高中数学浙江专版必修4讲义：第一章 1.4 1.4.2 第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性含答案

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高中数学人教A版浙江专版必修4课件：第一章 1.4 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

π2，y ，(π，y)， 32π，y ，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要
用线段进行连接．
[活学活用]
作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解：列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0 －1
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
α2kπ＋π6≤α≤2kπ＋56π，k∈Z

.

(2)作直线 x＝12交单位圆于 C，D 两点，连接
OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)
即为角 α 终边的范围．故满足条件的角 α 的集合为
α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋53π，k∈Z

.

用“五点法”作简图
[典例] 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]； (2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
[解] (1)列表：
x
0
π 2
sin x
0
1
π
3π 2
2π
0
－1
0
sin x－1 －1

人教版数学必修四第一章1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(第一课时)说课稿

课题：正弦函数，余弦函数的图象（第一课时）说课稿各位评委老师，大家上午好，今天我说课的题目是《正弦函数，余弦函数的图象》，下面我将围绕“教什么”，“怎么教”，“为什么这样教”这三个问题，从“教材分析”，“学情分析”“教法分析”，“学法分析”，“教学过程分析”，“教学评价分析”这六个方面进行说课。

不妥之处，请老师们批评指正。

一：教材分析(1)教材地位，作用，特点分析《正弦函数，余弦函数的图象》是人教A版必修4第一章第4节的内容，本节内容在学习了三角函数的定义，三角函数的诱导公式后学习的又一类非常重要的基本函数，这部分内容是三角函数图象和性质的入门课，是后面研究正，余弦函数，正，余弦型函数，正切（型）函数图象和性质的知识基础和方法准备，有着承前启后的作用，在历届高考中，这部分内容也是考查的热点。

另一方面，三角函数是描述日常生活，大自然当中周期性现象的重要的数学模型，因此这部分的内容与我们日常生活，生产都有着密不可分的联系。

(2)教学任务（目标）分析知识方面：1.了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并能体会这种方法的优越性。

2.理解正，余弦函数图象间的关系，能利用正弦函数的图象作出余弦函数的图象。

3.会用“五点法”，画出正弦函数，余弦函数的简图，并熟悉两函数的图象特点。

能力方面：1.尝试培养学生理解，掌握化归，类比，数形结合的数学思想，并利用这些思想解决实际问题的能力。

2.尝试培养学生自主学习和与人合作，及语言表达的能力。

情感方面：通过数学实验，举例等让学生体会数学来源生活，并且服务于生活，让学生热爱数学，热爱生活。

(3)教学重点，难点分析基于上面的目标分析，结合新课程标准的要求，将本节课的教学重点，难点确定如下：教学重点：正弦函数，余弦函数的图象形状特点；五点法作简图重点确定的依据：研究函数的一重要方法是采用数形结合方法，结合函数图象得其性质，故弄清基本函数的图象特征，能作出简图就是重中之重。

突出重点采用的方法：让学生充分参与到教学中来；通过数学实验，多媒体演示加深印象；通过设置有梯度的练习题及变式题目，循环往复，螺旋推进的方式进行训练。

高一数学正弦函数、余弦函数的性质1

1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2 k 2 k
上都是增函数；在每一个闭区间 [2 k 2 k 上都是减函数.
2
2
2 2
上都是增函数；
正弦曲线关于点（kπ ，0）对称.
p 正弦曲线关于直线 x = k p + (k ? Z ) 对称. 2
新知探究
根据余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？
2
2
2 2
1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
探求新知
余弦函数的定义域为R.
余弦函数的值域为 [-1 ， 1].
当且仅当
x 2 k , k Z
ymax 1
当且仅当 x 2 k , k Z ymin 1
余弦函数是偶函数. 余弦函数是周期函数.
2
2
2 2
正弦函数是奇函数.
复习巩固
一般地，函数y = A sin( wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
T
2

