椭圆离心率问题专题练习
椭圆离心率专题
椭圆离心率专题1．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为2．F 1，F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为3．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为4．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是5．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是6．椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．7．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆2222x y +＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．8．已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
9．以1F 、2F 为焦点的椭圆2222x y a b +＝１（0a b >>）上一动点P ，当12F PF ∠最大时12PF F ∠的正切值为2，则此椭圆离心率e 的大小为 。
10．对于椭圆22221(0,x y a b c a b +=>>=，定义c e a=为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是(0,1)e ∈，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”．若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似．已知椭圆2214x y m +=与椭圆2219x y m +=相似，则m 的值为11．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于12．以等腰直角△ABC 的两个顶点作为焦点，且经过另一顶点的椭圆的离心率为 .13．直线022=-+y x 经过椭圆)(12222o b a by ax >>=+的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．14．已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（0122>>=+b a b ya x 上，AB ∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 15．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．16．已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为17．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 满足a ≤，离心率为e ，则2e 的最大值是_______．19．若椭圆221x my +=_______________.20．已知P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点,若021=⋅PF PF ,21tan 21=∠F PF ,则此椭圆的离心率为____________.23．如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；参考答案1．D【解析】由题意得：0tan 60a b==，∴b a =，∴2213b a =，∴22213a c a -=，即2113e -=，∴223e =，∴e =。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。
离心率求解经典例题
1、已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0) 的直线与直线 x = -a 交于点 M，且 |MA| = 2|MB|。
(1) 求 a，b 的值；(2) 设 P 为椭圆 C 上一点，E、F 分别为线段 OP 的中点，以EF 为直径的圆在点 P 处切于点 T，求向量 PT 与向量 PE 的夹角的余弦值。
(1) 设点 M 的坐标为 $(-a, y_0)$。
由 $|MA| = 2|MB|$，得 $\sqrt{(-a - 0)^2 + (y_0 - b)^2} = 2\sqrt{(-a - a)^2 + (y_0 - 0)^2}$。
化简得 $a^2 + (y_0 - b)^2 = 4(a^2 + y_0^2)$。
又因为 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$，得 $e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$。
解得 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$。
(2) 由(1) 得椭圆 C 的方程为$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$。
设点P 的坐标为$(x_0, y_0)$，则由$\frac{x_0^2}{3} + \frac{y_0^2}{2} = 1$，得 $y_0^2 = 1 - \frac{2}{3}x_0^2$。
设点 E、F、T 的坐标分别为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，则 $x_1 = \frac{x_0}{2}, y_1 = \frac{y_0}{2}$，从而$x_2 = x_1 - \frac{y_1}{x_1}, y_2 = -y_1$。
因此 $x_3 = x_2 - \frac{y_2}{x_2}, y_3 = -y_2$。
(完整版)椭圆离心率题型总结,推荐文档
）【解析】选 C
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
解：
F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形 PF2
F2 F1
2( 3 a c) 2c e c 3
2
a4
x 2 y 2 1(a 0, b 0)
3、（12 辽理）已知点（2，3）在双曲线 C： a 2 b 2
上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．
y2 b2
（1 a b 0）和圆 x 2
y2
b 2
c 2 （其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的
离心率的取值范围。 解：要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足
b
b 2
c
a
，即
b b
2c 2a
2c
b b
2 2
4c 2 4a2
8ac 4c 2
Байду номын сангаас
c2 a2
5
3a 5c
椭圆离心率题型：
e c a
1
b2 a2
一）求离心率
1）用定义（求出 a,c 或找到 c/a）求离心率
1、已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0)
的两个焦点分别为
F1
(1,
0),
F2
(1,
0)
,且椭圆
C
经过点
P(
4 3
,
1) 3
.求椭圆
C 的离心率;
【答案】解: 2a PF1 PF2
x2 2ax 2b2 0 的两根，由 (2a)2 4 2b2 0 ， 可得 a2 2b2 ，即 a2 2(c2 a2 ) 所以 e c
椭圆的离心率专题训练汇总
椭圆的离心率专题训练（带详细解析）一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A．B．C．D ．3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）A．B．C．D．4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）A．B．C．D ．6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）A．B．C．D ．7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D ．8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（ ）A．B．2﹣C．2（2﹣）D ．9．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）A．B．C．D ．或10．（2015•怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．D ．12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A．B．C．D ．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．一l14．（2015•宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A．B．C．D ．18．（2015•甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．﹣120．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．（2015•杭州一模）设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（ ）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．（2015•宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．（2015•南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．（2015•张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．26．（2015•永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）A．B．C．D ．27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．29．（2015•江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（ ）A．B．C．D ．an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ga re go 参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F 1F 2P 以F 1F 2为底和以F 1F 2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、c 的不等式，解之即可得到椭圆C 的离心率的取值范围．解答：解：①当点P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c+2c ＞2a ﹣2c ，由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞．当e=时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e且e ≠时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）e an dAl l t h i ng si nt he i rb ego od fo rs o点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形，求椭圆离心率e 的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，∴a ＞b ＞0，a ＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B ．an dAl l th i ng si nt he re go od fo rs o 点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关． 3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF ，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．解答：解：已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF ，AN ，AF ，BF 所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccos α+2csin α利用e==n dAl l th i ng si nt he i re go od fo rs o 所以：则：即：椭圆离心率e 的取值范围为[]故选：A 点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型． 4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a 2b 2，求得关于的方程求得e ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c ，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c ）（c ，c ）代入椭圆=1两边乘2a 2b 2则c 2（2b 2+a 2）=2a 2b 2∵b 2=a 2﹣c 2c 2（3a 2﹣2c 2）=2a^4﹣2a 2c 22a^4﹣5a 2c 2+2c^4=0（2a 2﹣c 2）（a 2﹣2c 2）=0l l th i ng si nt he i rb ei n o od fo rs o=2，或∵0＜e ＜1所以e==故选A 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a ，b 和c 的关系． 5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：设|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选A ．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力． 6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．n dl l th i ng si nt he i rb ei n ga regood fo rs 分析：在焦点△F 1PF 2中，设P （x 0，y 0），由三角形重心坐标公式，可得重心G 的纵坐标，因为，故内心I 的纵坐标与G 相同，最后利用三角形F 1PF 2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a 、b 、c 的等式，即可解得离心率解答：解：设P （x 0，y 0），∵G 为△F 1PF 2的重心，∴G 点坐标为 G （，），∵，∴IG ∥x 轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F 1PF 2中，|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴=•|F 1F 2|•|y 0|又∵I 为△F 1PF 2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I 把△F 1PF 2分为三个底分别为△F 1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||∴•|F 1F 2|•|y 0|=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||即×2c •|y 0|=（2a+2c ）||，∴2c=a ，∴椭圆C 的离心率e==故选A 点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法 7．（2015•长沙模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．ang si nt he i rb ei n ga re go od fo 考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （m ，n ），由得到n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得到 b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得到 m 2 的解析式，由m 2≥0及m 2≤a 2求得的范围．解答：解：设P （m ，n ），=（﹣c ﹣m ，﹣n ）•（c ﹣m ，﹣n ）=m 2﹣c 2+n 2，∴m 2+n 2=2c 2，n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得m 2=≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，b 2≤2c 2，a 2﹣c 2≤2c 2，∴≥．又 m 2≤a 2，∴≤a 2，∴≤0，故a 2﹣2c 2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C ．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣）D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：如图，Rt △MF 2 F 1中，tan60°==，建立关于a 、c 的方程，解方程求出 的值．e an dAl l t h i ng si nn ga re go od 解答：解：如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 2F 1=60°，F 1F 2=2c∴MF 2=4c ，MF 1=2c MF 1+MF 2=4c+2c=2a ⇒e==2﹣，故选B ．点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．9．（2015•新余二模）椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C 的离心率e 的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C 上的点P 满足，∴|PF 1|==3c ，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c ）≥3c ，3c+2c ≥2a ﹣3c ，化为．∴椭圆C 的离心率e 的取值范围是．故选：C ．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． Al l th i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r10．（2015•怀化二模）设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，再利用余弦定理化简整理得cos ∠PF 1F 2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF 1||PF 2|的范围，进而确定cos ∠PF 1F 2的最小值，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），c ＞0，设P （x 1，y 1），则|PF 1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°==，解得x 12=．∵x 12∈（0，a 2]，∴0≤＜a 2，即4c 2﹣3a 2≥0．且e 2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A ．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P 点在短轴的端点时∠F 1PF 2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题． 11．（2015•南昌校级二模）设A 1，A 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．D ．考点：椭圆的简单性质．n dh i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设P （asin α，bcos α），所以根据条件可得到，b 2换上a 2﹣c 2从而可得到，再根据a ，c ＞0，即可解出离心率的取值范围．解答：解：设P （asin α，bcos α），A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0）；∴，；∴；∴；∴，a ，c ＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C ．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b 2=a 2﹣c 2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P 点坐标是求解本题的关键． 12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C 的两个焦点为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点M ，N ，若|MF 2|=|F 1F 2|，且|MF 1|=4，|NF 1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭（a ＞b ＞0），运用椭圆的定义，可得|NF 2|=2a ﹣|NF 1|=2a ﹣3，|MF 2|+|MF 1|=2a ，即有2c+4=2a ，取MF 1的中点K ，连接KF 2，Allthingsintheirbeingaregoodforso 则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．一l考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．n dAl l t h i nhe i rb ei n ga re go od f分析：求出F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：解：设F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A （m ，n ），则，∴m=，n=c ，代入椭圆方程可得，化简可得e 4﹣8e 2+4=0，∴e=﹣1，故选：D ．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．14．（2015•宁城县三模）已知F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），通过|F 1F 2|=2|PF 2|，求出椭圆的离心率e ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0．intheirbeingare解得e=．故选：D．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法． 15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，angsintheirbeingaregoodfors 3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．点评：本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．n dAl l t h i ng srb ei n ga re go od 又|MF 2|=2|OA|，在Rt △OMF 2中，∴∠AF 2F 1=60°，在Rt △AF 1F 2中，|AF 2|=c ，|AF 1|=c ．∴2a=c+c ，∴=﹣1．故选：C ．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1、F 2，M 是椭圆C 上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：由已知可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，进而在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．解答：解：∵|MF 1|=|MO|=|MF 2|，由椭圆定义可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，即|MF 2|=a ，|MF 1|=a ，在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，Ant he i rb ei n ga re go od fo rs o则cos ∠MOF 1==，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，则cos ∠MOF 2==，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，即为+=0，整理得：3c 2﹣2a 2=0，即=，即e 2=，即有e=．