(同济大学)工程数学线性代数课后答案

习题解答
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
解(1)原式= 2x( - 4) X3 + Ox(-1)x(-1)+ 1X1X8
-lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3 = -4；
(2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a' ■ b'
=3abc — a 3 —
—
c 3 ;
(3) 原式=1•&•c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2~l*c'62-l ,a*c 2
=be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba? — cb 2 — ac 2
= c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z>-c)(c-a);
(4) 原式=x(x + y)y + yx(x +，)+ (” + y)yx - (x +，)' 一 d -
=- 2(r + y ).
2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
(1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； (3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; (5) 1 3 …(2n -1) 2 4 …(2”)；
(6) 1 3 …(2n — 1) (2”) (2n - 2)…2・
解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0;
(2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4；
(3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5;
(4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3;
(5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元累之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“・1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数
2 0 1 ⑴
1 -4 -1
-1
8
3
1 1 1
(3)
a b c a 2 b 2 c 2
• t
为” -2;・・・；末位元素2n的逆序数为0.故此排列的逆序数为-1) + - 2) + …+ 0 =寺打(幵一1)；
4
为-1) + - 2) + …+ 0 =寺打(幵 一 1)； 4
(6)与(5)相仿，此排列的前n + 1位元素没有逆序对；第”+2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第M + 3位元素2n - 4与它前面的2n - 3,2n - 1,2”， 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;…；末位元素2的逆序数为2(” - 1),故此 排列的逆序数为 2 + 4 + •••+2(M -1) = »(M -1).
3. 写出四阶行列式中含有因子a N a 23的项.
解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素, 而它们又分别位于第2列和第4列，即％和5或％和S2 •注意到排列1324
解仃)
12 0 2
1 2 0 2 尸严「2
4 12 4
0-72-4
10 5 2 0 O-lOr,
0 -15 2 -20
0 117
11.7
1 2 0 2
• 1
1 2
0 2
0 1 1 7 [3 + 15々 0 1 1. 7 0 -15 2
-20 口 +7巾 0 0
17 85 0
-7 2
-4 -:
0 0
9 45
=0 (因第3、4行成比例);
仃) 与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有a u a 23的项为- a II a 23a 32a 44 与 G"
a
23a U°42 •
4.-叽
bd bf ac - cd
cf
ae de ef
-1 0- .0
1
b
-1 0 -1
为-1) +
- 2) + …+ 0 =寺打(幵 一 1)；
4
1
2 2 2
2 5 1 5 =0 (因有两行相同);
1
1 +
a
ad
按心展开z
\ + ab ad
-1 c 1 + cd
==_(
-1)(-l)5
-1 1 + cd
0 -1 0
=(1 + ab)(l + cd) + ad 5.求解下列方程：
互不相等.
于是方程的解为：心=-3,2*2 =4、工产-/3；
ri —d
⑶ D —^adf
“rd ry^rf
abcdef
ri + ari
⑷
0 -1
0 0
-1
0 0
1 +
-1
2. 0 0 0
-1
=4abcdef;
按门JR 开
(一 1)( 一 1)' 1 + ab -1 0 a 0
c 1 — Id
X + 1 2
-1
1
工+
=0；⑵
X
2 X 3
X
1
b b
解⑴左式=^為=
（小）
1 工+
1
1 J
0 1
工
1
2
-1
JC -1
2
(文 +
3) = (x + 3)
二
Cr + 3)(宀 3).
(2) 注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式，由例12的结果得 (x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a-c)(^-c) = 0. 因a ,6 ,c 互不相等，故方程的解为：x x = a,x 2 = Z>,j73 = c.
6.证明：
b 2
2b = (a — b)3;
1
= (a_b)(a_c)(a_N)(方 _c)(6_〃)(c_d)(q 十为+ c + d);
-1
(2)将左式按第1列拆开得
1 a 1 1 b c (4)
a 2
b 2 ?
a 4
b 4 K
d
d 2
ax
ay 十 bz
az 十 bx
by ay 十 bz
az 十 bx
左式二 ay
az + bx
ax 4 by
+
bz as ：亠 bx
ajc 亠 by
az cue + by ay + bz
bx QJC
+ by ay + bz
=aD| + bD 2 ■
⑴
(2) ⑶
a 2
(4 + 1)2
(a+2)2
(a + 3)2 b 2 (6 + 1)2 0 + 2)2
(6 + 3)2 c 2
(C+I)? (c + 2)2
Q + 3)2
d 2
(d + l)2
(〃 + (〃 +
证(1)左式
a 2 —
b 2 ab b 1 b 2
(a - b)2 ab - b 2 b 2
2(a ~ 6) Q - b 2b
U a b Lb 0 0 1
0 0 1
x
=(a 3 + b 3) y
z
z X y
ax by ay + bz ay + bz az + bx az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz
fl.
2a + 1
= (〃一a)(c-4)(/-a)
工
y
其中：工=c 2(c + a)-(6c)(6 + a) = c(c 2+ac-62-aA) = c(a + 6 + c)(c-6); y = d'(d 十
Q )- bd(b + a) = d(a + b 十 d)(d 一 b).
其中
D=aD t + 6D 2 = (a 3 + 65) x y z y z X
Z JC y
a 2 2a + 1 2a+3 2a +5
b 2
26+1 26+3 26 + 5
左 5k fli
Cy - C 2
c 2 2c + 1
2c + 3 2c + 5
C - Ci d 2
2d + \ 2d+ 3
2d+ 5
于是
二右式.
y z
C 一 "2
CJ-T&
y
ay + bz az + bx
y z
az + bx
C2 -呵
z az •卜 bx ax + by
=== b X ax + by
b
X ax + by ay + bz
工
y ay + bz 26 + 1 2c + 1 =0 （因有两列相同）;
(4)左式二
r - g 尸2 -
a/|
d 2 1
0 B 0
b a
b(b — a) b 2(b 2 ~ a 2) c 2(c 2
— a 2)
1
b
(c 一 a ) d(d — a ) d z (d l - a 2)
1
各列珮公因子
g ）g ）（D
ri — 6(6 + a)ri
-.--—n-.( b ・a)(c-a)Q-a)
62(6 + a)c 2(c + a)J 2(J + a)
1 1 1 0 c - b d - b 0 x y
D
y y 兀 y
_ 1
-1
1 1
c(a + 6 + c) d(a + b + d)
=(c b)(d b)[d(a + b + d) c(a + b + c)] = (c-6)(^-6)[(J-c)(a + 6) + ^2-c 2] = (c-6)(d-b)(〃・c)(a + b + c 十 d),
因此，左式=(b-a)(e ・a)(d-a)(e-b)(d-6)(d ・c)(a + b + c + 〃)=右式. (5)证一 递推法•按第1列展开，以建立递推公式.
