最新空间角专题复习
立体几何综合复习——空间角(完整版)
立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。
空间角专题复习教案
空间角专题复习教案一、教学目标1. 复习并巩固空间角的概念、性质和分类；2. 提高学生对空间角的计算和应用能力；3. 培养学生的空间想象能力和思维能力。
二、教学内容1. 空间角的概念和分类；2. 空间角的计算方法；3. 空间角的应用实例。
三、教学重点与难点1. 空间角的概念和分类；2. 空间角的计算方法；3. 空间角的应用实例。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的性质和计算方法；2. 通过实例分析，让学生掌握空间角的应用方法；3. 利用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。
五、教学过程1. 复习空间角的概念和分类，引导学生回顾已学知识；2. 讲解空间角的计算方法，让学生通过例题掌握计算技巧；3. 分析空间角的应用实例，培养学生解决实际问题的能力；4. 课堂练习，巩固所学知识；5. 总结本节课的主要内容和知识点，布置课后作业。
【课堂导入】教师通过提问方式引导学生回顾空间角的概念和分类，激发学生的学习兴趣。
【知识复习】1. 空间角的概念：空间角是由两条相交直线或射线在空间中所形成的角。
2. 空间角的分类：（1）锐角：小于90度的空间角；（2）直角：等于90度的空间角；（3）钝角：大于90度小于180度的空间角；（4）平角：等于180度的空间角；（5）周角：等于360度的空间角。
【计算方法讲解】1. 空间角的计算方法：（1）利用空间向量计算空间角；（2）利用三角函数计算空间角；（3）利用空间几何图形计算空间角。
2. 举例讲解：例1：已知空间向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$，求向量$\vec{a}$ 与向量$\vec{b}$ 所成的空间角。
【应用实例分析】1. 利用空间角解决实际问题：例2：在一间长方体教室中，有一束光线从窗户射入，求光线与教室地面的夹角。
2. 利用空间角解决几何问题：例3：已知三角形ABC 的三个内角分别为$A=60^\circ$，$B=45^\circ$，$C=75^\circ$，求三角形ABC 的外接圆半径。
第七章 §7.7 向量法求空间角-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0，π2 ，即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角 线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长 为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为
(2)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的
中点，A→F＝λA→D(0<λ<1)，若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为3102， 1
则 λ 的值为___3___.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 正方体的棱长为2， 则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)， ∴—D1→E ＝(0,2，－1)，A1A＝(0,0，－2)， A→D＝(－2,0,0)，
所以—A′—→B ·C→D＝(—A′—→C ＋C→B)·C→D＝—A′—→C ·C→D＋C→B·C→D＝－92－72＝ －8. 若异面直线A′B与CD所成的角为θ，
则 cos θ＝|cos〈—A′—→B ，C→D〉|＝||——AA′—′—→→BB |·|CC→→DD||＝3|－×83|＝89. 所以异面直线 A′B 与 CD 所成角的余弦值为89.
则(x0，y0＋ 3，z0－3)＝232－x0， 23－y0，－z0，
x0＝232－x0，
即y0＋
3＝2
2025届高中数学一轮复习课件《空间角、距离以及综合问题》ppt
第27页
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 探究性问题 典例 3(2024·湖北襄阳四中模拟)如图所示，在三棱锥 P-ABC 中， 已知 PA⊥BC，PB⊥AC，点 P 在底面 ABC 上的射影为点 H. (1)证明：PC⊥AB. 概括来讲，在三棱锥中，若两组对棱互相垂直，则第三组对棱也 互相垂直． (2)设 PH＝HA＝HB＝HC＝2，对于动点 M，是否存在 λ，使得C→M 这组数量关系说明此三棱锥是正三棱锥． ＝λC→P，且 BM 与平面 PAB 所成角的余弦值为45？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明 理由．
高考一轮总复习•数学
第7页
(2)设平面 ABN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则由 n⊥A→B，n⊥A→N， 得n·A→B＝2 3x＋2y＝0，
n·A→N＝4y＋2z＝0，
令 z＝2，则 y＝－1，x＝ 3 3，即 n＝ 3 3，－1，2. 易知C→1N＝(0,0，－2)，
高考一轮总复习•数学
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高考一轮总复习•数学
第15页
题型 翻折问题 典例 2 如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AE⊥CD，垂足为 E，AB＝AE＝12CE＝1，
DE＝ 2.将△ADE 沿 AE 翻折到△APE，如图 2 所示．M 为线段 PB 的中点，且 ME⊥PC. 最后这个条件，暗示△ADE 翻折到怎样的位置？
由 ME∩BE＝E，ME，BE⊂平面 BEM， 得 BC⊥平面 BEM，PE⊂平面 BEM，于是 PE⊥BC. 由题意，知 PE⊥AE，AE 与 BC 相交， 则 PE⊥平面 ABCE，又 EC⊂平面 ABCE， 所以 PE⊥EC.