故选：D ．点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a ，c 的方程是解答的关键，难度中档． 18．（2015•甘肃校级模拟）设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．（，1）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知P （，y ），可得F 1P 的中点Q 的坐标，求出斜率，利用，可得y 2=2b 2﹣，由此可得结论．解答：解：由已知P （，y ），得F 1P 的中点Q 的坐标为（），n dAl l t h i ng si nt hn ga re go od fo rs o ∴，∵，∴y 2=2b 2﹣，∴y 2=（a 2﹣c 2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e ＜1，∴＜e ＜1．故选：C ．点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F 1P 的中点Q的坐标是解答该题的关键，是中档题． 19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出焦点F 的坐标，然后，根据△AOF 为正三角形，建立等式，求解其离心率．解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F ，根据椭圆的对称性，得直线OP 的斜率为k=tan60°=，∴点P 坐标为：（c ，c ），n dAl l th i ng si nt he i rb ego od fo rs o 代人椭圆的标准方程，得，∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2，∴e=．故选：D ．点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a ，b ，c 的等量关系，然后，进行求解． 20．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）和圆O ：x 2+y 2=b 2，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[，1）B ．[，1）C ．[，1）D ．（1，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，由于△MEF 为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b ≤a ，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，∵△MEF 为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b ，则2b ≤a ，∴，∴椭圆C 的离心率e==．又e ＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C ．an dAl l t h i ng si nt he i rb go od fo rs o 点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a ＞b ＞0）上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，1）C ．（，1）D ．（0，）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD ＜45°，且1＞，化为，解出即可．解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC 是锐角三角形，∴∠BAD ＜45°，∴1＞，化为，n dAl l t h i ng si nt he a re go od fo rs o 解得．故选：A ．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（2015•杭州一模）设F 1、F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F 2且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e 2=（ ）A ．2﹣B ．3﹣C ．11﹣6D ．9﹣6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m ，再由勾股定理，可得a ，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a=2m+m ，即m=2（2﹣）a ，则|AF 2|=2a ﹣m=（2）a ，在直角三角形AF 1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣）2a 2+4（）2a 2，即有c 2=（9﹣6）a 2，n dAl l t h i ng si n即有e 2==9﹣6．故选D ．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键． 23．（2015•宜宾模拟）直线y=kx 与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）交于A 、B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF ∈（0，]，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（0，]C ．[，]D ．[，1）考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 2是椭圆的右焦点．由•=0，可得BF ⊥AF ，再由O 点为AB 的中点，OF=OF 2．可得四边形AFBF 2是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，利用椭圆的定义可得BF+BF 2=2a ，可得e=，即可得出．解答：解：设F 2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF ⊥AF ，∵O 点为AB 的中点，OF=OF 2．∴四边形AFBF 2是平行四边形，∴四边形AFBF 2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，BF+BF 2=2a ，∴2ccos θ+2csin θ=2a ，∴e=，sin θ+cos θ=，∵θ∈（0，]，n dAl l th i ng rb ei n ga re go od fo rs o∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（2015•南宁三模）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．[，]B ．（0，]C ．[，1）D ．[，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则2c 2=，化为．又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则2c 2==（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=+，化为．an dAl l th i ng si nga re go od fo rs o 又，∴=，∵，∴，∵b 2=a 2﹣c 2，∴，∴．故选：A ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（2015•张掖模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则，可得：=．由于，可得=c 2，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则，∴=．∵，n dAl l th i ng srb ei n ga re go od fo rs ∴（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=c 2，化为=c 2，∴=2c 2，化为=，∵，∴0≤≤a 2，解得．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（2015•永州一模）已知两定点A （﹣1，0）和B （1，0），动点P （x ，y ）在直线l ：y=x+2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出直线y=x+2，过A 作直线y=x+2的对称点C ，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a 的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则c=1，∵P 在直线l ：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A 作直线y=x+2的对称点C ，设C （m ，n ），则由，n dAl l t h i ng b ei n ga re go od fo rs o 解得，即有C （﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C ．点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题． 27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（0，）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，则易知|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，再由∠BAF 2是直线的倾斜角，易得k=tan ∠BAF 2，然后通过0＜k ＜，分子分母同除a 2得0＜＜求解．解答：解：如图所示：|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，∴k=tan ∠BAF 2=，an dAl l th e i rb ei n ga re go od fo rs 又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e ＜1．故选：D ．点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识． 28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos ∠AOP==，∴|OP|==2b ，。
2023届二轮复习 椭圆离心率问题求解 专练
专题 椭圆离心率问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦2．（2022·山东·青岛二中高三期中）已知椭圆2222:10)x y C a b a b +=>>（， 过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A ，B 两点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当()2393ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．15B ．45C D 3．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆左焦点F ，倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F A |＝2|FB |，则椭圆的离心率为（ ）A B ．23C ．12D 4．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，斜率为12的直线经过左焦点1F 且交C 于,A B 两点（点A 在第一象限），设12AF F △的内切圆半径为112,r BF F 的内切圆半径为2r ，若123r r =，则椭圆的离心率的值为（ ）.A ．13B C ．12D 5．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，E 上存在两点A ，B 使得梯形12AF F B 的高为c （其中c 为半焦距），且123AF BF =，则E 的离心率为（ ）A B C D ．136．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）椭圆2213620x y +=的离心率是（ ）A ．13B ．23C ．12D ．347．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则e =（ ）A ．13B ．335-C ．322-D ．723-8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）A 3B ．12C 2D 39．（2022·贵州·高三阶段练习（理））椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的上顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于x 轴对称，若直线AP ，AQ 的斜率之积为43，则C 的离心率为（ ） A 3B 2 C ．12D ．1310．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ．若22AF BF ⊥，则C 的离心率为（ ）A ．255B ．55C ．45D ．3511．（2022·新疆·伊宁县第二中学高三期中（文））明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139、6445、107，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为1e 、2e 、3e ，则（ ）A ．132e e e <<B ．231e e e <<C ．123e e e <<D ．213e e e <<12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,123ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．231⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．26⎡⎢⎣⎦C ．63⎦D ．66⎡⎢⎣⎦13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点为F 1、F 2，点P为椭圆上一点，12F PF △的重心、内心分别为G 、I ，若()()1,,00IG λλ=≠，则椭圆的离心率e 等于（ ） A ．12B 2C ．14D 51- 14．（2022·全国·高三专题练习）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ） A 35B 5C 3D 35 15．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C ：2221(3)3x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2ABF △的周长为16，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．4C ．12D 16．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D ．2317．（2023·全国·高三专题练习）已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线形状是（ ） A ．若13m <<，则E 表示椭圆 B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m > C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值D ．若E 53m =18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，则椭圆222214x y a b +=的离心率为（ ）A B ．1316C D 19．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B C D ．1320．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 621．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线3a x =与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为原点，若三角形AOB 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） A 2B 2C 3D 1422．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线P A ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．132⎛ ⎝⎭B ．32⎝⎭C ．413⎛ ⎝⎭,D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭23．（2022·全国·高三专题练习）定义：双曲线22221x y a b -=为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的“伴随曲线”.已知点22,⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的伴随曲线的渐近线方程为12y x =±，则椭圆C 的离心率为（ ） A 3B 2C ．12D 2二、多选题24．（2022·全国·高三专题练习）已知F 为椭圆的焦点，A ，B 分别为椭圆的两个顶点（且A 不是离F 最近的那个顶点），若3AF =，5AB =，则椭圆的离心率可以为（ ）A ．15B C ．23D25．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（ ） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O 26．（2022·全国·高三专题练习）若曲线C 的方程为()2222102x y m m m +=>-，则（ ）A ．当m =时，曲线C 表示椭圆，离心率为12B ．当m 时，曲线C 表示双曲线，渐近线方程为y = C ．当1m =时，曲线C 表示圆，半径为1 D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为427．（2022·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ） A ．12B ．23C ．32D ．228．（2022·福建省福州第八中学高三期中）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和椭圆2C ：()2222222210x y a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >.则下列正确的是（ ）A ．22221212a a b b -<-B ．1212->-a a b bC ．如果两个椭圆2C ，1C 分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆2C 均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则122a a =D ．由外层椭圆1C 的左顶点A 向内层椭圆2C 分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与1C 交于两点,M N ，1C 的右顶点为B ，若直线AM 与BN 的斜率之积为89，则椭圆1C 的离心率为13. 29．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，上､下顶点分别为1A ､2A ，点P 是C 上异于1A ､2A 的一点，则下列结论正确的是（ ） A ．若C 的离心率为12，则直线1PA 与2PA 的斜率之积为43-B ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2bC ．若C 上存在四个点P 使得12PF PF ⊥，则C 的离心率的范围是2⎛ ⎝⎭D ．若12PF b ≤恒成立，则C 的离心率的范围是30,5⎛⎤⎥⎝⎦三、填空题30．（2022·上海·曹杨二中高三期中）如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，D 、E 分别是边1AA 和1BB 的中点，C 是AB 的中点，则经过点C 、D 、E 的平面与圆柱1OO 侧面相交所得到曲线的离心率是____________．31．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:1 4x y C m +=的焦距是2，则离心率e 的值是________.32．（2023·全国·高三专题练习）在椭圆221Ax By +=上，12PF F △为焦点三角形，245PF O ︒∠=，115PF O ︒∠=，则椭圆的离心率＝________．33．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥.若1//AB PF ，则椭圆的离心率为______.34．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=.则椭圆C 的离心率=e __________.四、解答题35．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，长轴两端点为A ，B ，如果椭圆上存在点P 使得∠APB =120°，求这个椭圆的离心率的取值范围．36．（2022·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆22221x a C yb＋＝：0a b >>（）的左､右焦点，M 是C 上一点，2MF 与x 轴垂直.直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 2(1)求椭圆C 的离心率；(2)设()0,1D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A B ，两点，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.37．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于点A ，B ，且AB OB ⊥，O 为坐标原点，求椭圆C 的离心率．38．（2022·全国·高三专题练习）椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足32BF AB=．求椭圆的离心率. 39．（2022·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点1F ，2F ，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．40．（2022·全国·高三专题练习）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，过原点的直线交椭圆于P ，A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连AC ，并延长交椭圆于B ，若PA PB ⊥，求椭圆的离心率．41．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>22，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，点()2,0M ，设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ，2k . (1)求椭圆C 的方程；(2)随着直线的变化，12k k +是否为定值？请说明理由.专题 椭圆离心率问题 答案一、单选题 1．【答案】C【分析】解法一：首先利用坐标表示，22342220222c b b PB y a b b c c⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭，讨论对称轴32b b c -≤-和32b b c->-两种情况下是否满足||2PB b ≤，并求椭圆的离心率； 解法二：利用椭圆的参数方程，设为(cos ,sin )P a b θθ，并表示()()222cos sin 4a b b b θθ+-≤，换元后得()()222222230f t a b t b t b a =-++-≥，对任意的[]11t ∈-，恒成立，列式后，可求椭圆的离心率. 【详解】解法一：设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ． 解法二：由题意可知，由()0,B b ，(cos ,sin )P a b θθ，又||2PB b ≤，()()222cos sin 4a b b b θθ+-≤恒成立.