2019年重庆高考文科数学真题及答案
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A. B．2 C．5 D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝e x－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.8．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B. C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. B. C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2. 由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.18．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝i(y i－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s＝＝0.02×≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－(x>0)．因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<<1<x0.又f＝ln－－1＝＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.23．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．祝福语祝你考试成功!。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(重庆卷.文)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A).2．=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23解：(cossin)(cossin)cos121212126πππππ-+==,选(D) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于（ ）A ．（1，1）B ．（－4，－4）C ．－4D ．（－2，－2）解：（a ·b ）（a +b ）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B)5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集)4,3(,选(C) 6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π就是一个反例,选(C)7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①③是真命题,选(B)8．若nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．11解：3x 的项的系数为332n C ,x 的项的系数为12n C ,由题意得332n C =812n C 解之得n=5,选(A)一了9．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 2解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A)10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的 表面积一览表如下：该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A .解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A ∩B={x|2<x<3}12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 解：∵y '=3x 2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线3(1,1)y x =在点处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为S=1416842363⋅⋅==.. 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=1tan 11tan ββ+=+.14．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 解：令x=2cos α,y=2sin α,则x-y=2cos α-2sin α=2sin(4πα-)≤2,∴若y x y x -=+则,422的最大值是15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .解；P=1128222101745C C C C ⋅+= 16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 解：由题意可知,动点P 的轨迹是椭圆,这个椭圆的焦点是A(-12,0)和F(12,0),定长2a=圆F 的半径2,因而动点P 的轨迹方程为13422=+y x 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值；（2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小. 21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ， 又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E 由0=⋅⊥CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A BA B A y y x x k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k.3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃--。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.文)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8（2）设全集U ＝|a 、b 、c 、d |，A ＝|a 、c |，B =|b |，则A ∩（CuB ）＝ （A ）∅ （B ）{a } （C ）{c } （D ）{a ,c } （3）垂直于同一平面的两条直线 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交 （D ）异面 （4）（2x -1）2展开式中x 2的系数为 （A ）15 （B ）60 （C ）120 （D ）240（5）“-1＜x ＜1”是“x 2＜1”的 （A ）充分必要条件 （B ）充分但不必要条件 （C ）必要但不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）下列各式中，值为23的是 （A ）︒-︒15cos 15sin 2 （B ）︒-︒15sin 15cos 22 （C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423 （8）若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72（10）设P （3，1）为二次函数)1(2)(2≥+--x b ax ax x f 的图象与其反函数)(1x f f -=的图象的一个交点，则（A ）25,21==b a （B ）25,21-==b a（C ）25,21=-=b a（D ）25,21-=-=b a（11）设a a b +-113和是的等比中项，则a +3b 的最大值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（12）已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A ）23（B ）62（C ）72（D ）24二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。
重庆市2019年高考文科数学猜题卷及答案(二)
重庆市2019年高考文科数学猜题卷及答案（二）注意事项：1．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则A.B.C.D.2. 复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 命题“存在2,++0x R x x n ∈≤使”的否定是A. 存在2,0x R x x n ∈++>使 B. 不存在2,++0x R x x n ∈>使 C. 对任意2,0x R x x n ∈++>使 D. 对任意2,0x R x x n ∈++≤使4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图.则该几何体的体积为A. 3B.11.3B C. 7 D.23.3D 5. 已知函数22,1()21,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨--⎪⎩≥，则函数()f x 的值域为A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. 1[,)2-+∞ D. R6. 在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为A.15B. 25C. 35D. 237. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是 A. 为了计算B. 为了计算C. 为了计算D. 为了计算8. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了 解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的 学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10 9. 函数)sin(2)(ϕω+=x x f )22,0(πϕπω<<->的部分图象如图，将)(x f 的图象向左平移6π个单位后的解析式为A ．)62sin(2π-=x y B ．)2sin(2x y = C ．)62sin(2π+=x yD ．)32sin(2π+=x y10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与椭圆22143x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 为双曲线C 的左右焦点，P 为右支上任意一点，则212PFPF 的最小值为A.32B. 16C. 8D. 4 11. 函数()2ln f x x x =的图象大致为ABC D 12. 已知是偶函数，且对任意，，设，，，则A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则的值为_______．14. 舒城中学科技节经过初选对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品的预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖”丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________. 15. 若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为 .16.已知等比数列{}n a 满足2532a a a =，且475,,24a a 成等差数列，则12n a a a ⋅⋅⋅的值为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17- -21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . ①求C ；②若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，ADP ∆是边长为2的等边三角形，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 的中点，1,BC CD PB ===（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥B PQM -的体积． 19.(本小题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：昼夜温差就诊人数/该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：，.参考数据：，.20. (本小题满分12分)如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点， OAB ∆的面积为368.（1）求抛物线1C 的方程；（2）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，证明：对；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.文)含详解
R所以双曲线的方程为x2- =1.
