三角函数与平面向量(好)
三角函数与平面向量-精选教学文档
三角函数与平面向量简介：三角函数与平面向量三角函数的图象与性质1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为________.3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________.【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值;(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示.(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围.【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值;(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值;(3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________.2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.4.(2019·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.(2019·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值.5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<.(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值;(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值.解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx(3分)=sin，(5分)故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)(解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值，由(1)知f(x)=sin，当≤x≤2时，-≤x-≤，因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1. 若【答案】-8 解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)=得t=时y取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1) 求f的值;(2) 求f(x)的最大值和最小值.解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-.(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R.因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.基础训练1. π 奇解析：y=-cos=-sin2x.2. 1 解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案.3. -+1 解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.4. - 解析：f=f=f=sin=-.例题选讲例1 解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2.(注：注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2，2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z，f(0)=sin=.(2) φ=，f(x)=sin.因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0，].(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.解： y=cos2A+cos2=+=1++=1+=1+cos.∵ A为三角形内角，∴ 0∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.例3 解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2=2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，因此sin=sin.即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos+cosωxsin，整理得sinωxcos=0.因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.又因为0<φ<π，故φ-=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×，所以ω=2.故f(x)=2cos2x.因此f=2cos=.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).例4 解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.又t∈(0，π)，故t=或.(3) 当x∈时，2x-∈， ∴f(x)∈[1,2].|f(x)-m|<3，即f(x)-3变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3.由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)=4t3-3t+3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1列表如下：tg′(t)g(t)极大值极小值由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.高考回顾1. —8 解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).2. π 解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.3. 解析： y=cosx=sin+.4. ，k∈Z 解析：f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.∵ 周期为π，∴ ω=2，∴f(x)=2sin.2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.所以函数的最小正周期为T==π.因为x∈，所以2x+∈.所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.又由已知f(x0)=，则sin=.因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，所以cos=-，于是cos2x0=cos，=coscos+sinsin=-×+×=.6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.。
三角函数与平面向量
第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：二、基础知识要点剖析：1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。
2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα。
㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ，注意公式变形：2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=± 2sin2cos 1θθ=-， 2cos2cos 1θθ=+（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：(3)若t =+ααcos sin ，则21c o s s i n 2-=t αα；12sin 2-=t α；22cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k(2απ±。
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。
本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。
希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。
一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。
下面将介绍其中的一些典型应用。
1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。
例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。
我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。
例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。
我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。
3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。
我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。
二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。
下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。
三角函数与平面向量的关系
三角函数与平面向量的关系在数学中，三角函数和平面向量是两个重要的概念和工具。
三角函数是研究角度和边长之间的关系的函数，而平面向量则是研究平面上各种物理量的大小和方向的工具。
本文将探讨三角函数与平面向量之间的联系和应用。
一、向量的定义和表示在平面几何中，向量是一个既有大小又有方向的量。
其表示可以使用箭头或者字母加上帽子来表示，例如向量AB可以表示为→AB或者ẑ。
向量的大小又称为向量的模，表示为|→AB|或者|ẑ|，可以通过勾股定理计算得到。
向量的方向可以使用角度来描述，例如与x轴的夹角θ。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法可以理解为几何上的向量相加。
假设有向量→AB和→AC，可以通过将它们放置在同一个起点，然后连接起来得到一个新的向量→AD，即向量→AD是→AB与→AC相加的结果。
