考研数学：如何用单调性与凹凸性证明不等式

考研数学：如何用单调性和凹凸性证明不等式

纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文都老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面分析高等数学中如何用单调性和凹凸性证明不等式这类问题。

用单调性和凹凸性证明不等式的基本思路：

大部分不等式的证明题，往往需要根据条件作辅助函数，然后由导数判断函数的单调性、凹凸性，再由单调性、凹凸性得出要证的不等式。

根据单调性证明：

若函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()(),()()f a g a f x g x ''≥≥，则在(,)a b 上，()()f x g x ≥；若将上面的“≥”都改成“>”（或“≤”，或“<”），则不等式亦成立。

根据凹凸性证明：

若在区间I 上()<0f x ''，则()f x 是凸函数，12,x x I ∀∈，恒有1212()()(

)22x x f x f x f ++> ；对凹函数则相反，若()0f x ''>，则1212()()(

)<22x x f x f x f ++ 。 典型例题：

例1.设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''>，证明：对于(,)a b 内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+

证：不妨设12x x <，令11()(1)()()[(1)]g x t f x tf x f t x tx =-+--+，12x x x ≤≤，记1(1)u t x t x =-+，则

1()0g x =，()()()()()0,g x tf x tf u tf x u u x ξξ'''''=-=-≥<<，故()g x 单调不减，于是1()()0g x g x ≥=，取2x x =，得2()0g x ≥，1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 注：1）此题是用单调性证明凹函数的一个重要特性。

2）此题结论的几何意义：凹函数图形上任意两点之间的连线都在其图形之上。

例2.（2014年考研数学一第2题）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）

(A)当0f x '≥（

）时，()()f x g x ≥. (B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥. (D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤

解：方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数

而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）

的直线段，如右图， 故()() f x g x ≤

方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，

由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减，

当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；

注：当0f x '≥（

）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =

；若是后者，则()()f x g x ≤，

此时(B)成立，如2()f x x =. 例3.（2012年考研数学一第15题） 证明2

1ln cos 1(11)12

x x x x x x ++≥+-<<- 证：法1：2

1()ln cos 112

x x f x x x x +=+---，因为()()f x f x -=-，所以()f x 为偶函数，只需证明在[0,1）上不等式成立。(0)=0f ，212()ln

sin 11x x f x x x x x +'=+----，在区间(0,1）上，21211,211x x x x x x +>+>>--，sin x x >，于是212()ln sin 11x x f x x x x x

+'=+---->

ln12sin sin 0x x x x x +--=->，故()(0)0f x f >=，2

1ln cos 112

x x x x x ++≥+- 法2： (0)=0f ，212()ln sin 11x x f x x x x x

+'=+----，(0)=0f '，224()cos 14cos 101f x x x x ''=--≥-->-（）

，0x =为极小值点，()(0)0f x f ≥=. 上面就是考研数学之高等数学中的如何用单调性和凹凸性证明不等式这类问题的解题方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，文都老师还会陆续向考生们介绍其它常考重要题型及解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。