
i αδ，（2.15） 1
)1(
1
22
-+=-∑=s rt s S E s
j j B βδ，（2.16） )
1)(1())1)(1((
11
2
2--+
=--∑∑==⨯s r t s r S E r
i s
j ij B A γδ.（2.17） 当021:01====r H ααα 为真时，可以证明
~))
1(/()
1/(--=
t rs S r S F E A A ))1(,1(--t rs r F . (2.18)
取显著性水平为α，得假设01H 的拒绝域为
≥--=
))
1(/()
1/(t rs S r S F E A A ))1(,1(--t rs r F α. (2.19)
类似的，在显著性水平α下，假设02H 的拒绝域为
≥--=
))
1(/()
1/(t rs S s S F E B B ))1(,1(--t rs s F α. (2.20)
在显著性水平α下，假设03H 的拒绝域为
≥---=
⨯⨯))
1(/())
1)(1/((t rs S s r S F E B A B A ))1(),1)(1((---t rs s r F α. (2.21)
上述结果可汇总成下列的方差分析表：
表9-9 双因素试验的方差分析表
方差来源 方差和 自由度 均方 F 比
因素A A S 1-r 1
-=r A A S S S S F E
A A =
因素B
B S
1-s
1
-=
s B
B S S
S S F E
B B =
交互作用
B A S ⨯
)1)(1(--s r
)
1)(1(--⨯=
⨯s r B
A B A S S S S F E
B A B A ⨯=⨯
误差 E S )1(-t rs
)
1(-=t rs E
E S S
总和 T S
1-rst
记 =...T ∑∑∑===r i s j t
k ijk X 111,
=.ij T ∑=t
k ijk X 1
,,,,2,1;,,2,1s j r i ==
=..i T ∑∑
==t
k ijk s
j X
1,
1 ，r i ,,2,1 =
=..j T ∑∑
==t
k ijk r
i X
1
,
1
.,,2,1s j =
我们可以按照下述（2.22）式来计算上表中的各个平方和.
T S =,rst 111
2
2∑∑∑===⋅⋅⋅-r
i s
j t
k ijk
T X
A S =∑=⋅⋅-r i i T T st 1,2
...
2rst
1
B S =∑=-s j j T T rt 1,2...
2..rst
1 (2.22)
B A S ⨯=,)1(112
2∑∑==⋅⋅⋅⋅---r i s j B A ij S S rst
T T t
.B A B A T E S S S S S ⨯---=
（二）双因素无重复试验的方差分析
因 素A
因素B
1B
2B
...
s B
并设
ij X ~ij N （ij μ，2σ），
各ij X 独立， i=1，2，...，r ； j=1，2，...，s ， 其中ij μ，2σ均为未知参数。

或写成
ij X =ij μ+ij ε，i=1，2，...，r ； j=1，2，...，s ， ij ε~N （0，2σ）， 各ij ε独立.
沿用（一）中的记号，注意到现在假设不存在交互作用，此时ij γ=0，i=1，2，...，r ；j=1，2，...，s.故由ij μ=μ+ij j i γβα++知ij μ=+μj i βα+.于是上式可写成 ij X =μ+ij j i εβα++， ij ε~N （0，2σ），各ij ε独立， i=1，2，...，r ；j=1，2，...，s ， .0,01
1
==∑∑==s
j j r
i i βα
这就是现在要研究的方差分析的模型。

对这个模型我们所要检验的假设有以下两个：
,0:2101====r H ααα r H ααα,,,:2111 不全为零. ,0:2102====s H βββ
1A 11X 12X ... s X 1 2A 21X 22X ... s X 2 r A 1r X
2r X
...
rs X
s H βββ,,,:2112 不全为零. 与在（一）中同样的讨论可得方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 均方
F 比 因素A A S 1-r
1-=r S S A A
E A A S S
F /= 因素B B S 1-s 1
-=s S S B
B E B B S S F /=
误差
E S
()()11--s r
)1)(1(--=
s r S S E
E
总和
T S
1-rs
取显著性水平为α，得假设0:2101====r H ααα 的拒绝域为 ()()().11,1---≥=
s r r F S S F E
A
A α 假设0:2102====s H βββ 的拒绝域为 ()()().11,1---≥=
s r s F S S F E
B
B α
上表中的平方和可按下述式子来计算：
,2
..11
2rs T X S r
i s
j ij
T -=∑∑==
rs T T s S r i i A 2
..121-=∑=⋅,
rs T T r S s j j B 2
..121-=∑=⋅，
,B A T E S S S S --= 其中， ,11..∑∑===r i s j ij X T ,,...,2,1,1
r i X T s
j ij i ==∑=⋅
,,...,2,1,1
s j X T r
i ij j ==∑=⋅
（五）例题：
在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（因素B ）与时间（因素A ）各取两个水平，产品强度的测定结果（相对值）如下表所示。

