最新初中数学中多元极值问题的常用解法
多元函数的极值及其求法
课堂思路
一 多元函数的极值
(1)定义 (2)多元函数极值的必要条件 (3)多元函数极值的充分条件
二 条件极值和无条件极值 三 拉格朗日乘数法
回顾
One. 一元函数的极值定义 Two. 一个必要条件、两个充分条件 Three. 一元函数最值问题
一、 多元函数的极值
(1)多元函数极值定义
z=2x2+3y2
z=2x2+3y2
z=y2-x2
(2)多元函数极值的必要条件
驻点 驻点与极值的关系
(3)多元函数极值的充分条件
步骤 注意点
求
的极值
讨论函数
和
是否取得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值
在点(0,0)
(5)多元函数最值问题
方法 例题
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
二、条件极值和无条件极值
代入法 引出拉格朗日数乘法
三、拉格朗日乘数法
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
小结
求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。
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多元函数极值问题解决
多元函数极值问题解决在数学中,多元函数是指依赖多个自变量的函数。
研究多元函数的极值问题是数学中重要的一个方向,通过极值问题解决可以了解函数的最大值和最小值,对于优化问题等具有重要意义。
本文将介绍解决多元函数极值问题的基本方法和技巧。
1. 多元函数极值问题概述多元函数的极值包括两种情况:最大值和最小值。
要找到多元函数的极值,需要通过计算导数或二阶导数来确定。
对于多元函数f(x,y),要找到其极值,可以通过求解以下方程组来解决:$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0 $$其中 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ 分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
2. 求解多元函数极值的步骤步骤1:计算一阶偏导数首先,对多元函数f(x,y)分别对x和y求一阶偏导数,得到 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$。
步骤2:解方程组然后,解方程组 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$,求解出使得导数为零的x和y的值。
步骤3:判别极值类型最后,通过计算二阶导数或利用二次型判断方法,判断得到的极值是极小值、极大值还是鞍点。
3. 多元函数极值问题例题下面通过一个例题来说明如何解决多元函数极值问题:例题:求函数f(x,y)=x2+2y2−2xy−2y的极值。
解:1.求解一阶偏导数:$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x - 2y, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 4y - 2x - 2 $$2.解方程组:令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} =0$,得到:$$ \\begin{cases} 2x - 2y = 0 \\\\ 4y - 2x - 2 = 0 \\end{cases} $$求解得到x=1,y=1。
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日(Lagrange)乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程(1)对x求偏导: ,得 , .
方程(1)对y求偏导: ,得 .
方程(2)对y求偏导: ,得 ,
在点(1,-1,6)有 ,且A<0,所以 是极大值。
在点(1,-1,2)处有 ,且A>0,所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点(1,-1,6)的某邻域内确定的函数, 是极大值;在点(1,-1,2)的某邻域内确定的函数, 是极小值.
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象,它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题,包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中,将约束条件加入到目标函数中,并利用等式约束条件和拉格朗日乘数,将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$,同时满足约束条件$x+2y+3z=6$,其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法,我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$,并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$,其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是,我们可以写出拉格朗日函数:$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来,我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数,令其都等于零,求得极值点。
即:$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到:$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数求极值
多元函数求极值摘要:本文总结了多元函数求极限的各类方法,以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。
一、多元函数极限的定义存在的问题:有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限,不同的定义方式可能导致结果不同例1.1:求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解:法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2:用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解:因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left,\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right,=,y,\cdot\frac{,xy,}{x^2+y^2}\leqslant,y,\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而,对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left,\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right,<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3:求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明: \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left,(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right,\leqslant\varepsilon\\即 \left,(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right, =\biggl,x^2+y^2\biggl,\cdot\biggl,\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl,\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left,(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right,\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立.二、多元函数求极限的方法直接代入:先代入看看是不是未定式!如果不是那就是答案略有理化:略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限:略夹逼准则:多是夹为0。
多元函数的极值与条件极值的求解方法
多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。
求解多元函数的极值是一个常见的数学问题,而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。
本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。
二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值,需要判断函数在特定点的局部极值,并进一步确定全局极值。
常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。
1. 二阶条件法对于一个二次可导函数,可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。
具体步骤如下:a. 计算函数的一阶偏导数,并令其等于零,得到临界点;b. 计算函数的二阶偏导数,并检查其正负性;c. 若二阶偏导数为正,则临界点是局部极小值;若二阶偏导数为负,则临界点是局部极大值。
2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值,其思想是在梯度的指引下,逐步迭代寻找函数的最优解。
具体步骤如下:a. 计算函数的梯度向量,并初始化变量值;b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值;c. 重复步骤b,直到满足收敛条件。