(C) (x-1)2+(y-1)2=1(D) (x-1)2+(y-1)2=1
【答案】C
【解析】本小题主要考查圆的参数方程。移项，平方相加，
，故选C。
(4)若点P分有向线段 所成的比为- ，则点B分有向线段 所成的比是
(A)- (B)- (C) (D)3
【答案】A
【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知，B点是有向线段PA的外分点， ，故选A。
(6)函数y=10x2-1(0＜x≤1＝的反函数是
(A) (B) (x＞ )
(C) ( ＜x≤ (D) ( ＜x≤
【答案】D
【解析】本小题主要考查反函数的求法。由 得： ，即 。又因为 时， ，从而有 ，即原函数值域为 。所以原函数的反函数为 ，故选D。
(7)函数f(x)= 的最大值为
(A) (B) (C) (D)1
2019年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（文史类）
数学试题卷(文史类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
(6)函数y=10x2-1(0＜x≤1＝的反函数是
(A) (B) (x＞ )
(C) ( ＜x≤ (D) ( ＜x≤
(7)函数f(x)= 的最大值为
(A) (B) (C) (D)1
(8)若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为
2019年高考试题(重庆卷)-数学(文)(word有解析)
2019年高考试题（重庆卷）-数学（文）（word 有解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
2018年普通高等学校招生全国统一考试〔重庆卷〕数学〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的、〔1〕集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，那么()U A B =ð〔A 〕{1,3,4} 〔B 〕{3,4} 〔C 〕{3} 〔D 〕{4}【答案】D 、〔A 〕存在x R ∈，使得20x <〔B 〕对任意x R ∈，使得20x <〔C 〕存在0x R ∈，使得200x ≥〔D 〕不存在0x R ∈，使得200x <【答案】A 、〔3〕函数21log (2)y x =-的定义域为 〔A 〕(,2)-∞〔B 〕(2,)+∞〔C 〕(2,3)(3,)+∞〔D 〕(2,4)(4,)+∞【答案】C 、〔4〕设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点， 那么PQ 的最小值为〔A 〕6〔B 〕4〔C 〕3〔D 〕2【答案】B 、〔5〕执行如题〔5〕图所示的程序框图，那么输出的k 的值是〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5〔D 〕6【答案】C 、〔6〕下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量〔单位：台〕的茎叶图，那么数据落在区间[22,30〕内的概率为 〔A 〕0.2〔B 〕0.4 〔C 〕0.5〔D 〕0.6 【答案】B 、 22280x ax a --<〔7〕关于x 的不等式〔0a >〕的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，那么a =〔A 〕52〔B 〕72〔C 〕154〔D 〕152【答案】A 、〔8〕某几何体的三视图如题〔8〕图所示，那么该几何体的表面积为〔A 〕180〔B 〕200〔C 〕220〔D 〕240【答案】D 、〔9〕函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，那么(lg(lg 2))f =〔A 〕5-〔B 〕1-〔C 〕3〔D 〕4【答案】C 、〔10〕设双曲线C 的中心为点O ，假设有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122AB A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是〔A〕2]〔B〕2)〔C〕)+∞〔D〕)+∞ 【答案】A 、二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每题5分，共25分、把答案填写在答题卡相应位置上、〔11〕设复数12z i =+〔i 是虚数单位〕，那么z =、〔12〕假设2、a 、b 、c 、9成等差数列，那么c a -=、 【答案】72、 1 8 9 2 1 2 2 7 9 3 0 0 3 题〔6〕图〔13〕假设甲、乙、丙三人随机地站成一排，那么甲、乙两人相邻而站的概率为、 【答案】23、 〔14〕OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-，(2,)OB k =-，那么实数k =、【答案】4、〔15〕设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，那么a 的取值范围为、 【答案】5[0,][,]66πππ、 三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 〔16〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问7分，〔Ⅱ〕小问6分〕设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈、〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；〔Ⅱ〕{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T 、【答案】〔17〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问9分，〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕小问各2分〕从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x 〔单位：千元〕与月储蓄i y 〔单位：千元〕的数据资料，算得10180i i x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑、 