高考一轮总复习•数学
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(2)解：连接 BN，MN，设 EN＝t，由(1)知 PE，EA， 平面 BMN 和平面 PCE 无公共边，这样引入参数 t，使 t 参与二面角余弦值的计算，用 函数法求最小值． EC 两两垂直，故以 E 为坐标原点，E→A，E→C，E→P的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向建立空间直角坐标系，如图所示，
复习课：空间的角
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用 “平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构 作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
（2）补形法：
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
如正方体、平行六面体等，其目的在于易于 发现两条异面直线的关系。
2、求空间各角的大小，通常是转化为平面角来计算；
其格式为：应先定其位，后算其值。
3、用间接法求空间角，在答题时，要规范解题过程。
3 3
3
3 即面ABD与面ABC所成的二面角为 arccos 3
例5：已知直二面角 l,A,B,线段AB=2a，AB与
成45º 的角，与成30º 角，过A、B两点分别作棱l的垂线 AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。
解法二（射影法）：由于D在平面ABC
内的射影H在BC边上 ABH为 ABD在平面ABC上的射影设所求
l
A C
D
H
（因BCD为 的二面角为, 则有 （为什么？）Rt ） cos = SABH /SABD， 1 2 2 3 2 S a, ABD a 由解法一，易求得 S ABH 2
B
3 代入上式，得 cos 3
3
小结：
1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围： （1）异面直线所成角的范围：0º 90 （2）直线与平面所成的角的范围：0º 90 （3）二面角的平面角的范围通常认为：0º 180
S ABC
A
B
D H
M
C
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
已知直二面角 l，A,B线 段AB=2a，AB与成45º 的角，与成30º 角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、 BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。
高三数学知识点：空间角问题知识点总结
高三数学知识点：空间角问题知识点总结下面整理了高三数学知识点：空间角问题，希望大家能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时间进行复习。
一、直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
二、直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。
在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，三、解题技巧在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角以上就是高三数学知识点：空间角问题，希望能帮助到大家。
高考数学一轮复习第六讲空间角课件人教
③如图(3)，在棱a上任取一点O，过O点作平面γ⊥a，
设平面γ分别与α、β相交于OA、OB，则∠AOB为所求
能正确地作出二面角的平面角的是
()
A．①②③ B．只有② C．①和③ D．②和③
解析：①正确，这是用定义法作二面角的平面角；
②错误，这是用三垂线定理或逆定理作二面角的平面
角的重要方法，但要注意，上述作法，只对二面角小于
●回归教材
1．(2009·湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小
范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面
直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为
()
A．R＝P⊆Q
B．R⊆P⊆Q
C．P⊆R⊆Q
D．R⊆P＝Q
解析：因为P＝[0， ]，Q＝[0，π]，R＝(0， ]，所以
R⊆P⊆Q.故选B.
●基础知识 一、空间角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角 来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓 广，三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的 角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通 过解三角形求其大小．由于引入了空间向量，三种角的计 算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理．
答案：B
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线
BC1和B1D1所成的角为
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：连接AD1、AB1， ∵AB綊A1B1綊C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形， ∴AD1∥BC1，∴∠AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或 其补角．
③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分 别与两个面的交线，构成二面角的平面角．
空间角复习
3、二面角 (0 180 ) ①平面角的作法和求法： (ⅰ)定义法：在棱上取一点，分别的两平 面内作棱的垂线； (ⅱ)垂面法：过棱上一点作棱的垂面，垂 面与两平面的交线构成二面角的平面角； (ⅲ)三垂线定理及其逆定理法：自一平面 内一点向另一平面作垂线，再过垂足作棱 的垂线； S (ⅳ)射影面积法：cos
S
找到 平面 角， 然后 在三 角形 中计 算 （解 三角 形）
1．空间角的计算步骤：几何法：一作二证三 求四答． 2．运用转化思想：异面直线所成的角转化为 相交直线所成的角；线面角转化为斜线与其射影所 成的角；面面角先转化为线面角进而转化为线线 角． 3．用几何法求角：先找到角再构造三角形后 用正、余弦定理求解，如果余弦值为负值，则异面 直线所成的角，线面角取锐角，面面角取钝角．
例1.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1
中，求：
（1）A1B 与平面 BB1D1D 所成的角
A1 A1 A1
D1 D1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
O o
C1 C1 C1 B1 B1 B1
的大小；
（2）二面角 A1 BD B1 的大小.