平面向量的减法则是利用减法公式进行计算。
三、向量的数量积和点积平面向量的数量积（或点积）是两个向量的乘积，其结果是一个标量。
向量的数量积可以用下式计算：→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ，其中θ为向量→AB与→AC之间的夹角。
向量的数量积具有交换律和分配律等性质，可以用于计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、以及求解平面上的投影等问题。
四、三角函数的定义和性质三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
它们可以用著名的SOH-CAH-TOA记忆法来帮助理解和应用。
此外，割函数、余割函数和正割函数等也是常见的三角函数。
五、三角函数与平面向量的关系三角函数与平面向量有着密切的关系，可以通过向量的数量积来推导和解释三角函数的性质。
例如，在直角三角形中，可以利用对边与斜边的比值得到正弦函数的定义，并通过向量→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ来得到正弦函数与向量的关系。
类似地，可以利用邻边与斜边的比值和向量的点积来推导余弦函数的定义，并得到余弦函数与向量的关系。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。
平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。
平面向量有以下性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。
根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。
3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。
单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。
二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。
具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系：1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。
利用三角函数解决平面向量问题
利用三角函数解决平面向量问题在数学学科中，平面向量问题是一个常见的考察点。
平面向量的运算和性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
而解决平面向量问题中，三角函数是一种常用的工具，它可以帮助我们简化问题的推导和计算过程。
本文将通过几个实际应用的例子，说明如何利用三角函数解决平面向量问题。
首先，我们先来了解一下三角函数的基础知识。
在平面直角坐标系中，我们通常用坐标轴上的角度来表示方向。
而三角函数则是用来描述角度与比例关系的函数。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
一、解决平面向量的夹角问题在平面向量的问题中，经常需要求解向量之间的夹角。
这时，我们可以利用三角函数中求角度的函数来解决。
以两个向量A和B为例，设它们的夹角为θ，我们可以通过以下公式来求解夹角：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
通过求解夹角，我们可以判断两个向量之间的相对方向关系，并进一步解决问题。
二、解决平面向量的投影问题平面向量的投影问题是另一个常见的问题类型。
在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到它在另一个向量方向上的分量。
利用三角函数，我们可以很方便地求解向量的投影。
以向量A在向量B方向上的投影为例，投影向量记作P，其长度为P的模，我们有以下公式：P = |A|·cosθ其中，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
利用这个公式，我们可以通过已知向量的模和夹角，计算出向量的投影。
三、解决平面向量的平衡问题在物理学领域中，平面向量的平衡问题也经常被提到。
平衡问题通常是在已知一些力大小和方向的情况下，求解使体系保持平衡所需的额外力。
这时，我们可以利用三角函数和向量相加减的方法来解决。
以一个由两个力F1和F2组成的平衡系统为例，设额外力为F，我们有以下公式：F = - F1 - F2其中，-F1表示力F1的反方向，同理-F2表示力F2的反方向。
平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳
平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳引言：平面向量作为数学中的重要概念之一，与三角函数有着密切的联系。
通过对平面向量与三角函数的综合运用，我们可以解决各种实际问题，并深入理解它们在数学中的应用。
本文将通过计算、解析和归纳的方式，探讨平面向量与三角函数的综合应用。
一、平面向量与三角函数的基本关系在开始讨论平面向量与三角函数的综合计算与应用之前，我们先来回顾一下它们之间的基本关系。
1. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示，一个二维向量A可以表示为A = (a, b)，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。
同时，向量A也可以表示为矩阵形式：A = [a, b]2. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数量乘法运算。
加法运算即将两个向量的对应分量相加，例如A + B = (a1 + b1, a2 + b2)，其中A = (a1, a2)，B = (b1, b2)。
数量乘法即向量的每一个分量都乘以相同的数，例如kA = (ka1, ka2)，其中k为任意实数。
3. 三角函数的定义三角函数是常用的数学函数，由直角三角形的边长比定义。
其中，正弦函数s inθ的定义为：sinθ = 长边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 长边/邻边。
二、平面向量与三角函数的综合计算与应用在了解了平面向量与三角函数的基本关系后，我们可以通过综合计算与应用来加深对它们的理解。
1. 平面向量与三角函数之间的关系根据平面向量的定义和三角函数的定义，我们可以得出以下结论：对于任意角θ，设与角θ 相对的边向量为A，斜边向量为B，则有：A = [sinθ, cosθ]B = [sinθ, cosθ]2. 平面向量的模与方向平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理来计算。
对于向量A = (a, b)，其模记为|A|，计算公式为：|A| = √(a^2 + b^2)向量的方向可以用角度来表示，可以通过以下公式计算：θ = arctan(b/a)3. 平面向量的点积与叉积平面向量的点积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。
常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。
二、平面向量的加减运算平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。
具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。
数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。
叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。
叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。
五、三角函数的定义与性质三角函数是以三角形的边长比值来定义的。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的定义与性质如下：1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边；2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边；3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边；4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。
六、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。
具体来说，平面向量A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。
而三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基础来定义的。
三角函数与平面向量
三角函数与平面向量三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。
三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。
而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。
三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。
（1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。
如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。
具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。
（2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。
平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x轴和y轴分量。
这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。
通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。
（3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。
在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。
比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。
总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。
只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。
2015高考总复习数学(文)课件：专题2 三角函数与平面向量
2.