-1 x -1
D wf , = xD n + ( - l)wf2a 0
=+ ( - l)2"*2a 0 = zD. + a Q . 又，归纳基础为:D|=a.(注意不是
工)，于是
D^g =
+ a 0 =x(xD n .| + fi|) + a 0
=X 2D H .| + «|X + a 0
=x M D } + a R . | x w " + ••• + fl| x + a 0 =a 0 + a, x + a 2x
证二 按最后一行展开得
= (c-b)(d-b)
+ …+ a^x •
=士 (- 1)5—匕+
j・o
== a0 + flj x + a2x2 + …+ a n^x x a^x + a n x n.
7•设"阶石列式D二det(勺)，把D上下翻转、或逆时针旋转90•、或依副对角线翻转，依次得・
J (5)
5 ...％% (5)
••••••，。

2 =
• • •
••
••
4 =
••
••
••
«11 …4“… J J …«||
证明D, = D, = (-l)d2：r22D,D3 = D.
证(1)先计算D“为此通过交换行将D,变换成D,从而找出0与D 的关系.
D,的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1 行,共进行« - 1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行W-2次交换;……，直至最后一行是D的第n-1 行,再通过一次交换将它换到第H- 1行，这样就把D,变换成D,共进行
(n-l) + (n-2) + - + l=y W(n-l)
次交换，故D产
注1*上述交换行列式的行(列)的方法，在解题时，经常用到.它的待点是
在把最后一行换到某一行的同时，保持其余"-1个行之间原有的先后次序(但行的序号可能改变).2・同理把D左右翻转所得行列式为(-i)b(--'>D.
(2)计算D2.注意到D2的第1,2,…，”行恰好依次是D的第”，”-1,…， 1列,故若把D2上下翻转得庁2,则D2的第1,2,-,n行依次是D的第1, 2.-.«列，即D2 =D T.于是由(1)
D2 = ( - 1)卜u =
(3)计算D).注意到若把D3逆时针旋转90•得戸),则Dy的第1,2,…，” 列恰好是D的第歹9,于是再把D｝左右翻转就得到D.由(1)之注及⑵，有
D3 = (-l)^("-,)D3= D.
注本例的结论值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转180>所得行列式不变;作上下翻转佐右翻转、逆(顺)时针旋转90°所得行列式
为
8•计算下列各行列式(D*为&阶行列式)：
a 1
(1) D n=•・. ，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
1 a
⑵D w =
■ •
a • • • •
t
a
••• x
a' (a - 1)
a"_ (a T)" -
… (a-n)・
・・・(a - n)"'1
(3) D.■厂 =
• • • • • • ■ •
■
a a - 1 … a - M
1 1
… 1 提示：利用范總蒙徳行列式的结果・
■其中未写出的元素都是0；
(5) D. =det(a 4>),其中 a h = \i-jl;
1 + aj
1
•••
1 1 + a
2 … (1)解一
1
1
••• 1 + a w
把D“按第一行展开得
0 a 0
= a w + (-l)wM
解二
a 0
1
4 1
1
1.
a
Of
•• a
•
•••
Q
0 a 0
a
(2)本题中臥是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列 式,在以后各章中有不少应用.
■
dy
a 2 • 1).
按第一列 展开
D* = (a.d. - b.c"・・・(ad ■ ba) =
- g)・
另一方面，归纳基础为D 2 =
by
a-ss 利用这些结果■递推得
解 利用各列的元素之和相同，提取公因式.
x + (n-l)a]
= (x-a)w 'l [x + (n-l)a].
(3)解 把所给行列式上下翻转，即为范德蒙徳行列式，若再将它左右翻 转•由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等•故行列式经上下翻转再左右翻 转(相当于转180・,参看题7)其值不变.于是按范徳蒙德行列式的结果，可得
1
n (D !＜/＜；＜ ・“
(4) 解 本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.
由例10 , 上 f 5 ”
(4■血—叭C J©2(n-1) v
即有递推公式
D 2a = (aA - 6工」Dgt).
+ (并一 l)a x + (n- l)a
… x + (n — l)a
(a - nY
n + l)w •
(6)解 将原行列式化为上三角形行列式•为此，从第2行起，各行均减去 第1行，得与例1・3相仿的行列式
其中6 = 1 + a. + 右i （l +拿£）.于是
3
-5 2 D —“（1 + 命廿.
1 -1 2
： ? [ .D 的（i.j ）元的代数余子式记作A,求 0 1 - 1
-5 3 -3
A si + 3A 、2 一 2 A JJ + 2A U ・
解 与例13相仿，知+3Aj2 -2Aa +2A”等于用1,3, -2,2替换D 的第 3行对应元素所得行列式•即
（5）解
1 -1
1 3 5
15 11
15 11
1-2-1 4
0 -7 -2 3 2 -2 -1 -5
-12 -3 -7 3 0 2 11
2 0 -15
-1 8 D?= 10. (1) J 4
1
1 -1 3
2 -4
3
-5 -
3 -2 2
1
i -5 3 -3
1 -
3
1 -1 1
5
一2 2 2 0
1 3
-2 0 按C 4
展开
1
3 0
—2 1
0 4 -4
-1 4
3 -2 3 1 -1
1 1 1 -1 0 0 -1 -
2 3
= 24.
用克拉默法则解下列方程
组： X| + + x 3 + x 4 =5;
X| + 2X 2 - x 3 + 4X 4 = -2; V
2xi -3孔-" 5X 4 = -2» 3xj + x 2 + 2 J *J + 1 l.r 4 = 0 ； =1>
=0t + 6X 4 =0f
+ 5X 4 = 1.