A A A D D D C C C
H H
B B B
例2.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB AC AD ， BCD 是以 BD为 斜边的直角三角形， 且 AC BC 1，CD 2 ，求：
2、直线和平面所成的角 (0 90 ) ①作出直线和平面所成的角，关键是作垂 线、找射影转化到同一三角形中计算.步骤： 作-证-求-答。 cos ②三余弦公式： cos1 cos 2，其中，1 , 2 , 分别表示斜线 a 和平面所成的角，斜线 a 在 c 平面内的射影 b与平面内不同于射影的线所 a 成的角，斜线 与平面内不同于射影的线 A c 所成的角。 ③转化为求斜线上的点到面 的距离问题，再在直角三角 B C 形中求角。
立体几何复习专题(空间角)
专题 : 空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（ 1）异面直线所成的角的范围：(0,] 。
2（2）异面直线垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。
两条异面直线 a,b 垂直，记作a b。
（3）求异面直线所成的角的方法：（1）经过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条订交的直线，那么这两条订交直线所成的角即为所求。
平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。
1：三棱柱OAB O1 A1B1，平面 OBB1O1⊥平面OAB，O1B1O1OB 60 , AOB 90 ，且 OB OO12,A1OA 3 ，求异面直线A1 B 与 AO1所成角的余弦。
O BA2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（ 1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
向来线垂直于平面，所成的角是直角；向来线平行于平面或在平面内，所成角为0角。
直线和平面所成角范围：0，。
2（ 2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的全部角中最小的角。
P（ 3）公式：已知平面的斜线 a 与内向来线 b 订交成θ角，a且 a 与订交成 1 角，a在上的射影 c 与 b 订交成 2 角，A1c则有 cos1 cos cos 2O2。
B b由（ 3）中的公式相同能够获得：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。
考点二：直线和平面所成的角C例 2.如图，在三棱柱 ABC ABC 中，四边形 A ABB 是菱形，四边形BCC B 是矩形，A BC B AB,C B 2,AB 4, ABB 600，C求 AC 与平面 BCC B 所成角的正切。
A B3：（ 1）在1200的二面角P a Q 的两个面P与 Q 内分别有两点A、B ，已知点 A 和点 B 到棱的距离分别为2cm,4 cm ，且线段AB10cm。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
高考复习空间角专题
空间角的求解(1)找出或作出有关的图形（将空间角转化为平面上的角研究）；(2)证明此角为所求角；(3)计算。
二、例题讲解：一、异面直线夹角问题例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为___(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA=90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。
（3）如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，F E ,分别为BC 与11D A 的中点， 直线C A 1与DE 所成的角等于小结：线线角抓平行线。
要求异面直线夹角，关键是将两条直线平移到同一平面上，将空间 角转化为平面角。
异面直线所成的角求法：①平移法 ②割补法二、线面夹角问题例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O的角，且b 与a 在α内的射影成45O 的角时，a 与α所成的角为( )(A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O（2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且 2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．1A小结：线面角抓面垂线（定射影）。
要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上 的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。
斜线与平面所成的角求法：定义法三、二面角问题例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为。
（2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为︒45，AB 与平面β所成的角为︒30，则二面角的大小为；（3）二面角βα--l 是锐角，空间一点P 到βα,和棱的距离分别是22，4和24，则 这个二面角的度数为（ ）A 、︒30或︒45B 、︒15或︒75C 、︒30或︒60D 、︒15或︒60（4）如图，△ABC 中，∠ABC= 30，PA ⊥平面ABC ，PC ⊥BC ，PB 与平面ABC 成︒45角， ①求证：平面PBC ⊥平面PAC ；②求二面角A —PB —C 的正弦值。
《空间角的复习》课件
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
新高考数学复习知识点讲解与练习53---空间角
新高考数学复习知识点讲解与练习空间角知识梳理1．线面角与二面角的概念(1)线面角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角．(2)二面角以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．2．求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解．(2)(向量法)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则3.(1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解，其步骤为“一作、二证、三计算”．(2)(向量法)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |． 4．求二面角的大小(1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算． (2)(向量法)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．1．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．2．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.3．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察出向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补．4．最小角定理：平面的一条斜线与平面内所有直线的夹角中，斜线与它在平面内的射影的夹角最小．诊断自测1．判断下列说法的正误．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．() (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90° 答案C解析cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝11×2＝22，即〈m ，n 〉＝45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.3．(2021·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为等边三角形，且二面角P －BC －A 的大小为120°，则异面直线PB 和AC 所成角的余弦值为() A.58 B.34 C.78 D.14 答案A解析 如图，取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，所以AO ⊥BC ，PO ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AO ，即平面P AO ⊥平面ABC .且∠POA 就是其二面角P －BC －A 的平面角，即∠POA ＝120°，建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝2，则A (3，0，0)，C (0，－1，0)，B (0，1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，32，所以AC→＝(－3，－1，0)，PB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，－32，cos 〈AC →，PB →〉＝－58，所以异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为58.4．如图，把边长为4的正三角形ABC 沿中线AD 折起，使得二面角C －AD －E 的大小为60°，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为()A ．－14 B.14 C ．－13 D.13答案B解析 如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF ，因为D ，F 分别是线段BC ，AB 的中点，所以DF ∥AC ，所以∠EDF (或其补角)是异面直线AC 与DE 所成的角．由正三角形的性质可得AD ⊥BC ，所以∠CDE 就是二面角C －AD －E 的平面角，所以∠CDE ＝60°.又CD＝DE ，所以△CDE 是正三角形．作EG ⊥CD ，垂足为G ，作FH ⊥BD ，垂足为H ，连接EH ，易知EG ＝DE sin 60°＝2×32＝3，DG ＝DE cos 60°＝2×12＝1，DH ＝12BD ＝12×2＝1，HG ＝DH ＋DG ＝2，FH ＝12AD ＝12×32AC ＝12×32×4＝ 3.由勾股定理得EH ＝HG 2＋EG 2＝22＋（3）2＝7，EF ＝EH 2＋FH 2＝（7）2＋（3）2＝10.