【精品】第二十一章重积分

《数学分析》第二十一章二重积分 5

a x
o
f ( r ,θ )dθ .
θ = arccos
r a
练习题
一,填空题: 填空题: 1 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 x , 表示为极坐
D
标形式的二次积分, 标形式的二次积分,为_____________________. 2 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 0 ≤ y ≤ 1 x , 0 ≤ x ≤ 1, 表
D
= ∫ dθ ∫
α
β
2 (θ )
1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(2)
区域特征如图
r = (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
例2
计算 ∫∫ e
D
x2 y2
dxdy ,其中 D 是由中心在
原点, 的圆周所围成的闭区域. 原点,半径为a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
D: D: 0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
D 1
sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D

21-9——华东师范大学数学分析课件PPT

I
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v

数学分析刘玉琏21-2

dx f ( x , y ) dy dy f ( x , y ) dx
c c a
d
d
b
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
例计算 I ( x 2 y 2 1)dxdy，其中D为矩形 :[1,1] [2, 2].
2 2 1 3 2 2 解 I dx ( x y 1)dy 1 x y y y dx 1 2 3 2 1 28 64 2 4 x dx . 1 3 3 1 2 1 2 1 3 2 2 2 或者 I dy ( x y 1)dx 2 x y x x dy 2 1 1 3 2 8 64 2 2 y dy . 例1(P219) 2 3 3
D1
D2
D3
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x , y )d
D D1 D2 D3
例3( P 221) 计算二重积分 d , 其中D由直线y 2 x , x 2 y及
D
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
二一般区域上二重积分的计算
1. x型区域上二重积分的计算区域 D { ( x, y) | y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b }
y y y ( x) 2 D
y y1 ( x )
称为 x 型区域定理 21.10(P220) 设 f (x,y)在 x型区域
1
D 2
1
推论(补充) 设φ(x)在[a,b]上可积，ψ(y)在[c,d]上可积，则乘积函数 f (x,y) = φ(x) .ψ(y) 在 D = [a,b]×[c,d] 上也可积，且

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)

证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在上无界，从而存在从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
1 / 48
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
3 / 48
圣才电子书

为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
9 / 48
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
10 / 48
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固

数学分析课本-习题及答案第二十一章

第十一章重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ，其中等号仅在f 为常量函数时成立。

数学分析刘玉琏21-6

1 令x sin t 2
y3 2 (1 4 x ) y 3 0
1 4 x 2
2 12 dx (1 4 x 2 )3 2 dx 3 0
第二十一章重积分§6重积分的应用
2 2 2 例(P222 §2例4) 求两个圆柱面 x 2 y 2 R2及 x z R
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y 1 4x2
D1
o
12 1 4 x 2
0.5
x
V1 (1 4 x y ) d dx
2 2 D1
0
0
(1 4 x 2 y 2 ) dy

12
0
1 3 1 2 1 4 2 cos t dt . 3 4 2 2 16 3 2 0 所求立体的体积 V 4V1 . 4 上册P227(12)式 V1也可用广义极坐标变换求得(P241).
所围的立体在第一卦限部分的体积.
解
所求立体
R
z
R
可以看成是一个曲
z
顶柱体，它的曲顶
为
R
o
z R x ,
2 2
o
R
y
R
R
y
x
x
y
y R2 x 2
D
0 x R, 它的底为 D : 2 2 0 y R x .
R
o
R
x
第二十一章重积分§6重积分的应用
它的曲顶为 z
R x ,
2
2
y
R
D
O
y R2 x 2
0 x R, 它的底为 D : 2 2 0 y R x .