(1)求A的值；
π 4π 2π 8 30 (2)设α，β∈ 0，2 ，f 4α＋ 3 ＝－ 17 ，f 4β－ 3 ＝ 5 ，求
cos(α＋β)的值．
π 解：(1)f3＝
π 2⇔Acos4＝ 2⇔A＝2.
4π π 30 15 (2)∵f 4α＋ 3 ＝－17⇔cos α＋2 ＝－17
3π 3 4 因为cosθ＝5，θ∈ 2 ，2π，所以sinθ＝－5.
24 7 2 所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－25，cos2θ＝2cos θ－1＝－25.
π 7 24 17 所以f2θ＋3＝cos2θ－sin2θ＝－25－－25＝25.
例3：已知m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx,2 3cosx－sinx)，f(x)
5π ＝m· n＋|m|，x∈12，π.
(1)求f(x)的最大值； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B) →· → 的值． ＝－1，a＝c＝2，求AB BC
解：(1)∵m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx,2 ∴f(x)＝m· n＋|m|＝cos2x＋sinx(2 ＝cos2x－sin2x＋2
π π π π (2)∵y＝2sin4x＋4＋2sin4x＋2＋4 π π π π ＝2sin4x＋4＋2cos4x＋4
＝2 ＝2
π π 2sin4x＋2
π 2cos4x， 2，ymin＝－2 2.
∴ymax＝2
题型 3 三角函数与平面向量的整合
而放松对整章知识系统而全面地复习． 还有两个现象也应该引起我们备考时注意：①三角函数与
平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题 型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
三角函数平面向量知识与公式总结
三角函数平面向量知识与公式总结三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。
本文将对三角函数和平面向量的知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。
一、三角函数2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。
其定义域为实数集R。
常用的余弦函数记作cos(x)。
余弦函数也具有周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。
3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。
其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。
常用的正切函数记作tan(x)。
正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。
4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。
其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。
常用的余切函数记作cot(x)。
余切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。
5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。
其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。
常用的正割函数记作sec(x)。
正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。
6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。
其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。
常用的余割函数记作csc(x)。
余割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。
三角函数之间有一些重要的关系：1.三角函数的互逆关系：sin(x) = 1/csc(x)cos(x) = 1/sec(x)tan(x) = 1/cot(x)cot(x) = 1/tan(x)sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)2.三角函数的和差化积公式：sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x))4.三角函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2)co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x)))二、平面向量1.平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间存在着一定的关系。
本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。
一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。
假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。
其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。
二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。
设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。
其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。
另外，向量还可以用角度来表示。
假设有一个向量a，与横轴之间的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。
其中，arctan表示反正切函数。
三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。
设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相加。
向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相减。
四、向量与三角函数的关系1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。
根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。
其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。
2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
根据向量的加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是一个拥有大小和方向的量。
它可以表示为一个有序的数对(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
平面向量在几何、物理和工程等领域中具有广泛的应用。
与此同时，三角函数是数学中重要的函数类别之一。
它们描述了角度和边长之间的关系，并且在三角学、物理学和工程学等学科中扮演着重要的角色。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并说明它们在解决实际问题中的应用。
1. 平面向量的表示与三角函数平面向量可以由其模长和方向角来表示。
模长表示向量的大小，方向角表示向量与x轴的夹角。
根据三角函数的定义，我们可以将平面向量与三角函数联系起来。
1.1 向量的模长与三角函数给定一个平面向量(a, b)，它的模长可以表示为|v| = √(a^2 + b^2)。