探究新知
在每一个闭区间 [ 2k 2k 2
上都是减函数
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k 2
世上还是好人多，我的阿爹阿妈收养了我，供我吃穿供我上学，教育我怎么做人。虽然日子过得很清苦，但是我毕竟有了一个温暖的家，阿爹的疼阿妈的爱滋润着我的心田„„你们知道吗？我家姊妹多，在那样的年代，只靠阿爹阿妈两个人地里来地里去是养不活全家的，所以大狙二狙还有年仅十五岁的三狙相继缀学去了深山的煤矿拉煤„„曾记得阿爹生病的时候，为了给阿爹治病，我偷偷地跟五妮子和六丫头去了煤矿。只干了几个小时的活，手上就磨起了泡，满脸乌黑，我这才知道一个女孩子家拉煤是什么滋味„„后来被阿爹知道了，狠狠地把五妮子和六丫头训了一顿儿，说我和他们不同，细皮嫩肉的不能去干那粗活儿，他让我安心地读书，长大了去大的城市生活„„我拉着阿爹的手哭了，你们知道我的阿爹是多么的疼我多么的爱我吗？！„„ 阿爹走了，我的眼泪哭干了。我真后悔阿爹临终前告诉了我的身世„„我对你们的态度彻底改变了。六叔，试问你能与我的阿爹能相比吗？痛定思痛，无论我的亲生父母是谁，以前如何待我，我毕竟是吃过六婶儿的奶，我是不会忘记的。往事难追，这里毕竟有养育了我的阿妈和我的兄弟狙妹，我已离不开这片土地和这群爱我的孩子们了。六叔六婶儿，我已经长大了，至于我究竟姓什么对我来说已经不重要了„„因为这儿的天是蓝的土是黄的，这儿有我的事业，我要把青春献给那些失去母爱的孩子们„„ 远方的女儿：荷花执笔于中秋之夜。 “荷花不记恨我们，她原谅我们了„„她终于承认她是我们的女儿了„„”妻子流着泪兴奋地叫了起来。列车在缓缓行驶，透过车窗回首瞭望，太阳升起来了，温暖的阳光洒满了远处的千山万壑。我仿佛听到荷花的声音：爸——爸——我的眼睛湿润了„„我忘不了，在这群山之间有一座朴实的爱心小学。祝福你，我的女儿荷花„„有一天，村里来了个放大照片的人，说是专门为老年人上门服务。我的母亲把这人领到家中，拿出侄儿的全家福把它放大了，用相框装好挂在显眼的地方，静静地看上几眼。若是来了客人，母亲就向他们炫耀着说：“这是我的娘家侄儿，我的重侄女长得多俊俏，就像我家的小荷„„” 没有外人时，时常念叨着：“多好的一家人啊，我的孙女真有福气„„唉！苦就苦了我家的荷花„„” 听了母亲的话，我终于说出了我的心愿：“爹„„娘„„我想去趟山西„„把荷花领回家„„”

数学必修四第一章1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象同步授课课件

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
艺术体操带操
蛇的爬行
抖动绳子
复习回顾：任意角正弦函数的定义:
实一一对应
唯一确定
角
正弦
数
多对一
值
任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx与之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫做正弦函数，y=cosx叫做余弦函数，二者定
义域为R 。
想一想?
3
2
x
2
sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx
利用图象平移 xR
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
由部分到整体
正弦曲线
合作探究 3.你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，
通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？
由向诱左导平公移式2 个yy=1单c位os 即x 可sin得(2到,将余x正) 弦弦函函数数的的图图象象.
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
由未知向已知转化
正弦曲线
y=cosx与 y=sin(x+ ), xR图象形状完全一样
2
只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲线
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
思考:
在精确度要求不太高时，如何快捷地作出正弦函数
的图象呢？观察函数图象，有哪些点比较重要呢？
x
cosx
0
2
1
0
y=-cosx

人教A版高中数学必修四课件第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质

练一练
练习 2、函数 y＝3sin(π3－2x)在什么区间是减函数？ [解析]令 u＝π3－2x，则 u 是 x 的减函数． ∵y＝sinu 在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上为增函数， ∴原函数 y＝3sin(π3－2x)在区间[－2π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)上递减， ∴－π2＋2kπ≤3π－2x≤π2＋2kπ，即－1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ(k∈Z)．
[分析] (1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较 sin38π与 cos38π的大小，然后利用正弦函数单调性求解．
练一练
[解析] (1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°，从而－sin14°>－sin70°，即 sin194°>cos160°. (2)∵cos38π＝sinπ8，∴0<cos38π<sin38π<1. 而 y＝sinx 在(0,1)内递增， ∴sincos38π<sinsin38π.
作业布置
[分析] (1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2) 把sinx看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
典例精析
[解析] (1)∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2. ∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5. ∴函数y＝3－2cos2x，x∈R的值域为[1,5]． (2)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2. ∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0]．