3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。
通过构建拉格朗日函数,并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解,得到函数的条件极值。
三、条件极值的求解方法在现实问题中,多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。
求解条件极值需要考虑约束条件,并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。
1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数,将约束条件引入目标函数中,得到增广拉格朗日函数;b. 求解增广拉格朗日函数的临界点,即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。
c. 验证求得的临界点是否满足约束条件,并通过比较确定全局的条件极值。
2. 案例分析假设有一个三角形,其面积为目标函数,而周长为约束条件。
通过使用拉格朗日乘子法,可以求解出在给定周长下,使得三角形面积最大的顶点。
四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。
对于多元函数极值的求解,可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中,我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中,很多问题涉及到多个变量的函数,即多元函数。
对于多元函数来说,我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法,并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前,首先需要了解各种极值与最值的定义。
(这里插入合适的图表和示意图)1.1 局部极值:若对于一个给定的多元函数,存在某个点使得在该点的某个邻域内,函数值在该点之上或之下都小于等于(或大于等于)该点的函数值,那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值:若对于一个给定的多元函数,如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于(或小于等于)其它点,那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值:若对于一个给定的多元函数,对于其定义域上的每个点,函数值都小于等于(或大于等于)某个常数,那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来,我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下:(这里插入梯度法求解极值的算法步骤)2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题,即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下:(这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤)3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法,我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一:二元函数我们考虑一个二元函数示例,如下所示:(这里插入具体示例的函数表达式和图形展示)通过梯度法和拉格朗日乘子法,我们可以求解该函数的极值与最值,并得出结果。
3.2 示例二:三元函数我们再考虑一个三元函数示例,如下所示:(这里插入具体示例的函数表达式和图形展示)同样地,我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中,多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值类似,多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。
在实际问题中,多元函数的极值问题有着广泛的应用,例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。
一、多元函数的定义首先,我们来回顾一下多元函数的定义。
在数学中,多元函数是指自变量不止一个的函数,通常表示为$z=f(x,y)$,其中$x$和$y$是自变量,$z$是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$,极值的定义与一元函数类似,分为最大值和最小值。
具体定义如下:1. 最大值:如果存在点$(x_0,y_0)$,使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内,对于任意$(x,y)$,都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$,则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值,点$(x_0,y_0)$是最大值点。
2. 最小值:如果存在点$(x_0,y_0)$,使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内,对于任意$(x,y)$,都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$,则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值,点$(x_0,y_0)$是最小值点。
三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题,通常可以通过以下步骤进行:1. 求偏导数:对多元函数$z=f(x,y)$,分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
2. 解方程组:令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$,解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$,得到极值点$(x_0,y_0)$。
多元函数求极限方法
多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一,它与微积分、数学分析等领域密切相关。
在学习多元函数求极限的过程中,我们需要掌握一些基本方法和技巧。
下面,我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。
一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。
当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时,可以先将这个点的坐标代入到这个函数中,从而得到一个实数值。
如果这个实数值存在且唯一,那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。
例如,对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y),当(x,y) = (1,1)时,我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到:f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此,在点(1,1)处,该二元函数的极限值为1。
二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。
夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。
夹逼定理的核心思想是,如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间,而这两个函数的极限值相等,那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。
例如,对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2),我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。
首先,我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y),使得:g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然,在点(0,0)处,g(x,y)和h(x,y)都等于1。
因此,我们可以将f(x,y)表示为:h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时,g(x,y)趋近于1,而h(x,y)趋近于1。
因此,根据夹逼定理,f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。
三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。
Z7-7多元函数的极值及其求法PPT课件
(x, y) 0,
-
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思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
试在椭圆 x2 y2 1 (x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 94
△ABC 面积 S△最大.
yA
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), D
B
则
-
21
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3. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
A
1 2
( 24
2x
2x
cos
24
2x)
x sin
24xsin 2x2 sin x2 cos sin
-
4
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例7.7.1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x的极值.