在△EDF 中，由余弦定理得cos ∠EDF ＝22＋22－（10）22×2×2＝－14，所以异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为14，故选B.5．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________． 答案30°解析 设l 与α所成角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴ sin θ＝| cos 〈m ，n 〉|＝12，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为________． 答案45°解析 如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝P A ＝1，则A (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)，由题意，AD ⊥平面P AB ，设E 为PD 的中点，连接AE ，则AE ⊥PD ，又易知CD ⊥平面P AD ，AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，又PD ∩CD ＝D ，从而AE ⊥平面PCD .所以AD →＝(0，1，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12分别是平面P AB ，平面PCD 的法向量，且〈AD →，AE→〉＝45°.故平面P AB 与平面PCD 所成的二面角为45°.考点一 求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求：(1)△PCD 的面积．(2)(一题多解)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .又底面ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋（22）2＝23，CD ＝2，所以△PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)法一 如图1，取PB 中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．图1在△AEF 中，由于EF ＝2，AF ＝2，AE ＝12PC ＝2.所以AF 2＋EF 2＝AE 2，∠AFE ＝π2， 则△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.法二 如图2，建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (2，22，0)，P (0，0，2)，E (1，2，1)，AE→＝(1, 2，1)，BC →＝(0，22，0)．图2设AE→与BC →的夹角为θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4.由此可知异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.感悟升华(1)几何法求异面直线所成的角关键是根据定义构成三角形求解．(2)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解；④取锐角或直角．【训练1】(一题多解)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ，E ，F 分别为BC ，BB 1的中点，M ，N 分别为AA 1，A 1C 1的中点，则直线MN 与EF 所成角的余弦值为()A.35B.12C.32D.45 答案B解析法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC 1，CB 1，C 1B ′，易得MN ∥AC 1，EF ∥CB 1∥C 1B ′，那么∠AC 1B ′或∠AC 1B ′的补角即直线MN 与EF 所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2a ， 则AC 1＝C 1B ′＝3a ，连接AB ′，则AB ′＝a 2＋（22a ）2＝3a ，由余弦定理得cos ∠AC1B′＝（3a）2＋（3a）2－（3a）22（3a）·（3a）＝－12.故直线MN与EF所成角的余弦值为1 2.法二如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角．设AA1＝2AB＝2a，则AC1＝CB1＝3a，于是OD＝OC＝3a 2，又CD＝3a2，于是△OCD为正三角形，故直线MN与EF所成角的余弦值为1 2.法三取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则AA1＝22，∴A (－1，0，0)，A 1(－1，0，22)，M (－1，0，2)，C (0，3，0)，C 1(0，3，22)， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，B 1(1，0，22)，F (1，0，2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，2，所以cos 〈MN →，EF →〉＝MN →·EF →|MN →||EF →|＝323×3＝12，故直线MN 与EF所成角的余弦值为12.考点二 求直线与平面所成的角【例2】(2020·浙江卷)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，DC ＝2BC .(1)证明：EF ⊥DB ；(2)求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值． (1)证明 如图(1)，图(1)过点D 作DO ⊥AC ，交直线AC 于点O ，连接OB . 由∠ACD ＝45°，DO ⊥AC ，得CD＝2CO.由平面ACFD⊥平面ABC，平面ACFD∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ACFD，得DO⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以DO⊥BC.由∠ACB＝45°，BC＝12CD＝22CO，得BO⊥BC.又BO∩DO＝O，BO，DO⊂平面BDO，所以BC⊥平面BDO，又DB⊂平面BDO，故BC⊥DB.由ABC－DEF为三棱台，得BC∥EF，所以EF⊥DB.(2)解法一如图(1)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.由ABC－DEF 为三棱台，得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角．由BC⊥平面BDO，OH⊂平面BDO，得OH⊥BC，又BD∩BC＝B，故OH⊥平面DBC，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．设CD＝22，则DO＝OC＝2，BO＝BC＝2，得BD＝6，OH＝233，所以sin∠OCH＝OHOC＝33.因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为3 3.法二由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ.如图(2)，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .图(2)设CD ＝22，由题意知各点坐标如下：O (0，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，D (0，0，2)． 因此OC→＝(0，2，0)，BC →＝(－1，1，0)，CD →＝(0，－2，2)． 设平面DBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－2y ＋2z ＝0，可取n ＝(1，1，1)，所以sin θ＝|cos 〈OC →，n 〉|＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝33.因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33. 感悟升华求线面角的方法：(1)几何法求线面角的步骤是“一作、二证、三计算”，转化为三角形求解．(2)向量法(或坐标法)求线面角，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)，注意范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.【训练2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠ADC ＝60°，PC⊥CD，E为PC的中点，PC＝1，P A＝7.(1)求证：P A∥平面BDE；(2)(一题多解)求直线BE与平面PBD所成的角的正弦值．(1)证明连接AC，交BD于点O，连接EO，则EO∥P A，因为P A⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，所以P A∥平面BDE.(2)解法一取AB的中点F，连接PF，FC，AC，作PH⊥CF于点H，则由AC＝CB，得AB⊥PF，AB⊥FC，因为PF∩FC＝F，所以AB⊥平面PFC，则AB⊥PH，因为AC∩AB＝A，所以PH⊥平面ABC.在△P AB中，AB＝2，P A＝PB＝7，得PF＝6，又PC＝1，FC＝3，于是可求得PH＝6 3，因为S△BDC ＝12×2×3＝3，PH＝63，PC⊥CD，所以在Rt△DPC中，PD＝5，又PB＝7，BD＝23，所以PD2＋PB2＝BD2，所以PB ⊥PD ，所以S △PBD ＝352，由V P －BDC ＝V C －PBD ，得点C 到平面PBD 的距离为2235， 则点E 到平面PBD 的距离为235， 又在△PBC 中，易求得EB ＝212. 设直线BE 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝235EB ＝230105.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为230105. 法二 建立如图所示的空间直角坐标系，则易知A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，－3，0)，由⎩⎨⎧P A ＝7，PC ＝1，PD ＝5，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－36，63，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－312，66，则BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－13312，66， PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，736，－63，BD →＝(0，－23，0)，所以可求得平面PBD 的一个法向量为m ＝(22，0，33)， 设直线BE 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BE →·m |BE →||m |＝230105. 