1 1
1 1
解(1) D = 1 2 — 1 4 2 - 3 — 1 -5
3 1
2 11
1 1
1
+ 5“ 0 1
-2
+ 2r 0 0
-13
0 0
-5
1
1 1 1
r
i
一 r
i
0 1 -2 3 ry -2r 0 _5 -3
_7
/*4 -3/-I
0 -2
-1 8
1
■
3
=
1 1
8 =- 142;
8 0 1 II -5
14
14
D.=
-2 -2 - 2 -3
1
按 c 风开
3 3
-10
-27
32
23
-22
5
1 1 1 3 • 3 0 5
3 -2 0 _
4 -10 -1 0
9 -27
32
23 • 0 -22
-10
1
9 Aj| +3Au -2A R +2A54
=一 142;
0 -13 0 -31
-1 8 0 =
由克拉默法则•得
= ^ = 2,x 3 = ^ = 3,x 4
= ^= -1;
6 0 0 1 5 6 =114, 0 1
5
于是 D = 325- 114 = 211；
6 5 1 0
1 1 1 5
1 1 1 5 1
2 -1 ■2 0
1 -
2 -7 2 _
3 _] -2
n-2r ) o
■5 _3 -12 3
1
2 0 n-3
ri
_2 _1
-15
5
1 1 1
_7 -2 =
-12 -3
-15
-1 按 巾展开
23
33
115
1
115 1 12-24
1-73 2 -3 -2 -5
rj_2r
'
-5 -12
-7 3 1
11 0 一2 - 15
8
47 -29
8
14 …26;
1
-2 7
0 0 -13 -47 0 0 -5 -29
-13 -47 -5 -29 142.
5 1
6 5 0 6 (2) D =
0 1 5
0 0 1
=5 = 65;
(*)
23 33 -15
D3 =
1
5
* -7 3 _ [ -47 8 一 0 -29 141
卩+ 5心
r + 2“ 4三労=1,
0 0 6 5
5 0 0 1
6 0 0 5 6
^^65-216 — 1;
=-19 + 180=161；
由克拉默法则，得
工
=21—151
- _D 2^ 161
11. 问4尸取何值时，齐次线性方程组
A J ：I + x 2 + =0>
・X| +牛2十工］=0> 工1 +2耳2十工3 =0
有非零解?
解 由定理5’•此时方程组的系数行列式必须为0.
A 1 D= 1 JJL
1 2“ 故只有当或入=1时，方程
组才可能有非零解. •当原方程组成为
J A J ：I + x 2 + =0> 1工1 +工 3=0>
显然X! =1,X 2 = 1-A t x 3= -1是它的一个非零解; 当A=L 原方程组成为
X| +x 2 + x 3 = 0t ■ X ： + jtzx 2 + x 3 =0, X| +2牛2 + X 3 = 0,
显然，4 = -l,x 2=0,x 3 = l 是它的一个非零解. 因此，当“ =0或4 = 1时，方程
组有非零解.
注 定理5（或定理5‘）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列
D 2 =
按"展开
(J
D 3 =
O 4 =
5
1
0 0
1 5 0
5 6 0
按展开
n ( A
U 1
1 0 u
0 0 5
0 1 6
=5- 114 =
0 6
5 1
6 5 1 0 0 0 由（•）
-109; 1 0 0 1
115 6
5 6 0 0 1 5 + 1 5 6 0 0 1
0 1 5
109
~D = -2n*X2= o-=m^3="D = "2n*X4 = %=m- 0
0 6 5 0 0 1 按“展开
1 0
1
2 1 -2
式必为零•至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非 零解.下题也是同样情形.
12. 问A 取何值时，齐次线性方程组
(1 — A )X| -
2X 2 + 4X 3 =0,
*
2x| + (3 - A)X 2 + x 3 - 0, X| +
工 2 + (1 —入)工3=0
r ^(A _3) -
A(A-3) 故D = 0=>A = 0
或入=2或A = 3,并且不难
验证:
当入=0 时,x t = -2,x 2 = l t x 3 = l ；当入=2 时.4= 一 2,工 2 = 3,6 = 1;当 23时严=-1,工2 =5,6=2均是该方程组的非容解•所以当入=0,2,3时 方程组有非零解.
1-A
2入-1
1-A A
一3 +入 4-(1-A)2
A-3 3A - A 2 1 - A -2 4 2 3-A 1
1 1 1 - A
1 1 1 一
入 2 3-A 1 1 - A - 2 4
有非零解？
解 若方程组有非零解•由定理5：它的系数行列式D = 0.
1 1-A 1 0 1-A 2A-1 4一(1-入)
因 D = 解答
4
3 1
7
(1) 1
-2 3 2
5 7 0
.1
3
(2) (1,2,3) 2 ;
1
2 ⑶.1 (-1,2);
3.
- ( I - A)r (
=-A(A -2)(A -3).
1-A 1 1 -1
1.计算下列乘积:
(1
4 _1 -3 0
⑸
解
3
(2) (1,2,3)“ 2
=(10)lxI =10；
1 3«1
J
5
5
工1
(5) (X| > Xj ,Xj )jxj
5
工2
5
4 23
5
3xJ
a ll x I + a
l2x 2 + a IJ x 3
=(X, 9X 2 > ^3 )|xj a \2x l + a 2Z x 2 + a 23x 3
+ a
l3x 2 + a 33x 3 >3x1
=
fl II XJ +。

12工1工2 +
13 j + Q 12
工2 工I + 口22工;+ ^23工2 无3 +。

订工3
工1
+ 5 工 22 + 5工；
=a u x? + a 12x\ +
+ 2a n x x x 2 + + 2a 23x 1x 3.
求 3AB-2A 及 A T B.
因A T = A,B 卩A 为对称阵■故
2’
-2 4 ⑶ 1 (_ 1*2)(x2 =
-1 2 3 3x|
-3 6
1 3
f2 1 4 0\ 0 -1 (4) 1 a -1 3 4 丿2X4
1 -3
2•设A= 1 1
1 -1
1
2 3 ,B = -1
-2 4
5 1
AB =
1 1 1 -1 -1
1 0 0
2 0 0 6
于是 3AJB-2A =3
1
-1 0
5 -5 15 -15 27 8
6 0 24 18 0
Q 5 8
= 0
-5 6
2 9 0
1
1
1
-1
— 1 1.
2 2、
2 -2 = -2
2,
13 -17 29 22 20 ; -2,
4 0
4X3
-7
_5
_2 11 2 2 3
4 1 1 -2
-2
4 2 -2 5
0 5 8
A T B=/1B=0 -5 6 •
2 9 0
3.已知两个线性变换
>i = -3z t + 力=2引+ >3=-勺+ 3和,
求从Z| , Z2,«3到Xj，工2 ,£3的线性
变换.