人教版高中数学必修四课件：1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》

y sin z 减〔增〕
(2).典例剖析
f (x) cos( 1 )
23
分析：为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要
提出来
y
cos
1 2
x
3
增
y
cos
1 2
x
3
增
cos( ) cos
y cos z 增
y cos z 增
6.正余弦函数的最值
〔1〕正弦函数的最大值y 和最小值
y
1 2
sin
1 2
x
3
z 1x
23
y 1 sin z 2
当z 2k ； y 1 sinz 取得最大值1
2
2
2
当z 3 2k ； y 1 sinz 取得最大值- 1
2
2
2
例4.求
y
1 2
sin
1 2
x 3
函数的最大值
和最小值及对应 x的集合。
解：令z 1 x
23
要使y 1 sin z有最大值 1，
2
2
7.正余弦函数的奇偶性与对称性
y=sinx(xR )
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数：sin( x ) sin x ----------奇函数
y=cosx(xR )
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数：cos( x ) cos x ---------偶函数

高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件(18张PPT)

高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件（ 18张PP T）
新知探究
探究：正弦函数
的图像
1.用描点法作出函数 y sin x, x [0, 2 ] 图像的主要步骤是怎样的？
(1) 列表
x
0
6
3
2 5
236
7 4 3
6
3
2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
1 2
0
(2) 描点
(3) 连线
高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件（ 18张PP T）
高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件（ 18张PP T）
新知探究
2. 函数 y sin x, x [0, 2 ] 图象的几何作法.
2
2
高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件（ 18张PP T）
高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件（ 18张PP T）
典例解析
例 1. 用五点法画出 y=1+sinx 在区间[0,2π]上的简图. 解：(1) 列表
高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件（ 18张PP T）
高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件（ 18张PP T）
例 2. 用五点法画出解：列表

高中数学第一章三角函数2正弦函数的性质课件必修4高一必修4数学课件

12答
反思与感悟 (1)比较sin α与sin β的大小时，可利用(lìyòng)诱导公式把sin α与sin β
转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
(2)比较 sin α 与 cos β 的大小，常把 cos β 转化为 sinπ2±β后，再依据单调性来进行比较.
答案 y＝sin x 的递增区间为－π2＋2kπ，2π＋2kπ，k∈Z，递减区间为π2＋2kπ，32π＋2kπ，k∈Z.
12/12/2021
第六页，共三十六页。
梳理(shūlǐ)
函数
图像
定义域值域
12/12/2021
正弦函数y＝sin x，x∈R
_R__ [－1，1]
第七页，共三十六页。
最值周期性
A.－
23，12
B.－12，
3
2
C.
23，1
√D.12，1
解析 ∵0≤x≤π2，∴π6≤x＋π6≤23π，
∴sin π6≤sinx＋π6≤sin π2，即12≤y≤1.故选 D.
12/12/2021
1 234 5
第三十一页，共三十六页。
解析答案(dá
4.求函数
y＝3－2sin
1 2x
12/12/2021
第九页，共三十六页。
提示答案
题型探究(tànjiū)
12/12/2021
第十页，共三十六页。
类型一求正弦(zhèngxián)函数的单调区间
例 1 求函数 y＝2sinπ4－x的递增区间.
12/12/2021
第十一页，共三十六页。
解答
反思与感悟(gǎnwù) 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间. 求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(第一课时)

y 1 x
-2 -
o -1

2
3
4
探究新知
y 1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π 2π
3π 4π
5π 6π x
形成结论
函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线
y 1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π 2π
3π 4π
5π 6π x
探究新知
y=cosx的图象画法
思考:y=cosx和y=sin(x+ 系？

2
)有怎样的关
正弦曲线向左平移 2 个长度单位而得.
探究新知
y
2
2
2 2
1 2
O
2
2
2
2
2
2x
2
-1
y=cosx，xR的图象叫余弦曲线.
高一数学必修4第一章
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
(第一课时）
探究新知
作正弦函数的图象 y=sinx, x [0,2] y
B 1
O1
o
-1