数学分析第二十一章重积分第一次课

的面积为零. 定理21.3 若曲线K是定义在[a, b]上的连续函数f ( x)的图象,
则曲线K的面积为零.
证明由于f ( x)在[a, b]上连续, 从而在[a, b]上一致连续.
0, 0, 使当分划a x0 xn b满足 max {xi } 时,
yk mik yk f (i , y )dy M ik yk . yk 1 s s d 因此 mik yk F (i ) c f (i , y )dy M ik yk , k 1 k 1 r s r r s mik yk xi F (i )xi M ik yk xi . i 1k 1 i 1 i 1k 1 r 由f ( x, y )的可积性得 lim F (i )xi f ( x, y )d . D T 0 i 1 r b b d 由定积分定义得 lim F (i )xi F ( x)dx dx f ( x, y )dy. a a c T 0 i 1 b d D f ( x, y)dxdy a dx c f ( x, y)dy.
和式S (T )
i 1
M i i , s(T ) mi i , 分别称为f ( x, y )关于分割
i 1
n
n
T的上和与下和定理21.4 f ( x, y )在D上可积的充要条件是 : lim S (T) lim s(T).
T 0 T 0
定理21.5 f ( x, y )在D上可积的充要条件是 : 0, D的某个分割T, 使得 S (T ) s (T ) . 定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积. 定理21.7 设f ( x, y )是定义在有界闭区域D上的有界函数.

数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)