〔Ⅰ〕求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+；〔Ⅱ〕判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；〔Ⅲ〕假设该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄、附：线性回归方程y bx a =+中，1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-， 其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y bx a =+、〔18〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问4分，〔Ⅱ〕小问9分〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且222a b c =+、 〔Ⅰ〕求A ；〔Ⅱ〕设a =S 为△ABC 的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值、〔19〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分〕如题〔19〕图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD，PA =2BC CD ==，3ACB ACD π∠=∠=、〔Ⅰ〕求证：BD ⊥平面PAC ；〔Ⅱ〕假设侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF-的体积、〔20〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分〕某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池〔不计厚度〕、设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米、假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元〔π为圆周率〕、〔Ⅰ〕将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；〔Ⅱ〕讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大、〔21〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问4分，〔Ⅱ〕小问8分〕如题〔21〕图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，4AA '=、〔Ⅰ〕求该椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外、求PP Q '∆的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程22、对正整数n ，记{}1,2,3,,m I n =，,m m m m P m I k I k ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭。
2019年全国统一考试数学文试题(重庆卷,含解析)
2019年全国统一考试数学文试题(重庆卷，含解析)1.由于2 G A,2 G B,3 G A ,3 G 旦le A,1史B ，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得a 6 = 2a 4 — a 2 = 2 x2 — 4 = 0，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32,屮间两个数 为20，20，故屮位数为20,选B.4.log(x + 2) v 0。
x + 2 > 1。
x >-1，因此选 B.21 .1 5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V =-冗x 1 x2 + - x2 3A.6. 由题意(o —3) • (3i+23) = 3. —Q'b —2b =0，即 3同—|』，cos9 —二0，所以必须计算-次,因此可填，< 11，选C. 8. 圆C 标准方程为(x — 2)2 +。
— 1)2 = 4，2 + a x1 —1 = 0 a = 1,即 A(—J —，AB| = ^j\AC\2 — r 2 =^(—4 — 2)2 +(—1 — 1)2 — 4 = 6.选C. 9.2tan —cos ——sin —5 5 5 j "3 兀'、兀.3 j cos — cos +2 sin —sin15 兀 j 7C 5冗' j(cos +cos ) +(cos 一 cos ) 3 cos ——2* 10 10丿*1010丿_ 10 1 . 2j jsin cos —— 2 510(—xx1x2)x1 =兀 + -，选3x孕2-2rcos 3—2=，cos 3=g ，TT3 =-，选 A.47.由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8, 因此& 2+4+6=1* 1 (此时k =6)还圆心为C (2,1)，半径为r = 2，因此cos(a—空) * 10丿=sin(a —j )3〃 c 兀cos ——+2tan — =10 5.3sin —— 103仃 . .3仃cos a cos ——+ sin a sin —— 10 10. 兀 .兀sin a cos ——cos a sin — 5 53J . 3Jcos ——+tan a sin ——10 10丄j . jtan a cos ——sin —5 55 10 5 1010.由题意A(a,0),B(c,、C(c, — b 2),由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D(x ,0), aa—BD 1 AC得 e ------------- J — —1c —x a —c此渐近线的斜率取值范围是(-1,O)U(O,1)，选A.11.由 \a + bi] =J3 得 J a' + b?，即 a2+b 2 —3，所以(a +bi)(a — bi ) —a 2+— —3.12.二项展开式通项为 T k +1=C k (x 3)5—k(土)k=13-由正弦定理得sm/BDB=AB '即洁瓦=爲,解得sin"BZADB =45。
2019年全国III卷高考数学(文科)试题(带答案)
A
因此DM.LCG.