令[]sin ,11t t θ=∈-，，()()222222230f t a b t b t b a =-++-≥对任意的[]11t ∈-，恒成立，()10f -=，所以()222212b a b -≤--，所以222b a ≥，得222a c ≥，即0e <≤； 故选：C【点睛】本题两种方法分别是直接法和参数法，关键是解决恒成立问题，利用二次函数求指定区间上的最值，体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养. 2．【答案】C【分析】设00(,)P x y ，利用斜率公式求得,m n ，结合00(,)P x y 在椭圆上，化简可得22bmn a=-，令1at b=>，利用导数求得使函数取最小值的，根据离心率定义即得. 【详解】由题可知()0()0A a B a -，，，，设00(,)P x y ，则()222202b a x y a -=，而0000,y y m n x a x a ==+-，则2202220y b mn x a a==--， 又2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭22222339ln 3a bb bb a a a ⎛⎫ ⎪=-++ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭322339ln 3a a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1a t b =>，则322()339ln 3f t t t t t =-+-， 所以()232(3)232639()t t t t t f t t t-+-+-=='， 由()0f t '<，可得13t <<，函数单调递减，由()0f t '>，可得3t >，函数单调递增， 故min ()(3)f t f =，即3ab=时， ()2393ln ln 32a m n b mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 取最小值， 此时22213b e a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 故选：C. 3．【答案】B【分析】根据余弦定理，推得,AF BF 长度，根据其比值关系，即可求得结果. 【详解】设椭圆的右焦点为1F ，连接11,AF BF ，如下所示：设AF x =，则12AF a x =-，在∠1AFF 中，由余弦定理可得()222421cos6024x c a x cx+--︒==,整理可得：212b x a c=-，即212b AF a c=-； 在∠1BFF 中，同理可得：212b BF ac =+，故11122211122a c e AF BF a c e ++===--，解得23e =. 故选：B . 4．【答案】B【分析】根据题意得123A B r y r y =-=，进而联立直线与椭圆方程得22244A B b c y y a b+=+，4224A B b y y a b-⋅=+，进而令121A B r y r y λ=-=>，则2116254e λλ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=， 设12AF F △的面积为1S ，12BF F △的面积为2S ，因为123r r =， 所以，()()()111222112222231122222A A BB a c r c y S r y S r y a c r c y +⨯⋅==⇒=-=+⨯⋅-，即3A B y y =-， 设直线:2l x y c =-，则联立椭圆方程与直线，可得222242222222(4)40x y ca b y b cy b b x a y a b=-⎧⇒+--=⎨+=⎩， 所以，22244A B b cy y a b +=+，4224A B b y y a b -⋅=+ 令121ABr y r y λ=-=>，则()222222221161616254544A B A B y y c c y y a b a c e λλ+--⎛⎫-+==== ⎪+-⎝⎭-， 当123r r λ==时，有221416523533164e e e ⎛⎫-+=-=⇒=⇒= ⎪⎝⎭-. 故选：B【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 5．【答案】A【分析】根据123AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=︒，再结合123AF BF =，建立,,a b c的关系即可得出答案.【详解】如图，因为123AF BF =，所以12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边， 作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，因为梯形12AF F B 的高为c ，所以2PF c =， 在12Rt F PF 中，122F F c =，则即1230PF F ∠=︒．设1AF x =，则22AF a x =-，在22221121122cos30AF AF F F AF F F =+-︒， 即()2222423a x x c cx -=+-，解得2132b AF x a c==-，同理2232b BF x ac ==+， 又123AF BF =，所以32332a c a c+=-，即223a c =， 所以33c e a ==. 故选：A ．6．【答案】B【分析】求出216c =，从而求出离心率.【详解】由题意得：2236,20a b ==，故222362016c a b =-=-=， 故离心率为162363c e a === 故选：B 7．【答案】B【分析】由题意，结合椭圆定义可得椭圆的短半轴为2，再根据正弦定理求得长半轴，即可由21b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭求得离心率【详解】如图所示，伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，伞沿是一个半径为2的圆，故椭圆的短半轴长2b =，圆心到伞柄底端距离2ED =，阳光与地面夹角60ABC ∠=︒，直径4AC =，DE AC ⊥，则45ECD ∠=︒，由正弦定理得()24sin sin sin 1806045sin 60BC AC a A B =⇒=∠∠︒-︒-︒︒，得()()2sin 60452sin 60cos 45cos 60sin 4562sin 60sin 603a ︒+︒︒︒+︒︒===+︒︒， 故23513c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎭-⎝故选：B8．【答案】C【分析】根据已知条件求得椭圆的长半轴和半焦距，由此求得椭圆的离心率.【详解】由题意，设圆柱底面直径为,0d d >，则椭圆短轴长2b d =，椭圆长轴竖直截面如下图所示：由题意及图，可知ABC 为直角等腰三角形，且AB d =， 故,2AC d BC d ==，椭圆的长轴长222,a BC d a ===， 所以2212c a bd =-，所以椭圆的离心率122222d c e a d ===. 故选：C9．【答案】C【分析】设P 点坐标，Q 点与P 点关于x 轴对称，坐标可用P 点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a 与b 的关系，即可求出离心率. 【详解】()0,A a ，设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则11AP y a k x -=，11AQ y ak x --=， 22111211143AP AQy a y a a y k k x x x ----⋅=⋅==，又2211221y x a b +=，则()2221212b a y x a-=， 所以()222122221243a y a bb a y a -==-，即2234b a =， 所以椭圆C 的离心率22112c b e a a ==-=，故选：C. 10．【答案】B【分析】由22AF BF ⊥求出B 点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.【详解】左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，∠12AF AF a ==，设1BF n =，则22BF n a =-，由22AF BF ⊥，根据勾股定理，有22222AB AF BF =+，即()()2222a n a a n +=+-解得23n a =，即123BF a =， 由(0,)A b ，1(,0)F c -，1AF a =，123BF a =，1,,B F A 三点共线， ∠52(,)33B c b --，代入椭圆方程，有222231523c b a b⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，化简得2215c a =，所以椭圆离心率为5c e a ==故选：B 11．【答案】B【分析】根据椭圆的长轴长与短轴长的定义，结合离心率公式和参数之间的等量关系，可得答案.【详解】因为椭圆的离心率222222222112c c a b b b e a a a a a -⎛⎫===-- ⎪⎝⎭所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大， 因为6410134579<<， 所以231e e e <<. 故选：B. 12．【答案】B【分析】设椭圆得左焦点为F '，连接,AF BF ''，则四边形AFBF '为矩形，从而有2AB FF c '==，由ABF α∠=，可得sin ,cos AF AB BF AB αα==，再根据椭圆的定义计算即可得解.【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为F '，连接,AF BF ''， 则四边形AFBF '为矩形， 则2,AB FF c AF BF ''===，所以2BF BF BF AF a '+=+=， 在Rt ABF 中，由ABF α∠=，得sin 2sin ,cos 2cos AF AB c BF AB c αααα====， 所以2sin 2cos 2c c a αα+=， 所以11πsin cos 2sin 4c a ααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为,123ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ππ7π,4312α⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以π62sin ,242α⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以26,23c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：B.13．【答案】A【分析】设00(,)P x y ，求出重心的坐标，利用12F PF △中面积等积法可求出,a c 的关系，即可得椭圆离心率.【详解】设00(,),P x y G 为12F PF △的重心，G ∴点坐标为00,33x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∠()()1,,00IG λλ=≠，∠IG ∠x 轴 ∠I 的纵坐标为03y ， 在12F PF △中，1212||||2,||2PF PF a F F c +==， 121201||||2F PF F F y S =⋅⋅∴△，又∠I 为△F 1PF 2的内心，∠I 的纵坐标3y 即为内切圆半径， 内心I 把△F 1PF 2分为三个底分别为△F 1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形，12011221(||||||)||.23F PF y S PF F F PF ∴=++△ 0120112211||||(||||||)||223y F F y PF F F PF ∴⋅⋅=++， 即00112||(22)||223y c y a c ⨯⋅=+，2a c ∴=， ∠椭圆C 的离心率12c e a ==. 故选：A 14．【答案】A【分析】由m 是2和8的等比中项求出m 的值，可得到圆锥曲线的方程，根据离心率定义可得结果.【详解】m 是2和8的等比中项，4m ∴=或4m =-，当4m =时，方程为2214y x +=，表示椭圆，2,1,a b c ∴==∴ 当4m =-时，方程为2214y x -=，表示双曲线，1,2,a b c ∴==∴故选：A 15．【答案】A【分析】根据椭圆的定义及2ABF △的周长求出a ，再根据离心率的计算公式即可得解. 【详解】解：由题可知416a =，即4a =，所以椭圆C 的离心率e ==. 故选：A. 16．【答案】A【分析】由三角恒等变换化简可得2tan tan 3A B =，设出C 的坐标，在两个三角形中表示出tan A 和tan B ，再由点C 在椭圆上化简可得,a b 的关系，进而求出离心率．【详解】因为3tan 3tan tan 0A B C ++=可得3sin 3sin sin()cos cos cos()A B A B A B A B ++=+，即3(sin cos sin cos )sin()cos cos cos()A B B A A B A B A B ++=+， 而在三角形中，sin cos cos sin sin()0A B A B A B +=+≠，所以上式可得3cos()cos cos 0A B A B +-= 而cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，所以可得2cos cos 3sin sin A B A B =，即2tan tan 3A B =， 由题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，设0(C x ，0)y ，可得2200221x y a b +=，由椭圆的对称性设C 在第一象限，如图所示：在ACD 中，00tan y A x a =+，在ABD △中，00tan y B a x =-， 所以220222000222220000(1)tan tan x b y y y b a A B x a a x a x a x a-====+---， 所以可得2223b a =，所以离心率22231133c b e a a ==-=-=故选：A ．17．【答案】B【分析】根据曲线表示椭圆，求得m 的范围，判断A; 根据曲线表示双曲线，求得m 的范围，判断B ；由B 的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E 2得m 的值，判断D.【详解】由题意得，当13m <<时，22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，即22131x ym m +=--，要表示椭圆，需满足301031m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13m <<且2m ≠， 故A 错误；若E 表示双曲线，则(1)(3)m m --不能为0，故22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--化为22131x y m m +=--， 则(1)(3)0m m --<，即1m <或3m >，故B 正确；由B 的分析知，1m <时，23142c m m m =-+-=- ，此时c 不确定，故焦距不是定值，C 错误； 若EA 的分析知，13m <<且2m ≠， 当31m m ->-时，12m <<，此时2223,1,42a m b m c m =-=-=- ， 则42132m m -=-，解得53m = ， 当31m m -<-时，23m <<，此时2221,3,24a m b m c m =-=-=- ， 则24112m m -=-，解得73m = ，故D 错误， 故选：B 18．【答案】C【分析】根据椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率求得22b a，再根据椭圆离心率的公式及可得解.【详解】解：因为椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，12=，解得2234b a =，则椭圆222214x y a b +=的离心率e ==故选：C. 19．【答案】D【分析】由椭圆的定义及题设，求出1||AF 、1||BF 、2||BF ，利用1212πAF F BF F ∠+∠=，由余弦定理建立方程化简即可得解.【详解】因为122||||2F F AF c ==，由椭圆定义知1||22AF a c =-，又112AF F B =，所以1||BF a c =-，再由椭圆定义2||2()BF a a c a c =--=+， 因为1212πAF F BF F ∠+∠=，所以1212cos cos AF F BF F ∠=-∠，所以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||2||||2||||AF F F AF BF F F BF AF F F BF F F +-+-=-⋅⋅，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2a c c c a c c a c a c c a c c-+--+-+=--⋅-⋅，化简可得22340a c ac +-=，即23410e e -+=， 解得13e =或1e =（舍去）.故选：D20．【答案】B【分析】由题意如图所示，由球的半径可得|BF |，||BO 的值，进而可得BOF ODM ∠=∠的正弦值，求出||OD 的值，即求出a 的值，由圆柱的底面半径可得2b 的值，即求出b 的值，进而求出的值，再求出离心率的值．【详解】解：如图所示，1BF =，2BO =，1sin 2BOF ∠=，则11sin 2OM ODM OD OD∠===， 2OD ∴=，即2a =，而22b =，即1b =，所以22413c a b =-=-=， 所以离心率32c e a ==， 故选：B ．21．【答案】D 【分析】将3ax =代入C 中，求得AB 坐标，利用三角形AOB 是等腰直角三角形，求得a ，b 的关系，从而求得离心率. 【详解】将3a x =代入C 中，得223a b A ⎛ ⎝⎭，22,3a b B ⎛ ⎝⎭223b a =，即4=b a，4e =． 故选：D. 22．【答案】A【分析】根据椭圆性质22PA PB b k k a ⋅=-结合离心率222221c b e a a==-运算处理．【详解】由题得：222321,43PA PB b k e a k ⎛⎫=-=-∈-- ⎝⋅⎪⎭，所以12e ⎛∈ ⎝⎭故选：A ． 23．【答案】A【分析】根据点在椭圆上及双曲线的渐近线方程，再利用椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由定义可知C 的伴随曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±.由题意可知，12b a =，即2a b =①.将点⎭代入椭圆C 的方程，得222112a b +=②， 联立①②，解得21b =，24,a =即1,2,b a == 所以222413c a b =-=-=，即c =所以椭圆的离心率c e a ==故选：A.二、多选题 24．【答案】AB【分析】假设椭圆的焦点在x 轴上，且点F 为椭圆的右焦点，分情况讨论A 与B 的位置，可得离心率.【详解】不妨设焦点在x 轴上且F 为右焦点，显然A 不会是右顶点，分类讨论：∠若A 为左顶点，B 为右顶点，则32500a c a a c +=⎧⎪=⎪⎨>⎪⎪>⎩，解得5212a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时离心率15c e a ==；∠若A 为左顶点，B为上（下）顶点，则2223500a c b a c a b c +=⎧⎨=-⎪>>⎪⎪>⎩，无解，不满足；∠若A 为上（下）顶点，B为左（右）顶点，则350a a b =⎧=>>⎪⎩，无解，不满足；∠若A 为上（下）顶点，B 下（上）顶点，则3250a b a b =⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得3a =，52b =，c离心率为ce a=， 故选：AB. 25．【答案】ABD【分析】对于A ：利用离心率直接求出3a =；对于B ：设()()()1122,,,,,,A x y B x y Q m n 进行向量坐标化，整理化简得到132m n+=，即可判断出动点Q 的轨迹方程为直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：求出线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】对于A ：由椭圆22:1(2)2x y C a a +=>=，所以3a =，故A 正确；对于B ：设()()()()()11221122,,,,,,1,1,1,1,A x y B x y Q m n AP x y PB x y ∴=--=--1122(,),(,)AQ m x n y QB x m y n =--=--，由,AP PB AQ QB λλ==-，得()()()121212121,11,1,,x x x x x x m m x x m λλλλλλ⎧+=+-=-⎧⎪∴⎨⎨-=--=--⎪⎩⎩两式相乘得()2222121x x m λλ-=-，同理可得()()22222222221122121,1323232x y x y m n y y n λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-∴+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=-矛盾，1,32m n ∴+=∴动点Q 的轨迹方程为132yx +=，即直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，OQ ∴min ==， 故C 错误，D 正确. 故选：ABD.26．【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的,,a b c 得离心率，得焦距判断AD ，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B ，由圆的标准方程判断C ．【详解】选项A，m =时，曲线方程为2211322x y +=，表示椭圆，其中232a =，212b =，则2221c a b =-=，离心率为c e a ===，A 错； 选项B，m 2213x y -=表示双曲线，渐近线方程为2203x y -=，即y x =，B 正确； 选项C ，1m =时，曲线方程为221x y +=，表示圆，半径为1，C 正确； 选项D ，曲线C 表示椭圆时，22222002m m m m ⎧->⎪>⎨⎪≠-⎩201m <<或212m <<，201m <<时，222a m =-，22b m =，222222(0,2)c a b m =-=-∈， 212m <<时，22a m =，222b m =-，222222(0,2)c a b m =-=-∈，所以2(0,2)c ∈，即c ∈，无最大值．D 错． 故选：BC ． 27．【答案】AC【分析】结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果． 【详解】若曲线是椭圆则其离心率为12122312422F F c c e a a PF PF =====++； 若曲线是双曲线则其离心率为12122332422F F c c e a a PF PF =====--； 故选：AC 28．【答案】BCD【分析】由离心率相同及已知得到22221122->-a b a b 、1221a b a b =，即可判断A 、B ；由()22,F a b在椭圆1C 上得到2211a b a b =，进而判断C ；根据对称性确定,,,A M N B 的坐标，结合斜率两点式得2121AM BNb k k a =判断D. 【详解】A ：由222211222212a b a b a a --=且12a a >，则22221122->-a b a b ，即22221212->-a a b b ，故错误； B ：由222211222212a b a b a a --=，得2212221211b b a a -=-，则1221a b a b =，所以()121121121211a b a a a a b b b b b b -=-=->-，故正确； C ：()22,F a b 满足椭圆1C 方程222222111a b a b +=，又1212a a b b =，则2211a b a b =，所以22121a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12a a =故正确；D ：由对称性知：M 、N 关于x 轴对称，()1,0A a -，()00,M x y ，()00,N x y -，()1,0B a ，001AM y k x a =+，001BN y k x a -=-，则222101222011222220101189AM BN b x b y a b k k x a x a a -+-====--，13e ==，故正确. 故选：BCD. 29．【答案】BD【分析】A. 设00(,)P x y ，12PA PA k k ⋅34=-，所以该选项错误；B. 求出12PF F △的面积为2121||||,2PF PF b ⋅⋅=所以该选项正确；C.求出(2e ∈，所以该选项错误； D. 若12PF b ≤恒成立，所以305e <≤，所以该选项正确.【详解】解：A. 设00(,)P x y ，所以2200221x y a b+=，因为2214,2,23c e a c a b a ==∴=∴=，所以222220000221,34443x y x y b bb +=∴+=.所以12220002000PA PA y b y b y b k k x x x -+-⋅=⋅=2220203344b x b x --==-，所以该选项错误； B. 