解: 第一步 求驻点.
解方程组
fx (x, y) 3x2 6x 9 0 f y (x, y) 3y2 6y 0
求得驻点为: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
f (P)为极小值
(大)
-
f (P)为最小值
(大)
7
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例7.7.2 某厂要用铁板做一个体积为8 m3的有盖长方体
水箱,问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
(整理)多元函数的极值及其求法.
(整理)多元函数的极值及其求法.第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中,我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似,多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.内容分布图示★ 引例★ 二元函数极值的概念例1-3★ 极值的必要条件★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 条件极值的概念★ 拉格郎日乘数法★ 例12★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例 16*数学建模举例★ 最小二乘法★ 线性规划问题★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题6-6 ★ 返回内容提要:一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值;如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零,即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似,对于多元函数,凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时,函数),(y x f 在),(00y x 处有极值,且当0>A 时有极小值),(00y x f ;0(2) 当02<-B AC 时,函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时,函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值,也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,则求),(y x f z =的极值的一般步骤为:第一步解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点;第二步求出函数),(y x f 的二阶偏导数,依次确定各驻点处A 、 B 、C 的值,并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:(1)求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;(2)求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;(3)将前两步得到的所有函数值进行比较,其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,可以判断出函数),(y x f 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得,而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点,则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值(最小值).三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量一般只要求落在定义域内,并无其它限制条件,这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中,常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ?在区域D 内有一阶连续偏导数,则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ?的极值问题,可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=(其中λ为某一常数)的无条件极值问题.于是,求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ?的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ?λ?λ?λ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注:拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲:二元函数极值的概念例1(讲义例1)函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看,2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面,点)0,0,0(是它的顶点.(图7-6-1).例2(讲义例2)函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看,22y x z +-=表示一开口向下的半圆锥面,点)0,0,0(是它的顶点.(图7-6-2). 例3(讲义例3)函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看,它表示双曲抛物面(马鞍面)(图7-6-3)例4(讲义例4)求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.例5 证明函数y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值例6(讲义例5)求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.。
多元最大值与最小值的求解方法
多元最大值与最小值的求解方法在数学中,求解多元最大值和最小值是一项非常重要的任务。
这是因为在实际生活和科学研究中,很多问题需要找到一个最优解或最劣解,而这些问题往往涉及到多个变量。
最常用的求解多元最大值和最小值的方法有两种:一种是解析法,另一种是数值法。
解析法是指通过解方程或求导等数学方法,得到问题的解析解。
因此,这种方法要求问题的解具有解析解的形式。
例如,对于二元函数$y=f(x_1, x_2)$,如果它的偏导数存在、连续,且二阶偏导数均存在,那么我们可以使用偏导数法求解它的最大值和最小值。
以某个例子为说明,假设有二元函数$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1-6x_2$,我们需要求解它的最小值。
我们先计算出它的两个偏导数:$\frac{\partial f}{\partial x_1}=2x_1+2x_2-4$$\frac{\partial f}{\partial x_2}=2x_1+2x_2-6$把这两个方程联立,再解出$x_1$和$x_2$的值,即可得到$f(x_1,x_2)$的最小值。
但是,在实际问题中,有很多函数都没有解析解,或者解析解非常复杂难以求得。
这时,我们就需要采用数值法求解多元最大值和最小值。
数值法是指通过数值逼近的方式,求出函数在一定范围内的最大值和最小值。
一般来说,数值法分为两类:最优化算法和随机化算法。
最优化算法是指一种寻找全局最优解或局部最优解的算法。
常见的最优化算法包括梯度下降、拟牛顿法、共轭梯度法、Nelder-Mead法等。
这些算法都是基于给定的函数和初始解,通过迭代计算,最终寻找到函数的最优解。
随机化算法是指一种通过随机操作来寻找解的算法。
其中,蒙特卡罗方法是最为典型的一种。
蒙特卡罗方法通过随机采样生成许多点,再通过这些点的统计信息得到函数的最优解。
这种方法在计算比较复杂或无法求导的函数时特别有用。
同时,求解多元最大值和最小值的数值方法还有其他一些方法,例如遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法等,都可以在特定条件下得到较好的结果。
多元函数的极值及其求法
的梯度平行
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
拉格朗日 乘数法
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个 约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值.