在Rt6.DEM中 ， DE=l. EM＝石 ，故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
20. (12分）
已知函数／（x)=2x'-ax'+2 .
( 1 )讨论／（x）的单调性；
(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m， 求M-m的取伯范围
解：
(I) f'(x)=6x1 -2ax=2x(3x-a).
l烦率／组距
03. 0•········-·····-·········
�::;�ti::::1· .
0.05
频率／纠距
罚i1··:······
00. 51········
芦Lt 0 2,5 3,5 4.5 5.5 6 5 7.5
甲离子残衔百分比n方图
乙离子残钳Li分比五方图
记C为水件： ＂乙离千残留在体内的百分比不低千55. ",根据直方图得到P(C )的估计值为0.70
(I)求乙离子残衍百分比直方图中a, b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残衍百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ．
一2 —
蛁：
(I)山已知得0.70=a+0.20+0.15 ,故
a=0.35 .
b=1-0.0 S-O.IS -0.70 =0.IO
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
B.
/(log，
一I4）汀(2-,' ）汀
＿2 (2勺
-－2
－ －,
l
D. /(2 1)>/(2')>/(log) 一4）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)和答案
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2}2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.85．（5分）函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．27．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣18．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C 上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q这四个命题中，所有真命题的编号是（）A．①③B．①②C．②③D．③④12．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年重庆市高考数学试卷含答案
ab 20．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ______ . 三、解答题
2019 年重庆市高考数学试卷含答案
一、选择题
1．某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中，2 次未命中，则他第 2 次，第 3 次两次均命中的
概率是 ( )
A． 3 10
B． 2 5
C． 1 2
D． 3 5
2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23 ，样本点的中心 4,5 ，则回归直线方程为
（）
A． yˆ 1.23x 0.08
A． 5 3
B． 3 5
C． 3 7
D． 5 7
9．若 a,b R,i 为虚数单位，且 (a i)i b i ，则
A． a 1,b 1
B． a 1,b 1 C． a 1,b 1 D． a 1,b 1
10．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
基本事件总数 n C35C22 10 ，他第 2 次，第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m C22C13C22 3 ，由此能求出他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率，得到答案．
的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折
线图.已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
2019年高考真题——文科数学(全国卷Ⅲ)附答案解析
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为 ，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
18. 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
5.函数 在 的零点个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由 ，得 或 ， ， ． 在 零点个数是3．．故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
2根据三角形面积公式又根据正弦定理和得到关于1225abc函数由于是锐角三角形所以利用三个内角都小于来计算的定义域最后求解vabc详解1根据题意由正弦定理得因为sinsinsinsinsinsinsinsin因为故或者而根据题意不成立所以又因为代入得所以2因为是锐角三角形又由前问得到vabcsinsin1225sinsinsinsinabcsincoscossinsincotcoscotcot的取值范围是abc点睛这道题考查了三角函数的基础知识和正弦定理或者余弦定理的使用此题也可以用余弦定理求解最后考查是锐角三角形这个条件的利用
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 ”，根据直方图得到 的估计值为 .
（1）求乙离子残留百分比直方图中 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) ， ；(2) ， .