在直角三角形中，我们可以将a和b看作直角边的长度。
根据三角函数的定义，我们可以得到：sinθ = b / |v|cosθ = a / |v|其中，θ表示向量与x轴的夹角。
1.2 向量的方向角与三角函数方向角可以通过反三角函数来计算。
给定一个平面向量(a, b)，我们可以计算其方向角θ：θ = arctan(b / a)在计算方向角时，应注意选择合适的反三角函数以确保在不同象限中得到正确的值。
2. 平面向量的运算与三角函数平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
与此同时，三角函数也可以应用于向量的运算中。
2.1 向量的加法与三角函数设有两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的和向量w = u + v可以表示为：w = (a + c, b + d)在计算过程中，我们可以将三角函数应用于向量的对应分量上。
2.2 向量的减法与三角函数同样地，给定两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的差向量w = u - v可以表示为：w = (a - c, b - d)我们可以通过将三角函数应用于向量的对应分量来计算差向量。
三角函数与平面向量专题知识整合
数学爱好者专高考文科数学爱好者业精心策划Ｓ专题辅导题知识整合三角函数是高中数学的重要内容之一，也是历年高考的重点．跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数、不等式、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用的工具．在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能方面考查的重要内容．三角函数这一章的主要知识点是：角的概念的推广、弧度制、任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，正、余弦的诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切，正弦函数、余弦函数的图象和性质，函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角．由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系数和形的有力纽带，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究．在解题过程中，善于利用化归思想处理共线、平行、垂直问题，向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．题型例析河南陈长松热点题型一三角函数的求值、化简、证明等基本问题例１已知ｃｏｓ（π４＋ｘ）＝３５，１７π１２＜ｘ＜７π４，求ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘ１－ｔａｎｘ的值．分析先把所求式化简，再利用已知条件求值．解由题设得ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝３２!５，ｓｉｎ２ｘ＝７２５，又５π３＜ｘ＋π４＜２π，所以原式＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ２ｘ・１＋ｔａｎｘ１－ｔａｎｘ＝ｓｉｎ２ｘｔａｎ（π４＋ｘ）＝－２８７５．评注在处理条件求值问题时，一要处理好角的终边位置和三角函数的符号；二应转化题设条件与待求式，以创造条件寻求时机代入求值．踪练习追ｚｈｕｉｚｏｎｇｌｉａｎｘｉｔａｎ１０°－３!ｃｓｃ４０°的值为．后反思练ｌｉａｎｈｏｕｆａｎｓｉ原式＝ｓｉｎ１０°ｃｏｓ１０°－３!ｃｓｃ４０°＝ｓｉｎ１０°－３!ｃｏｓ１０°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝２１２ｓｉｎ１０°－３!２ｃｏｓ１０"#°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝－２ｃｏｓ４０°・ｓｉｎ４０°ｃｏｓ１０°＝－ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°＝－１．热点题型二三角函数的最值问题例２求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值和最小值．分析求函数的最值可用多种方法求解，最常用的有两种方法：几何法、有界性法．几何法运用数形结合思想，要掌握转化的方法．与专三角函数平面向量"#。
三角函数与平面向量
现向量的旋转。
向量角度与三角函数： 向量的夹角可以通过 三角函数进行计算。
向量投影与三角函数： 向量的投影长度和方 向可以通过三角函数
进行计算。
三角函数在向量 运算中的应用， 如向量的点乘和
叉乘
向量在三角函数 中的应用，如利 用向量表示三角 函数图像的平移
和旋转
三角函数与平面向量的运算性质 及其相互转化
三角函数与平面向量在解题中的 综合运用
总结三角函数与平面向量之间的 关系及其对数学发展的影响
发展趋势：随着数学理论和 应用的不断发展，三角函数 和平面向量理论将进一步完 善，其在物理、工程等领域 的应用将更加广泛。
未来研究方向：深入研究三角函 数和平面向量的性质和关系，探 索其在解决实际问题中的应用， 同时寻求与其他数学领域的交叉 融合，以推动数学理论的发展。
增大而增大或减小。
三角函数定义：以角 为变量，单位圆上点
的坐标为值的函数
三角函数周期性：单位 圆上三角函数值的周期
性变化
单位圆上三角函数表 示：通过单位圆上点 的坐标计算三角函数
值
三角函数性质：在单 位圆上表示的三角函 数的性质，如正弦、
余弦、正切等
向量的模：表示 向量的大小，计 算公式为 $\sqrt{x^2 + y^2}$
复合函数：通过 将一个三角函数 作为另一个函数 的自变量，可以 形成复合函数。
向量加法：满足平行四边形法则和三角形法则 向量数乘：标量与向量的乘积，结果仍为向量 向量点乘：两个向量的点乘结果为标量，满足分配律和交换律 向量叉乘：两个向量的叉乘结果仍为向量，垂直于原向量构成的平面
三角函数与向量 点乘的性质
向量垂直：当两个 向量的夹角为90 度时，它们被称为 垂直向量。
三角函数与平面向量
汇报人：张老师 2023-11-25
目 录
• 三角函数概述 • 三角函数运算 • 平面向量基础 • 平面向量与三角函数的关系 • 三角函数与平面向量的应用 • 总结与展望
01
三角函数概述
三角函数的定义与基本性质
1. 正弦函数（sine） • 定义：对于任意角x，正弦函数定义为对边长度与斜边长度的比值，即sin(x) = 对边 / 斜边。 • 性质：正弦函数的值域为[-1,1]，周期为2π。
辑思维，提升问题解决能力。
未来学习中可能遇到的相关主题与展望
相关主题
在未来学习中，学生可能会遇到与三角函数和平面向量 紧密相关的主题，如复数、微分学、积分学、线性代数 等。
展望
对于更深入的学习和理解，学生可以进一步探索这些相 关主题，以构建更为完整和深入的数学知识体系。
如何在日常生活中应用这些知识
在工程中的应用（如位移、速度、加速度的计算）
要点一
位移、速度、加速度计算
要点二
工程测量
在工程领域，经常需要计算物体的位移、速度和加速度。 通过三角函数和平面向量的结合，可以有效地描述和计算 这些物理量，为工程设计提供准确的数据支持。
在土地测量、建筑设计等工程中，三角函数和平面向量可 用于计算角度、距离等参数，确保工程的准确性和稳定性 。
解决问题
01
三角函数与平面向量可以用于解决日常生活中的许多问题，比
如计算距离、角度，确定物体的运动轨迹等。
导航
02
在地理位置定位和导航中，经常会使用到三角函数与平面向量
的知识。
设计与制作
03
在建筑、艺术、设计等领域，利用三角函数与平面向量可以进
行精确的测量和计算，以实现设计和制作的准确性。
三角函数与平面向量的关系及应用
三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念，它们相互关联，不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题，还有广泛的实际应用。
本文将探讨三角函数与平面向量的关系，以及它们在实际问题中的应用。
二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段，它具有模和方向两个重要的性质。