( x , y ),
取 y y 0,则 f ( x , y ) f ( x , y ), 0 0 0
一元函数
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f ( x , y 0 ) 在 x x 0 取得极大值 .
y
( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 ) 0.
2 2
2 2 2
的最大值和最小值.
0, 0,
解: 由 zx
zy
得驻点(
( x y 1) 2 x ( x y ) ( x y 1)
2 2 2 2
( x y 1) 2 y ( x y ) ( x y 1)
2 2 2
1 2
,
1
)和 (
1 2
f x ( x 0 , y 0 ) 0 , f y ( x 0 , y 0 ) 0 .(驻点)
多元函数的极值点如果有偏导数则必是驻点.
证:
不 妨 设 z f ( x , y )在 点 ( x 0 , y0 ) 处 有 极 大 值 ,
则对于 ( x 0 , y 0 )的某个邻域内的所有点 都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ),
A f xx ( x 0 , y 0 ) , B f xy ( x 0 , y 0 ) , C f yy ( x 0 , y 0 ),
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1(必要条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值,则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2(充分条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导,又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ,令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下:
(1)02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值,当0>A 时有极小值;
(2)02<-B AC 时没有极值(在()00,y x 处不取极值);
(3)02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点,可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=,
其中λ为参数。
()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。
多元函数的极值与最值求解
多元函数的极值与最值求解在数学中,多元函数是指有多个自变量的函数。
对于多元函数,我们常常需要求解它的极值与最值,以便确定函数的特征与性质。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法。
一、极值的定义与求解方法在多元函数中,极值是指函数在某个局部区域内取得的最大值或最小值。
极值的求解可以通过以下方法进行:1. 边界法:如果多元函数在一个有限的闭区域内定义且连续,在区域内的边界上取到的值必然是极值。
因此,我们可以通过计算多元函数在边界上的值来确定极值。
需要注意的是,在使用边界法时,我们应当首先确定区域的边界。
2. 梯度法:多元函数的梯度表示函数在某个点处的变化率和方向。
对于一个局部极值点,函数在该点处的梯度应当为零。
因此,我们可以通过求解多元函数的梯度并令其为零来确定极值点。
3. Lagrange乘数法:Lagrange乘数法适用于求解多元函数在约束条件下的极值问题。
通过引入一个或多个约束条件,我们可以将多元函数的极值问题转化为无约束条件下的极值问题。
随后,可以使用梯度法或其他方法求解。
二、最值的定义与求解方法在多元函数中,最值指的是函数在某个区域内取得的最大值或最小值。
最值的求解可以通过以下方法进行:1. 整体法:整体法是指先求出函数在整个定义域上的取值,然后从中选取最大值或最小值作为最值。
该方法适用于函数在整个区域内单调递增或单调递减的情况。
2. 极值法:可以通过先求解函数的极值点,然后在这些点处比较函数的取值来确定最值。
需要注意的是,函数的最值可能存在于极值点处,也可能存在于边界上。
3. 梯度法:与求解极值类似,可以通过计算多元函数的梯度,并在梯度为零的点处比较函数的取值来确定最值。
三、示例为了更好地理解多元函数的极值与最值的求解方法,我们来看一个具体的示例。
假设有一个二元函数 f(x,y) = x^2 + y^2,我们需要求解这个函数的极值与最值。
首先,我们计算函数的梯度∇f = (2x, 2y)。
多元函数最值问题求解的常用策略
例5 若 xy = 1 ,那么 ,代数式
1
x
4
+
1 4的 4y
最小值是 . ( 1996 ,湖北省黄冈市初中数学竞赛) 2 2 1 1 1 1 解: ∵ 4 + 4 = 2 + 2 x 4y x 2y 1 1 ≥ 2・ 2 ・ 2 = 1 , x 2y 1 1 ∴ 4 + 4 的最小值是 1. x 4y 6 夹逼法 例6 已知三个非负数 a 、 b、 c 满足 3 a + 2 b + c = 5 和 2 a + b - 3 c = 1. 若 m = 3 a + b -
x1 、 x2 是方程 ax + bx + c = 0 的两根 .