第二十一章重积分7 n 重积分引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为32221112121)(rdz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分，即F x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Vdz dy dx dz dy dx rx x z y x z y x 22211132122221111))(,,(),,(ρρ.这是在由六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示.概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2.设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(.性质：1、若f(x 1,x 2,…,x n )在n 维有界区域V 上连续，则存在n 重积分. 2、若积分区域为长方体[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]，则有 I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(=⎰⎰⎰⋯⋯nnb a n n b a b a dx x x x f dx dx ),,,(21212211.3、当V 由不等式组a 1≤x 1≤b 1, a 2(x 1)≤x 2≤b 2(x 1),…, a n (x 1,…,x n-1)≤x n ≤b n (x 1,…,x n-1) 表示时，则有I=⎰⎰⎰--⋯⋯⋯⋯),,,(),,,(21)()(21121121121211),,,(n n n nx x x b xx x a n n x b x a b a dx x x x f dx dx .4、设变换T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=⋯⋯⋯=⋯=),,,(),,,(),,,(2121222111n n n nn x x x x x x ξξξξξξξξξ把n 维ξ1,ξ2,…,ξn 空间区域V ’ 一对一地映射成n 维x 1,x 2,…,x n 空间的区域V ，且在V ’上函数行列式J=),,,(),,,(2121n n x x x ξξξ⋯∂⋯∂=n nn n n n x x x x x x x x x ξξξξξξξξξ∂∂⋯∂∂∂∂⋯⋯⋯⋯∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂212221212111恒不为零,则有n 重积分换元公式：I= n n n Vdx dx x x f ⋯⋯⎰⋯⎰11),,(个=n n n n n Vd d J x x f ξξξξξξ⋯⋯⋯⋯⎰⋯⎰1111||)),,(,),,,((个.例1：求n 维单纯形T n ：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h 的体积. 解：作变换x 1=h ξ1,x 2=h ξ2,…,x n =h ξn , 则J=h n , 单纯形T n 的体积为△T n =h nn n D d d d ξξξ⋯⎰⋯⎰211个=h n a n . 其中D 1={(ξ1,ξ2,…,ξn )|ξ1+ξ2+…+ξn ≤1, ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn ≥0}，则a n =1211101--⋯⎰⋯⎰-⎰n n T n d d d d n ξξξξ个, 其中T n-1={(ξ1,ξ2,…,ξn-1)|ξ1+ξ2+…+ξn-1≤1-ξn , ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn-1≥0}. 又对积分a n 作变换ξ1=(1-ξn )ζ1,…, ξn-1=(1-ξn )ζn-1, 则J=(1-ξn )n-1,a n = 12111012)1(---⋯⎰⋯⎰-⎰n n D n n n d d d d ζζζξξ个= a n-1⎰--101)1(n n n d ξξ=na n 1-, 其中D 2={(ζ1, ζ2,…, ζn-1)| ζ1+ζ2+…+ζn-1≤1, ζ1≥0, ζ2≥0,…, ζn-1≥0}.当n=1时，a 1=1, ∴a n =!1n , 于是单纯形T n 的体积为△T n =!n h n .例2：求n 维球体V n ：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2的体积.解法一：作变换x 1=R ξ1,x 2=R ξ2,…,x n =R ξn , 则J=R n , 球体V n 的体积为△V n =R nn n d d d n ξξξξξ⋯⎰⋯⎰≤+⋯+211221 个=R n b n . 其中b n =121111122121---≤+⋯+-⋯⎰⋯⎰-⎰n n n d d d d nn ξξξξξξξ 个=⎰-11n d ξ△V n-1=b n-1⎰---11212)1(n n n d ξξ. 令ξn =cos θ, 则有b n =b n-1⎰-01cos sin πθθd n =2b n-1⎰20sin πθθd n . 又⎰20sin πθθd n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-12!)!12(!)!2(22!!2!)!12(m n ，m m m n ，m m π, 及b 1=2, ∴△V n =R nb n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.解法二：作变换x 1=rcos φ1,x 2=rsin φ1cos φ2, x 3=rsin φ1sin φ2cos φ3,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1, x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-1, 则 J=r n-1sin n-2φ1sin n-3φ2…sin 2φn-3sin φn-2, 积分区域为：0≤r ≤R, 0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π, 0≤φn-1≤2π, 从而 △V n =⎰⎰⎰⎰------⋯⋯πππϕϕϕϕϕϕ20122312102001sin sin sin n n n n n n Rd r d d dr=⎰⎰⎰----⋯πππϕϕϕϕϕ2010220112sin sin n n n n n d d d n R =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△V 1=2R ，△V 2=πR 2，△V 3=34πR 3.求n 维空间中的曲面面积：设x n =f(x 1,…,x n-1), f(x 1,…,x n-1)∈△⊂R n-1为n 维空间中的曲面，则其面积为 11212111---∆⋯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎰⋯⎰n n n nn dx dx x x x x 个.例3：求n 维单位球面x 12+x 22+…+x n 2=1的面积.解：n 维单位球面上半部为：x n =)(12121-+⋯+-n x x (2121-+⋯+n x x ≤1), 又21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-n n n x x x x =n x 1, ∴上半球面面积为 21△S=n n n x x x dx dx n 11112121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰- 个=)(1212111112121---≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰-n n n x x x x dx dx n个=⎰---+⋯+-+⋯+------≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰)(1)(1212112121222122212121)(1n n n x x x x n n n n x x xx dx dx dx个. 又⎰--+⋯+-+⋯+----+⋯+-)(1)(12121122212221)(1n n x x x x n n x x dx =π, ∴21△S=π21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个=πb n-2, 其中b n-2=21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个为n-2维空间中单位球体体积.由例2得n 维球面面积为：△S=2πb n-2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-12!)!12()2(22)!1(2m n ，m m n ，m mmππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△S 1=2，△S 2=2π，△S 3=4π.习题1、计算五重积分⎰⎰⎰⎰⎰Vdxdydzdudv , 其中V ：x 2+y 2+z 2+u 2+v 2≤r 2.解：根据例2的结论，当n=5时V 5=!!5)2(225πr =15852r π.2、计算四重积分⎰⎰⎰⎰++++----Vdxdydzdu u z y x u z y x 2222222211, V ：x 2+y 2+z 2+u 2≤1.解：令x=rcos φ1, y=rsin φ1cos φ2, z=rsin φ1sin φ2cos φ3, u=rsin φ1sin φ2sin φ3, 原式=⎰⎰⎰⎰+-102123222030201sin sin 11dr r rr d d d ϕϕϕϕϕπππ =⎰⎰+-132011211sin 4dr r r r d πϕϕπ=2π2⎰+-1032211dr r r r =π2(1-4π).3、求n 维角锥x i ≥0,nn a x a x a x +⋯++2211≤1, a i >0 (i=1,2,…,n)的体积. 解：令ξi =iia x (i=1,2,…,n), 则V=n n a x dx dx n i ii ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个=a 1…a n n n d d n i i ξξξ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个.由例1得V=!1n a 1…a n .4、把Ω：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2上的n(n ≥2)重积分n n n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个化为单重积分，其中f(u)为连续函数. 解：令x 1=rcos φ1, x 2=rsin φ1cos φ2,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1,x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-2sin φn-1, 则nn n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个=⎰⎰⎰⎰⎰------⋯⋯ππππϕϕϕϕϕϕϕ2012231202020101sin sin sin )(n n n n n Rn d d d d dr r f r ,∵⎰π0sin tdt n =2⎰20cos πtdt n =⎪⎭⎫⎝⎛+Γ⎪⎭⎫⎝⎛+Γ2221n n π. ∴原式=⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓR n hdr r f r h 012)(22π.。