向量的模即向量的长度，可以通过勾股定理计算。
而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度，可以用三角函数来表示。
2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中，向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。
设向量的坐标为 (x, y)，则它的模可以表示为√(x² + y²)。
通过简单的几何推导，我们可以发现，向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值，即cosθ = x/√(x² + y²)；而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等，即sinθ = y/√(x² + y²)。
3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v，它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。
设夹角为θ，则有cosθ = (u·v)/(|u||v|)，其中 ·表示向量的数量积，|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。
三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。
通过已知的坐标系和三角函数，导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离，并提供相关的导航指引。
2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。
通过分解和合成运动向量，我们可以对物体的运动进行分析和计算，提供准确的速度、加速度等信息。
3. 力的分解在物理学中，力也可以看作是一个向量，具有大小和方向。
通过向量的分解，我们可以将一个力分解为两个分力的合力，从而更好地理解和计算复杂的力系统。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是研究空间中的对象之一。
它由有向线段表示，具有大小和方向。
而三角函数则是描述角度的函数，涉及到三角形的性质和三角函数的定理。
在本文中，将会探讨平面向量与三角函数之间的关系。
一、平面向量的表示平面向量可以使用坐标的形式进行表示。
假设有平面上的一个向量A，可以使用(x, y)来表示向量A的坐标。
其中，x表示向量A在x轴上的投影长度，y表示向量A在y轴上的投影长度。
例如，向量A = (3,4)表示向量A在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为4。
二、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以使用勾股定理来计算。
设向量A = (x, y)，则向量A的模为|A|=√(x²+y²)。
方向角可以使用反正切函数来计算。
设向量A的方向角为θ，可以使用θ=arctan(y/x)来计算。
三、向量的加法与减法平面向量之间可以进行加法和减法运算。
设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的加法可以表示为A + B = (x1+x2,y1+y2)；向量A与向量B的减法可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2)。
四、向量的数量积与夹角向量的数量积可以用来研究向量之间的夹角关系。
设向量A = (x1,y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。
根据数量积的定义，向量A与向量B之间的夹角θ可以使用余弦函数来表示，即cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。
五、向量的叉积与正弦值除了数量积之外，向量还可以进行叉积运算。
向量的叉积可以用来研究向量之间的正弦值关系。
设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的叉积可以表示为A×B = x1y2 - x2y1。
根据叉积的定义，向量A与向量B之间的正弦值可以使用叉积的模除以向量A与向量B的模的乘积来表示，即sinθ = |A×B| / (|A|·|B|)。
平面向量与三角函数
平面向量与三角函数平面向量与三角函数是高中数学中的重要概念，它们在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中具有广泛的作用。
本文将介绍平面向量和三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、平面向量的基本概念平面向量可以用空间中的箭头表示，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量的运算主要包括加法、减法、数乘和数量积。
向量加法满足交换律和结合律，向量的数乘满足分配律。
二、平面向量的坐标表示平面向量可以使用坐标进行表示。
二维平面上的向量可以使用坐标对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
通过坐标表示，我们可以进行向量的运算，并用向量表示点、线段以及其他几何对象。
三、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算。
平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，可以使用三角函数来计算。
四、三角函数的基本概念三角函数是用来描述角度与边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
五、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着紧密的联系。
对于任意一个角，可以使用三角函数来表示角的正弦值、余弦值和正切值。
而在平面向量中，向量的方向角正是角的一种度量。
六、平面向量的投影与单位向量平面向量的投影是指一个向量在某个方向上的投影长度，可以通过向量的模与投影夹角的三角函数计算得到。
单位向量是模为1的向量，通过标准化平面向量，可以得到单位向量。
七、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积或点积，它表示两个向量之间的乘积与夹角的余弦值之间的关系。
数量积可以用来计算向量的模、判断向量的方向以及计算向量之间的夹角等。
八、平面向量与三角函数的应用平面向量与三角函数在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中广泛使用。
例如，通过平面向量可以求解三角形的面积、判断四边形是否为矩形或平行四边形。
同时，三角函数也可以用来描述力学问题中的分力、合力、角动量等。
回归课本专题四三角函数与平面向量
回归课本专题四 三角函数与平面向量 第1 页回归课本专题四： 三角函数、平面向量一．三角函数：1.终边相同(2,k k Z βπα=+∈)；弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==， 1弧度(1rad)57.3≈.例1：（1）θ是第一象限角，试探究：（1）2θ一定不是第几象限角？（2）3θ是第几象限角？(2)当角,αβ满足什么条件时，有sin sin αβ=？cos cos ?αβ= (3)若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线比较：,sin ,tan ααα之间的大小. (4)设O 为坐标原点，111(,)P x y 和222(,)P x y 为单位圆上两点，且12POP θ∠=，求证：1212cos x x y y θ+=. (5).已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.2、函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>①五点法作图；②振幅?相位?初相?周期T=ωπ2,频率?③,k k Z ϕπ=∈时奇函数；,2k k Z πϕπ=+∈时偶函数.