即直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为230105. 考点三 求二面角【例3】(2021·台州评估测试)如图，△ABC 与等边三角形ABD 所在的平面相互垂直，DE ∥BC ，M 为线段AD 的中点，直线AE 与平面CBM 交于点N ，BC ＝BA ＝2DE ＝2，∠ABC ＝90°.(1)求证：平面CBMN ⊥平面ADE ； (2)求二面角B －CN －A 的余弦值．(1)证明 因为平面ABC ⊥平面ABD ，且两平面交于AB ，∠ABC ＝90°，BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥AD .又因为△ABD 为等边三角形，M 为线段AD 的中点， 所以BM ⊥AD .因为BC ∩BM ＝B ，所以AD ⊥平面CBMN .又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面CBMN ⊥平面ADE .(2)解 因为DE ∥BC ，DE ⊄平面CBMN ，且BC ⊂平面CBMN ， 所以DE ∥平面CBMN .因为平面ADE ∩平面CBMN ＝MN ， 所以DE ∥BC ∥MN ，所以N 为AE 的中点． 取AB 的中点O ，连接OD ，因为△ABD 为等边三角形，所以OD ⊥AB ，故以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (－1，0，0)，C (1，－2，0)， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，32，D (0，0，3)，所以AC→＝(2，－2，0)，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，32. 设平面ACN 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n 1＝0，AN →·n 1＝0，可得⎩⎨⎧2x －2y ＝0，12x －12y ＋32z ＝0， 取x ＝1，则y ＝1，z ＝0，所以平面ACN 的一个法向量n 1＝(1，1，0)， 由(1)得AD ⊥平面CBMN ，所以平面CBMN 的一个法向量n 2＝AD →＝(1，0，3)． 设二面角B －CN －A 的平面角为θ.所以cos θ＝n1·n2|n1||n2|＝12×2＝24，由图知二面角B－CN－A为锐角，所以二面角B－CN－A的余弦值为2 4.感悟升华(1)几何法求二面角的步骤是“一作、二证、三计算”．注意利用二面角一个平面的垂线、垂面找(作)平面角．(2)利用向量计算二面角大小的常用方法：①找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．②找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【训练3】(2021·嘉兴测试)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值．(1)证明如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，∵C1C＝A1A＝A1C，∴CD⊥A1C1，∵底面△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，∴B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，B1D⊂平面B1CD，CD⊂平面B1CD，∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.(2)解法一如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E. ∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C，DE∩B1D＝D，∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C，∴∠B1ED为所求二面角的平面角．∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝3，又∵ED＝12CC1＝22，∴tan ∠B1ED＝B1DED＝322＝6，∴sin∠B1ED＝42 7.∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为42 7.法二如图，连接OB，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1 分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B (3，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(3，1，1)，C 1(0，2，1)，C (0，1，0)， ∴A 1B 1→＝(3，1，0)，A 1C →＝(0，1，－1)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的法向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B 1→＝3x ＋y ＝0，m ·A 1C →＝y －z ＝0，令y ＝3，得m ＝(－1，3，3)，又OB →＝(3，0，0)为平面A 1CC 1的一个法向量， ∴cos 〈m ，OB →〉＝m ·OB →|m ||OB →|＝－77，由图易知所求二面角为锐角， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值为427.空间向量在立体几何中的应用【例题】(满分15分)(2018·浙江卷)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC ＝120°，A 1A ＝4，C 1C ＝1，AB ＝BC ＝B 1B ＝2.(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 审题路线图法一(向量法)法二(几何法)(1)在△AB 1A 1中，在△AB 1C 1中――→勾股定理AB 1⊥A 1B 1，AB 1⊥B 1C 1――→线面垂直判定定理AB 1⊥平面A 1B 1C 1 (2)⎦⎥⎥⎤由(1)结论―→平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1――→垂面法直线AC 1与平面ABB 1的夹角∠C 1AD在△A 1B 1C 1中，由三边计算cos ∠C 1A 1B 1―→在Rt △ADC 1中计算C 1D —在Rt △ADC 1中计算sin ∠C 1AD —结论 满分解答法一(1)证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知各点坐标如下：A (0，－3，0)，B (1，0，0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1，0，2)，C 1(0，3，1)． 3分因此AB 1→＝(1，3，2)，A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1→＝(0，23，－3).5分 由AB 1→·A 1B 1→＝0得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1→＝0得AB 1⊥A 1C 1. 又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.7分(2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由(1)可知AC 1→＝(0，23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→＝(0，0，2).9分 设平面ABB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，可取n ＝(－3，1，0)．12分所以sin θ＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝3913.因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 15分 [构建模板]利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”……建立空间直角坐标系，写出点的坐标……用向量表示几何元素……通过向量运算，得出结论……用向量表示几何元素……设求平面的法向量……代入线面角的向量公式，结论法二(1)证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB得AB1＝A1B1＝22，所以A1B21＋AB21＝AA21，由AB1⊥A1B1.3分由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC得B1C1＝5，由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝23，由CC1⊥AC，得AC1＝13，所以AB21＋B1C21＝AC21，故AB1⊥B1C1，6分又A1B1∩B1C1＝B1，因此AB1⊥平面A1B1C1.7分(2)解如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.9分由AB 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1⊂平面ABB 1，得 平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1， 由C 1D ⊥A 1B 1得C 1D ⊥平面ABB 1，所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角.12分 由B 1C 1＝5，A 1B 1＝22，A 1C 1＝21得cos ∠C 1A 1B 1＝67，sin ∠C 1A 1B 1＝17，所以C 1D ＝3，故sin ∠C 1AD ＝C 1D AC 1＝3913.因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 15分 [构建模板]……利用勾股定理，计算证明AB 1⊥A 1B 1……证明AB 1⊥B 1C 1……由线面垂直判定定理得结论(几何法求线面角的步骤：“一作，二证，三计算”)……作出线面角……论证线面角……计算线面角(的正弦值)【训练】(一题多解)(2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P －ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点．