2

3 2
x
2
探究新知
思考： y=sinx，x[2 ,4)的图象与 y=sinx，x[ 0,2)的图象形状上有何特点？原因？
相同.函数值重复出再现.
探究新知
函数y=cosx，x∈[0，2π ]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O -1
2
π
Hale Waihona Puke 22πx
探究新知
思考：若用列表描点画y=cosx，x[0,2] 的草图，抓哪些关键的点？

(浙江专用高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学案新人教A版必修2(2021年

（浙江专用版）2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用版）2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专用版）2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案新人教A版必修2的全部内容。

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法。

2。

掌握“五点法"画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线。

3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一正弦函数、余弦函数的概念思考从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念?答案实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应．由这个对应法则所确定的函数y＝sin x(或y＝cos x）叫做正弦函数(或余弦函数），其定义域是R。

知识点二几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的?其基本步骤是什么?答案利用正弦线,这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作平面直角坐标系,并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1,作出以O1为圆心的单位圆；②等分单位圆,作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份．过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，错误!,错误!，错误!，…，2π等角的正弦线;③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈［0,2π]的图象，如图．因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈［2kπ，2(k＋1）π），k∈Z 且k≠0的图象与函数y＝sin x,x∈[0，2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π）的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图．思考2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案把y＝sin x,x∈R的图象向左平移错误!个单位长度，即可得到y＝cos x,x∈R的图象．梳理正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．知识点三“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤?答案列表、描点、连线．思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？答案画正弦函数图象的五点（0，0)错误!（π，0）错误!(2π，0）画余弦函数图象的五点（0,1）错误!（π，－1)错误!（2π，1）梳理“五点法”作正弦函数y＝sin x(x∈[0，2π]）、余弦函数y＝cos x，x∈［0,2π］图象的步骤（1）列表x0错误!π错误!2πsin x010－10cos x10－101(2)描点画正弦函数y＝sin x，x∈［0，2π]的图象,五个关键点是(0,0)，错误!，(π，0),错误!，（2π，0)；画余弦函数y＝cos x,x∈[0，2π］的图象，五个关键点是(0,1）,错误!，（π，－1），错误!，（2π，1）．（3）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y＝sin x（x∈[0,2π]）、余弦函数y＝cos x(x∈［0,2π]）的简图．1．正弦函数y＝sin x的图象向左、右和上、下无限伸展．（×）提示正弦函数y＝sin x的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间．2．函数y＝sin x与y＝sin（－x)的图象完全相同．( ×)提示二者图象不同，而是关于x轴对称．3．余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点．( √)4．余弦函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置都不一样．( ×)提示函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．类型一“五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x（0≤x≤2π)的简图．考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数的图象解取值列表：x0错误!π3π22πsin x010－101－sinx10121描点连线，如图所示．反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π］内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪训练1 （1）用“五点法”作出函数y＝1－cos x（0≤x≤2π）的简图．考点余弦函数的图象题点五点法作余弦函数的图象解列表如下:x0错误!π错误!2πcos x10－1011－cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图．（2）(2017·长沙检测)利用正弦或余弦函数图象作出y＝错误!的图象．考点余弦函数的图象题点五点法作余弦函数的图象解由于y＝错误!＝|cos x|，因此只需作出y＝|cos x|的图象即可,而y＝｜cos x|可由y＝cos x将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如下：类型二利用正、余弦函数图象解不等式命题角度1 利用正、余弦函数图象解不等式例2 利用正弦曲线，求满足错误!<sin x≤错误!的x的集合．考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用解首先作出y＝sin x在[0，2π］上的图象,如图所示，作直线y＝错误!,根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈［0，2π]的交点横坐标为错误!和错误!.作直线y＝错误!，该直线与y＝sin x，x∈［0，2π］的交点横坐标为错误!和错误!。

高中数学浙江专版必修4讲义：第一章 1.4 1.4.2 第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值含答案