例2（1）函数522y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的奇偶性是______； （2）已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______；（3）函数)c o s (s i n c o s2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值.④变换:1||sin sin()sin()y x y x y x ϕωϕωϕ=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移1||sin sin sin()y x y x y x ϕωωωωϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移||sin()sin()A b y A x y A x b ωϕωϕ−−−−−−−→=+−−−−−→=++纵坐标伸缩到原来的倍上或下平移.例3.把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位,所得到的图像的函数的解析表达式为 ,在将图像上的所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变),则所得到的图像的函数表达式为 .3、正弦定理:2sin a R A ==B b sin =C c sin ；内切圆半径2ABCS r a b c∆=++；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,bca cb A 2cos 222-+=；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===例4. 在ABC ∆中,已知cos cos ,a b c B c A -=⋅-⋅则ABC ∆的形状是 . 4、同角基本关系： 例5：已知11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝_________；5、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．6、重要公式：两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=⋅±⋅；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=⋅⋅ ； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅ ；二倍角公式：sin 22sin cos ααα=⋅；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-； 升、降幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；例6.(1)函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________ ⑵已知ABC ∆中，三内角为,,A B C，满足112,cos cos A C B A C +=+=，求cos 2A C -的值.巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等， 例6（3）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____；（4）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（5）求证：①1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++；②sin50(1)1︒⋅+︒=； （6）已知sin sin(2)m βαβ=+，且(),(),122k k k Z k Z m ππαβπα+≠+∈≠∈≠. 求证：1tan()tan 1mmαβα++=-. 7、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b aθ=)如：（1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______；（2）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；二、平面向量：8、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.回归课本专题四 三角函数与平面向量 第2 页的相反向量是－a .)、共线向量、相等向量注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）9、加、减法的平行四边形与三角形法则:AC BC AB =+;CB AC AB =-,+≤±≤-,10、向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔⋅=；②当a ，b 同向时，a ⋅b ＝a b，特别地，22,a a a a a =⋅==当a 与b 反向时，a ⋅b ＝－a b；当θ为锐角时，a ⋅b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ⋅b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③||||||a b a b ⋅≤.如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______；11、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ12、 →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)特别：＝12OA OB λλ+，则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹方程是_______13、在ABC ∆中，①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的重心；②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；如：（1）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC的形状为____；（2）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++= ，设||||AP PD λ=，则λ的值为___； （3）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____；14、重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 32132115、点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则PP ' ＝a 或⎩⎨⎧+='+='ky y h x x 函数)(x f y =按),(k h a =平移得函数方程为：)(h x f k y -=-如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a把点(7,2)-平移到点______；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝________（3）设,a b 是两个非零向量，如果()()375a b a b +⊥- ，且()()472a b a b -⊥-，求a b与的夹角.（4）设ABC ∆中，,,AB c BC a CA b ===，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅ ，判断ABC ∆的形状.（5）已知向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC ++= ，且1OA OB OC ===，求证：ABC ∆为正三角形.三、练习：1.（必修4P24.9（2）改编）设1tan 2α=-，则23cos 2sin 21αα=++ . 2.（必修4P24.10）若α可化简为 . 3.