解依次将两个线性变换写成矩阵形式：
X = AY, Y=BZ,
2 0 1 ■
3 1 0 4
其中A =-2 3 2 • B = 2 0 1 分别为对应的系数矩阵；x =攵2
4 1
5 0 -1 3j 6
・在这些记号下，从引，勺，引到心心“孔的线性变换的矩
X= AY= A(BZ) = (AB)Z = CZ>
这里矩阵
2
C=AB= -2
.4
即有
4•设"C ；)，，(：：)，问:
(1)AB^BA吗？
(2)(A + B)2 = A2+2AB + B2^?
(3)(A + B)(A-B) = A2-B2^?
(；；),故ABHBA;
(2) (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + 但由(l)MB^BA，故AB +
BA T^2AB,从而
(A + B)2^A2 +2AB + B2;
y=yi■ Z =z2
±3
o r-3 1 0
3 2 2 0 I
1 5j .0-13
工I +环
工2= _2必 + 3y2 + 2y3, 工
3=4必+ y2 + 5 >
阵形式
为
-6 1 3'
12 -4 9
-10 -1 16
X| = 一6zi + +
•工2 = 12引-4Z2+9J
X J =一10Z| - z?十16z3 ・
(3) (A + B)(A - B) = A 2 + BA - AB - B 21 但由(1), ABH BA ，故 BA - ABHO,从而
(A + B )(A -B )#A 2-B 2.
5.举反例说明下列命题是错误的： (1) 若 A? = O,则 A = O; (2) 若 A 2 = A,则 A = O 或A = (3) 若 AX = AY,且 AHO,则 X = V. 解(1)取A =
有A 2 = O,但AHO;
(2)取 A = (* °),有 A 2 = A,但 AM 且A 护E;
⑶取八叫：)，5昇)""彳；讣有g".且AHO,
但XHY ・ 事实上，当怡=1时,(2.3)式显然成立;
设当A = n 时,(2.3)式成立，那么当k = n + 1 R 寸,
由归纳法，知(2.3)式成立.
A 1 0
7.设 A=
0 A 1 ,求 A".
0 A
解把A 写成两个矩阵之和
A 0 0
0 1 0
、
A = 0 A 0 + 0 0 1
=AE + B,
0 0 A
0 0 0,
0 1 0
0 0 1
其中三阶矩阵B= 0 0 1 满足 B 2 = 0 0 0 ,B* = O (心).
0 0 0
0 0 0,
6.设 A =(； ，求 A —,A
解直接计算得
T ：：)昇H 畀)
一般可得
(2.3)
A
1
(yj + 1 )A
于是A11 =(入E + B)1•二C®A R E + + …+ C：B n
=+ C* 7 B+ C”？B2
c>-'A2nX小T)]
2
0 c扶…= A""*0 A2nA(心2).
【0 0 A" 0 0 A2
&设A.B为刀阶矩阵，且A为对称阵，证明BT/4B也是对称阵. 证根据矩阵乘积的转置规则，有
（K T AB）T=B T A T（B T
）T=B T AB（因A为对称阵），
故由定义，知B T AB为对称阵.
9.设A,B都是“阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB = BA . 证因
A T = A,
B r = B,故
AB为对称阵U（AB）T = AB
<=>B T A T= AB«BA = A B・
10.求下列矩阵的逆阵：
解（1）由二阶方阵的求逆公式（教材例10）得
r2f= I/ 5■2以 5
\2 5)：(-2 1) \-2
地仕占•吩）是有意义的,
并且因
= diag(l
由定理1的推论，知A 可逆，且A — B = diag （右，右…，右）. 注本题结
论值得记取■可当作公式用.
-；：）心：）=（0 -：）
0 1 0
1 0 0
1 -4 3
1 0 0 X 0 0 1 =
2 0 -1 .0 0 1
0 1 0,
1 -
2 0
(cos e -sin 0 F
1 1 cos 0 \sin 0 cos 0 1
cos 2 0 + sin 2
0 \
-sin 0 ⑵ sin 0
cos e cos 0 sin 8 -sin 0 cos &
_4 2 0
_2 1 0 1 2 -13 6 -1 = 13 ~2 3 1 ~2
-32 14 -2
.一 16 7 -1 M Q -M“ MJ -M32 My M tl -M l2 Ml3 ⑶因|A| = 2 4 -4 -1 -2 1 = 2^0,
故A 可逆，并且 M|产 M n = M|3 = 4 -2 -4 3 5 3 5 宀
4 =-32, 2 -4 1
5 1
5
—
1 1
2 -4 =6, =一 14. Mil =
M?j =
于是
2
4 1 3 -1 -2 -1 -2 2 4
A ，*
(4)因
0, i = 1.2，…■刃.于是矩阵B =
AB = diag(a )9a 2 >•
11・解下列矩阵方程: (2) X 2 1
1 -1 1
2
故A 可逆，用4八右乘方程的两边得
因|A| =6^0t |B| =27^0.故A 9B 均可逆•依次用A “和左乘和右乘 方程两边得
1
-1
均是可逆阵，并且
0 1 0' -1
0 1 0
1 0 0
-1
1 0 0
1 0 0 =
1 0 0 *
0 0 1 = 0 0 1
0 0 1.
.0 0 1.
0 1 0
0 1 0
/ 1 4\
/ 2 0\
/3
1\
,C = (c
2 \ -1 1/ \o
-1/
AXB= C.
(3)记 A = ，则矩阵方程可写为
0 1 0
10 0 (4)本题与(3)相仿•因矩阵
1 0 0 和 0 0 1
、0 0 1
0 1 0
的行列式都是-1•故
解(1)因矩阵 左乘方程两边•
的行列式=1,不为零，故它可逆•从而用它的逆矩阵
7 ;)■'(: ■:>
訓 1)=(o V
det A = 2
又.
IAI
M u -M 21
1 0
1
-M l2
MZ2
-
_ 1 -2 3 2
Mg
-3 3
于是
1 /I
-1 3\ 1 0 1 X =BA 1 = 3(4
3 2/
-2 3 -2
3 0
(2)记矩阵方程为
1 1 _ 1 0 0
1 0 =3工0, -1 1
X=BA
1
1 / -6 6
3(-8 15
3
・
2 0 -1 1
銃 1)(0 ・；)(；；)
12・利用逆矩阵解下列线性方程组：
Xj + 2X 2 + 3 工j = 19
4 _孔_工严2,
(1厂 2x, + 2X 2 + 5X 3 =2,
(2) < 2x, - x 2 - 3X 3 = 1,
3x I + 5x 2 + = 3;
+ 2x 2 一5七=0.