第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P37～40，思考并完成以下问题 (1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x 的值是多少？[新知初探]正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)上递增，在⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z)上递减在[2k π－π，2k π](k ∈Z)上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上递减最值 x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z)时，y min ＝－1[点睛] (1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) (2)存在x ∈R 满足sin x ＝ 2.( )(3)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π]B ．⎣⎡⎦⎤π2，3π2C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2D ．[π，2π]答案：C3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________．答案：5正、余弦函数的单调性[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间． [解] ∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．[活学活用]求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间．解：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以令π＋2k π≤2x －π3≤2π＋2k π，k ∈Z ，得2π3＋k π≤x ≤7π6＋k π，k ∈Z. 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2π3＋k π，7π6＋k π，k ∈Z.三角函数值的大小比较[典例] (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin 250°>sin 260°. (2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[活学活用]比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝cos ⎝⎛⎭⎫－π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝⎛⎭⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°. 故sin 194°＞cos 160°.正、余弦函数的最值1．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±2题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值．解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5.综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域．解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．层级一学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π4，π4B ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.答案：⎣⎡⎦⎤12，18．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62；当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小． (1)sin10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜2π9＜π3＜π，∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9.层级二应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。

高中数学人教A版浙江专版必修4讲义第一章1.41.4.3正切函数的性质与图象含答案

1．4.3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的性质与图象[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π＋5π6，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________．答案：[0,1][典例] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．[活学活用]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期是( ) A ．4 B ．4π C ．2πD ．2解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π∪⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－51．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间．解：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z. 题点二：比较大小2．比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小．解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5， ∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内递增， ∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 题点三：求最值或值域3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]．所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．层级一学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A ．⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B ．π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( ) A ．±1 B ．1 C ．±2D ．2解析：选A g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1. 4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是_____________________________________．解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得．答案：⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是_________________________________．解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°； (2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4与tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是增函数， ∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5，又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.10．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的周期是π2.(2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)．令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)，解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3.层级二应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z) 6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]．当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z. 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。

2019-2020年高中数学人教A版浙江专版必修4课件：第一章 1.4 1.4.2 第一课时正弦函数、余弦函数的周期性

＝ƒ π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例条件为：函数 ƒ(x)为偶函数且 ƒ x＋π2＝
－ƒ(x)，ƒ π3＝1，求 ƒ 53π的值．解：∵ƒ x＋π2＝－ƒ(x)， ∴ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，即T＝π， ƒ 53π＝ƒ 53π－2π＝ƒ －π3＝ƒ π3＝1.
()
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)＝sin34x＋32π的奇偶性．
(1)[解析] ∵f(x)的定义域是R. 且f(－x)＝ 2sin 2(－x)＝－ 2sin 2x＝－f(x)， ∴函数为奇函数． [答案] A (2)[解] ∵f(x)＝sin34x＋32π＝－cos34x， ∴f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x， ∴函数f(x)＝sin34x＋32π为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
[活学活用]
判断下列函数的奇偶性：
(1)ƒ(x)＝xcos(π＋x)；
(2)ƒ(x)＝sin(cos x)．解：(1)函数ƒ(x)的定义域为R， ∵ƒ(x)＝xcos(π＋x)＝－xcos x， ∴ƒ(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcos x＝－ƒ(x)， ∴ƒ(x)为奇函数． (2)函数ƒ(x)的定义域为R， ∴ƒ(－x)＝sincos－x＝sin(cos x)＝ƒ(x)， ∴ƒ(x)为偶函数.
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
预习课本P34～37，思考并完成以下问题
(1)周期函数的定义是什么？
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
[新知初探]
1．周期函数 (1)周期函数的概念

高一数学(三角函数的图象与性质(4))

