高中的函数对称性的总结

高中函数对称性总结

新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。

一、对称性的概念及常见函数的对称性

1、对称性的概念

①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）

①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图

像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。

⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。

⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴，例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)，我在教学时总是问学生：你可看见过老师将“√”两边画得一样齐？学生们立刻明白并记忆深刻。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。

二、函数的对称性猜测

1、具体函数特殊的对称性猜测

①一个函数一般是不会关于x轴的

这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。但我们在此略微引申，一个曲线是可能关于x轴对称的。

例1判断曲线y^2=4x的对称性。

②函数关于y轴对称

例2判断函数y=cos(sin(x))的对称性。

③函数关于原点对称

例3判断函数y=（x^3）×sinx的对称性。

④函数关于y=x对称

例4判断函数y=1/x的对称性。

⑤函数关于y=-x对称

例5判断函数y=-4/x的对称性。

我总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，

如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；

如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；

如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；

如果（y,x）也在图像上，则该曲线关于y=x对称；

如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。

2、抽象函数的对称性猜测

①轴对称

例6如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，从而该函数关于x=2.5对称）

例7如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称）

例8如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）

②中心对称

例9如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）

例10如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的所有对称中心。（按上例一样的方法可以猜出对称中心为（0，0），可见奇函数是特殊的中心对称）

例11如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，从而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，所以x=-1+2n为对称轴，（2k，0）为对称中心，其中k∈Z）

我总结为：

①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆。

②而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。