三重积分

数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§1三重积分
三重积分的概念
化三重积分为累次积分
三重积分换元法
(0,0, z) 作垂直于 z 轴的平面在 V 上的截面. 此时
f
f ( x, y, z)dxdydz e dz f ( x, y, z)dxdy. (4)
V
D( z )
同样有
b
f ( x, y, z)dxdydz a dx f ( x, y, z)dydz. (4)
V ( x, y, z) z1( x, y) z z2( x, y), ( x, y) D( xy) ,
其中 D( xy) 是 V 在 x y 平面上的投影, zi ( x, y), i 1, 2 是 D( x y) 上的连续函数. 此时有
f ( x, y, z)dxdydz dxdy z2( x,y) f ( x, y, z)dz.
数学分析第二十一章重积分
§5
三重积分
三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量. 研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似.
一、三重积分的概念二、化三重积分为累次积分三、三重积分换元法
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1三重积分
三重积分的概念
化三重积分为累次积分
三重积分的概念
V1,V2 ,K ,Vn , 用 Vi 记 Vi (i 1, 2, L , n) 的体积, 并记
T
max 1i n
Vi 的直径
.
(i ,i , i ) Vi (i 1, 2,L , n), 作积分和
n
f (i ,i , i )Vi .
i 1
数学分析第二十一章重积分