【解析】
重庆 2019年 文数 解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-= 【答案】A解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-= 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【答案】B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。
3．6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA ．20B ．40C ．80D ．160【答案】D解法1设含3x 的为第1r +，则1Tr +62rrrn C x-=⋅，令63r -=，得3r =，故展开式中3x 的系数为3362160C ⋅=。
解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件3x 的项按3与3分配即可，则展开式中3x 的系数为3362160C ⋅=。
4．已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2 B ．0C ．1D ．2【答案】D解法1因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试卷(重庆)纯word解析版
2019普通高等学校招生全国统一考试数学（文）试卷（重庆）纯word 解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔A 〕假设q 那么p 〔B 〕假设⌝p 那么⌝q 〔C 〕假设q ⌝那么p ⌝〔D 〕假设p 那么q ⌝【答案】A【解析】根据原命题与逆命题的关系可得:“假设p,那么q ”的逆命题是“假设q,那么p ”,应选A.【考点定位】要题主要考查四种命题之间的关系. 〔2〕不等式12x x -<+的解集是为〔A 〕(1,)+∞〔B 〕(,2)-∞-〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】：C 【解析】：10(1)(2)0212x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+【考点定位】此题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解、 〔3〕设A ，B 为直线y x =与圆221x y +=的两个交点，那么||AB = 〔A 〕1〔B〔C D 〕2 【答案】：D【解析】：直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 那么||AB =2 【考点定位】此题考查圆的性质，属于基础题、 〔4〕5(13)x -的展开式中3x 的系数为 〔A 〕-270〔B 〕-90〔C 〕90〔D 〕270 【答案】A 【解析】33345(3)270T C x x =-=-【考点定位】此题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定问题. 〔5〕sin 47sin17cos30cos17-〔A〕-B 〕12-〔C 〕12〔D【答案】：C【解析】：sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】此题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+ 〔6〕设x R ∈，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥，那么||a b +=〔ABC〕D 〕10 【答案】B【解析】0202a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,|||(2,1)(1,2)|a b +=+-==【考点定位】此题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,此题属于基础题,只要计算正确即可得到全分. 〔7〕2log 3log a =+2log 9log b =-3log 2c =那么a,b,c 的大小关系是〔A 〕a b c =<〔B 〕a b c =>〔C 〕a b c <<〔D 〕a b c >> 【答案】：B 【解析】：222213log 3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===那么a b c =>【考点定位】此题考查对数函数运算、〔8〕设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，那么函数()y xf x '=的图象可能是【答案】：C【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，那么()0xf x '>；2x >-，()0f x '>那么20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】此题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题、〔9〕设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a 且长为a 的棱异面，那么a 的取值范围是 〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕【答案】：A【解析】：2BE ==，BF BE <，2AB BF =<【考点定位】此题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题、、 〔10〕设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<那么M N 为〔A 〕(1,)+∞〔B 〕〔0，1〕〔C 〕〔-1，1〕〔D 〕(,1)-∞ 【答案】：D【解析】：由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>那么()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->所以1x <或3log 5x >；由()2g x <得322x -<即34x <所以3l o g 4x <故(,1)M N =-∞【考点定位】此题考查了利用直接代入法求解函数的解析式及指数不等式的解法，此题以函数为载体，考查复合函数，着急是函数解析式的确定。
重庆 2019年 文数
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2019重庆，文1)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U (A ∪B )＝( )．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}2．(2019重庆，文2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．A ．存在x0∈R ，使得x02＜0B ．对任意x ∈R ，都有x2＜0C ．存在x0∈R ，使得x02≥0D ．不存在x ∈R ，使得x2＜03．(2019重庆，文3)函数21log 2y x =(-)的定义域是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)4．(2019重庆，文4)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )．A ．6B ．4C ．3D ．25．(2019重庆，文5)执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．66．(2019重庆，文6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( ).1 2 3 8 91 2 2 7 9 0 0 3A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.67．(2019重庆，文7)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )．A ．52B ．72C ．154D ．152 8．(2019重庆，文8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A ．180B ．200C ．220D ．240 9．(2019重庆，文9)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )．A ．－5B ．－1C ．3D ．410．(2019重庆，文10)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．A．2⎤⎥⎝⎦ B．2⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2019重庆，文11)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝__________. 12．(2019重庆，文12)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝__________.13．(2019重庆，文13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为__________．14．(2019重庆，文14)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝__________.15．(2019重庆，文15)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(2019重庆，文16)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分．)