解 将方程组写作矩阵形式
Ax = b 、
这里*为系数矩阵t x = (x lt x 2t x 3)T
为未知数矩阵』为常数矩阵.
2 3,.
2 5 =15H0,故A 可逆，于是
5 1
1 2 3
-1
r
x = A ■ ] b = 2 2 5
2
3 5 lj
3
-23 13 13 -8 4 1 即有
4 = 1, 工2=0， x 3 = 0;
11 -7 2 2
15 1 T
1 -
2 1
1 1 0
,7 -5 1
0,
9
即有
故得X =
0 1 0 0 1 .0 0 1
0 1 1 0 0
— 4
3
1 0 0
-1
2
0 — 1
0 0 1
11 Mi 2
0 1 0
_4
31
1 0 0、
-1
0 0 1
-2
0,
0 1 0J
3 -41
2 -
-1
二 1
3 -4
-2,
4
-2.
2 1 2 1
0 1 0 0
1
G
1 2 1
0 = 0 3,
1 (1)因 lA|=
2
3 1 15
⑵因|A|= 2
-1 3
2
1 -1 -1 -i 2
x = A S = 2 -1 _3
1
3 2 _5,
o
4 1 -2 -1
-3 =3^0,故A 可逆，于是 _5,
4 =2〃 + 2y 2 + >5, 工2 = 3力+ >2 + 5划• ^3 =3 Ji +2力 + 3力
・
求从变量4 *2,孔到变虽M Q2,力的线性变换.
解 记工2，工"，严（“Ad"，则线性变换的矩阵形式为X =
2 2 1
Ay,其中A 为它的系数矩阵•因det A= 3 1 5 =1^0,故A 是可逆阵，于 3 2 3,
是从变量4 ■孔，6到变量M ,力•力的线性变换的矩阵形式为
-7
-4 9
6 3 -
7 3 2—4
-7 -4 9
才i yt =
6 3-7
才2
3
2-4,
6
>i = _7心 -4% +9列. yi =64 +3工2 _7孙， 力=34 +2孔一4.口・
14. 设 A 为三阶矩阵,lAl= j,^l(24)-,-5A* |. 解 因|A|=*H0,故A 可逆.于是由
A 9 =|4|4-'=14-'^ (2A)-* =yA ・»
(2A)-' -5A ・=yA _,-y4_, = -2A-\
两端取行列式得
|(24)_,-5AM = |-2A",|=(-2)3|Ar ,= -16.
注 先化简矩阵，再取行列式，往往使计算变得简单. 0 3 3 15.
设 A= 1 1 0 ,AB = A +2B,求 B. -1
2 3
解 由 AB = A+2B=>(A -2E)B = A.
-2
3 3
13・已知线性变
换
4 =5, 工 2 = 0, 工3
=3・
于是
因A -2E= 1 -1 0 ,它的行列式det (A-2E22H0,故它是可逆阵.
-1 2 1
用(A-2E)T左乘上式两边得
- 2 3 3°-10 3 3
B =(A -2E)-,A = 1 -1 0 1 1 0
-1 2 1 -1 2 3
-1 3 3 0 3 3
-1 _] 1 3 1 1 0
11 -1 -1 2 3
0 6 6 r0 3 3
1 2-
2 4 6 = —1 2 3•2 2 0 1 1 0
1 0 1
16.设0 2 0，且AB + E = A2 + B•求B.
1 0 1
解由方程AB+E= A2+1B,合并含有未知矩阵B的项，得(A-E)B = A2-E
=(A -E)(A + E).
0 0 1
又,A-E= 0 1 0 ,其行列式det(A - £)= -1^0,故A _ E可逆，用.1 0 0.
(A-E)'1左乘上式两边，即得
2 0 1
B=A+E= 030.
1 0 2
17.设A =diag(l,-2J),A* BA=2BA -8E,求B.
解由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A，，因此仍从公式AA* = IAIE 着手.为此，用A左乘所给方程两边，得
AA' BA=2ABA
又，|A| = -2H0,故A是可逆矩阵，用右乘上式两边，得
I A I B=2AB - 8E=>(2A + 2E)B = 8E=>( A + E)B=4E.
注意到A + £ = diag(l,-2,l)+diag(l,l,l)=diag(2.-U2)是可逆矩阵，且
(A + JS ) 1 = diag (寺，1，寺)，于是 B = 4(A + £)•' =diag(2, -4,2).
18.已知矩阵A的伴随阵A・=diag(l.1,1,8),且ABA •'=“「+3E,求B・
解先由A•来确定|A|.由题慰知A存在，有A* = | A | A'*,得
|AT = |AriAT = |A|「,而|A- |=8,ttlA|=2.再化简所给矩阵方程
ABA'1 =BA' +3E
=>(A-E)BA~l=3E
=>(A - E)B = 3A =>(E-A'*)B = 3E.
由 IA I = 2,知 A 1 = | | A * =寺diag( 1,1,1,8) = diag,4
得 (E-AT 7=击昭(2,2,2,-壬).
于是
B = 3(E
-A ・")7=3diag (2,2,2,-・ y j = diag(6,6,6,- •1).
/ - 1 -4\
/
一 1 o\
19. 设P-'AP = A,其中P =i J
c J •求 0 2/ A".
解 本题与教材例13相仿. 因 P l
AP=A,故 A 9
= PAP^.
于是
A n = PA II p-l
1 • =(■
::)「: 狎；
-1 -4\ / -1 0\ / 1
1 \)\ 0 2n H-l
1+2” ・ -1-2H -<
4 + 2u \ / 2 731 2 732\
4-2"丿一 I-683 -684/
1 1 : 1
-1
20. 设AP = PA •其中P = 1 0 一2
,A =
1 >
1 -1 1
、
5j
求 ^(A) = A 8(5E-6A + A 2).
Ill
解因|P|= I 0
-2 =-6H0.故卩是可逆阵.于是，由AP= PA
1-11
得 A = /MP7,并且记多项式 ^>(x) = x B (5-6x + x 2),有
(p(A) = P<p(A)P'1.
因A 是三阶对角阵，故・
卩(A) = diag (卩(-1),卩(1) ■卩(5)) = diag(12O0).