2
例 12 若 m 和 n 都是正整数 , 且 m ≤
1 996 , r = 2 m > 0 ,则 r 的最小值为 n m m m > 0 ,得 < 2 , n > . n n 2
由 x1 + x 2 = -
b c < 0 , x1 x2 = >0 , a a
3 本文收稿日期 :2002203218
2 2 2 3 2 3 2 2 2
= 5 x +
x+
3 y- 3 5
2
+
6 5
y-
5 6
2
+
1 . 6
当
3 y - 3 =0, 5
5 y=0 6
时 ,上式取得最小值 .
此时 x =
5 5 1 ,y = ,原式达到最小值 . 2 6 6
8-8 多元函数的极值及其求法
例2. 函数 z x 2 y 2 2 在点(0,0)处有极大值。
因为在点(0,0)处函数值为 2,而对于点(0,0)的 任一去心邻域内的点函数值都小于 2
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
3 3 Ay 3 x 42 0 y 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为
3
高为
3
1 3 4 4 3 3 2
1
3
9 2
4 3
时, 水箱成本最低.
例7. 证明在半径为R的圆的所有外切三角形中,等边 三角形的面积最小. 证:设ΔABC 为圆的任一外切三角形, 三切点与圆心连线的 交角分别为 , , , 其中 2 ( ), ΔABC的面积为S 2 S R (tan tan tan ) A 2 2 2 2 R (tan tan tan ) 2 2 2 B C 1 2 2 2 S R (se c se c )0 2 2 2 2 令 解得 1 2 2 2 3 S R (se c se c ) 0 2 2 2 为定义域内唯一组解,由几何意义知圆的外切三角形中面积
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值 .
如方法 1 所述 , 设 ( x, y ) 0 可确定隐函数 y ( x) , 则问题等价于一元函数 z f ( x, ( x)) 的极值问题, 故 极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记
8.8 多元函数极值及其求法-文档资料
取得极值的必要条件: 定理1 设函数zf (x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点
(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.
类似地可推得,如果三元函数uf (x,y,z)在点(x0,y0,z0) 具有偏导数,则它在点(x0,y0,z0)具有极值的必要条件为
处有极小值f(1,0)5,所以f (1,2)不是极值;
在点(3,0)处,ACB 212·6<0,所以f (3,0)不是极值;
在点(3,2)处,ACB 212·(6)>0,又A<0,所以函数的
(3,2)处有极大值f(3,2)31.
应注意的问题: 不是驻点也可能是极值点. 例 如 函 数 z x 2 y 2 在 点 ( 0 , 0 ) 处 有 极 大 值 , 但 ( 0 , 0 ) 不 是
函数的驻点.因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的 驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.
z O
y
x
最大值和最小值问题:
解 设 水 箱 的 长 为 x m , 宽 为 y m , 则 其 高 应 为 2 m . xy
此水箱所用材料的面积为
A 2 ( x y y · 2 x · 2 ) , 即 2 ( x y 2 2 ) ( x > 0 , y > 0 ) . x x y y x y
令 A x 2 ( y x 2 2 ) 0 , A y 2 ( x y 2 2) 0 . 得 x 3 2 , y 3 2 . 由题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域
多元函数求极值的方法总结(一)
多元函数求极值的方法总结(一)多元函数求极值的方法前言多元函数求极值是数学中的重要概念,它在众多实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数求极值的几种常用方法,希望对读者加深对该主题的理解。
正文1. 求偏导数求多元函数的极值,首先需要求出其偏导数。
对于多元函数f(x1,x2,...,x n),分别对各个变量求偏导数,并令其等于零,可以得到一组方程。
解这组方程即可得到函数的驻点。
2. 极值判定条件在确定函数的驻点后,我们需要进一步进行极值判定。
可以通过求解二阶偏导数来判断驻点是否是极值点。