（必修4P24.15）已知1sin()64x π+=，则25sin()sin ()63x x -+-= . 4.（必修4P24.3改编）若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π，则k= .5.（必修4P42.2）把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位，所得到的图像的解析式为 ，再将图像上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为 .6.（必修4P49.7= .7.（必修4P11.5（2））已知sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆的形状为 . （必修4P17.10）在ABC ∆中，已知22,sin sin sin a b c A B C =+=，则ABC ∆的形状为 . （必修4P24.2（2））已知sin sin sin cos cos A BC A B+=+,则ABC ∆的形状为 .回归课本专题四 三角函数与平面向量 第3 页8.（必修4P16.例6）AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，则AM 可用三边AB,AC,BC 表示为 .9.（必修4P84.例1改编）已知向量,,a b c ，满足0a b c ++= ，且a b 与的夹角为135，c b与的夹角为1202c =，，则a b ⋅= . 10.（必修4P77.11）已知O 为坐标原点，A （3，1），B （-1，3）.若点C 满足OC OA OB αβ=+其中1R αβαβ∈+=，，且，则点C 的轨迹方程为 .11.（必修4P83.10改编）设(,3),(2,1)a x b ==-.①若a b 与的夹角为锐角，则x 的取值范围为 ；②若a b与的夹角为钝角，则x 的取值范围为 ；③当x=4时，a 在b方向上的投影为 .12.（必修4P99.例4）︒︒︒-20cos 20sin 10cos 2= .（必修4P105.4）︒++︒︒︒︒81tan 39tan 240tan 81tan 39tan = ； （必修4P109例4）()︒︒+10tan 3150sin = . （必修4P118.15（2））()()()︒︒︒+++45tan 12tan 11tan 1 = .13. （必修4P117.12改编）24cos 3sin 2++=-m m αα，则m 的取值范围是 . 14. （必修4P115.2改编） ︒︒-15sin 75sin = ；︒︒-15cos 75cos = ；︒︒+15sin 75sin = ；=+︒︒15cos 75cos .（必修4P114.1改编）︒︒15cos 75sin = ；︒︒15cos 75cos = .︒︒15sin 75cos = ；sin ︒75︒15sin = .15.如图，设P,Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+ ，2134AQ AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为.16. （必修4P83.13）已知1,a b a b ==+=则a b a b +- 与 的夹角为 .17. 设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则14PA PF PA AF ⋅+⋅的最小值为 .18.在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 .19. O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则∆ABC 是 三角形.20. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[+∞∈++=λλOA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的 心.21.已知向量M={ | =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={|=(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ⋂N= . 22. 过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若x = y =,(0≠xy ),则yx 11+的值为 . 23.要得到函数的图像，x y sin =只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos πx y 的图像 . 24. 已知()()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=36,36,03sin ππππϖπϖ，在区间且x f f f x x f 有最小值，无最大值，则=ϖ .四、品味经典1. （必修4P117.14）如图，在半径为R ，圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PMNQ,使点Q 在OA 上，点M,N 在OB 上，求这个矩形面积的最大值及相应的AOP ∠的值.MNB回归课本专题四 三角函数与平面向量 第4 页2.已知函数2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++ （1）设0ω>为常数，若()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求w 的取值范围 （2）设集合{}2;()263A xx B x f x m ππ⎧⎫=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆，求实数m 的取值范围.3.在ABC ∆中，角A,B,C 分别对应边为,,,cos a b c b a C =，判断ABC ∆的形状.4. 在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 所对的三边分别是,,a b c ,且ac b =2（1）求证：30π≤<B ；（2）求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域.。
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三角函数与平面向量
一：考点分析
小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简，有时与向量相结合。
大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。
1、任意角的三角函数：
（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
（2）扇形的面积公式：lR S 2
1
=
R 为圆弧的半径，l 为弧长。
（3）同角三角函数关系式：商数关系：a
a
a cos sin tan =， 平方关系：1cos sin 22=+a a
（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
απ
+⨯k 2
所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性；
类型一：诱导公式的应用
1．化简：
___________)
cos()3sin()sin()
23cos()3cos()2sin(=---+--+-πααπαπαπ
απαπ 2．已知tan =2,,则3sin 2-cos sin +1=（ ） A.3 B.-3 C.4 D.-4 3．已知sin 23αα+=tan α=（ ） A ．
2
2
B 2
C ．22-
D ．2-
4．若1sin(
)33π
α-=，则5cos()6
π
α-的值为（ ） A ．
13 B.1
3
- C.23 D.223-
类型二：三角恒等变换
1．若4sin()5πθ-=
，(0,)2πθ∈，则2sin 2cos 2
θ
θ-的值等于________. 2．若
cos 22
2
sin()4
απ
α=-
-，则cos α+sin α的值为________. 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )
A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210
5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－4
5
6.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． 7．已知
，
,
则
的值为
A. B. C. D.
类型三：三角函数的图像及性质
x y sin =
x y cos
=
x y tan =
图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
调性
对称性
零值
1.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π
2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.
2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫
4π3
，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A . π6
B.π4
C.π3
D.π2
3.已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ）
A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦
B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦
C 、42,2,3
3k k k Z
ππππ⎡⎤++∈⎣⎦ D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦ 4.已知函数2
()3sin cos f x x x x ωωω=，其中0ω>.若点(,0)2
π
在函数()f x 的图象上，则ω的最小值为（ ）
A ．
12 B ． 56 C ．1 D ．3
2
5．已知函数()cos(2)cos 23
f x x x π
=+
-，其中x R ∈，给出下列四个结论
①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23
x π
=； ③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12
π
； ④.函数()f x 的递增区间为2,6
3k k π
πππ⎡
⎤
+
+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈.则正确结论的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
类型四：函数图像的变换
【函数的平移变换】： 【函数的伸缩变换】： 【函数的对称变换】：
1.)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像y 轴右侧保留，把右侧图像绕y 轴翻折到左侧。
2.)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去 典例精练：
1．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )
A.向右平移
4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8
π
个单位 2．将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图像向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.
12
π
B.
6π C.3
π
D.65π
3．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图像向右平移3
π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ．
4．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于
2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6
π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（ ） A ．(,0)3
π
-
B ．(,)44ππ
-
C ．(0,)3
π D ．(,)43ππ
5．已知函数()3sin 2cos 2f x x x m =+-在[0,]2
π
上有两个零点，则m 的取值围是（ ）
A.(1,2)
B.[1,2)
C.(1,2]
D.[1,2]
类型五：与向量、解三角形的综合应用
1．设向量
（1）若，求x 的值 （2）设函数，求f(x)的最大值
2．设函数,)(x f ⋅=其中向量()
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
-==62sin ,1,3,2sin πx b x a ，R x ∈. （1）求)(x f 的最小值，并求使)(x f 取得最小值的x 的集合；
（2）将函数)(x f 的图象沿x 轴向右平移,则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数
)(x g 的图象关于y 轴对称？
3．在已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<2
π
)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
2π，且图象上一个最低点为M(π3
2
，－2)．
(1)求f(x)的解析式； (2)当x ∈[12π，2
π
]时，求f(x)的值域．
4．已知函数()21
sin 3sin cos 2
f x x x x =+-
，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，且满足2cos 23b A c a =-，求()f B 的值.
解三角形培优小练习
1.在
中，若
，三角形的面积
，则三角形外接圆的半径为A ．
B ．2
C ．
D ．4 2.
的角所对的边
满足
，且C=60°，则
的值为
A ．
B ．
C ． 1
D ．
3.在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰或直角三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
4.在△ABC 中，
，，
，则BC 边上的高等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.在△ABC 中，
，若此三角形有两解，则b 的围为（ ）
A ．
B ．b > 2
C ．b<2
D ．
6.在△中，角所对的边分别为.若，则
________.
7.已知
的角
的对边分别为
，且
,则
的面积等于________.
8.已知函数
，其中，
.
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设的角的对边分别是，且，，若，求的值.
9.已知分别是三角形的三个角A，B，C的对边，. （1）求角A的大小;
（2）求函数的值域.。