(1)证明：CE ∥平面P AB ；(2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 法一过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝12，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直．故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．(1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得：D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，34， 则CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－54，34，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－32，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，－32.设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝x ＋12y －32z ＝0，n ·PB →＝32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3)，∴CE →·n ＝12×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×1＋34×3＝0.又∵CE ⊄平面P AB ，∴CE ∥平面P AB .(2)解 由(1)得PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，－32，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－32，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－54，34. 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝32y －32z ＝0，m ·PC →＝－x ＋32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，z ＝3，∴m ＝(0，1，3)．设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝ |cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →||m ||CE →|＝124×2＝28.∴直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28.法二(1)证明如图，设P A中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，P A中点，所以EF∥AD且EF＝12AD，又因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF. 又因为CE⊄平面P AB，BF⊂平面P AB，因此CE∥平面P AB.(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△P AD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD.因为PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBN.过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，则QH ⊥平面PBC .连接MH ，则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD ＝1. 在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2， 在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝14， 在Rt △MQH 中，QH ＝14，MQ ＝2， 所以sin ∠QMH ＝28，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28.基础巩固题组一、选择题1．(2021·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为()A.55B.53C.255D.35 答案A解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1C 1的中点，则异面直线DE 与B 1C 所成角的大小为()A.π3B.π4C.π6D.π12 答案C解析 连接AC ，BD ，B 1E ，设BD 与AC 交于点O ，连接B 1O ，则四边形DOB 1E 为平行四边形，所以DE ∥OB 1，所以异面直线DE 与B 1C 所成角为∠OB 1C ，设正方体棱长为1，则B 1C ＝2，OC ＝22，B 1O ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以cos ∠OB 1C ＝2＋1＋12－1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222·2＝32. 又因为异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴∠OB 1C ＝π6.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为() A.12 B.23 C.33 D.22 答案B解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0，1，0)，∴A 1D →＝(0，1，－1)， A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2. ∴n 1＝(1，2，2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.4．(2021·金丽衢十二校三联)正四面体A －BCD ，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为l 1，l 2，则l 1，l 2所成角的正弦值为()A.63B.33C.13D.22 答案A解析 由题意得BC ∥l 1，CE ∥l 2，则∠BCE 即为l 1与l 2所成角．设正四面体的棱长为a ，则易得EB ＝EC ＝32a ，设BC 的中点为F ，连接EF ，则易得EF ＝22a ，则l 1与l 2所成角的正弦值为sin ∠BCE ＝EF EC ＝22a32a＝63，故选A.5．在三棱锥P －ABC 中，点P 在底面的正投影恰好是等边△ABC 的边AB 的中点，且点P 到底面ABC 的距离等于底面边长．设△P AC 与底面所成的二面角的大小为α，△PBC 与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是() A.343B.25 3C ．－813 3D ．－58 3 答案C解析 如图，设点P 在边AB 上的射影为H ，作HF ⊥BC ，HE ⊥AC ，连接PF ，PE .依题意，∠HEP ＝α，∠PFH ＝β.不妨设等边△ABC的边长为2，则PH ＝2，AH ＝BH ＝1.∴HE ＝32，HF ＝32，则tan α＝tan β＝232＝43，故tan(α＋β)＝2tan α1－tan 2α＝2×431－⎝⎛⎭⎪⎫432＝－813 3. 二、填空题6．如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析 还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合． 易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面． 连接GM ，∵△GMH 为等边三角形， ∴GH 与MN成60°角，易证DE ⊥AF ，又MN ∥AF ，∴MN ⊥DE . 因此正确命题的序号是②③④.7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角大小为__________；直线EF 与底面ABC 所成角的大小为________．答案60°45°解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)， 则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°； ∵FB ⊥平面ABC ，BF ＝BE ＝1，∴∠FEB 为直线EF 与底面ABC 的夹角且为45°.8．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．答案23解析 延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示．设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角． ∵BH ＝322，EB ＝1， ∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.9．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________． 答案23解析 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23. 三、解答题10．(2021·台州期末评估)如图，四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，PD ＝AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 为PB 的中点．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)(一题多解)求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值． (1)证明PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥AC . 又AB ＝2，AD ＝CD ＝1，AD ⊥AB ， 所以AC ＝BC ＝ 2.故AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ， 因为AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面PBC . (2)解 法一PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥CD . 又PD ＝2，所以PC ＝ 3.在平面PCB 内，过点P 作PH ⊥CE ，垂足为H . 