三角函数与平面向量(好)

三角函数与平面向量

一：考点分析

小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1、任意角的三角函数：

（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（2）扇形的面积公式：lR S 2

1

=

R 为圆弧的半径，l 为弧长。 （3）同角三角函数关系式：商数关系：a

a

a cos sin tan =， 平方关系：1cos sin 22=+a a

（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

απ

+⨯k 2

所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性；

类型一：诱导公式的应用

1．化简：

___________)

cos()3sin()sin()

23cos()3cos()2sin(=---+--+-πααπαπαπ

απαπ 2．已知tan =2,,则3sin 2-cos sin +1=（ ） A.3 B.-3 C.4 D.-4 3．已知sin 23αα+=tan α=（ ） A ．

2

2

B 2

C ．22-

D ．2-

4．若1sin(

)33π

α-=，则5cos()6

π

α-的值为（ ） A ．

13 B.1

3

- C.23 D.223-

类型二：三角恒等变换

1．若4sin()5πθ-=

，(0,)2πθ∈，则2sin 2cos 2

θ

θ-的值等于________. 2．若

cos 22

2

sin()4

απ

α=-

-，则cos α+sin α的值为________. 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则

sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )

A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210

5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－4

5

6.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． 7．已知

，

,

则

的值为

A. B. C. D.

类型三：三角函数的图像及性质

x y sin =

x y cos

=

x y tan =

图像

定义域

值域

最小正周期

奇偶性

调性

对称性

零值

1.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π

2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.

2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫

4π3

，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A . π6

B.π4

C.π3

D.π2

3.已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ）

A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦

B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦

C 、42,2,3

3k k k Z

ππππ⎡⎤++∈⎣⎦ D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦ 4.已知函数2

()3sin cos f x x x x ωωω=，其中0ω>.若点(,0)2

π

在函数()f x 的图象上，则ω的最小值为（ ）

A ．

12 B ． 56 C ．1 D ．3

2

5．已知函数()cos(2)cos 23

f x x x π

=+

-，其中x R ∈，给出下列四个结论

①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23

x π

=； ③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12

π

； ④.函数()f x 的递增区间为2,6

3k k π

πππ⎡

⎤

+

+

⎢⎥⎣

⎦

，k Z ∈.则正确结论的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

类型四：函数图像的变换

【函数的平移变换】： 【函数的伸缩变换】： 【函数的对称变换】：

1.)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像y 轴右侧保留，把右侧图像绕y 轴翻折到左侧。

2.)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去 典例精练：

1．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )

A.向右平移

4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8

π

个单位 2．将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图像向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.

12

π

B.

6π C.3

π

D.65π

3．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图像向右平移3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ．

4．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于

2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6

π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（ ） A ．(,0)3

π

-

B ．(,)44ππ

-

C ．(0,)3

π D ．(,)43ππ

5．已知函数()3sin 2cos 2f x x x m =+-在[0,]2

π

上有两个零点，则m 的取值围是（ ）

A.(1,2)

B.[1,2)

C.(1,2]

D.[1,2]

类型五：与向量、解三角形的综合应用

1．设向量

（1）若，求x 的值 （2）设函数，求f(x)的最大值

2．设函数,)(x f ⋅=其中向量()

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-

-==62sin ,1,3,2sin πx b x a ，R x ∈. （1）求)(x f 的最小值，并求使)(x f 取得最小值的x 的集合；

（2）将函数)(x f 的图象沿x 轴向右平移,则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数

)(x g 的图象关于y 轴对称？

3．在已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<2

π

)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

2π，且图象上一个最低点为M(π3

2

，－2)．