21.8 反常二重积分数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

*点击以上标题可直接前往对应内容定义1设(,)f x y 为定义在无界区域D 上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线,γ(,)f x y γE γ在曲线所围的有界区域与D 的交集E D D γγ= (图21-42)上二重可积.{}22min(,).d x yx y γγ=+∈若存在有限极限:xy2142-图γOE γDDγ令定义1lim (,)d ,d D f x y γγσ→∞⎰⎰γ且与的取法无关, 重积分收敛, (,)d lim (,)d ;(1)d DD f x y f x y γγσσ→∞=⎰⎰⎰⎰否则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分发散, 或简(,)d Df x y σ⎰⎰发散.称(,)f x y 在D 上的反常二则称并记定理21.17为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,{}22(i)inf(,)();n n d x yx y n γ=+∈→+∞→∞(ii)sup (,)d ,nnD I f x y σ=<+∞⎰⎰,n n DE D = n γn E 其中为所围的有界区域.常二重积分(1) 必定收敛, (,)d .Df x y I σ=⎰⎰设在无界区域D 上(,)0,f x y ≥12,,,γγ ,n γ 满足这时反并且,E '的区域记为.D E D ''= 并记→∞=+∞lim ,n x d 因为.n D D D '⊂⊂因此存在n , 使得≥(,)0,f x y 由于所以有(,)d (,)d .nD D f x y f x y I σσ'≤≤⎰⎰⎰⎰另一方面，因为sup (,)d ,nnD I f x y σ=⎰⎰0,ε>0,n 故对任给的总有证设'γ为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成使得(,)d .nD f x y I σε>-⎰⎰(,)d .D f x y I σε'>-⎰⎰再由(,)d ,D I f x y I εσ'-<≤⎰⎰由定理21.17 的证明容易看到有以下定理:0,n D D '⊃因而对于充分大的有可知反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰存在, 且等于I .定理21.18若在无界区域D 上(,)0,f x y ≥则反常二重积分(1) 收敛的充要条件是：上(,)f x y 可积，且积分值有上界.例1证明反常二重积分22()e d x y Dσ-+⎰⎰收敛,=+∞⨯+∞[0,)[0,).D 部分. 证设是以原点为圆心R 为半径的圆在第一象限R D 在D 的任何有界子区域其中D 为第一象限部分, 即22()e0,x y -+>所以二重积分因为22()e d Rx y D σ-+⎰⎰的值随着R 的增大而增大.22()ed Rx y D σ-+⎰⎰所以22()lim ed Rx y R D σ-+→∞⎰⎰显然对D 的任何有界子区域,D '总存在足够大的R , 使得,R D D '⊂于是22()ed x y D σ-+'⎰⎰又因2220πd e d (1e ),4Rr R r r θπ--==-⎰⎰2lim (1e ).44R R ππ-→∞=-=22()ed Rx y D σ-+≤⎰⎰π.2≤2ed .x σ+∞-⎰的值为此, 考察=⨯[0,][0,]a S a a 上的积分22()ed .a x y S σ-+⎰⎰因为-+⎰⎰22()e d ax y S σ--=⎰⎰22ed ed aax y x y ()22e d ,axx -=⎰因此由定理21.17, 反常二重积分22()e d x y Dσ-+⎰⎰收敛，并且由定理21.16有22()πe d .(2)4x y Dσ-+=⎰⎰由(2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分故得2ed .2x x π+∞-=⎰下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有例2 证明: 若0,0,p q >>则()()(,).