由(1)知平面ACE ⊥平面PBC ，所以PH ⊥平面ACE ，又点E 为PB 的中点，CE ＝12PB ＝52. 由等面积法得CE ·PH ＝12PC ·BC . 所以PH ＝305.又点E 为PB 的中点，所以点P 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等． 连接BD 交AC 于点G ，则GB ＝2DG .所以点D 到平面ACE 的距离是点B 到平面ACE 的距离的一半，即12PH .所以直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值为12PH PD ＝3020. 法二 如图，取AB 的中点F ，建立如图所示的空间直角坐标系．因为PD ＝2，所以CP ＝ 3.所以C (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，3)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，32.PD→＝(0，1，－3)，CA →＝(1，1，0)，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，32. 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA→＝0，n ·CE →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x 2－y 2＋32z ＝0， 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－233，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，－233. 设直线PD 与平面AEC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，PD →〉|＝122＋43＝3020. 所以直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值为3020.11．(2020·安徽江南十校联考)斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，A 1B ＝7，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°.(1)证明：平面A 1BC ⊥平面ABC ；(2)求直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值． (1)证明 ∵AB ＝2，A 1B ＝7，∠A 1AB ＝60°，∴由余弦定理得A 1B 2＝AA 21＋AB 2－2AA 1·AB cos ∠A 1AB ，即AA 21－2AA 1－3＝0⇒AA 1＝3或AA 1＝－1(舍)，故AA 1＝3.取BC 的中点O ，连接OA ，OA 1，∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴AO ⊥BC ，且AO ＝3，BO ＝1.由AB ＝AC ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ，AA 1＝AA 1得△A 1AB ≌△A 1AC ，得A 1B ＝A 1C ＝7， 故A 1O ⊥BC ，且A 1O ＝ 6.∵AO 2＋A 1O 2＝3＋6＝9＝AA 21，∴AO ⊥A 1O . 又BC ∩AO ＝O ，故A 1O ⊥平面ABC ， ∵A 1O ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面ABC .(2)解 以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，取B 1C 1的中点K ，连接OK ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作OG ⊥AA 1，以OG 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则B (1，0，0)，B 1(1，3，0)，C 1(－1，3，0)，A 1(0，2，2)， ∴BC 1→＝(－2，3，0)，BB 1→＝(0，3，0)，BA 1→＝(－1，2，2)， 设m ＝(x ，y ，1)为平面ABB 1A 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BB 1→＝3y ＝0，m ·BA 1→＝－x ＋2y ＋2＝0，⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，⇒m ＝(2，0，1)．设直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角为θ， 则sin θ＝|BC 1→·m ||BC 1→||m |＝2213×3＝27839.故直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为27839.能力提升题组12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点F 在斜边AB 上，且AB ＝4AF ，点M 在线段BC 上运动，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD ＝3，AC ＝BE ＝4.当点M 运动到线段BC 的中点时，异面直线CF 与EM 所成角的余弦值为()A.2114 B.714 C.77 D.217答案A解析取BF的中点N，连接MN，EN，因为M，N分别为BC，BF的中点，所以MN∥CF，且MN＝12CF，所以∠EMN为异面直线CF与EM所成的角．因为AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，所以BC＝43，BM＝23，所以EM＝BM2＋BE2＝（23）2＋42＝27. 因为AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，所以AB＝8，所以AF＝14AB＝2，BF＝34AB＝6，所以BN＝3，所以EN＝BE2＋BN2＝42＋32＝5.在△ACF中，由余弦定理得CF＝23，所以MN＝ 3.在△EMN中，由余弦定理可得cos∠EMN＝ME2＋MN2－EN2 2ME·MN＝28＋3－252×27×3＝2114， 所以异面直线CF 与EM 所成角的余弦值为2114.故选A.13．(2021·绍兴适应性考试)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，AB ＝AC ＝AA 1，M ，N 分别是侧棱BB 1，CC 1上的点，平面AMN 与平面ABC 所成的(锐)二面角为π6.当B 1M 最小时，∠AMB ＝()A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案B解析 不妨设AB ＝AC ＝AA 1＝2，设平面AMN 与平面ABC 的交线为l ，过点B 作直线l 的垂线BH ，设垂足为点H ，因为AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，所以∠MHB 为平面AMN 与平面ABC 所成的锐二面角，则tan ∠MHB ＝BM BH ＝33，要使B 1M 最小，则BM 最大，即BH 最大，因为BH ⊥AH ，所以点H 在平面ABC 内的轨迹为以AB 为直径的圆，则(BH )max ＝AB ＝2，所以(BM )max ＝233，则此时tan ∠AMB ＝AB BM ＝3，则∠AMB ＝π3，故选B. 14.(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值． (1)证明 如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D . 由题设知A 1B 1綉DC ，可得B 1C 綉A 1D ，故ME 綉ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形， 所以MN ∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，ED ⊂平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0， 所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)． 设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155， 则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105.15．(2020·宁波适考)如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角E －BD －F 的余弦值为13，求线段CF 的长．解依题意，建立以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，1，0)，E (0，0，2)．设CF ＝h (h >0)，则F (1，2，h )．(1)证明 依题意，AB →＝(1，0，0)是平面ADE 的一个法向量，又BF →＝(0，2，h )，可得BF →·AB →＝0，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .(2)依题意，BD →＝(－1，1，0)，BE →＝(－1，0，2)，CE →＝(－1，－2，2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得n ＝(2，2，1)．因此有cos 〈CE →，n 〉＝CE →·n |CE →||n |＝－49. 所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.(3)设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BDF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，2y 1＋hz 1＝0，不妨令y 1＝1，可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－2h . 又n ＝(2，2，1)为平面BDE 的一个法向量，故由题意，有|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－2h 32＋4h 2＝13. 解得h ＝87.经检验，符合题意．所以线段CF 的长为87.。
总复习《第38讲 空间角》
【解析】(1)证明：设点O为AC，BD的交点． 由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线， 所以O为AC的中点，BD⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. PA与AC是平面APC内的相交直线.
