最新初中数学中多元极值问题的常用解法

初中数学多元极值问题

例1 设x ,y 为实数，代数式2

2

245425x xy y x y ++-+-的最小值为 . 分析与解:配方得:原式=2

2

2

2

44442110x xy y x x y y +++-++++-

=2

2

2

(2)(2)(1)10x y x y ++-++-

显然,当2,1x y ==-时,原式有最小值-10.

同类型试题: 设x ,y 为实数，代数式2

2

54824x y xy x +-++的最小值为 ,此题也可以用配方法来解决,最小值为3.

二、消元法：把多个元素转化为某一元素为主元，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，便利求解.

例2 已知a ,b ,c 为整数，且2006a b +=，2005c a -=，若a b <，则：a b c ++的最小值是： .

分析与解：由2006=+b a ，2005=-a c ，得 4011+=++a c b a ． 因为2006=+b a ，a b <，a 为整数，所以，a 的最大值为1002． 于是，a b c ++的最大值为5013．

例3 若50z -y x 30z y x =+3=++，

，且x 、y 、z 均为非负数，则z y 5x M 2+4+=的最大值为_________________.

分析与解：由30

350x y z x y z ++=⎧⎨

+-=⎩用x 来表示y 、z ，得y=40－2x ，z=x －10，又由y ≥0，z ≥0，得402x x -≥0

⎧⎨

-10≥0⎩解得10≤x ≤20，又把y=40－2x ，z=x －10代入M=5x+4y+2z 得，M=－x+140，显然M 是关于x 的一次函数，且M 随x 增大而减小，所以当x=10时，M 的最大值为130. 三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

例4 已知5x y +=,且0,0,x y >>的最小值为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D 分析与解：这道题，初识实感无从下手，若将“式”转化成“形则或轻松解.（如图1）

分别以x 、1和y 、2

为斜边，构造如图1所示的两个Rt ABC ∆、

Rt DEC ∆。由图形显见，当点C 位于直线 AD 上时，AC+AD

值最小.

于是过点A 作AG 垂直DE 的延长线交于G 点，则四边形ABEG 是矩形，

∴1AB EG ==

又

5AG BE x y ==+=

在Rt ADG ∆中，DG=3，AG=5， 斜边

由勾股定理可得：

故应选择D 。

同类型试题: 已知a ,b 均为正数，且2a b +=，求1422+++=

b a u 的最小值．

(2003年北京市初二数学竞赛试题),此题也可以用此方法来解决,

四、均值代换法：在数学问题中，出现条件x y a +=时，我们常作代换2a x t =+，

2

a

y t =-，这种代换称为均值代换.

例5 若x ,y 均为正数,且1x y +=,求

11

(1)(1)x y

++的最小值. 分析与解:由1x y +=,设: 12x t =+,

1

2

y t =-,则 11(1)(1)x y ++=1x y xy xy +++=21xy +=

22114

t +-=28

114t +- ∵0,0x y >> ∴1122t -<< 当240t =时，即0t =时，此时1

2

x y ==，原式有最小值：189+=.

五、和差代换法：对于任意的实数x ,y ，总有2222x y x y x x y x y y +-⎧=+⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩ ，若令2

2

x y a x y b +⎧

=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

A G

E

2

1

图 1

则有：x a b

y a b

=+⎧⎨

=-⎩，这种代换称为和差代换.

例6 已知实数b a ,满足2

2

2

2

,1b a ab t b ab a --==++且，那么t 的取值范围是 _____. 分析与解:设,a x y b x y =+=-,把它们代入22

1a ab b ++= 中，得：

22()()()1x y x y x y x y +++-+-=（） 化简得: 2213y x =-

因为: 22

1

0,3

y x ≥≤≤

所以0 ∴2

2

2

2

2

22

()()()(3)3(13)83t x y x y x y x y x y x x x =+--+--=-+=---=-（） ∵2

13x ≤≤

0 ∴2883x ≤≤0 ∴2

1833x ≤-≤--3 即：13

t ≤≤--3 六、参数法：参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题. 例7 若3

2211-=

+=

-z y x ，则2

22z y x ++可取的最小值为（ ） A. 3 B. 14

59

C. 29

D. 6

解：设k z y x =-=+=-3

2

211 则23121+=-=+=k z k y k x ，，

所以2

2

2

z y x ++2

2

2

(1)(21)(32)k k k =++-++

214106k k =++2559

14()1414

k =+

+ ∴当514k =-时 ∴2

22z y x ++的值最小为14

59，应选B

七、整体设元法：就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联系的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入和求值等.

例8 已知a ,b 为实数，那么2

2

2a ab b a b ++--的最小值是

分析与解：本题要直接求出所求式子的值很困难，故可以采取整体设元，巧妙运用二元一次方程的根的判别式来解决，思路就显得非常简捷.

设2

2

2a ab b a b ++--=t ,将等式整理成关于a 为主元的二次方程,得

22(1)(2)0a b a b b t +-+--=

∵a 为实数 ∴2

2

(1)4(2)0b b b t ∆=----≥