具体方法如下:•若二阶偏导数全为正,则为极小值点;•若二阶偏导数全为负,则为极大值点;•若二阶偏导数有正有负,则为鞍点。
3. 拉格朗日乘数法当多元函数存在一些约束条件时,可以使用拉格朗日乘数法求解其极值。
该方法通过引入拉格朗日乘子,将原问题转化为无约束条件的极值求解。
具体步骤如下:•列出约束条件的方程式,并引入拉格朗日乘子;•求解拉格朗日函数的偏导数,并令其等于零;•解方程组,得到自变量和拉格朗日乘子的值。
4. 条件极值在实际问题中,有时需要求解多元函数在一定条件下的最大值或最小值。
此时,我们可以将该条件转化为方程,并结合求偏导数的方法进行求解。
结尾多元函数求极值是一门复杂而重要的数学问题,常用的求解方法有求偏导数、极值判定条件、拉格朗日乘数法和条件极值。
通过合理地运用这些方法,我们可以在实际问题中找到函数的最大值或最小值。
希望本文对读者对多元函数求极值的方法有所启发和帮助。
注:文章中所述的方法和概念仅为常规方法,实际问题中可能还有其他更为复杂的求解方式。
拓展阅读1. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法,可以用于求解多元函数的最小值。
该方法通过迭代计算函数的负梯度方向,使函数值逐渐接近最小值。
梯度下降法在机器学习和深度学习等领域得到广泛应用。
2. 牛顿法牛顿法也是一种常用的优化算法,可以用于求解多元函数的最小值或最大值。
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初中数学多元极值问题
例1 设x ,y 为实数,代数式2
2
245425x xy y x y ++-+-的最小值为 . 分析与解:配方得:原式=2
2
2
2
44442110x xy y x x y y +++-++++-
=2
2
2
(2)(2)(1)10x y x y ++-++-
显然,当2,1x y ==-时,原式有最小值-10.
同类型试题: 设x ,y 为实数,代数式2
2
54824x y xy x +-++的最小值为 ,此题也可以用配方法来解决,最小值为3.
二、消元法:把多个元素转化为某一元素为主元,再结合已知条件,经过合理的运算,使问题逐步简化,便利求解.
例2 已知a ,b ,c 为整数,且2006a b +=,2005c a -=,若a b <,则:a b c ++的最小值是: .
分析与解:由2006=+b a ,2005=-a c ,得 4011+=++a c b a . 因为2006=+b a ,a b <,a 为整数,所以,a 的最大值为1002. 于是,a b c ++的最大值为5013.
例3 若50z -y x 30z y x =+3=++,
,且x 、y 、z 均为非负数,则z y 5x M 2+4+=的最大值为_________________.
分析与解:由30
350x y z x y z ++=⎧⎨
+-=⎩用x 来表示y 、z ,得y=40-2x ,z=x -10,又由y ≥0,z ≥0,得402x x -≥0
⎧⎨
-10≥0⎩解得10≤x ≤20,又把y=40-2x ,z=x -10代入M=5x+4y+2z 得,M=-x+140,显然M 是关于x 的一次函数,且M 随x 增大而减小,所以当x=10时,M 的最大值为130. 三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
例4 已知5x y +=,且0,0,x y >>的最小值为( )
(A )3 (B )4 (C )5 (D 分析与解:这道题,初识实感无从下手,若将“式”转化成“形则或轻松解.(如图1)
分别以x 、1和y 、2
为斜边,构造如图1所示的两个Rt ABC ∆、
Rt DEC ∆。
由图形显见,当点C 位于直线 AD 上时,AC+AD
值最小.
于是过点A 作AG 垂直DE 的延长线交于G 点,则四边形ABEG 是矩形,
∴1AB EG ==
又
5AG BE x y ==+=
在Rt ADG ∆中,DG=3,AG=5, 斜边
由勾股定理可得:
故应选择D 。
同类型试题: 已知a ,b 均为正数,且2a b +=,求1422+++=
b a u 的最小值.
(2003年北京市初二数学竞赛试题),此题也可以用此方法来解决,
四、均值代换法:在数学问题中,出现条件x y a +=时,我们常作代换2a x t =+,
2
a
y t =-,这种代换称为均值代换.
例5 若x ,y 均为正数,且1x y +=,求
11
(1)(1)x y
++的最小值. 分析与解:由1x y +=,设: 12x t =+,
1
2
y t =-,则 11(1)(1)x y ++=1x y xy xy +++=21xy +=
22114
t +-=28
114t +- ∵0,0x y >> ∴1122t -<< 当240t =时,即0t =时,此时1
2
x y ==,原式有最小值:189+=.