所以BD⊥平面APC.
(2)连接 OG.由(1)可知，OD⊥平面 APC，则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG，所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角． 1 3 由题意得 OG＝ PA＝ . 2 2 在△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cos∠ABC 1 ＝ 4＋4－2×2×2×－ ＝2 3， 2 1 所以 OC＝ AC＝ 3. 2
例题2.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩 形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a， P 求二面角B-PC-D的大小。
E
A
B
D C
F
5.课堂小结.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.作出所求的空间角
2.证明所作的角符合定义
<定位>
<定性>
3.构造三角形并求出所要求角<定量> 简言之，空间角的求解步骤为： “一 作” “二 证” “三 算”
总复习 第38讲
空间角
1.直线与平面所成的角
锐角 ， (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_____ PAO 就是斜线 叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠ ______
AP 与平面 α 所成的角． π (2)线面角 θ 的范围：θ∈0，2 .
2．二面角的有关概念 两个半平面 所组成的图形 (1)二面角：从一条直线出发的_____________ 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的 半平面内分别作__________ 角叫做二面角的平面角． (3)直二面角与面面垂直.
空间角专题复习教案
空间角专题复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解空间角的定义及性质；（2）掌握空间角的计算方法；（3）能够运用空间角解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察模型，培养学生的空间想象能力；（2）运用练习题，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对空间角的兴趣，培养学生的探索精神。
二、教学内容1. 空间角的定义及性质（1）空间角的定义；（2）空间角的性质。
2. 空间角的计算方法（1）利用空间向量计算空间角；（2）利用三角函数计算空间角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间角的定义及性质；（2）空间角的计算方法。
2. 教学难点：（1）空间角的性质的应用；（2）空间角的计算方法的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的性质和计算方法；2. 利用模型演示，培养学生的空间想象能力；3. 运用练习题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过展示空间模型，引导学生回顾空间几何的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：（1）讲解空间角的定义及性质；（2）讲解空间角的计算方法。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固知识。
4. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的探索精神。
5. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固空间角的知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对空间角知识的理解和运用能力。
3. 课后作业评价：通过学生提交的课后作业，检查学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学资源1. 空间模型：用于展示空间角，帮助学生直观理解；2. 练习题：提供多种难度的练习题，满足不同学生的学习需求；3. 教学课件：展示教学内容，方便学生复习。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍空间角的定义及性质；2. 第二课时：讲解空间角的计算方法；3. 第三课时：进行课堂练习，巩固知识；4. 第四课时：总结与拓展，布置课后作业。
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空间角专题复习
•知识梳理一、异面直线所成的角及求法
(1) 定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的________ 所成的_____________ 为两异面直线所成的角.
(2) 取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是__________ 当9
n
=时，称异面直线a和 b __________ 记为 _________ .
(3) 求法：_______ :将两异面直线中的一条或两条________ 至某特殊点后，构造
________ 通过解该三角形而求其大小；
二、直线与平面所成的角及求法
(1) ___________ 定义：设I和a分别表示直线与平面.①若I // a或I? a，则称直线I和平面a所成的角为 __________________________________ ；②若I丄a,则称I与a所成的角为 ___ ；③若I与a相交，
则I与I在a内的_______ 成的 _________ 直线I与平面a所成的角.
⑵取值范围：设9是直线I与平面a所成的角，贝U 9的取值范围是___________ .
(3)求法：最常见又重要的方法是定义法：即探寻直线I在平面a内的________ ，(通常由垂直法找射影)构造直线I与平面a所成角对应的 __________ 通过解该直角
三角形而求得直线与平面所成的角.
三、二面角及求法
(1) 定义：在二面角的棱上______ ，分别在二面角的两个面内作棱的_______ ，则这_________ 成的角称为该二面角的________ 且用二面角的平面角的大小作为
该______ ■勺大小.
(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为_________ .
(3) 求法：最常见又重要的方法是定义法：即分别在二面角的两个面内作棱的则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角
•练习提升
1 .设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直
线所成角的大小范围为集合R，贝U P、Q、R的关系为()
A. R=P? Q
B. R? P? Q
C. P? R? Q D . R? P= Q
2 .如图，E 、F 分别是三棱锥 P — ABC 的棱AP 、BC 的中点, 异面直线AB 与PC 所成的角为 （
） A . 30°
B . 45°
C . 60 °
D . 90°
3.已知长方体 ABCD — A I B I C I D I 中, AB = BC = 4, CC i = 2，则直线 BC i 和平面 DBB I D I 所 3 A <2~ B ， 2
C 血 C. 5
D 血 D. 10 成的角的正弦值为（
） 4•如图，在边长为 1的菱形ABCD 中，/ ABC = 60°,将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD = 1,则二面角B — AC — D 的余弦值为
（ ） 1 A3 1 B.1 C 麵 C. 3 5.如图，已知四棱锥 P — ABCD 的底面是正方形, PAB 与平面PCD 所成的二面角的度数为（ ） A . 90 ° B . 60 ° C . 45 ° D . 30 ° PA 丄平面 6 .把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论： ①AC 丄BD :②厶ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角.则 其中正确结论的个数是（
） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 7.如图所示的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中， 过顶点
B 、D 、
C 1作截面， 则二面角B — DC 1— C 的平面角的余弦值是 ________
Ai A
PC = 10, AB = 6, EF = 7,则。