=4 1 1 1 ・
111
注，由于p(A)除(1,1)元外均是0,故在求P ，时，只需计算P 的(1,1)元、(2,1) 元,(3,1)元的代数余子式A H ，A 2I 和:-
于是
1 0 0
A M . . A 3|
=一 2 1 0 0
# * * 1 0 0,
黃
■符
*
> *
1 0 0
-2 -2 -2
=-2 1 0 0
# « »
1 0 Oj
# # *
1 0 -1
1
21.设A* = O 为正整数)，证明E-A可逆，并且其逆矩阵(E-A)-1
= E + A + A2 + ••• + A*"1. •
证由(E-A)(E + A + A2 + ••• +A*'l) = E + A + …+ A_ | _ A _ A? _ •••_ A" = E-
O = E>
由定理2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵(E-A)-1 = E + A +…+ A*_,.
注判断矩阵B足否为A的逆矩阵,最直接、最简单的方法就足验证AB
■ . • ! ' ' • ■ ••
(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3是否为寺的逆只需验证1x3是否等
于1 一样•下一题及例2.1都是这一思想的应用.
22.设方阵A满足
A2-A -2E=O, (2.4) 证明A及A+2E都可逆，并求A"及(4+2E)r.
解先证A可逆.由(2.4)式得
A(A -E) = 2E,.. .
也就是
A(y(A-E)j = E.
由定理2之推论知A是可逆的，且A-l = |(A-E);
再证A+2E可逆•用例2.1的解法，由
(A +2E)(A-3E) = A2-A -6E = 2E~6E= -4E,
即(A+2E)[#(3E-A)] = E, >
同理，知A+2E可逆，且(A+2E)讥寺(3E-A).
23.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A •也可逆，且(4・)7 =(A")・.
证因AA * = I A I E及|A|HO,由定理2的推论知於可逆，且
另一方面，因=|A-l|E. .
用A左乘此式两边得
比较上面两个式子，即知结论成立.
24.设”阶矩阵A的伴随阵为A，，证明:
(1)若IAI =0.则IAT =0: ⑵|A T=|A|"“.
证(1)因
A ，A = |A|E,
（2.5）
当IA 1=0时■上式成为A ，A = O ・
要证|A- 1=0,用反证法:设|A ・|H0,由矩阵可逆的充要条件知，A •是可 逆矩阵，用(A ・左乘上式等号两边，得A = O .于是推得A 的所有阶子 式，亦即A •的所有元素均为零•这导致A • =O .此与A •为可逆矩阵矛盾•这 一矛盾说明，当lAl= 0时JAM=O.
(2)分两种情形：
情形1：|A| =0・由⑴，I" 1=0=1川…，结论成立； 情形2：|A|H0.在(2.5)式的两边取行列式，得
|A- ||Al = lA-A| = ||A|Ej = lA|M .
于是
lAT = lAl
注 本题(2)的结果值得记取.
1
2 1 °1 卩 0
3 1 25.计算 0
1 0
1
° 1 2 -1 0 0 2 1
° 0
-2
3
0 0 3)
Io
解 与教材例15相同，本题练习分块矩阵乘法•记
A ||
1 2\ 0 1宀
原式讥：：）（：::H S + B” = C ；）（； _；）+（ =G 二）+仁-
o ；）（ 人22〃22
•2 0
=fo
-1
A “ A 1|B|2 +
B 22
O -2
A 3
]
22^22
-3）
2* 3)
(2
-J
-4
r 0 -9卜
26. 设“
3 4 0 0
4 -3 0 0 原式二
10 2
1
0 0
5 2 -4 0 2 _4 3 -9,
0 0 2 2 0 0
0 2
•求1八|及".
解若记：)康中
3)M I =(2 A 则“成为一
3
-3 3 -3
3 2
个分块对角矩阵•于是
1"| = |人|「（|人||如|）「|釦|8|如|' = 10 叫
- = （o 3
因心佬；） = 25E,故 A ：=5，E4=2（；：），故崩=2・（：；）（可参 看习题6）•代入即得
0 26 24
B q
卜由分块矩阵乘法规则,
（2）求（:的逆阵，就是求” + s 阶方阵X,使
{A O\
（c 加E ….
为此，根据原矩阵的分块悄况•对X 作一样的分块,
其中是未知矩阵（为明确起见•它们依次是nX Wt nX StS x ”，$x s 矩阵）•把上式代入（2・6）式得到
(E.
O)(X|| AX" AXn \
\ o E, / ~ \ C B )\X 2I X 22)\CX n + BX 2l CX t2 + BX n / 比较上式两端两个矩阵，有 AX )t = E n =>X n 二 Aj AX |2 = O=>X|2 = O;
CX I2 + BX 22 = E t ^>BX 22 = E I =>X 22 = B*;
CX U + BX 21 = O=>BX 21 = - CX 、\ =_ CA"l =>X 21 =_ B l CA 于是得
(A oy l /
A -1
O \
\C Bl r " B H CA H B"1/
宀。

0 54 0 0
0 24
(2.6)
0 0 0
27・设n 阶矩阵A 与£阶矩阵B 都可逆，求
解（1）因A 和B 均可逆，作分块阵
28. (1) 求下列矩阵的逆阵:
5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 8 5 0
0 3 2 (1)将 2 1 分块为A = I J
0 2 1 2 o t
/ •其中A,=
A2 0 0 3 1 0
0 0 4, ，
因
|A I I = 1JA 2I = 1＞故它们均可逆.于是由分块对角矩阵的性质，有 1 _2 0 0 A ；1 O O A ； _ 2 5 0 0 0 0 2 _5 0 0 ■ -3・
8
1
2
•因 |B| =
2,|C| = 12,故B t C 均是可逆阵•由27题(2)的结论，得
l B
.1
°)
(D
c)-
C X DB
C-'/
1 / 4 0\
1 I 12
=12(
-1 31 1, C 1 DB 1 = 241-3
24 0 0 0 1 -12 12 0.0
=
24 - 12 -4 8 0 •
3 -5 -2 6 丿
A" 為得
习题解答
1.用初等行变换把下列矩阵化为行报简形矩阵:
0 0 (1)
・一1
(2)
-3 -4 -7
1 -1 3
_4
3
2
3 1 - 3・ -7 (3)
3 2
-3 5 -4
1 ■ t
(4) 1
2 0
-2 -4 -2
3 -2
3 -2 8 3 0
3
-3
4
-2
-1>
9 •
_3 7 4
3
1 0
2 — 1 r-t - 2n 1 0
2 -1
解⑴
2 0 3
I
0 0 -1 3
3 0 4
3 r ■ s 0 0
-2 6
2
r ：x(-D
卩 0 2 0 -2 fl
0 2 0 -2 几・2々
b 1
-1 -1 -1
0 1 -1 0 3
0 0 1 4
GF
0 0 0 1 4
to 0 0
1
4
0 0
0 0
，求一个可逆阵P,使PA 为行般简形.