若12PF PF ⊥，则2221212||||2,||||4,PF PF a PF PFc +=+=所以212||||2,PF PF b ⋅=则12PF F △的面积为2121||||,2PF PF b ⋅⋅=所以该选项正确；C. 若C 上存在四个点P 使得12PF PF ⊥，即C 上存在四个点P 使得12PF F △的面积为2b ，所以2222122,,,(,1)22c b b c b c a c e ⋅⋅>∴>∴>-∴∈，所以该选项错误； D. 若12PF b ≤恒成立，所以222222,244()a c b a c ac b a c +≤∴++≤=-，所以235230,05e e e +-≤∴<≤，所以该选项正确.故选：BD三、填空题30．【答案】22##122【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可.【详解】设圆柱1OO 的轴截面，即正方形的边长为2，设1C 是弧11B A 的中点，且与C 关于圆柱的中心对称，由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴2212222C C += 所以长半轴长 2,a = 短半轴长1b = ， 故半焦距为 221c a b - , 所以椭圆的离心率为2c e a ==， 2 31．【答案】125【分析】分椭圆的焦点在x ，y 轴上，由椭圆的方程可得a 的值，再由焦距为2可得的值，求出椭圆的离心率．【详解】由椭圆的方程可得0m >，且4m ≠，焦距为2，可得22c =，即1c =， 当焦点在x 轴上时，则2a m =，24b =，可得2224c a b m =-=-， 由题意可得41m -=，所以5m =，这时离心率c e a ==； 当焦点在y 轴上时，则24a =，即2a =，这时离心率12c e a ==， 综上，离心率为12故答案为：1232【分析】由已知，在焦点三角形12PF F △ ，根据正弦定理可知12122112sin sin sin PF PF F F PF OPFO F PF ==∠∠∠，然后借助椭圆的定义以及题中给的焦点三角形的两个底角即可直接求解离心率.【详解】由已知，12PF F △为焦点三角形，由正弦定理可知;12122112sin sin sin PF PF F F PF O PFO F PF ==∠∠∠，即12122121sin sin sin()PF PF F F PF O PFO PF O PFO +=∠+∠∠+∠，所以 12211221sin()sin sin F F PF O PFO e PF PF PF O PFO ∠+∠==+∠+∠sin 60sin 60sin15sin 45sin(4530)sin 45︒︒︒︒︒︒︒===+-+33【分析】根据题意结合1212//=l l k k ⇒列式求解可得2b c =，再利用222a b c =+及ce a=运算求解.【详解】由题意可得：()()()21,0,0,,,,,0b A a B b P c F c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则()12200,02ABPF b b bb a kk a ac c ac--====---- ∠1//AB PF ，则1ABPF k k =，即22b b a ac=，解得：2b c = ∠225a b c c =+=，则555c c e a c===故答案为：55.34．【答案】31-##13-+【分析】求出2PF 、1PF ，利用椭圆的定义可得出关于a 、的等式，即可求得椭圆C 的离心率的值.【详解】在12Rt F PF △中，1230PF F ∠=，1290F PF ∠=，则2PF c =，122F F c =，则2211223PF F F PF c =-，由椭圆的定义可得()12312PF PF c a +==，则3131c e a =+. 31.四、解答题35．【答案】6⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则APB ∠的最大值大于等于120︒即可，即当P 为短轴端点时，60APO ∠≥︒即可，再结合离心率公式，即可求解．【详解】点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则APB ∠的最大值大于等于120︒即可， 即当P 为短轴端点时，60APO ∠≥︒即可，tan tan60aAPO b∠=≥︒e又01e <<，∴该椭圆的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭． 36．【答案】(2)证明见解析，定点10,3G ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）结合题意得2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而根据直线MN220c a -=，即210e -=，再解方程即可得答案； （2）结合（1）得圆C 的方程为2212x y +=，进而设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，再与椭圆方程联立结合韦达定理和0DA DB ⋅=整理化简得13m =-或1m =，再检验1m =不满足题意，进而得直线AB 经过y 轴上定点10,3G ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）由题意知，点M 在第一象限，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为.当x c =时，2by a =，即2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又直线MN的斜率为4，所以2212tan 22b b a MF F c ac ∠==，即222b a c ==-，即220,c a -=则210e -=，解得e =e =即e =（2） 解：已知()0,1D 是椭圆的上顶点，则1b =，由（1）知e ==a = 所以，椭圆C 的方程为2212x y +=， 设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()()()222124210*k x kmx m +++-=， 所以()2121222214,1212m km x x x x k k--+==++， 又()()1122,1,,1DA x y DB x y =-=-，()()()()121212121111DA DB x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-()()()22121211(1)k x x k m x x m =++-++-()()()2222221411(1)1212m km k k m m k k --=+⋅+-⋅+-++ ()()()()2222222211412(1)012m k k m m k m k -+--++-==+，化简整理有23210m m --=，得13m =-或1m =. 当1m =时，直线AB 经过点D ，不满足题意；. 当13m =-时满足方程()*中Δ0>， 故直线AB 经过y 轴上定点10,3G ⎛⎫- ⎪⎝⎭.37 【分析】由题意可得π6BAF ∠=，2a OB =，从而可得点B 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得a 与b 的关系，根据222c a b =-可得与b 的关系，由离心率公式直接求解即可.【详解】由题易知OA a =，π6BAF ∠=，2a OB =，则4a B ⎛- ⎝⎭.代入椭圆C 的方程，可得2222311616a a a b +=，所以225a b=，即a .所以2c b ==，所以c e a ==． 38．【分析】根据BFAB=2a 与2b ，结合c e a =与222c a b =-即可求离心率.【详解】解：()22222433BFa b a a b AB ===⇒=+⇒=，离心率为c e a == 39．【答案】【分析】作出截面，根据平面与球相切的性质，结合直角三角形中各边的关系与勾股定理等，求解椭圆的基本量即可. 【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>． 作出几何体的轴截面图，如图所示，点M ，N 是P 圆柱内两个内切球的球心，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥．根据圆的切线的性质，可得2⊥MF AB ，1NF AB ⊥， 由题意，可知126OO OO ==，21212MF MO NO NF ====， 所以4OM ON ==，所以12OF OF ===c =，所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，则230MOF ∠=︒， 所以60AOQ ∠=︒， 所以||2||41cos 2OQ OA AOQ ===∠，即a ＝4，所以椭圆的离心率c e a ===40．【答案】2【分析】设1122(,),(,)P x y B x y ，得到11(,)A x y --，结合PA PB ⊥，得到112112()112()2y y y x x x -⋅=-，又由2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+，求得2212b a =，进而求得椭圆的离心率．【详解】设1122(,),(,)P x y B x y ，则12120,0,x x x x >>≠，且11(,)A x y --， 所以112121112121,,2PA PB AB y y y y y y k k k x x x x x x -+====-+， 因为PA PB ⊥，所以112112()1()y y y x x x -=--，所以112112()112()2y y y x x x -⋅=-， 又因为2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减得222212122211()()0x x y y a b---=，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+， 所以2212b a =，所以2221c b e a a =-． 41．【答案】(1)2212x y += (2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据焦距，求得c 值，根据离心率，求得a 值，根据a ，b ，c 的关系，可得2b ，即可得答案.（2）当直线l 斜率为0，即为x 轴时，分析可得120k k +=；当直线l 斜率不为0时，设直线的方程为：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与椭圆联立，可得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理，可得12y y +、12y y ⋅表达式，根据斜率公式，化简整理，即可得证.（1）因为焦距22c =，所以1c =，因为离心率2c e a ==，所以a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）当直线l 斜率为0，即为x 轴时，则120,0k k ==，所以120k k +=；当直线l 斜率不为0时，设直线的方程为：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 与椭圆联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 整理得()222210m y my ++-=， 2244(2)(1)0m m ∆=-+⨯-> 所以12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+， 所以1111121y y k x my ==--，2222221y y k x my ==--， 所以()()()121212121212201111my y y y y y k k my my my my -++=+==----. 综上所述：12k k +为定值0.。
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），答：∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解：如图所示，解答：设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]解解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，答：化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．解解：由题意知c=1，离心率e=，答：椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF|=a+c，|BF2|=，2∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．解解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．答：②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
椭圆中的离心率问题
专题4 椭圆中的离心率问题一、选择题1.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左、右两焦点分别为12,F F ,若12AF F ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.C.13D.2.若12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥,且1230PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）A.1B.C. 1D.3.若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，线段12F F 被抛物线 ()220y bx b =>的焦点分成5：3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A.1617B.C.45D.4.如图，己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，12PF PF ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若4bOQ =,则椭圆C 的离心率为（ ）A.B.C.12D.235.已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为( )A.1B. 1C.D.6.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上一点，AP //BF 、|AF |=|PB |,记椭圆的离心率为e ，则2e = ( ).A.B.C.12D.7.设椭圆()2222:12x y C a a b+=>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l y x t =+：交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB ∆的周长的最大值为12，则C 的离心率为( )A.B.C.D.598.设F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆2229a x y +=与直线PF交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D.二、多选题9.椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>, 12,F F 分别为左、右焦点，12,A A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为（ ）A.12B.C.D.10.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>> 的左右焦点分别12F F 、，过1F 且斜率为2的直线交椭圆E 于p 、Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则该椭圆C 的离心率e =（ ）A.1B.C. 1D.11.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ,，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从12F F ,，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为（ ）A.B.C.D.12.的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>,12A A ,分别为左、右顶点，12B B ,分别为上、下顶点，12F F ,分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ） A. 2112212A F F A F F ⋅=B. 11290F B A ∠=︒C. 1PF x ⊥轴，且21//PO A BD. 四边形221AB A B 的内切圆过焦点12F F ,三、填空题13.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>,左焦点F (-c ，0)，右顶点A (a ，0)，上顶点B (0，b )，满足0FB AB ⋅=则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.14.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>, 以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为_______.15.如图，过原点O 的直线AB 交椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =,则椭圆C 的离心率是________.16.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ,，点P 在椭圆上且同时满足；①12F F P ∆是等腰三角形；②12F F P ∆是纯角三角形；③线段12F F 为12F F P ∆的腰；④椭圆C 上恰好有4个不同的点P .则椭圆C 的离心率的取值范围是_______. 【提高题】 一、选择题1.10的化简结果为（ ）A. 2212516x y +=B. 2212516y x +=C. 221259x y +=D. 221259y x +=2.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. ()3,4B. 7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3.“1<m <5”是“方程 22215x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设定点 (()()120,3, 0,3F F -.动点P 满足条件()1290PF a PF a a-=->则点P 的轨迹是（ ） A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段5.(多选题)己知P 是椭圆 22197x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12F F ,，且121cos 3F PF ∠=,则（ ）A. 12PF F ∆的周长为12B. 1PF F S ∆=C.点P 到x 轴的距离为D. 122PF PF ⋅=6.(多选题)设P 是椭圆22:12x C y +=上任意一点12F F ,是椭圆C 的左、右焦点，则（ ）A. 12PF PF +=B. 1222PF PF -<-<C.1212PF PF ≤⋅≤D. 2101PF PF ≤⋅≤二、填空题7.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (-3，0)和C (3，0)，顶点B 在椭圆 2212516x y +=上，则sin sin 2sin A CB+=___________.8.已知 12F F ,是椭圆 22197x y +=的两个焦点A 为椭圆上一点，且12AF F ∠=45°，则12AF F ∆的面积为＿＿＿，此时 2AF =________.9.如图把椭圆 2212616x y += 的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127P P P ⋯，，，七个点，F 是椭圆的焦点，则127PFP F P F +++=______.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F (1，0)，A ，B 为椭圆C 的左右顶点，且3AF FB =，则椭圆C 的方程为______.三、解答题11.如图所示，在圆()22:125C x y ++=内有一点A (1，0).Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.12.如图，椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>经过点41,33M ⎛⎫⎪⎝⎭且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若R , S 是椭圆C 上的两个点线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线)与BS 交于点P , O 为坐标原点，求证：P 、O 、M 三点共线.。
专题十：求椭圆的离心率
专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。
专题6：椭圆的离心率问题26页