拓展延伸
例定在上函 f(x)既 7. 义 R 的数是偶数函 ,又周函 ,若是期数 f(x) 的小周为 ,当 ∈[0, 最正期 π x 5π )的 . f(x)=sinx,求 f( 值 3
π
2
] , 时
拓展延伸
求下列函数的值域. 例8. 求下列函数的值域.
(1 y = cos x + 2sin x − 2; )
化例2 比较下列各组数的大小: 比较下列各组数的大小: 入 π π (1 )sin(− )与sin(− ); 同 18 10 23π 17π 一 (2)cos(− )与cos(− ). 单 5 4 调 π π （3） cos 与 sin 区 10 10 间
化同名
理论迁移
求下列函数的单调递增区间. 例3 求下列函数的单调递增区间. 1 π (1 y = sin( x + ) ) 2 3 2π (2) y = 2sin( − 3x) 3
高一数学必修4 高一数学必修4第一章 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1.4.2正弦函数、正弦函数
(第三课时第三课时）第三课时
复习巩固
正弦函数的性质: 正弦函数的性质 1
-6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π 3π
π
2 2
3π 2π 4π
5π 6π
x
正弦函数的定义域为R 正弦函数的定义域为R. 正弦函数的值域为[ 正弦函数的值域为 [-1 ， 1].
π
波峰、波峰、波谷处为对称轴与横轴的交点是对称中心
理论迁移
例 1. 求下列函数的最大值和最小值，求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集并写出取最大值、最小值时自变量的集合；再求其对称轴与对称中心. 再求其对称轴与对称中心. （1） y=cos ＋1，x∈R； =cosx＋ ∈ ； sin2 ， ∈ . （2）y=－3sin2x，x∈R. = 写出函数的单调区间

高一数学必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的图像2

探究新知
y
1
-2
-
o
-1
x
2
3
4
sin(x 2k ) sin x (k Z )
正弦函数具有“周而复始”的变化规律
则称正弦函数为周期函数，它的周期是
2kπ 。
第十五页，编辑于星期日：二十二点十八分。
探究新知
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数
1
y
3 2
x
-2
-
o
2
2
3
4
-1 3 3
2k
3
,
2k
2
3
(k Z)
第十一页，编辑于星期日：二十二点十八分。
高一数学必修4第一章 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
(第一课时）
第十二页，编辑于星期日：二十二点十八分。
问题提出
根据正弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？
第十三页，编辑于星期日：二十二点十八分。
f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
第十六页，编辑于星期日：二十二点十八分。
探究新知
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
1、正弦函数的最小正周期是多少？
2、是否所有的周期函数都具有最小
正周期？
第十七页，编辑于星期日：二十二点十八分。
课后作业
1.《学海》第8课时
第二十一页，编辑于星期日：二十二点十八分。
1、用“五点作图法”作出y sin 2x(x [0, 2 ])
的函数图.

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1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本P34～37，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？[新知初探]1．周期函数 (1)周期函数的概念条件 ①对于函数ƒ(x )，存在一个非零常数T②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论函数ƒ(x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期条件周期函数ƒ(x )的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x )的最小正周期[点睛] 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数 y ＝sin x y ＝cos x 周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0)2k π(k ∈Z 且k ≠0)最小正周期 2π 2π 奇偶性奇函数偶函数[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) (4)函数y ＝－cos π3x 是偶函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．函数ƒ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( ) A ．T ＝2π的奇函数 B ．T ＝2π的偶函数 C ．T ＝π的奇函数 D ．T ＝π的偶函数答案：B3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x )＝sin x cos x 是______(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇三角函数的周期[典例]求下列函数的周期．(1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)ƒ(x )＝|sin x |. [解] (1)[法一定义法]∵ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2π ＝cos ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π3＝ƒ(x ＋π)，即ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π.[法二公式法]∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴ω＝2. 又T ＝2π|ω|＝2π2＝π. ∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π. (2)[法一定义法] ∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π. [法二图象法]∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.求函数最小正周期的常用方法除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．求下列函数的周期． (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3； (2)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2ππ2＝4， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的周期为4. (2)函数y ＝|cos x |的图象如图所示，由图象知T ＝π.三角函数的奇偶性[典例] (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性． (1)[解析] ∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． [答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．判断函数奇偶性的方法[活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)ƒ(x )＝x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝sin(cos x )．解：(1)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∵ƒ(x )＝x cos(π＋x )＝－x cos x ，∴ƒ(－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x cos x ＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x )为奇函数．(2)函数ƒ(x )的定义域为R ，∴ƒ(－x )＝sin []cos (－x )＝sin(cos x )＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )为偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的应用[典例] 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值． [解] ∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. [一题多变]1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6的值．解：ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：∵ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 2＝sin x2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性． (1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x ) ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋3π2 ＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A. 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是________．解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期为T ＝2π. 答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x)(ƒ(x)≠0)．(1)求证：函数ƒ(x)是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－1ƒ(x＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。