_3
_4
-7
3 -1
n -2r,
r\ -2r 2
C+ 2r?
0 0 0 0 0
_3 -1 -1 _1 -1
5
-3 0
2 _
3 2 _3 -3
0 1 十“ 0 2 • f 一・
0 0 X ( - |)
-1 -3 _1
2 1 _3,
1 -1 3 -4 3 巾-r 1 -1 3 ■4 3 3 -3 5 -4 1 '■一 ’ 0
0 1 -2 2
2 -2
3 -2 0 n*2r| 0 0 -3 6 -6 3
-3 4 -2
-1
r - 3八
0 0
_5 10
-10,
⑶
1 2
3 4 1 0 0、
r
2
-2
口
1 2
3 4 1 0 0 (A,E) =
2 3 4 5 0 1 0
0 -1
_2 -3 -2 1 0
5 4
3
2 0 0 1>
•5ri
.0 _6 -12
-18
-5 0 1.
rj x ( - |)
1 0 — 1 -
2 _3
2 0
口 -2r ： 0 1
2
3 2
0 >
0 0
7
■6 1
解
1 0 0 0
1 0 0
2 -2 0 0
- 3
2 0 0 2 1
3 2 3 2 -2 -3 1 0 8 7
-3 -2 3 4
1 2 0 2 3 1 3-2 8 2-3 7
-2 -3 3 4 4 0 0 0 2 -1 -2 1 9 8 -4 1 12 1L 2•设 A =
-3 2 O
1
1 0 -1 -2
故p= 2 0 ，并且A的行最简形为PA
==
0 1 2 3
7 -6 lj 0 0 0 0
3 .设A = (-；；),(1〉求一个可逆阵P,使PA为行最简形; (2)求一个可逆阵Q ■使QA r为行最简形.
4.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆阵:
3 2 f
(1) 3 1 5 ■
■
(2)
3 2 3.
解记所给的矩阵为A.
3 2 1 1 0 0
(1)( A.E) = 3 1 5 0 1 0
3 2 3 0 0 1
3 -2 0 -1
0 2 2 1
1 -
2 -
3 -2
0 12 1
口*2r2
9
-4
2
2
-1
r3v(-2)
-—
H-9r3
7
2
-1
9
2
2
1
2\
/ -5 3
解⑴皿(2 7
1 0”i'3r(l
0 1/ --------- \2 -1 1
-5 2 1 0
⑵(A T,E)= 3 -1 0 1
1 1 0 0
"■3口1 0 1
—0 -1 -3
5 to 1 -1
1
3
-4
2
5
-7
于是Q = 3
-4
2 0
5 0併且Q"=
-7 1.
1 0
o i为的行最简形.
0 0
为A的行最简形;
于是叫;
2 ®lriX<-l> U
1 0
1 0 0 7 石
2 T
3
W3
0 1 0 -1 -1 2
00 1 1
—-
2 .0
1
T
J
因A-E.由定理1之推论，知A可逆，且
7 6- 1 1
2 3 T "T
-1 2 ；
3 ⑵(A,E)=；
-2
2
-2
2
-3
2
-11000
10 10 0 -20010
1 -2-3 —
2 0 0 1 0
0 1 2 1 !0 0 0 1
3 -2 0 —I 1 0 0 0
0 2 2 1 0 1 0 0
1 -
2 _
3 -2 0 0 1 0
n -3/-|
0 1 2 1 0 0 0 1
0 4 9 5 1 0 - 3 0
0 0 -2 - •10 1 0 2.
1 0 1 0 0 0 1 2
r i +2心0 1 2 1 0 0 0 1
r _4心0 0 1 1 1 0 -3 -4
0 0 - -9-1 0 1 0 ■-2.
1 0 0 0 1J
1 0 4 6
2 0 6 9
1 0 -3 -4
2 1 一6 -10
0 0
0 0
1 0 0 I _
2 -4 0 -1
3 6 一6 一10
因A-E.由定理1之推论，知A 可逆，并且
4 1 _2 1 _3 2 2 1 ,B = 2 2 3 1 _1
3 -1 5.⑴设A = ■求 X 使AX=B;
4 1
-2 1 -31
1 0 —
1 -
2 -2?
(A.B)= 2 2
1 2 2
2 2 1 2 2
3 1 -1 3 -lj 3 1 — 1 3 -L
1 0 -1 -
2 -2
1 0 -1 一
2 -2
2 3 6 6 -****»-0 1 2
9 5 "7口
.0
1 2 9 5. O -2r 2 0 0 -1
12 -4.
r x ( ■ 1) 1 0 0 10
2
0 1 0 -15 -3
•2r 3
0 0 1
12 4,
解(1)与教材例3相仿，若A 是可逆矩阵，则可求得矩阵方程的解为X = 4 而判
断A 是否可逆和求解可通过(A,B)的行最简形一起解决：即若
• • • •
A-E,则A 可逆，并且初等行变换把A 变为E 的同时，把B 变为A *B. 0 2 -3 1 2
I 3
-4 3
1
2 -1
3 2 -3
0 -7 11 -4 -5 1 3 _4 3 1,
"_2r|
.0 2 _3 1 2
(A\B T ) =
(2)可以仿照教材中的方法，用初等列变换求BA",但通常习惯用初等行 变换
求X.