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋.(1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.17．(2019重庆，文17)(本小题满分13分，(1)小问9分，(2)、(3)小问各2分．)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得10180i i x ==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值．线性回归方程也可写为y bx a =+.角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2.(1)求A；(2)设a=S为△ABC的面积，求S＋3cos B cos C的最大值，并指出此时B的值．19．(2019重庆，文19)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．21．(2019重庆，文21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中e ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，心为原点O，长轴在x轴上，离心率2|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U ＝{1,2,3,4}，∴U (A ∪B )＝{4}，故选D ． 2．答案：A解析：由全称命题p ：∀x ∈D ，p (x )的否定为⌝p ：∃x 0∈D ，⌝p (x 0)，知选A ． 3．答案：C解析：由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ． 4．答案：B解析：∵由圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＝－3的距离d ＝|3－(－3)|＝6. ∴|PQ |min ＝d －r ＝6－2＝4，故选B ． 5．答案：C解析：∵k ＝1，s ＝1＋(1－1)2＝1； k ＝2，s ＝1＋(2－1)2＝2； k ＝3，s ＝2＋(3－1)2＝6； k ＝4，s ＝6＋(4－1)2＝15； k ＝5，s ＝15＋(5－1)2＝31＞15. ∴k ＝5.故选C ． 6．答案：B解析：∵数据总个数n ＝10，又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4，∴所求的频率为40.410=.7． 答案：A解析：∵由x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)，得(x －4a )(x ＋2a )＜0，即－2a ＜x ＜4a ，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴15562a ==.故选A ．8． 答案：D 解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，如图所示，S 上＝2×10＝20， S 下＝8×10＝80，S 前＝S 后＝10×5＝50，S 左＝S 右＝12(2＋8)×4＝20，所以S 表＝S 上＋S 下＋S 前＋S 后＋S 左＋S 右＝240， 故选D ． 9．答案：C解析：∵21log 10lg2=，∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)．令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数．∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5，∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1.∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 故选C ． 10． 答案：A解析：不妨令双曲线的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图．又∵满足条件的直线只有一对，∴tan 30°＜ba≤tan 60°，即3b a <≤. ∴22133b a<≤. ∵b 2＝c 2－a 2，∴222133c a a -<≤，即43＜e 2≤4.∴＜e ≤2，即e ∈2⎤⎥⎝⎦.故选A ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：∵z ＝1＋2i ，∴||z =12．答案：72解析：设公差为d ，则c －a ＝2d ＝9277225142-⨯=⨯=-.13．答案：23解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为4263=. 14．答案：4解析：∵OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，∴AB ＝OB －OA ＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)． 又OA ，AB 为矩形相邻两边所对应的向量，∴OA ⊥AB ，即OA ·AB ＝－3×1＋1×(k －1)＝－4＋k ＝0， 即k ＝4.15．答案：π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解析：不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则有Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α＝64sin 2α－32cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－(1－2sin 2α)＝4sin 2α－1≤0.∴sin 2α≤14.∴11sin 22α-≤≤.又0≤α≤π，结合下图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1313n --＝12(3n －1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20192⨯×5＝1 010.17．解：(1)由题意知n ＝10，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑， 又l xx ＝221ni i x nx =-∑＝720－10×82＝80，l xy ＝1ni i i x y nx y =-∑＝184－10×8×2＝24，由此得240.380xyxx l b l ===，a y bx =-＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．解：(1)由余弦定理得cos A ＝222222b c a bc bc +-==-.又因0＜A ＜π，所以5π6A =.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·sin sin a B A ·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即ππ212A B -==时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.19．(1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC ．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ．从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面PAC ．(2)解：三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×2×2×2πsin 3＝由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝123=.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝111384⨯=，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝17244-=.20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r ＞0，又由h ＞0可得r <，故函数V (r )的定义域为(0,)．(2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 21．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b (-)+=.从而e 2＋24b＝1.由2e =得22481b e==-，从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值， 又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02. 由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|2＝|2y 1|，所以S ＝1|2y 1||x 1－x 0|＝01|2⨯＝＝当0x =PP ′Q 的面积S 取到最大值.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (，0)，半径||QP ==因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x )2＋y 2＝6，(x 2＋y 2＝6.。
2019高考数学(文)试题精校精析(重庆卷)(纯word书稿)
