2010年数学建模C题 ( 输油管的布置 )全国二等奖

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：重庆教育学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 涂强

2. 黄黎

3. 聂凤云

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：杨鑫波

日期： 2010 年 9 月13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

摘要

本文从某油田计划在铁路线一侧建造炼油厂和在铁路线上增建一个车站开始，从节省建设费用和距离最短两个主要方面出发，分别通过对这两个方面的深入研究，进而制定出输油管布置的设计方案，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而找出最佳方案，求得最优解。在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将炼油厂简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。

在问题Ⅰ中，我们将焦点锁定在从两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形的角度，制定不同的设计方案。我们从选取的数据和相关资料出发，利用物理光学性质，费尔马点建模，判别式法等相关性质与知识，并以两厂与车站的距离长短和两厂之间的距离长短以及是否共用管线，来分别制定六种不同的设计方案。

在问题Ⅱ中，我们从建立管线建设费用最省的条件出发，采用线性最优化思想，对成本在约束函数的条件下，求得最小值，由于本文还涉及到工程咨询公司的资质，于是便利用加权重的方法来综合考虑甲乙资质公司得到最优的附加费用值，这样就使得本文解题思路的合理性增强。求解过程使用LINGO软件，从而算出共用管道与非共用管道的费用。

○1共用管道费用:

Z y

=+从而得出

7.2

Z=281.689。

○2非共用管道费用为：

Z=Z=283.5239。

由此可见，共用管道相对省费用，总共费用为：281.6893。

在问题Ⅲ中，为进一步节省费用，且根据炼油厂生产能力的大小，来选用相适应的油管，于是我们在问题二的基础上，将问题二中的最佳方案合理利用在问题三中，以此得出了管线的最佳布置方案及相应的费用。最佳布置方案需要共用管线，并且此时，管线费用为：250.9581。

最后，我们从本论文研究方向考虑，为在铁路旁建立车站和在铁路一侧建立炼油厂提出了其它设想，如：假设铁路是弯的。

【关键字】线性规划加权重物理光学性质费尔马点建模 lingo求解判别式法

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a= 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。

二．问题分析

问题1分析：

针对炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，考虑到两炼油厂在铁路的同一侧，两炼油厂之间的距离的不同，我们所为炼油厂铺设的管道可能出现共用和不共用两种情况，共用管道和不共用管道的铺设费用相同或不同等诸多因素，我们设计了六种不同的方案。

问题2分析：

题目增加了一些复杂情况，需要考虑在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用与在郊区铺设所需费用不同，且附加费用比郊区铺设管道高很多，应此我们应尽量减少管道在城区铺设的长度。并且聘请三家工程咨询公司进行了估算，我们考虑运用权重的思想，对于在城区铺设管道的附加费用进行了合理的判断。假设两炼油厂可能会共用管道的交点为D，运用lingo找出点D使之与A,B以及铁路三者的合路径最短。

问题3的分析：

在实际问题之中，为了进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力，选定铺设油管，由于共用管线费比不共用管线要高一些，因此我们就考虑到应该尽可能较少地使用共同管道的情况。运用lingo得出最佳布置方案以及费用。

1).假设路面平整,无任何阻碍物，即铺设的管道尽可能的直。 2).假设把铁路看成一条直线，并以它为横坐标轴。 3).假设两个炼油厂和车站都是理性化的质点。

4).假设油田日产油量，可以满足A,B 两炼油厂的日需求量。 5).假设油田的地址，形状对于向两炼油厂输送石油没有影响。 6).假设不考虑其他外在因素会对输油管的铺设费用有大影响。 7).假设在铁路附近建设炼油厂，对炼油厂无影响。

四．符号说明

问题1：

()1,1y x A 炼油厂的坐标

()22,y x B 炼油厂的坐标

()33,y x 取离铁路最近的点C 的坐标

A ' A 关于铁路对称的投影

w 共用与不共用管道的铺设费用相同 1w 共用管道的费用 2w 不共用管道的费用 Z 铺设管道需要花费的费用 S 铺设管道的长度 问题2：

D 增建车站的位置

H 两炼油厂共用管道的的交点 E 城区与郊区的分界点

五．模型的建立与求解

问题1：

经已知条件分析，得出了以下六种不同的设计方案：

○

1考虑到两炼油厂距离铁路较近时，不需要共用管道，运用物理光学知识，就把A 炼油厂的投影点A '与B 连接起来(两点之间直线最短)，交铁路于点C （点C 即为车

站所在位置），此时就可以确定管道的长度最短。如图1所示：