()p q p q p q ΓΓB Γ=+Γ=2,x u d 2d ,x u u =证对于函数, 令则于是21210()e d 2e d .p xp u p xx uu Γ+∞+∞----==⎰⎰从而2221210()()4ed ed p xq y p q xx yyΓΓ+∞+∞----=⋅⎰⎰关函数与Γ函数的联系公式.B 2221210lim4ed e d .RR p x q y R xx yy ----→∞=⋅⎰⎰令=⨯[0,][0,],R D R R 由二重积分化为累次积分的计算公式, 222121()ed Rp q x y D xyσ---+⎰⎰所以222121()()()lim 4ed Rp q x y R D p q xyσΓΓ---+→∞=⎰⎰222121()4ed ,(4)p q x y Dxyσ---+=⎰⎰式右边的反常二重积分,记这里为平面上第一象限.D {}222(,)|,0,0.r D x y x y r x y =+≤≥≥有2221210ed e d .RRp x q y xx yy ----=⋅⎰⎰和例1 一样,下面讨论(4)于是有222121()()()4ed ,p q x y Dp q xyσΓΓ---+=⎰⎰222121()lim4ed .rp q x y r D xyσ---+→∞=⎰⎰对上式积分应用极坐标变换，+----→∞=⎰⎰22()22121200()()lim4d (cos )(sin )e d .rp q p q r r p q rr r πθθθΓΓ221212()120lim 2(cos )(sin )d 2e d rp q p q r r rrπθθθ--+--→∞=⋅⎰⎰2121202(cos )(sin )d ().p q p q πθθθΓ--=⋅+⎰再由第十九章§3 的(10) 式就得到()()(,)().p q p q p q ΓΓB Γ=+则得定理21.19(,)f x y D 设在无界区域的任何有界子区域上证(只证充分性) 设⎰⎰|(,)|d Df x y σ收敛于M .作辅|(,)|(,)(,),2f x y f x y f x y ++=|(,)|(,)(,).2f x y f x y f x y --=可积. 要条件是:助函数:|(,)|d D f x y σ⎰⎰收敛.反常二重积分收敛的充则反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰显然有0(,)|(,)|,0(,)|(,)|,f x y f x y f x y f x y +-≤≤≤≤因而任给有界区域,D σ⊂恒有(,)d |(,)|d ,f x y f x y M σσσσ+≤=⎰⎰⎰⎰(,)d |(,)|d .f x y f x y M σσσσ-≤=⎰⎰⎰⎰+(,)f x y -(,)f x y 所以与在D 上的反常二重积分都收敛.+-=-(,)(,)(,),f x y f x y f x y 所以(,)f x y 在D 上的反常二重积分也收敛.又因关于必要性的证明, 有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.注对于反常定积分, 绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然.分一定收敛, 反之亦然.为直线上的点是有序的, 而在平面上的点是无序的.而在反常二重积分中, 绝对收敛的反常积出现这种区别的原因, 是因定理21.20 (柯西判别法)=+22.r x y (i)若当r 足够大时, |(,)|(),p cf x y c r≤为正常数2p >⎰⎰(,)d Df x y σ则当时, 反常二重积分收敛；(,)f x y |(,)|,p cf x y r≥(ii) 若在D 上满足其中D 包含有以原点为顶点的无限扇形区域,反常二重积分⎰⎰(,)d Df x y σ发散.(,)f x y 设在无界区域D 的任何有界子区域上可积,D 中的点(,)x y 到原点的距离为2p ≤则当时定义2设P 为有界区域D 的一个聚点，(,)f x y 在D 上除(,)f x y D -∆在上可积, →-⎰⎰0lim (,)d d D f x y σ∆若极限∆存在且有限, 并与的取法无关, 无界函数的二重积分点外皆有定义, 且在的任何空心邻域内无界,P P 为D 中任何含有P 的小区域，∆∆的直径. 又设d 表示上的反常二重积分收敛,0(,)d lim(,)d ;d DD f x y f x y σσ∆→-=⎰⎰⎰⎰(,)f x y 在D 则称记作(,)d Df x y σ⎰⎰否则称反常积分发散.与无界区域上的反常重积分一样，常重积分也可建立相应的收敛性定理.也与定理21.20类同, 请读者自证.对无界函数的反其证明方法定理21.21 (柯西判别法)定义, 则下面两个结论成立:(i) 若在点P 的附近有(,),cf x y r α≤其中c 为常数，2200()(),r x x y y =-+-则当<2α(,)d D f x y σ⎰⎰时, 反常二重积分收敛;设在有界区域D 上除点00(,)P x y 外处处有(,)f x y P 是它的瑕点, 点(,),cf x y rα≥且D 含有以点P 为顶点的角形区域, 反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰发散.(ii)若在点P 的附近有≥2α时, 则当复习思考题总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同之处.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章