在同一条件下每个试验重复两次。

设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同。

各样本独立。

问热处理温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著地影响（取α=0.05）？
A B 1B 2B ∙∙i T
1A
38.0
(76.6) 38.6
47.0 (91.8)
44.8
168.4
2A
45.0
(88.8) 43.8 42.4 (83.2)
40.8
172
∙∙j T
165.4
175
340.4
解：
按题意需检验假设
01H :1α=2α=...=r α=0，
11H ：1α，2α，...，r α不全为零， 02H ：1β=2β=...=s β=0, 12H :1β,2β,...,s β不全为零， 03H ：1γ=2γ=...=rs γ=0， 13H ：1γ，2γ，...，rs γ不全为零. 作计算如下：
,82.718
4.340)8.40...6.380.38(2
2
2
2
=-+++=T S
,62.184.340)1724.168(4122
2=-+=A S
=B S ,52.118
4.340)1754.165(4122
2=-+
,08.5452.1162.102.1448424.14551=---=⨯B A S
.6.408.5452.1162.182.71=---=---=⨯B A B A T E S S S S S 的方差分析表如下：
方差来源 平方和 自由度
均方 F 比
因素A 1.62
1 1.6
2 A F =1.4 因素B
11.52 1 11.52 B F =10.0
B A ⨯
54.08 1 54.08 B A F ⨯=47.0
误差 4.6 4 1.15 总和
71.82
7
由于71.7)4,1(05.0=F ，所以认为时间对强度的影响不显著，而温度的影响显著，且交互作用的影响显著。

（六）实验分析：
例
温度（因素B ） 10℃ 24℃ 38℃ 52℃
浓度
（因素A ） 2% 14 10 11 11 13 9 10 12 4% 9 7 10 8 7 11 6 10 6% 5 11
13 14 12 13
14 10
试在显著性水平α=0.05下检验：在不同浓度下得率的均值是否有显著差异，在不同温度下得率的均值是否有显著差异，交互作用的效益是否显著。

方差分析：可重复双因素分析
SUMMAR
Y
10℃ 24℃ 38℃ 52℃ 总计
0.02
观测数 2 2 2 2 8
求和24 22 22 22 90
平均12 11 11 11 11.25
方差8 0 8 2 2.78571428 6
0.04
观测数 2 2 2 2 8 求和16 18 18 16 68 平均8 9 9 8 8.5
方差 2 2 8 8 3.14285714 3
0.06
观测数 2 2 2 2 8
求和16 27 25 24 92 平均8 13.5 12.5 12 11.5
方差18 0.5 0.5 8 8.85714285 7
总计
观测数 6 6 6 6 求和56 67 65 62
平均9.33333333
3
11.1666666
7
10.8333333
3
10.3333333
3
方差9.86666666
7
4.56666666
7
5.76666666
7
7.06666666
7
方差分
析
差异源SS df MS F P-value F crit
样本44.3333333
3
2
22.1666666
7
4.09230769
2
0.04415344
6
3.88529383
5
列11.5 3 3.83333333
3
0.70769230
8
0.56569310
9
3.49029482
1
交互27 6 4.5 0.83076923
1
0.56836889
4
2.99612037
8
内部65 12 5.41666666 7
总计147.833333
3
23
由于P值=0.044153446小于α=0.05，故拒绝
H，认为浓度对得率的影响显著。

01
由于P值=0.565693109小于α=0.05，故拒绝
H，认为温度对得率的影响不显
02
著。

由于P值=0.568368894小于α=0.05，故拒绝
H，认为交互作用对得率的影响
03
不显著。

（七）结论与展望：
利用双因素等重复试验的方差分析，在同时考虑两个因素时，通过平方和分解，将误差来源划分，利用假设检验方法即可分别鉴别各个因素对实验结果的影响，同时可以研究两个因素的交互作用对试验结果的影响。

双因素无重复试验的方差分析则适用于已知交互作用影响很小的问题。

两种分析均可通过excel工具实现，具有高效性，科学性，准确度高，在实际生产试验中必将一直占有重要地位。

（九）参考文献：
盛骤谢式千潘承毅概率论与数理统计第四版。