专题6：椭圆的离心率问题一、单选题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A ．13B ．12C D 2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B ．4C ．916D 3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C D4．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（ ）A ．45B ．23C ．12D ．155．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A．3B ．4C ．2D ．6．已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P （不在x轴上）为椭圆上一点，且满足212PF PF c ⋅=，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．32⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3⎫⎪⎣⎭D ．0,2⎛ ⎝⎭7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，点Q 为椭圆上一点. 12QF F 的重心为G ，内心为I ，且12GI F F λ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3二、填空题8．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心.当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为_____.9．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2233(ln ||ln ||)a m n ⎛⎫-+++ ⎪取得最小值时，椭圆C 的离心率是______.11．已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F ，经过坐标原点O的直线交椭圆于A ． B 两点，M 、N 分别为线段AF 、BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，则椭圆的离心率的取值范围为___.12．已知斜率为1的直线l 经过椭圆2222:1x y M a b+=的左焦点，且与椭圆M 交于A ，B 两点，若椭圆M 上存在点C ，使得ABC 的重心恰好是坐标原点，则椭圆M 的离心率e =______.13．已知中心在原点的椭圆C 的一个端点为)A ，直线:21l y x =+.若C 上存在相异的两点M ，N 关于l 对称，则椭圆C 离心率的取值范围是___________.14．已知点P 为直线40ax y +-=上一点，,PA PB 是椭圆()222:10x C y a a+=>的两条切线，若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.15．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，过点P 的一条直线与圆2222x y a b +=+相交于, A B 两点，若存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，则椭圆的离心率取值范围为_________.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左顶点为A ，O 为坐标原点，若椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围是______.17．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.18．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1、F 2，点P 是两曲线的一个公共点，12,e e 分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则22124e e +的最小值为__________．参考答案1．A【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MNME 的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【解析】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接GI 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E ，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ， 因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF FO ON OF ON ON -=-=+--==， 又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，0110223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +- 所以得03cx OM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3INMN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-， 因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++= 即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A. 【点评】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合. 2．B【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【解析】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===. 故选：B.【点评】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 3．C【分析】由题设()(),0,0,F c A b ，利用F 为APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将B 代入直线方程得592802b c +-=，再利用点差法可得225a bc =，结合222a b c =+，可求出,,a b c ，进而求出离心率. 【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ，由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c bx y ==-即3,22c bB ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①.又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，以上两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率5e =. 故选：C.【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 4．B【分析】利用正弦定理得到R =再利用椭圆的定义，设1PF m =，2PF n =，得到2m n a +=，结合余弦定理22242cos3c m n mn π=+-，得到22230a c ac --=，即得解.【解析】椭圆的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，122F F c =根据正弦定理可得121222sin 3sin3F F c R F PF π===∠∴R =，14r R ==. 设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得22242cos 3c m n mn π=+- ()22343m n mn a mn =+-=-，∴()2243a c mn -=，∴)12221sin 233F PFa c S mn π∆-==， 又12F PF S ∆=()()1226a c m n c r +++⋅=，∴))2236a c a c -+=即22230a c ac --=， 故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍）. 故选：B .【点评】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 5．A【分析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n+=>>，焦距为2c 由椭圆和双曲线的定义，不妨设P 在第一象限，求出1212||,||,(,PF PF F F 为焦点），在12PF F ∆中利用余弦定理，求出,,a m c 关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -22222c a b m n =-=+不妨设P 在第一象限，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得12PF a m PF a m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 在12PF F ∆中，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即2222222343,4a m c a m c c=++=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12221213,,4e e e e +=，设12112cos 1,cos 2sin sin 2e θθθθ=>>=<<< 取π0θ3，12112cos )3e e πθθθ+=+=+， 当6πθ=时，1211e e +取得最大值为3. 故选:A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题. 6．A【分析】首先根据椭圆定义可知122PF PF a +=，根据余弦定理2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==，再根据21212cos PF PF F PF c ⋅∠=，根据这三个式子的变形得到21222cos 123c F PF a c∠=<-和22223a c a ∴-≤，最后求离心率. 【解析】由椭圆的定义，得122PF PF a +=，平方得222121224PF PF PF PF a ++=①.由212PF PF c ⋅=，21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=②，12F PF ∠是锐角，由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③， -③得()22121221cos 44PF PF F PF a c +∠=- ④由②④，得21222cos 123c F PF a c ∠=<-，12F PF ∠是锐角，2220123c a c <<- ， 即22230a c ->且22223c a c <-∴ 2e <. 由②③可知222126PF PF c += ⑤由①⑤可得221223PF PF a c =- ，2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，22223a c a ∴-≤，即223a c ≤，e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎣⎭.故选：A.【点评】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于,a c 的不等式关系. 7．A【分析】由题意，设Q （x 0，y 0），由G 为△F 1QF 2的重心，得G 点坐标为（03x ，03y ），利用面积相等可得，12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，从而求椭圆的离心率．【解析】椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设Q （x 0，y 0），∵G 为△F 1QF 2的重心，∴G 点坐标为 G （03x ，03y ），∵12GI F F λ=，则GI ∥12F F ，∴I 的纵坐标为03y，又∵|QF 1|+|QF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， ∴12F QF S=12•|F 1F 2|•|y 0|，又∵I 为△F 1QF 2的内心，∴|03y |即为内切圆的半径，内心I 把△F 1QF 2分为三个底分别为△F 1MF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴12F QF S=12（|QF 1|+|F 1F 2|+|QF 2|）|03y |， 即12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，∴2c=a ，∴椭圆C 的离心率为e=12， ∴该椭圆的离心率12，故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．13【分析】首先找到特殊位置，即取P 在上顶点时，内心和重心都在y 轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P 的运动而变化，可得：GI 始终垂直于x 轴，可得内切圆半径为3a ca c-⋅-y 0，再利用等面积法列式解方程可得：13c a=.【解析】当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，取P 特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y 轴上，重心也在y 轴上， 由此可得不论P 在何处，GI 始终垂直于x 轴， 设内切圆与边的切点分别为Q ，N ，A ，如图所示：设P 在第一象限，坐标为：（x 0，y 0）连接PO ，则重心G 在PO 上， 连接PI 并延长交x 轴于M 点，连接GI 并延长交x 轴于N ， 则GN ⊥x 轴，作PE 垂直于x 轴交于E ，可得重心G （03x ，03y ）所以I 的横坐标也为03x ，|ON |03x =，由内切圆的性质可得，PG =P A ，F 1Q =F 1N ，NF 2=AF 2， 所以PF 1﹣PF 2=（PG +QF 1）﹣（P A +AF 2）=F 1N ﹣NF 2=（F 1O +ON ）﹣（OF 2﹣ON ）=2ON 023x =， 而PF 1+PF 2=2a ，所以PF 1=a 03x +，PF 2=a 03x -， 由角平分线的性质可得01102233x a PF F M c OM x PF MF c OM a ++===--，所以可得OM 03cx a=，所以可得MN =ON ﹣OM ()000333a c x x cx a a-=-=， 所以ME =OE ﹣OM =x 0()00333a c x cx a a--=， 所以3IN MN a c PE OE a c -==-，即IN 3a c a c -=⋅-PE 3a ca c -=⋅-y 0， 1212PF F S =（PF 1+F 1F 2+PF 2）⋅IN 1212F F PE =⋅，即12（2a +2c ）001232a c y c y a c -⋅⋅=⋅⋅-， 所以整理为：13c a =，故答案为：13.【点评】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，化简可得.本题属于难题.9【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 的余弦值，即可得出椭圆离心率．【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与,A B ，连接12,O A O B ,则1O A AB ⊥，2O B AB ⊥，过2O 作21O D O A 垂直于D ，连接12,O E O F ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β.在21Rt O DO 中，1312DO ，22282215O D11221515cos84O O O D 128O O = 128CO O C 12EO C FO C22128O CO CO EO F 解得2=2O C 222222213CFO FO C即23cos2CFO C则椭圆的离心率cos 252cos515e【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos β与圆锥母线与轴的夹角的余弦cos α之比，即coscose．10．2【分析】设出P 的坐标,得到mn (用a ,b 表示)，求出2a a a b ln m ln n ln mn ln b b b a ++=+=+，令1a t b =>，则()3222363f t t t t lnt =-+-，利用导数求得使()f t 取最小值的t ，可得2ab=，则椭圆离心率可求 ．【解析】解：(),0A a -，(),0B a ，设0(P x ，0)y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，2202220y b mn x a a ∴==--，∴()22333a ln m ln n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 3222222223623633a b a a a b ln ln b b b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1at b=>，则()3222363f t t t t lnt =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t-+-+-'==， ∴当2t =时， 函数()f t 取得最小值()2f ．∴ 2a b =．e ∴==，【点评】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．11．2，1)【分析】设AB 方程为y kx =，联立方程组求出A ，B 坐标，进而得出M ，N 的坐标，由OM ON ⊥列方程得到关于k 的方程，令此方程有解得出a ，b ，c 的关系，从而得出离心率的范围．【解析】设直线AB 的方程为y kx =，联立方程组22221y kxx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得222222()a k b x a b +=，A ∴，B，又(,0)C c ，M ，N 是AF ，BF 的中点，2c M ∴+，，2c N，以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，OM ON ∴⊥，222)0222c c abk a k -∴+=+，即222222222222044()4()c a b a b k a k b a k b --=++， 222222222()0c a k b a b a b k ∴+--=，2222222224()a c a b k a b b c b ∴-=-=，即22224()a c b k b -=，存在符合条件的直线AB ，使得OM ON ⊥，∴关于k 的方程22224()a c b k b -=有解，22c b ∴>，即222c a c >-，222c a ∴>，∴2212c a>，c e a ∴=>，又1e <，∴12e <<． 故答案为：(2，1)．【点评】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围. 12．5【分析】设点A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，则根据题意有12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，分别将点A ，B ，C 的坐标代入椭圆方程得12122212x x y y a b +=-，然后联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理得到12x x 和12y y 的值，代入12122212x x y y a b +=-得到关于,,a b c 的齐次式，然后解出离心率.【解析】设A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，因为ABC 的重心恰好是坐标原点，则12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，则()()312312x x x y y y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，代入椭圆方程可得()()221212221x x y y a b +++=， 其中22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以12122212x x y y a b +=-……① 因为直线l 的斜率为1，且过左焦点，则l 的方程为：x y c =-，联立方程22221x y cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得：()2222420a b y b cy b +--=，所以212222b c y y a b +=+，41222b y y a b-=+……②所以()()()4421212121222c b x x y c y c y y c y y c a b-=--=-++=+……③，将②③代入①得22225c e a ==，从而5e =.故答案为：5【点评】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意A ，B ，C 三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用.13．11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，由()00,P x y 在C 内，可得不等式220013x y λ+<，从而得到关于λ的不等式，解不等式可得λ的取值范围，从而求得离心率的范围.【解析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，则221113x y λ+=，222213x y λ+=，两式相减得，()()()()1212121203x x x x y y y y λ+-+-+=，而1202x x x +=，1202y yy +=. 所以，MN 所在直线的斜率211202112033MN y y x x xk x x y y y λλ-+==-=--+， 由M ，N 关于l 对称，直线MN l ⊥，故00132x y λ-=-①，又()00,P x y 在l 上，所以0021y x =+②，联立①与②的方程，解得，0326x λ=-，03y λλ=-.由题意，()00,P x y 在C 内，可得220013x y λ+<，化简2428330λλ-+>，即()()232110λλ-->，解得302λ<<或112λ>. 令椭圆C 的离心率为e ，当302λ<<时，C 的焦点在x 上，233e λ-=，即233e λ=-，故230332e <-<，所以12e <<； 当112λ>时，C 的焦点在y 上，23e λλ-=，即231e λ=-，故231112e >-1e <<.<，所以C 的离心率的取值范围是11,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点评】本题考查椭圆与直线方程、离心率等综合知识以及推理论证与运算求解能力.14 【分析】首先设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，根据直线与椭圆相切，联立0∆=得到2222()210a m k mnk n -++-=，因为PA PB ⊥，得到121k k =-，即2221m n a +=+.从而得到(0,0)到直线40ax y +-=的距离为a =.【解析】设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，由题知：联立222222222()(1)2()[()1]01y n k x m k a x ka n km x a n km x y a-=-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 因为直线与椭圆相切，所以2422222=4()4(1)[()1]0k a n km a k a n km ∆--+--=， 整理得：2222()210a m k mnk n -++-=. 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，因为PA PB ⊥，所以212221=1n k k a m-=--，即2221m na +=+.所以点P 在以(0,0)即(0,0)到直线40ax y +-=.d ==a =又因为1b =，所以c =e ==.【点评】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.15．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】设()00,P x y ，设出直线AB 的参数方程，利用参数的几何意义可得22||||,PA PB b a ⎡⎤∈⎣⎦,由题意得到222a b ，据此求得离心率的取值范围.【解析】设()00,P x y ，直线AB 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)代入圆2222x y a b +=+，化简得：()2222200002cos sin 0t x y t x y a b αα++++--=， ()22222222120000||||PA PB t t x y a b a b x y ∴==+--=+-+， 222200,x y b a ⎡⎤+∈⎣⎦， 22||||,PA PB b a ⎡⎤∴∈⎣⎦，存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，222a b b ∴-，即222a b ， 222a c ∴，212e ∴，12e ≤<，故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点评】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.16．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭，联立方程化简得到222220a b x ax b a-++=，根据对应函数的对称轴计算得到答案. 【解析】椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，即M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.联立方程2222222124x y a b a ax y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，化简得到222220a b x ax b a -++=. 易知：x a =-是方程的解，且0x =时，222220a bx ax b a-++>.方程在(),0a -上有解，只需满足：22202ax a a b a >=->-- ，解得c e a =>.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭.【点评】本题考查了椭圆的离心率问题，确定M 的轨迹方程是解题的关键. 17．2【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ．由椭圆及双曲线定义用1a ，2a 表示出1||PF ，2||PF ，在△12F PF 中根据余弦定理可得到1a ，2a 与c 的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，设12||2F F c =，124F PF π∠=，则：在△12PF F 中由余弦定理得，222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π=++--+-，化简得：22212(2(24a a c +=，124+=，又1212122e e ，∴1212e e ，即1222e e ，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为2． ．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题． 18．92【解析】【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴为2a 2，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a 12+a 22=2c 2，由此能求出4e 12+e 22的最小值．【解析】由题意设焦距为2c ,椭圆长轴长为12a ,双曲线实轴为22a ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义1222PF PF a -=，① 由椭圆定义1212PF PF a +=，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴22212||4PF PF c +=，③①2+②2,得22221212||22PF PF a a +=+，④将④代入③,得222122a a c +=，∴[)90,110.故答案为：92.【点评】本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.。