五、和差代换法:对于任意的实数x ,y ,总有2222x y x y x x y x y y +-⎧=+⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩ ,若令2
2
x y a x y b +⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
A G
E
2
1
图 1
则有:x a b
y a b
=+⎧⎨
=-⎩,这种代换称为和差代换.
例6 已知实数b a ,满足2
2
2
2
,1b a ab t b ab a --==++且,那么t 的取值范围是 _____. 分析与解:设,a x y b x y =+=-,把它们代入22
1a ab b ++= 中,得:
22()()()1x y x y x y x y +++-+-=() 化简得: 2213y x =-
因为: 22
1
0,3
y x ≥≤≤
所以0 ∴2
2
2
2
2
22
()()()(3)3(13)83t x y x y x y x y x y x x x =+--+--=-+=---=-() ∵2
13x ≤≤
0 ∴2883x ≤≤0 ∴2
1833x ≤-≤--3 即:13
t ≤≤--3 六、参数法:参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题. 例7 若3
2211-=
+=
-z y x ,则2
22z y x ++可取的最小值为( ) A. 3 B. 14
59
C. 29
D. 6
解:设k z y x =-=+=-3
2
211 则23121+=-=+=k z k y k x ,,
所以2
2
2
z y x ++2
2
2
(1)(21)(32)k k k =++-++
214106k k =++2559
14()1414
k =+
+ ∴当514k =-时 ∴2
22z y x ++的值最小为14
59,应选B
七、整体设元法:就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联系的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入和求值等.
例8 已知a ,b 为实数,那么2
2
2a ab b a b ++--的最小值是
分析与解:本题要直接求出所求式子的值很困难,故可以采取整体设元,巧妙运用二元一次方程的根的判别式来解决,思路就显得非常简捷.
设2
2
2a ab b a b ++--=t ,将等式整理成关于a 为主元的二次方程,得
22(1)(2)0a b a b b t +-+--=
∵a 为实数 ∴2
2
(1)4(2)0b b b t ∆=----≥
即2
4361t b b ≥-- 就是2
43(1)44t b ≥--≥-
∴1t ≥- ,当1t =-时,有1,0b a ==.
故当0,1a b ==时, t 有最小值,即代数式2
2
2a ab b a b ++--有最小值是-1.
八、利用函数的性质:借助二次(一次)函数的增减性,并注意自变量的取值范围,可使问题迎刃而解.
例9 已知0<a ,0≤b ,0>c ,且ac b ac b 242-=-,求ac b 42
-的最小值.
分析与解:将已知等式两边平方得 22
4(2)b ac b ac -=- 整理可得: 22
a c ac
b a
c =- 又0ac ≠ ,得1ac b =-.
故ac b 42
-=2
4(1)b b --=2
(2)b -
此为关于b 的二次函数,且开口向上,对称轴为b =2 ,又由于0≤b ,知当0b =时,
ac b 42-取得最小值4.
第一章 总 论
第一节 会计概述 一、会计的概念及特征 (一)会计的概念 (二)会计的基本特征
1.会计以货币作为主要计量单位 2.会计拥有一系列专门方法
3.会计具有核算和监督的基本职能 4.会计的本质就是管理活动 二、会计的基本职能 (一)会计的核算职能 (二)会计的监督职能
(三)会计核算与监督职能的关系 三、会计对象和会计核算的具体内容 (一)会计对象
(二)会计核算的具体内容 1.款项和有价证券的收付 2.财物的收发、增减和使用 3.债权、债务的发生和结算 4.资本的增减
5.收入、支出、费用、成本的计算
6.财务成果的计算和处理
7.需要办理会计手续、进行会计核算的其他事项第二节会计基本假设
一、会计主体
二、持续经营
三、会计分期
四、货币计量
第三节会计基础
一、会计基础的概念和种类
二、权责发生制
三、收付实现制
第二章会计要素与会计科目
第一节会计要素
一、会计要素的确认
(一)资产
1.资产的定义
2.资产的分类
(二)负债
1.负债的定义
2.负债的分类
(三)所有者权益。