2019高考数学（文）试题精校精析（重庆卷）（纯word 书稿）A 、假设q 那么pB 、假设綈p 那么綈qC 、假设綈q 那么綈pD 、假设p 那么綈q1、A[解析]根据原命题与逆命题的关系，交换条件p 与结论q 的位置即可，即命题“假设p 那么q ”的逆命题是“假设q 那么p ”，选A.2、[2018·重庆卷]不等式x －1x ＋2<0的解集为() A 、(1，＋∞) B 、(－∞，－2) C 、(－2,1)D 、(－∞，－2)∪(1，＋∞)2、C[解析]原不等式等价于(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，选C. [点评]分式不等式通常转化为整式不等式来解，其主要转化途径：(1)f x g x >0⇔f (x )g (x )>0；(2)f xg x <0⇔f (x )g (x )<0.3、[2018·重庆卷]设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，那么|AB |＝()A 、1B. 2 C.3D 、2 3、D[解析]因为圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)在直线AB 上，所以AB 为圆的直径，所以|AB |＝2×1＝2.4、[2018·重庆卷](1－3x )5的展开式中x 3的系数为() A 、－270B 、－90 C 、90D 、2704、A[解析]展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 5·15－k ·(－3x )k ＝(－3)k C k 5x k，因此当k ＝3时，展开式中x 3的系数为(－3)3C 35＝－270.[易错]此题解答时易忽视(1－3x )5中的“－3x ”的符号，从而错选 D.另一易错点是将“1”和“－3x ”分得的次数搞反，从而得到所求系数为90，从而错选C.5、[2018·重庆卷]sin47°－sin17°cos30°cos17°＝() A 、－32B 、－12 C.12D.325、C[解析]sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin 17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12，选C.6、[2018·重庆卷]设x∈，向量＝(x,1)，＝(1，－2)，且，那么|＋|＝()A.5B.10C、25D、106、B[解析]因为⊥，所以·＝0，即x·1＋1·(－2)＝0，解得x＝2，所以＋＝(3，－1)，|＋|＝32＋12＝10，选B.7、[2018·重庆卷]a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，那么a，b，c的大小关系是()A、a＝b<cB、a＝b>cC、a<b<cD、a>b>c7、B[解析]因为a＝log233＞1，b＝log293＝log233＞1，又∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴a＝b＞c，选B.8、[2018·重庆卷]设函数f(x)在上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，那么函数y＝xf′(x)的图象可能是()图1－18、C[解析]在A中，当x＜－2时，由图象知y＝xf′(x)＞0，那么f′(x)＜0；当－2＜x＜0时，由图象知y＝xf′(x)＞0，那么f′(x)＜0，所以函数在x＝－2处没有极值；在B中，当x＜－2时，由图象知y＝xf′(x)＜0，那么f′(x)＞0；当－2＜x＜0时，由图象知y＝xf′(x)＜0，那么f′(x)＞0，所以函数在x＝－2处没有极值；在C中，当x＜－2时，由图象知y＝xf′(x)＞0，那么f′(x)＜0；当－2＜x＜0时，由图象知y＝xf′(x)＜0，那么f′(x)＞0，所以函数在x＝－2处取得极小值；在D中，当x＜－2时，由图象知y＝xf′(x)＜0，那么f′(x)＞0；当－2＜x＜0时，由图象知y＝xf′(x)＞0，那么f′(x)＜0，所以函数在x＝－2处取得极大值、综上所知，选C.9、[2018·重庆卷]设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，那么a的取值范围为()A、(0，2)B、(0，3)C、(1，2)D、(1，3)图1－29、A[解析]如图1－2所示，设AB ＝a ，CD ＝2，BC ＝BD ＝AC ＝AD ＝1，那么∠ACD ＝∠BCD ＝45°，要构造一个四面体，那么△ACD 与共面BCD 不能重合，当△BCD 与△ACD 重合时，a ＝0；当△BCD 在DC 另一侧与平面ACD 重合时，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝45°＋45°＝90°，AB ＝AC 2＋BC 2＝2，所以a 的取值范围是(0，2)、10、[2018·重庆卷]设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x －2，集合M ＝{x ∈|f (g (x ))>0|，那么N ＝{x ∈|g (x )<2}，那么M ∩N 为()A 、(1，＋∞)B 、(0,1)C 、(－1,1)D 、(－∞，1)10、D[解析]因为f (g (x ))＝[g (x )]2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式[g (x )]2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x －2＜1或3x －2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝{x |x <1或x >log 35}，又由g (x )＜2，即3x －2＜2,3x ＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝{x |x <log 34}，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.11、[2018·重庆卷]首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________.11、15[解析]由等比数列的前n 项和公式得S 4＝1×1－241－2＝15. 12、[2018·重庆卷]假设f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，那么实数a ＝________.12、4[解析]因为f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，所以根据f (x )为偶函数得f (x )＝f (－x )，即x 2＋(a －4)x －4a ＝x 2＋(4－a )x －4a ，所以a －4＝4－a ，解得a ＝4.13、[2018·重庆卷]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a＝1，b ＝2，cos C ＝14，那么sin B ＝________.13.154[解析]由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c ＝2，所以b ＝c ，B ＝C ，所以sin B ＝sin C ＝1－cos 2C ＝154.14、[2018·重庆卷]设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，那么双曲线的离心率e ＝________. 14.324[解析]因为PF 1垂直于x 轴且P 点在双曲线的左支上，所以P 点横坐标为－c .又因为P 点在直线y ＝b 3a x 上，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 3a c ，将P 点坐标代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，整理得c 2a 2＝98，所以双曲线的离心率e ＝324.15、[2018·重庆卷]某艺校在一天的6节课中随机安排语文数学外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，那么在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)、15.15[解析]6节课共有A 66＝720种排法，相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课排法有A 33A 34＝144种排法，所以相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课的概率为144720＝15.16、[2018·重庆卷]{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值、 16、解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12.解得a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n 2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)、 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)、因此k ＝6.17、[2018·重庆卷]函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)假设f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值、 17、解：因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16.