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C的离心率为（）A． B ．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．7．已知F（1﹣ c，0），F（2 c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C ．D．8．椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为 M，若A． B．2﹣MF1垂直于x C．2（2﹣轴，则椭圆的离心率为（）D．）9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．P，使得12．设椭圆 C 的两个焦点为F1、 F2，过点 F1的直线与椭圆C交于点M，N，若 |MF2 |=|F 1F2| ，且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13（．2015?高安市校级模拟）椭圆 C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若 F 关于直线x+y=0的对称点 A 是椭圆A．B．C 的离心率为（）C 上的点，则椭圆C． D ．一l14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．15．已知椭圆若 |PF2|=|F 1F2| ，且（ a＞ b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（F1的直线交椭圆于）P，Q两点，A．B．C．D．16．已知椭圆 C：轴正半轴上一点，直线MF2交C 于点的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为 yA，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆 C的中心为 O，两焦点为 F1、F2，M是椭圆 C上一点，且满足 ||=2||=2|| ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B． C ． D ．﹣120．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）22．设 F1、F2为椭圆 C： + =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线 l 过焦点 F2且与椭圆交于 A， B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2=（）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6 D．9﹣ 623．直线 y=kx 与椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）交于 A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0， ] B．（0， ] C． [ ， ] D． [ ， 1）24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C． [，1）D． [，]25．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA= ，则椭圆 C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．参照答案与试题剖析一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：①当点P 与短轴的极点重合时，答：△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△F1F2 P；②当△F1F2 P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2 =F1 P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△F1F2P，在△F F P 中， F1F2+PF1＞ PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，1 2 1由此得知 3c＞a．因此离心率 e＞．当 e= 时，△F1 F2 P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当 F P 为等腰三角形的底边时，在 e 且 e≠时也存在 2 个1满足条件的等腰△F 1 F2P这样，总合有 6 个不同样的点P 使得△F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞ b＞ 0， a＜2b它对应的平面地域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P== ，应选 B．3．已知椭圆（ a＞ b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若 AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．解解：已知椭圆（ a＞b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点B，答：F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接 AF，AN， AF， BF因此：四边形AFNB为长方形．依照椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ ANF=α．因此： 2a=2ccosα+2csin α利用 e==因此：则：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．解解：两个交点横坐标是﹣c，c答：因此两个交点分别为（﹣c，﹣c）（ c，c）代入椭圆=1两边乘 2a2 b2则c2（ 2b2+a2）=2a2b222 2∵b=a ﹣ cc2（ 3a2﹣ 2c2）=2a^4﹣ 2a2 c22a^4﹣ 5a2c2+2c^4=0（2a2﹣ c2）（a2﹣ 2c2）=0 =2，或∵0＜ e＜ 1因此 e= =应选 A5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B ．C．D．解解：设|PF2|=x ，答：∵PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F2|=x，又|PF1|+|PF 2|=2a ， |F 1F2|=2c∴2a=3x， 2c= x，∴C的离心率为： e= =．应选 A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．解解：设 P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，答：∴G点坐标为 G（，），∵，∴ IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2 中，|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c∴= ?|F 1F2|?|y 0|又∵I为△F1PF2 的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴= （|PF1|+|F 1F2|+|PF 2 | ） | |∴?|F 1F2|?|y 0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即 ×2c?|y 0|= （ 2a+2c ）|| ，∴2c=a ，∴椭圆 C 的离心率 e= =应选 A7．已知 F （1 ﹣ c ，0），F （2 c ，0）为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解 解：设 P （m ，n ），=（﹣ c ﹣m ，﹣ n ）?（ c ﹣ m ，﹣ n ）222，答： =m ﹣c +n222222①．∴m +n =2c ， n =2c ﹣m把 P （m ， n ）代入椭圆2 22 22 2②，得 b m+a n =a b把①代入②得 22 22 2， m=≥0，∴a b ≤2a cb 2≤2c 2， a 2 ﹣c 2≤2c 2，∴≥ ．2222﹣ 2c 2≥0，又 m ≤a，∴≤a，∴≤0，故 a∴ ≤ ．综上，≤ ≤ ，应选： C ．8．椭圆+ =1（ a ＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别是 F 1， F 2，过 F 2 作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为 M ，若 MF 1垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣ ）D ．解解：如图，答：在 Rt△MF1F2中，∠ MF2F1=60°， F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2 c=2a? e= =2﹣，应选 B．9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若 C上的点 P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B． C ．D．或解解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ |PF1|==3c，答：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF 2|=2a ，∴ |PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（ 2a﹣ 3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣ 3c ，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．10．设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解： F1（﹣ c，0），F2（c， 0），c＞0，设 P（ x1，y1），答：则 |PF1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex1．在△ PF1F2中，由余弦定理得cos120°= =，解得 x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e= ≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．应选 A．P，使得11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解解：设 P（asin α， bcosα），A1（﹣ a， 0）， A2（a， 0）；答：∴，；∴；∴；∴，a，c＞ 0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．应选： C．12．设椭圆 C 的两个焦点为 F 、 F ，过点 F 的直线与椭圆 C交于点 M，N，若 |MF |=|F F | ，1 2 1 2 1 2 且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（ a＞b＞0），答：F1（﹣ c，0），F2（ c， 0），|MF2|=|F 1F2|=2c ，由椭圆的定义可得|NF2|=2a ﹣ |NF1 |=2a ﹣3，|MF2|+|MF 1 |=2a ，即有 2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点 K，连接 KF2，则 KF2⊥MN，由勾股定理可得 |MF2 | 2﹣ |MK| 2=|NF2| 2﹣ |NK| 2，即为 4c2﹣ 4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为 a+c=12，②由①②解得a=7， c=5，则离心率e= = ．应选：D．13．椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0 的对称点 A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（）A．B．C． D ．一l解解：设F（﹣ c， 0）关于直线x+y=0 的对称点A（ m， n），则答：，∴m= ， n= c，代入椭圆方程可得，化简可得 e4﹣ 8e2+4=0，∴e=﹣1，应选： D．14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．解解： F ， F 分别为椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点，1 2答：设 F1（﹣ c， 0）， F2（c， 0），（c＞ 0），P 为椭圆上一点，且 PF 垂直于 x 轴．若 |F F |=2|PF | ，2 1 2 2可得 2c=2 ，即 ac=b2=a2﹣ c2．可得 e2+e﹣ 1=0．解得 e= ．应选： D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过 F1的直线交椭圆于P，Q两点，若 |PF2|=|F 1F2| ，且 2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解解：由题意作图如右图，答：l 1， l 2是椭圆的准线，设点Q（ x0， y0），∵2|PF 1|=3|QF 1 | ，∴点 P（﹣c﹣ x0，﹣y0）；又∵ |PF 1|= |MP| ， |QF1 |=|QA| ，∴2|MP|=3|QA| ，又∵ |MP|=﹣ c﹣ x0+ ∴3（ x0+ ） =2（﹣， |QA|=x 0+c﹣x +），，解得，x0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F2| ，∴（c+ x0+ 将 x0=﹣） =2c；代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8 +3=0；解得，=1（舍去）或= ；应选： A．16．已知椭圆 C：的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为y轴正半轴上一点，直线MF2交 C 于点 A，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．解解：以以下图，1 2 中，1 2．答：在 Rt△AF F |F F |=2|OA|=2c 又|MF2|=2|OA| ，在Rt△OMF2中，∴∠ AF2F1=60°，在Rt△AF1 F2中，|AF2|=c ，|AF1 |= c．∴2a=c+ ∴c，= ﹣1．应选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足| |=2| |=2| | ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．解解：∵|MF1|=|MO|=|MF 2| ，答：由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF 2|=3|MF 2| ，即|MF2|= a， |MF1|= a，在△F1OM中，|F 1O|=c，|F 1 M|=a， |OM|= a，则 cos∠MOF1==，在△ OF2M中， |F 2O|=c， |M0|=|F 2M|= a，则 cos∠MOF2= =，由∠ MOF1=180°﹣∠ MOF2得： cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+ =0，整理得： 3c2﹣2a2=0，即= ，即 e2= ，即有 e=．应选： D．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（， 1）解解：由已知 P（， y），得 F1P 的中点 Q的坐标为（），答：∴，∵2 2，，∴y=2b ﹣2 2 2）（ 3﹣）＞ 0，∴y=（ a ﹣c ∴3﹣＞0，∵0＜ e＜ 1，∴＜ e＜ 1．应选： C．19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．﹣1解解：以以下图所示：答：设椭圆的右焦点为F，依照椭圆的对称性，得直线 OP的斜率为 k=tan60 °=，∴点 P 坐标为：（ c，c），代人椭圆的标准方程，得，2 2 2 2 2 2∴b c +3a c =4a b，∴e=．应选： D．20．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]解解：以以下图，连接OE，OF，OM，答：∵△ MEF为正三角形，∴∠ OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆 C 的离心率 e==．又e＜1．∴椭圆 C 的离心率的取值范围是．应选： C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）解解：以以下图，答：设椭圆的右焦点F（ c， 0），代入椭圆的标准方程可得：，取 y= ， A ．∵△ ABC是锐角三角形，∴∠ BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．应选： A．22．设 F1、F2为椭圆C：+ =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线l 过焦点F2且与椭圆交于 A，B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2= （）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6D．9﹣ 6解解：可设 |F 1 F2 |=2c ， |AF1|=m，答：若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，则 |AB|=|AF 1 |=m，|BF 1|=m，由椭圆的定义可得△ ABF1的周长为 4a，即有 4a=2m+ m，即 m=2（ 2﹣）a，则 |AF2|=2a ﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F 1F2| 2=|AF1| 2+|AF2| 2，即 4c2=4（ 2﹣）2a2+4（）2 a2，即有 c2 =（ 9﹣ 6）a2，即有 e2 = =9﹣ 6．应选D．23．直线y=kx 与椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）交于A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C． [ ，] D． [ ， 1）解解：设 F2是椭圆的右焦点．答：∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为 AB的中点， OF=OF2．∴四边形 AFBF2是平行四边形，∴四边形 AFBF2是矩形．以以下图，设∠ ABF=θ，∵BF=2ccosθ， BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csin θ=2a，∴e=，sin θ+cosθ=，∵θ ∈（0，] ，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．应选： D．24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[ ， ] B．（0， ] C． [ ，1） D． [ ， ]解解：设 P（x0， y0），则 2c2= =（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣ x0，﹣答： y0） = + ，化为．又，∴= ，∵，∴，2 2 2∵b=a ﹣ c ，∴，∴．应选： A．25．已知F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解，解：设 P（x0，y0），则答：∴ = ．∵，∴（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣x0，﹣ y0） =c2，化为=c2，∴=2c2，化为 = ，∵，∴0≤2 ≤a，解得．应选： D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．解解：由题意知c=1，离心率e= ，答：椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点P，则 c=1，∵P在直线 l ：y=x+2 上搬动，∴2a=|PA|+|PB| ．过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C，设 C（m， n），则由，解得，即有 C（﹣ 2， 1），则此时 2a=|PA|+|PB| ≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时 a 有最小值，对应的离心率 e 有最大值，应选 C．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）解解：以以下图： |AF2 |=a+c ， |BF 2|= ，答：∴k=tan ∠BAF2= ，又∵ 0＜ k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．应选： D．28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：连接 OA，OB， OP，依题意， O、 P、 A、 B 四点共圆，答：∵∠ BPA=，∠ APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠ AOP= ，∴c os∠AOP== ，∴ |OP|= =2b，∴b＜|OP| ≤a，∴ 2b≤a，2222 2∴4b ≤a，即 4（ a ﹣ c ）≤a，∴3a2≤4c 2，即，∴，又 0＜ e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆 C 的离心率的取值范围是[，1），应选： A．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则 e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．解解：①当动圆M与圆 O1、 O2都相内切时， |MO2|+|MO1|=4 ﹣r=2a ，答：∴e1=．②当动圆 M与圆 O1相内切而与 O2相外切时， |MO1|+|MO2 |=4+r=2a ′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令 12﹣ r=t （ 10＜ t ＜12），e1+2e2 =2×≥2×==应选： A．。
(完整版)专题：椭圆的离心率解法大全,推荐文档
专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=⇒=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=⇒=-m mm ， 综上316=m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为236，设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在∆Rt ABC 中，ο90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) [解析]=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a cba b 221)(215-3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-4,椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变式（2） 椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2 e=55变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
椭圆离心率50道题训练含详解
（2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于A， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点，如图．当 在椭圆 上移动时，四边形 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
由椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 .