因 XA = B=>A T X T =B T =>X T = (A T )-,B T ,-^E(l)ffi 同，可用初等行变换 先求得*T ,从而得X.计算如下：
-1
1 -2
0 3 _6
-4 -1
6 •10 0 2 、-3 2
-1
3 3 -
4 >B = — I
求*使XA = B ・
I
于是A 可逆•且X 二 10 -15
12
2
-3
4
1 3 -4 3 1 ri - -3n 1 0 -1 3 -8 0 1 -1 0 3
0 1 -1 0 3
.0 2 -3 1 2
5
、0
0 _1 1 一 4, 1 0
2 -1 ;1 t)
2 -1
-1
-4
7 4 -4
7 4 -1 •从而X = 2
_4
0 -1 ,AX = 2X+A.求 X. 0 1J
解 AX = 2X + A=＞（A -2E ）X=A .欲解此方程，需要（i ）判断A-2E 为
0 -1
9
-1
-1 0 1 -1 0
门 x (-l)
1 1 . 0 _1 1 0 (A-2EM) =
0 -1 -1 0 1 -1
0 1 1 0 -1 1
-1 0 -1 -1 0
1.
r 2 x (- 1)
0 1 -1 -2 1 1
1 0 -1 -1
2 _1 小・2)
9
1
0 0 0 1
-1 0 1 1 0 -1 1 r\ + r y
0 1 0 -1 0 1
0 0 -2 -2 2 0
0 0 1 1 -1 0
X = (A-2E)^A =
1 0 -1
OJ
1
7.在秩是厂的矩阵中，有没有等于0的厂-1阶子式？
阶子式？
解 在秩是r 的矩阵中等于0的r-1阶子式可能有，也可能没有；等于0 的r 阶子式可能有，也可能没有•例如：
有没有等于0的r
（i ） 矩阵什；）的秩为2,有等于0的1阶子式（简称1阶零子式,下同），但 没
有2阶零子式；
（ii ） 矩阵（:的秩为2,没有1阶零子式，也没有2阶零子式；
r\ - r 2
可逆矩阵；（ii ）进一步求X=（A-2E ）・*A.这两件事可由（A -2E,A ）的行最 简形一起解决.
上述结果表明A-2E-E 9故
A -2E 可逆，且
(iii)矩阵什:的秩为2,有1阶零子式，也有2阶零子式;
(iv)矩阵(:；；)的秩为2,没有1阶零子式，但有2阶零子式.
&从矩阵A 中划去一行得到矩阵B,问A,B 的秩的关系怎样? 解由矩阵秩的性质⑤，有
R(A)-1WR(B)WR (A ).
9.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向傲是
(1,0.1,0.0).(1 •一 1,0,0,0).
解因什 ? ! 养的秩为2,故满足要求的方阵可以是 \1 -1 0 0 0/
0 10 0 -10 0 0
0 0 10 10.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:
一1
5 0,
故它的秩为2■并且它的第1、2行和第1、2列构成最高阶非零子式.
1
1 0
0 0
0 0 0 0J
3
1
(1) 1 -1
1 3 0 2
2 -1 ; _4 4
3 2-1-3 (2) 2 -1
3 1 7
5 -1 -1 -3 ； _&
(3) 2
2
1 -3 8 3 0 7
丁
-5 3
-2 5 8 0
1
0 3 2
0>
3
1 0
解
(1) 1
~1
2
.1
3
-4
2
1
_1 2 -1 1 3
1 0
2 4,
1
3 -
4 4,
1 -1 2
4・—6 0 0
3
2
-1 -3 -1
1
3
-4
-4 2 ⑵ 2 -1
3 1 -3 r? -2r,
0 -7
11
9
— 7 7 0 5 -1 -8.
心-7r| 0 -21 33 27 -22 J
1 3 -4 • -4 2
ry 7c
0 -7 11
9 -7 •
0 0 0 0 -1
于是它的秩为3,且它的第1、2、3行和第1、2、5列构成最高阶非零子式.
2 2
1 -3 8 0 3 7 7
-5
1
2
0 -3 3 0 2 7 0 -5 (3)
「|1心
3 -2 5 8 0
3 -2 5 8 0
1
0 3 2
0J
2 1 8 3
7,
0 -3
-2 -6 3 - 5 -4
2
0 2 -1 7
1 0 3
2 0
1 2 -1 7 「3 +2口 0 0 0 0 14 r + 3r 2 0 0
0 0 16
10 0 0
2 0
-1 7
0 1 0 0
于是它的秩为3•由于3个非零行的非零首元位于第1、2.5列，故在第1.2、5列
2
所构成的矩阵5
3 1
1 7]
中寻找3阶非零子式•容易看出
2 -
3 -5 3 -2 0 H0. 1 0 0
11 •设都是mX w 矩阵，证明A-B 的充要条件是R(A) = R(B). 证 必要性即定理2,故
只需证明充分性•设R (A )= l?(B )= r,那么矩阵 有相同的标准形
”3门o r -2口 10
0 3
1 2 0 0
F 弋oL
于是A 〜F,B 〜F,从而由等价关系的对称性和传递性，知
1 -
2 3k
12.设-1 2k -3,问怡为何值，可使
.k -2
3
(1) R(A) = 1;(2) R ⑷=2;⑶ R(A) = 3・
解一 因A 为3阶方阵，故R(A) = 3U|A|H0.因
|A|= -6(6-1)20+2), 所以当怡工1且k^-2时，R(A) = 3.
当上=-2时，R(A)M2,又A 的左上角二阶子式不为零，故R(A)鼻2,于 是R ⑷=2;
1 -
2 3
1
-2 3
当怡=1时，A =
-1 2 -3 Z*—*
0 0 0
1 一
2 3.
.0
0 0.
知R ⑷=1.
解二 对A 作初等行变换.
1 -
2 3H 厂 2 + r x
1 -
2 3k
A =
-1
2k
-3 • ■ ■ ・ 0 2(k -1)
3(—1)
k
-2
3. r
3 - kr {
0 2(k -1)
-3(氏一 1)
1 -
2 3k r3_n 0 2(k - 1) 3(—1)
.0 0 一 3(—1)4+2),
于是，(1)当& = 1 时,K(A) = 1；(2)当 A = - 2 时,^(A) = 2；(3)当 &H1 且 k^-2 时，R(A)=3.
解 对系数矩阵A 进行初等行变换，化为行最简形.
13.求解下列齐次线性方程组：
X| + x 2 + 2X 3 - x 4 = 0t
(1) " 2x,
+ 工2 + 工3 _工4=0, ,2x| + 2X 2
+ 无3 十2工q = 0;
+2工2十工3 一工4=0,
(2) “ 3工［+ 6孔一工3 一 3g = 0. 5
工| + 10JT 2 + 列—5X 4 = 0; 2x| + 3孔一工3 一 7g = 0t 3工［+ 4X 2 一 5心 + 7工4 =0.
3xi ⑶5 + 工2 + 2工3 - 7工4 =
0,
+ % 一 3工3 + 6工4 = 2x x — 3允2 + 3龙3 一2工j = 0,
4xj + 11孔 一 13X 3 + 16g =0,
.工［-2^2 + 5力3 一5工勺=0；
1 x x - 2X
2 + 帀 + 3g =0.。