故有⎩⎨⎧f ′2＝0，f 2＝c －16， 即⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)、 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数、由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.18、[2018·重庆卷]甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球、约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束、设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响、(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率、18、解：设A k ，B k 分别表示甲乙在第k 次投篮投中，那么P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)、(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A2)P (B 2)P (A 3)P (B 3)＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ＝1327.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，那么由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. 19、[2018·重庆卷]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域、 19、解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈.又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1＝32cos 2x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52.20、[2018·重庆卷]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点、(1)求异面直线CC 1和AB 的距离；(2)假设AB 1⊥A 1C ，求二面角－－的平面角的余弦值、20、解：(1)因AC ＝BC ，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .又直三棱柱中，CC 1⊥面ABC ，故CC 1⊥CD ，所以异面直线CC 1和AB 的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)解法一：由CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，从而CD ⊥DA 1，CD ⊥DB 1，故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1－CD －B 1的平面角、因A 1D 是A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1，∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt△A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，得AA 21＝AD ·A 1B 1＝8.从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝23，B 1D ＝A 1D ＝23， 所以在△A 1DB 1中，由余弦定理得cos ∠A 1DB 1＝A 1D 2＋DB 21－A 1B 212·A 1D ·DB 1＝13.解法二：如下图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，由(1)知DB ，DC ，DD 1两两垂直，以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴y 轴z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为h ，那么A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )、 由AB 1→⊥A 1C →得AB 1→·A 1C →＝0，即8－h 2＝0，因此h ＝22.故DA 1→＝(－2,0,22)，DB 1→＝(2,0,22)，DC →＝(0，5，0)、 设平面A 1CD 的法向量为＝(x 1，y 1，z 1)，那么⊥DC →，⊥DA1→，即⎩⎪⎨⎪⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得＝(2，0,1)、设平面B 1CD 的法向量为＝(x 2，y 2，z 2)，那么⊥DC →，⊥DB 1→，即 ⎩⎪⎨⎪⎧5y 2＝0，2x 2＋22z 2＝0，取z 2＝－1，得＝(2，0，－1)，所以cos 〈，〉＝m ·n |m |·|n |＝2－12＋1·2＋1＝13.所以二面角A 1－CD －B 1的平面角的余弦值为13.21、[2018·重庆卷]如图，设椭圆的中点为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形、(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积、21、解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)、 因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2， c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2， 由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)B 2(2,0)、由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2. 当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910， △PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.。
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2019年重庆高考文科数学真题及答案本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-2i3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 12．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A．2B．3C．2 D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若变量x，y满足约束条件23603020x yx yy⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z=3x–y的最大值是___________.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.15．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A+a cos B=0，则B=___________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 18．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01） 748.602≈. 20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案1．C 2．D 3．A 4．B5．A6．D 7．B8．A9．D10．C 11．B12．A13．9 14．0.9815．3π416．26；21-17．解：（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=．18．解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L．19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=．产值负增长的企业频率为20.02100=． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i ii s n y y ==-∑ 222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．20．解：（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ． 所以4b =，a的取值范围为)+∞． 21．解：（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-.因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<， 1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=. 又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．解：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π .23．解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．。