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
16．椭圆的中心在原点，离心率为 ，则该椭圆的方程可能为（）
A． B．
C． D．
17．已知曲线 ： ，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是（）
A．当 时，则曲线 是一个圆
B．当 时，则曲线 是一个椭圆
C．若 时，则曲线 是焦点为 的椭圆
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C． 面积的最大值是 D． 的周长存在最大值
22．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
34．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，已知 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
35．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为__________.
36．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
四、解答题
44．已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项.
椭圆离心率高考练习题
椭圆离心率高考练习题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A． B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015?高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=?|F 1F2|?|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴?|F1F2|?|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c?|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A． B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a?e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1 ∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（a＞b＞0），答：F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D．解答：解：F1，F 2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D ．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P （﹣c ﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c ﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x 0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x ﹣2）2+y 2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e 2的最小值是（）A ．B．C．D．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO 2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
完整版椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）．椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆C1上恰好有6个不同的点21P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）21．．．B ． CAD，则方程，b]分别取一个数，记为a5]和[2，4轴上且表示焦点在x2．在区间[1，离心率小于的椭圆的概率为（）． DA ． BC．．（a＞b＞0）3．上一点已知椭圆A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，，则该椭圆离心率e设∠ABF=α，且的取值范围为（）．A ．B． DC ．交于不同的两点，且这两个交点在4．斜率为与椭圆x轴上的直线l的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）． DCA ． B．．：C5．设椭圆上的点，PF⊥FF，，＞a＞b0）的左、右焦点分别为F、FP是C（=121122∠PFF=30°，则C的离心率为（）21． D B． CA．．．已知椭圆上除长轴端点外6为其左、右焦点，P为椭圆CF，F，21，且有I的重心为的任一点，△FPFG的离心，椭圆λ（其中为实数）C，内心21）（e=率．．．B ． CAD．为椭圆）c，00），F（为椭圆上一点且，7．已知F（﹣c，的两个焦点，P12则此椭圆离心率的取值范围是（）． D CA．． B ．=1（a＞8b．椭圆＞+0）的左、右焦点分别是F，F，过F作倾斜角为120°的直线与212椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）1．﹣）﹣ C．2（2AD． B．2满足上的点P，F，若CC的离心9．椭圆C的两个焦点分别是F，则椭圆e的取值范围是（）21率或． BD． C A．．10．设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠FPF=120°，则椭圆的离心率2211的取值范围是（）． D． CA． B．分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点．设11A，AP，使得21＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）．DC ．B．（0 ，） A．（0），12．设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF|=|FF|，212112且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为（）11．DC ．AB．．关于直线Fx+y=0，）的左焦点为F若0椭圆13．（2015?高安市校级模拟）Ca：+=1（＞b＞的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）l一． D．C ．B ．A．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，14．已知F，F分别为椭圆P为椭圆上一点，且PF垂212直于x轴．若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为（）221．． CAD． B．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F，F，过F的直线交椭圆于P15．，Q两点，112若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为（）11122．．． B． CAD的左、右焦点分别为F，F，：O为坐标原点，M为y16．已知椭圆C21轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA⊥MF，且|MF|=2|OA|，则椭圆C 的离心率为2212（）．．． CAD． B|上一点，且满足，M是椭圆C，．已知椭圆C的中心为O两焦点为F、F|=2|||=2|，1721则椭圆的离心率e=（）． C A．． BD．上存在点P分别是椭圆，使x=18．设F，+F=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线21△PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）21（，1），1）D． BA．（0，）．（0，）C．（=1（a＞b＞0F+19．点）的一个焦点，若椭圆上在点为椭圆A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）1﹣． D ． C ． B．A．C上存在点M，过点+yM=b引圆O：=1（a＞b＞0）和圆O：x20．已222，若知椭圆C的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（），]（1 1） D．．[，1） C．，[A．，[1） B中，以椭圆21．在平面直角坐标系xOy）上的一点A为圆心的圆与x轴+=1（a＞b＞0相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（），）0 D．（1） C．（，A．（1，） B．）（，=1（a＞b＞0为椭圆C）的左、右焦点，直线：l过焦点F且与椭圆交+F22．设、F221于A，B两点，若△ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，12=（ e ）则6﹣ D．C．11﹣96A．2﹣ B．3 ﹣且为椭圆C的左焦点，A、B两点，FC：（+=1a＞b＞0）交于，?=023．直线y=kx与椭圆]，则椭圆C若∠ABF∈（0，的离心率的取值范围是（），（0B ] D．．[0A．（，，1）] C．[ ，]）为椭圆=1（a＞c，0b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在FF24．已知（﹣c，0），（21点P 满足?） =2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（，（0A．[]， B D．[．，]）] C．[，1）是椭圆=1（a＞b＞0，F，F．已知（﹣c0），（c0）的左右两个焦点，P 为椭圆2521，则椭圆的离心率的取值范围为（）上的一点，且．D ．C ．B ．A．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）．D ．A． B ． C=1（a＞b＞0+）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点27．过椭圆B，且点B＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）F，若0＜k 在x轴上的射影恰好为右焦点（，1）） D．C（，1）．（0 A．（0B，）．，C上存在点P，过：0）与圆CxP+y作=b28．已知椭圆Ca：222，若在椭圆=1（＞b＞121使得∠BPA=，BPB，切点为A ）圆的切线PA，C，则椭圆的离心率的取值范围是（1．D．． B ．A C22222（0＜r＜2），动圆M与圆O、圆O2：29．已知圆O（x ﹣）：+y=16和圆Ox+y都相切，=r2121动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e、e（e＞e），则e+2e的最211122小值是（）． D．C ．B ．A．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）．椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆C1上恰好有6个不同的点21P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）21．D ．． B ． AC解：①当点解P与短轴的顶点重合时，答：△FFP构成以FF为底边的等腰三角形，2211此种情况有2个满足条件的等腰△FFP；21②当△FFP构成以FF为一腰的等腰三角形时，2112以FP 作为等腰三角形的底边为例，2∵FF=FP，121∴点P在以F为圆心，半径为焦距2c的圆上1因此，当以F为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，1存在2个满足条件的等腰△FFP，21在△FFP中，FF+PF＞PF，即2c+2c ＞2a﹣2c，2121121＞．．所以离心率e 由此得知3c＞ae≠ P当是等边三角形，与①中的三角形重复，故e=时，△FF21个2时也存在ee≠且为等腰三角形的底边时，在同理，当FP1PF满足条件的等腰△F21 6个不同的点P使得△FFP为等腰三角形这样，总共有211e综上所述，离心率的取值范围是：∈）（，，）∪（轴上且表示焦点在ba]，和5[12．在区间，][24分别取一个数，记为，，则方程x）的椭圆的概率为（离心率小于． CDA．． B．解轴上且离心率小于表示焦点在解：∵x，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：轴上且离心率小于的椭圆的概率为则方程表示焦点在x=， P=故选B．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点3．B，F为其右焦点，若AF⊥BF，，则该椭圆离心率e的取值范围为（）设∠ABF=α，且． DC BA．．．解（a＞b＞0）上一点解：已知椭圆A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα=利用 e=所以：则：[]即：椭圆离心率e的取值范围为A 故选：交于不同的两点，且这两个交点在x与椭圆4轴上．斜率为的直线l的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）．．． B D． AC解：两个交点横坐标是﹣解c，c，﹣c c（所以两个交点分别为（﹣，c）c）答：代入椭圆=1两边乘2a22222 +ab则c）（2b=2a222 =ac﹣∵b22222﹣2a（3a2c﹣c）22 bc=2a^422+2c^4=0 ﹣5ac2a^42222=0 ﹣c2c）（a（2a）﹣=2，或1 ＜∵0＜ee=所以=A 故选=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，P5．设椭圆C：是C上的点，PF⊥FF，21122∠PFF=30°，则C的离心率为（）21．． D BA．．C 解，解：设|PF|=x2．答：∵PF⊥FF，∠PFF=30°，21221|=x，|FF ，∴|PF|=2x211又|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 21122c=x，∴2a=3x，e=的离心率为：．∴C=故选A．．已知椭圆，F，F6为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外21，且有IG，内心的重心为，椭圆C的离心的任一点，△FPF（其中λ为实数）21率e=（）． CDA ．B．．解：设P（x，y），∵G解为△FPF的重心，2100答：（ G∴G，，）点坐标为∵，∴IG∥x轴，的纵坐标为∴I ，在焦点△FPF中，|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 221112=?|FF|?|y∴|021的纵坐标PF的内心，∴I 即为内切圆半径，又∵I为△F21内心I把△FPF 分为三个底分别为△FPF的三边，高为内切圆半径的2211小三角形|）|F（|PF|+|F|+|PF∴|=2121|||+|PFF|+|F|PF|=|?|yF∴?|F（）|2211021．||， |=（2a+2c即×2c?|y）0∴2c=a，e=的离心率=∴椭圆CA故选为椭圆上一点且P），为椭圆的两个焦点，0），F（c，07．已知F（﹣c，21）则此椭圆离心率的取值范围是（．． D． CA ．B=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n，解：设P（mn ）），解222，c 答： =m+n ﹣222222①．﹣，n∴mm+n=2c=2cnn b）代入椭圆得b=am+a ，把P（m222222②，2a≥0，∴a把①代入②得m =bc22222，≤，a﹣c ≤2c b，∴≤2c≥22222．a﹣∴2c，≥0，≤0，故又 m≤aa，22222∴≤≤∴．≤，综上，≤故选：C．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F，F，过8F．椭圆作倾斜角为120°的直线与212椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）1．D ）﹣2B A．．﹣2（2．C解：如图，解．答：在Rt△MFF中，∠MFF=60°，FF=2c211221=2MFc∴MF=4c，12﹣?=2e=MF+MF，=4c+2 c=2a21故选B．的离心，则椭圆满足P9．椭圆C的两个焦点分别是F，F，若C上的点C21率e的取值范围是（）D或B． C．．A ．|=P，∴|PF满足=3c，解：∵椭圆C上的点解1答：由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a，∴|PF|=2a﹣3c．212利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．的取值范围是eC的离心率．∴椭圆故选：C．10．设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠FPF=120°，则椭圆的离心率2121的取值范围是（）．．． BD． AC解：F（﹣c，0），F（c，0）解，c＞0，设P（x，y），1211答：则|PF|=a+ex，|PF|=a﹣ex．1112在△PFF中，由余弦定理得21=，cos120°=．x解得12=，∴0≤＜a]0∈（，a2222221＜e∵x≥0．且3a﹣4c，即1．≥．∴e=∈故椭圆离心率的取范围是 e．故选A．分别为椭圆=1（a＞b，A＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得11．设A21＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）．．，） C（A．0D，） B．（0解：设P（asinα，bcosα），A（﹣a，0），A（解a，0）；21∴，；答：∴；∴；∴，a，c＞0；；∴解得∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF|=|FF|，212112且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为（）11．DC ．A ．B ．解，＞0）a解：设椭圆（＞b 答：F（﹣c，0），F（c，0），21|MF|=|FF|=2c，|NF|=2a﹣|NF ，3﹣|=2a12．212由椭圆的定义可得|MF|+|MF|=2a，即有2c+4=2a，12即a﹣c=2，①取MF的中点K，连接KF，则KF⊥MN，2212222， |||NK|﹣|MK|﹣=|NF由勾股定理可得|MF2222﹣25，化简即为a+c=12，②（2a﹣3）即为4c ﹣4=由①②解得a=7，c=5，=．e= 则离心率故选：D．关于直线x+y=0的对称点AF，若F是椭圆＞+=1（ab＞0C13．椭圆）的左焦点为：C上的点，则椭圆C的离心率为（）．一ClA．． BD．）关于直线0（﹣c，解，则m，n）解：设F的对称点x+y=0A （答：，n=c，，∴m=代入椭圆方程可得，﹣8e，e化简可得24 +4=0，∴e=﹣1故选：D．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P，14．已知FF分别为椭圆为椭圆上一点，且PF垂212直于x轴．若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为（）212．D ． C． B．A．解+=1（a＞b＞0解：F，F）的左、右焦点，分别为椭圆21答：设F（﹣c，0），F（c，0），（c＞0），21P为椭圆上一点，且PF垂直于x 轴．若|FF|=2|PF|，2122﹣1=0．=a ﹣ce，即可得ac=b2c=2．可得2222+e．解得 e= ．故选：D两点，FF，过的直线交椭圆于P，Q的两焦点分别是15．已知椭圆（a＞b＞0）F，121若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为（）11212．． CDAB．．解解：由题意作图如右图，答：，l是椭圆的准线，设点Q（x，y）l，0120∵2|PF|=3|QF|，11，﹣y）﹣x∴点P；（﹣c 00|=|QA|，，|QF又∵|PF |=|MP|11∴2|MP|=3|QA|，+，|QA|=x ﹣x，+又∵|MP|=﹣c00+﹣（﹣c）， x=2∴3（x+）00﹣x=，解得，0∵|PF|=|FF|，221）=2c；c+x+∴（0代入化简可得，将x=﹣022﹣8ac=03a，+5c；+3=08﹣5即．=；解得，=1 （舍去）或故选：A．：的左、右焦点分别为F，F，O16．已知椭圆C为坐标原点，M为y21轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA⊥MF，且|MF|=2|OA|，则椭圆C 的离心率为2212（）．．B ． CAD．解：如图所示，解答：在Rt△AFF中，|FF|=2|OA|=2c．2112又|MF|=2|OA|，Rt△OMF中，2∴∠AFF=60°，12在Rt△AFF中，212在|=c．，|AF|=c|AF 12，∴2a=c+c．﹣∴1=故选：C．|=2||，C上一点，且满足|=2||是椭圆两焦点为17．已知椭圆C的中心为O，F、F，M21）（ e=则椭圆的离心率． B．． C． DA，|解：∵|MF|=|MO|=|MF解21由椭圆定义可得2a=|MF|+|MF|=3|MF|答：，221|=a，，|MF 即|MF|=a12，a|FO|=c|FOM在△F中，，|OM|=，aM|=111．=，cos∠MOF =则1M|=a，，|M0|=|F 在△OFM中，|FO|=c222=，cos∠MOF= 则2由∠MOF=180°﹣∠MOF得：cos∠MOF+cos∠MOF=0，2211+=0即为，，﹣2a整理得：3c22=0，即 =，即e2=e=即有．