第十一章重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ，其中等号仅在f 为常量函数时成立。

第二十一章重积分

第二十一章重积分§1 二重积分的概念一面积设2D R ⊂是有界闭集，设[,][,]U a b c d D =⨯⊂，在[,]a b 中插入分点01...n a x x x b =<<<=，在[,]c d中插入分点01...n c y y y d =<<<=，过这些分点作平行于坐标轴的直线，将U 分成许多小矩形,11[,][,],1,...;1,...i j i i j j U x x y y i n j m --=⨯==成为U 的一个分划。

记完全包含于D 内的小矩形的面积之和为mA ，与D 交集非空的矩形面积mB ，显然它们与U 分划有关，且有mA mB ≤。

在[,]a b 和[,]c d 中再增加有限个分点（称为加细）则mB 不增，mA 不减，且任一种分化所得到的mA 不大于mB 。

这些mA 的上确界*mD ，mB 的下确界*mD ，且**mD mD ≤。

若**mD mD =，称为D 是可求面积的。

充要条件是*0m D ∂=，边界面积为零的有界闭区域为零边界区域。

光滑曲线段的面积为零。

二曲顶柱体的体积：底是xy 面具有零边界的有界闭区域D ，顶是非负连续函数(,)z f x y =，(,)x y D ∈所对应的曲面，侧是以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面。

三二重积分的概念：设2D R ⊂是零边界区域，(,)z f x y =在D 上有界。

将D 用曲线网分成n 个小区域，记1max{}i i ndiam D λ≤≤=，01(,)lim (,)niii i DI f x y d f λσξησ→===∑⎰⎰。

