分式及其运算-中考数学总复习讲义练习

第4讲分式及其运算

1．分式的概念

2.分式的基本性质

3.分式的运算

1．(2015·丽水)分式－1

1－x 可变形为( )

A ．－1x －1

B .11＋x

C ．－11＋x

D .1

x －1

2．(2016·台州)化简x 2－y 2

（y －x ）2

的结果是( )

A ．－1

B ．1

C .x ＋y y －x

D .x ＋y

x －y

3．(2017·湖州)要使分式1

x －2

有意义，x 的取值应满足

______________________________．

4．(2017·舟山)若分式2x －4

x ＋1的值为0，则x 的值为____________________．

5．(2015·湖州)计算：a 2a －b －b 2

a －b

.

【问题】(1)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．

(2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法．

类型一 分式的概念

例1 分式2x ＋6

x 2－9

.

(1)若分式有意义，则x 的取值范围是________； (2)若分式的值为0，则x 的值为________； (3)把分式化为最简分式________．

【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分．

1．已知分式x 2－4

x －2，若分式无意义，则x 的取值范围是____________________；若分式

的值为零，则x ＝____________________.

2．(2016·滨州)下列分式中，最简分式是( ) A .x 2－1x 2＋1 B .x ＋1x 2－1 C .x 2－2xy ＋y 2x 2－xy D .x 2－362x ＋12

类型二 分式的约分和通分

例2 计算：(1)(2016·淄博)1－4a 2

2a ＋1＝________；

(2)2x

x －1＋x ＋11－x ＝________； (3)2

x ＋1－x －2x 2－1＝________； (4)1－a －1

a －1

＝________.

【解后感悟】分式化简关键是约分，约分的关键是找公因式，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．

3．(1)(2016·丽水)1a ＋1

b

的运算结果正确的是( )

A .1a ＋b

B .2

a ＋

b C .a ＋b ab D ．a ＋b

(2)(2015·绍兴)化简x 2x －1＋1

1－x

的结果是( )

A ．x ＋1

B .1x ＋1

C ．x －1

D .x

x －1

(3)若a 、b 都是正实数，且1a －1b ＝2a ＋b ，则ab

a 2－

b 2

＝____________________.

(4)(2016·荆州)当a ＝2＋1，b ＝2－1时，代数式a 2－2ab ＋b 2

a 2－

b 2的值是 .

(5)(2015·台州)先化简，再求值：1a ＋1－a

（a ＋1）2，其中a ＝2－1.

类型三 分式的运算与求值

例3 (1)(2016·内江)化简：⎝⎛⎭⎫a 2

a －3＋93－a ÷a ＋3

a ＝________.

(2)(2015·黄冈)化简：b

a 2－

b 2÷⎝⎛⎭⎫1－a a ＋b ＝________.

(3)(2015·衢州)先化简，再求值：(x 2－9)÷x －3

x ，其中x ＝－1.

(4)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫x 2x －1－x ＋1÷4x 2－4x ＋11－x

，其中x 满足x 2＋x －2＝0.

【解后感悟】(1)解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．(2)熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．化简求值题要将原式化为最简后再代值，从求出x 的两个数中选一个数代入求值，但要注意分式成立的条件．

4．(2015·成都)化简：(a a ＋2＋1

a 2－4)÷a －1a ＋2.

5．先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2x

x 2＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代

入求值．

类型四 与分式有关的变形和应用

例4 观察下列等式： 第1个等式：a 1＝

11×3＝12

×(1－13)；

第2个等式：a 2＝13×5＝12×(13－15)； 第3个等式：a 3＝15×7＝12×(15－17)； 第4个等式：a 4＝17×9＝12×(17－19

)； …

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；

(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝________＝________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．

【解后感悟】本题是数字变化规律，要求首先分析题意，通过观察、分类归纳、抽象出数列的规律，并进行推导得出答案．

6．(1)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积

乙图中阴影部分面积

(a ＞b ＞0)，则有( )

A ．k ＞2

B ．1＜k ＜2

C .1

2

＜k ＜1 D ．0＜k ＜1

2

(2)一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该