故选：D．x=上存在点P＞0）的左右焦点，若在直线，使分别是椭圆+=1（a＞b．设18F，F21△PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）21（，1） 1）D．B．（0 ，）C．（， A．（0，）的坐标为（的中点Q），得FP），解：由已知P（，y解1答：∴，=2b，∵，∴y22﹣3c ）＞0，）∴ya=（（﹣222﹣∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，．1＜e＜∴．故选：C．+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A19．点F使△AOF为椭圆为正三角形，那么椭圆的离心率为（）．﹣D． C1．A B．解：如下图所示：解答：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得k=tan60°=，的斜率为直线OP，c，c∴点P坐标为：）（代人椭圆的标准方程，得b∴b=4ac+3a c222222，∴e=．故选：D．C上存在点M=b，过点M：a＞b＞0）和圆Ox引圆+yOC20．已知椭圆222，若（：=1的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（），]1．（，[1）C．[，1）DB），A．[1 ．解：如图所示，连接OE，OF，解OM，答：∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，2b≤a，∴，e=C的离心率=．∴椭圆又e＜1．的离心率的取值范围是．∴椭圆CC．故选：=1（a＞b＞．在平面直角坐标系xOy0中，以椭圆）上的一点+A为圆心的圆与x轴21相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（），）（0 ．（，1）．（．，） B．（，1） CDA解：如图所示，解答：，代入椭圆的标准方程可得：），0c设椭圆的右焦点F（，A．，取 y=∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，．解得．故选：A+=1（a：＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F且与椭圆交为椭圆F、．设22FC2122=，则ee为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为构成以两点，若△ABF，于ABA1）（．6 9﹣6 D﹣ C．11﹣．A．2．﹣ B3解：可设|FF|=2c，解|AF|=m，112答：若△ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，1|=m，|=m，|BF 则|AB|=|AF11由椭圆的定义可得△ABF的周长为4a，1﹣）a2，即有 4a=2m+m，即m=2（2（ m=|AF|=2a﹣则）a，2在直角三角形AFF中，21222， +|AF|FF||=|AF|2112a+4）即4c2=4（）﹣（a22222，6）即有c9=（﹣a22，．故选==9﹣D即有e62．?=0且为椭圆两点，FC的左焦点，，0C与椭圆=1：（+a＞b＞）交于A、B．23直线y=kx]，则椭圆0若∠ABF∈（C，的离心率的取值范围是（），0B．（1[，）]．]0．A（， C．[，] D解：设F解是椭圆的右焦点．2∵答： ?=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF．2∴四边形AFBF是平行四边形，2∴四边形AFBF是矩形．2如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF=AF=2csinθ，2BF+BF=2a，2∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，，sinθ+cosθ=，]（0，∵θ∈，∴∈．∈∴∈∴，．∴e∈．故选：D）的两个焦点，若椭圆上存在＞0＞=10（，0），Fc，（a）为椭圆b（﹣24．已知Fc21=2c?点P）满足2，则此椭圆离心率的取值范围是（。
椭圆与双曲线的离心率专题练习(含答案)
圆锥曲线的离心率专题练习1．过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )2.方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率3.已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 （ ） A.53 B.43 C.54 D.324. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） (A)2 (B)22 (C) 21 (D)42 5. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1 6. 已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+7. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .8.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 9.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32C ．22D ．23 10.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311.曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞12.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)13. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．2 14. 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．(25)，D ．(215. 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D ．316. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（ ）（A ）22x a －224y a=1 (B)222215x y a a -= (C)222214x y b b -= (D)222215x y b b -=17. 在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．19. 设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
椭圆离心率问题专题练习
椭圆离心率问题专题练习1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为2.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，椭圆的离心率为3.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，椭圆的离心率为4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为6. 如图所示，A 、B 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为7.已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2a，椭圆的离心率为 ·8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2, 椭圆离心率e 的取值范围为10.设椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，使∠AQB=120º，椭圆离心率e 的取值范围为11.设椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围是12．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，椭圆的离心率e 的取值范围是13．已知椭圆M ：12222=+by a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点、P （4，－1）在直线AB 上，椭圆M 的离心率是14．如图，从椭圆上一点P 向X 轴作垂线，垂足恰好通过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B 的连线与OP 平行，椭圆的离心率是】15．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，椭圆的离心率《|参考答案1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为36 2． 椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，求椭圆的离心率.（36）3． 椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率.（215-） 4． 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，求椭圆的离心率.（13-） 5． 《 6． 以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，求椭圆的离心率.（13-）7． 如图所示，A 、B 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率. （215-） 8． 已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 、距离为2a，求椭圆的离心率.（36）。
椭圆离心率经典题型总结
椭圆离心率经典题型总结一、基础题1. 已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为（ ）A ．3B CD ．253或32. 的两段，则其离心率为________．3. 若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.244. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11A.D.54325. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于________．6. 已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 17. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C 1 D8. 椭圆22221x y a b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A 、13B C 、12D10. 在ABC ∆中，7,cos .18AB BC B ==-若以,A B 为焦点的椭圆经过点,C 则该椭圆的离心率e =________．11. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. 45B.35C.25D.1512. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D13. 椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A(,0),B(0,)a b 且左焦点为F ，FAB ∆是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.B. C. D.14. 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22 D.2＋115. 已知椭圆22221x y a b+=，焦点为12,F F ，在椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．16. 斜率为2的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C D ．1317. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率是A B C ．13 D ．1218. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．19. 与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．20. 设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2B ．1[,1)2C ．(0,2D ．1(0,]2二、中档题21. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，直线12A B 与直线1B F 相交于点,T 线段OT 与椭圆的交点M 恰为OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．23. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.1424. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ．25. 如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．26. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G (,)63c c ，则椭圆C 的离心率为_____．27. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点。
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椭圆离心率问题专题练习
1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为
2.椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等
于
2
1
∣AF ∣，椭圆的离心率为
3.椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过
焦点，椭圆的离心率为
4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为
5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为
6. 如图所示，A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，
且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为
7.已知直线L 过椭圆
122
22=+b
y a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2
a
，椭圆的离心率为 ·
8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为
9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2
)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2
, 椭圆离心
率e 的取值范围为
10.设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一
点Q ，使∠AQB=120º，椭圆离心率e 的取值范围为
11.设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，
使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围是
12．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且
OP ⊥OQ ，椭圆的离心率e 的取值范围是
13．已知椭圆M ：122
22=+b
y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点
、
P （4，－1）在直线AB 上，椭圆M 的离心率是
14．如图，从椭圆上一点P 向X 轴作垂线，垂足恰好通过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B 的连线与OP 平行，椭圆的离心率是
】
15．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，椭圆的离心率
《
|
参考答案
1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为
3
6 2． 椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离
等于
2
1
∣AF ∣，求椭圆的离心率.（36）
3． 椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过
焦点，求椭圆的离心率.（
2
1
5-） 4． 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆
的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，求椭圆的离心率.（13-） 5． 《 6． 以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，
如果∣MF ∣=∣MO ∣，求椭圆的离心率.（13-）
7． 如图所示，A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，
且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率. （
21
5-） 8． 已知直线L 过椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的
顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 、
距离为
2
a
，求椭圆的离心率.（36）。
9． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
6021=∠PF F ，求椭圆离心率e
的取值范围。
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,21 10．
椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2
)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2
, 求
椭圆离心率e 的取值范围。
（
5
3
55<<e ） 11．
设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上
存在一点Q ，使∠AQB=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。
（
e ≤2
3
<1）. 12．
设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，
使∠F 1QF 2=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。
(
13
6
<≤e )
12．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且
OP ⊥OQ ，求椭圆的离心率e 的取值范围。
（
12
1
5<≤-e ）。
13．已知椭圆M ：122
22=+b
y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点
P （4，－1）在直线AB 上，求椭圆M 的离心率。
（
2
2
） (
14．如图，从椭圆上一点P 向X 轴作垂线，垂足恰好通过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆长
轴的一个端点A 和短轴的一个端点B 的连线与OP 平行，求椭圆的离心率。
（
2
2
）
、
15．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，求椭圆的离心率 （ 13- ）
解：以AD 所在直线为X 轴，AD 中点为坐标原点建立坐标系。
设正六边形的边长为r ，则椭圆的半焦距r
c =，易知ΔAOF
3c
12222=+b y a x 中，得：143422
22=+b c a c ，∴ 432
22
22
=-+c a c a c ，即：
41132
2
=-+e e 4132
22
=-+e
e e ，,13,324,048),1(43)1(2
242222±=±==+--=+-e e e e e e e e 又13,10-=
∴<<e e
法二：如图，连结AE ，易知0
90=∠AED ，设
c ED c EA c AD ===,3,2则，由椭圆定义，
有：a ED EA 2=+，a c 2)13(=+， ∴131
32-=+==a c e 椭圆
12
22
2=+b y a x (a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆
的焦点，则椭圆的离心率e =
2
1
5- ．提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c ，
又等于直角三角形AOB 斜边上的高，∴由面积得：22b a r ab +⋅=，但c r =。