设i M 和i m 分别为(,)f x y 在i D 上的上确界与下确界，定义Darboux 大和为1n i i i S M σ==∑，Darboux 小和为1ni i i s m σ==∑性质1 若在已有的份划添加有限条曲线作进一步分划，则Darboux 大和不增，小和不减。

数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)

第二十一章重积分7 n 重积分引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为32221112121)(rdz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分，即F x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Vdz dy dx dz dy dx rx x z y x z y x 22211132122221111))(,,(),,(ρρ.这是在由六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示.概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2.设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(.性质：1、若f(x 1,x 2,…,x n )在n 维有界区域V 上连续，则存在n 重积分. 2、若积分区域为长方体[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]，则有 I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(=⎰⎰⎰⋯⋯nnb a n n b a b a dx x x x f dx dx ),,,(21212211.3、当V 由不等式组a 1≤x 1≤b 1, a 2(x 1)≤x 2≤b 2(x 1),…, a n (x 1,…,x n-1)≤x n ≤b n (x 1,…,x n-1) 表示时，则有I=⎰⎰⎰--⋯⋯⋯⋯),,,(),,,(21)()(21121121121211),,,(n n n nx x x b xx x a n n x b x a b a dx x x x f dx dx .4、设变换T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=⋯⋯⋯=⋯=),,,(),,,(),,,(2121222111n n n nn x x x x x x ξξξξξξξξξ把n 维ξ1,ξ2,…,ξn 空间区域V ’ 一对一地映射成n 维x 1,x 2,…,x n 空间的区域V ，且在V ’上函数行列式J=),,,(),,,(2121n n x x x ξξξ⋯∂⋯∂=n nn n n n x x x x x x x x x ξξξξξξξξξ∂∂⋯∂∂∂∂⋯⋯⋯⋯∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂212221212111恒不为零,则有n 重积分换元公式：I= n n n Vdx dx x x f ⋯⋯⎰⋯⎰11),,(个=n n n n n Vd d J x x f ξξξξξξ⋯⋯⋯⋯⎰⋯⎰1111||)),,(,),,,((个.例1：求n 维单纯形T n ：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h 的体积. 解：作变换x 1=h ξ1,x 2=h ξ2,…,x n =h ξn , 则J=h n , 单纯形T n 的体积为△T n =h nn n D d d d ξξξ⋯⎰⋯⎰211个=h n a n . 其中D 1={(ξ1,ξ2,…,ξn )|ξ1+ξ2+…+ξn ≤1, ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn ≥0}，则a n =1211101--⋯⎰⋯⎰-⎰n n T n d d d d n ξξξξ个, 其中T n-1={(ξ1,ξ2,…,ξn-1)|ξ1+ξ2+…+ξn-1≤1-ξn , ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn-1≥0}. 又对积分a n 作变换ξ1=(1-ξn )ζ1,…, ξn-1=(1-ξn )ζn-1, 则J=(1-ξn )n-1,a n = 12111012)1(---⋯⎰⋯⎰-⎰n n D n n n d d d d ζζζξξ个= a n-1⎰--101)1(n n n d ξξ=na n 1-, 其中D 2={(ζ1, ζ2,…, ζn-1)| ζ1+ζ2+…+ζn-1≤1, ζ1≥0, ζ2≥0,…, ζn-1≥0}.当n=1时，a 1=1, ∴a n =!1n , 于是单纯形T n 的体积为△T n =!n h n .例2：求n 维球体V n ：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2的体积.解法一：作变换x 1=R ξ1,x 2=R ξ2,…,x n =R ξn , 则J=R n , 球体V n 的体积为△V n =R nn n d d d n ξξξξξ⋯⎰⋯⎰≤+⋯+211221 个=R n b n . 其中b n =121111122121---≤+⋯+-⋯⎰⋯⎰-⎰n n n d d d d nn ξξξξξξξ 个=⎰-11n d ξ△V n-1=b n-1⎰---11212)1(n n n d ξξ. 令ξn =cos θ, 则有b n =b n-1⎰-01cos sin πθθd n =2b n-1⎰20sin πθθd n . 又⎰20sin πθθd n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-12!)!12(!)!2(22!!2!)!12(m n ，m m m n ，m m π, 及b 1=2, ∴△V n =R nb n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.解法二：作变换x 1=rcos φ1,x 2=rsin φ1cos φ2, x 3=rsin φ1sin φ2cos φ3,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1, x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-1, 则 J=r n-1sin n-2φ1sin n-3φ2…sin 2φn-3sin φn-2, 积分区域为：0≤r ≤R, 0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π, 0≤φn-1≤2π, 从而 △V n =⎰⎰⎰⎰------⋯⋯πππϕϕϕϕϕϕ20122312102001sin sin sin n n n n n n Rd r d d dr=⎰⎰⎰----⋯πππϕϕϕϕϕ2010220112sin sin n n n n n d d d n R =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△V 1=2R ，△V 2=πR 2，△V 3=34πR 3.求n 维空间中的曲面面积：设x n =f(x 1,…,x n-1), f(x 1,…,x n-1)∈△⊂R n-1为n 维空间中的曲面，则其面积为 11212111---∆⋯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎰⋯⎰n n n nn dx dx x x x x 个.例3：求n 维单位球面x 12+x 22+…+x n 2=1的面积.解：n 维单位球面上半部为：x n =)(12121-+⋯+-n x x (2121-+⋯+n x x ≤1), 又21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-n n n x x x x =n x 1, ∴上半球面面积为 21△S=n n n x x x dx dx n 11112121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰- 个=)(1212111112121---≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰-n n n x x x x dx dx n个=⎰---+⋯+-+⋯+------≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰)(1)(1212112121222122212121)(1n n n x x x x n n n n x x xx dx dx dx个. 又⎰--+⋯+-+⋯+----+⋯+-)(1)(12121122212221)(1n n x x x x n n x x dx =π, ∴21△S=π21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个=πb n-2, 其中b n-2=21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个为n-2维空间中单位球体体积.由例2得n 维球面面积为：△S=2πb n-2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-12!)!12()2(22)!1(2m n ，m m n ，m mmππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△S 1=2，△S 2=2π，△S 3=4π.习题1、计算五重积分⎰⎰⎰⎰⎰Vdxdydzdudv , 其中V ：x 2+y 2+z 2+u 2+v 2≤r 2.解：根据例2的结论，当n=5时V 5=!!5)2(225πr =15852r π.2、计算四重积分⎰⎰⎰⎰++++----Vdxdydzdu u z y x u z y x 2222222211, V ：x 2+y 2+z 2+u 2≤1.解：令x=rcos φ1, y=rsin φ1cos φ2, z=rsin φ1sin φ2cos φ3, u=rsin φ1sin φ2sin φ3, 原式=⎰⎰⎰⎰+-102123222030201sin sin 11dr r rr d d d ϕϕϕϕϕπππ =⎰⎰+-132011211sin 4dr r r r d πϕϕπ=2π2⎰+-1032211dr r r r =π2(1-4π).3、求n 维角锥x i ≥0,nn a x a x a x +⋯++2211≤1, a i >0 (i=1,2,…,n)的体积. 解：令ξi =iia x (i=1,2,…,n), 则V=n n a x dx dx n i ii ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个=a 1…a n n n d d n i i ξξξ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个.由例1得V=!1n a 1…a n .4、把Ω：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2上的n(n ≥2)重积分n n n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个化为单重积分，其中f(u)为连续函数. 解：令x 1=rcos φ1, x 2=rsin φ1cos φ2,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1,x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-2sin φn-1, 则nn n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个=⎰⎰⎰⎰⎰------⋯⋯ππππϕϕϕϕϕϕϕ2012231202020101sin sin sin )(n n n n n Rn d d d d dr r f r ,∵⎰π0sin tdt n =2⎰20cos πtdt n =⎪⎭⎫⎝⎛+Γ⎪⎭⎫⎝⎛+Γ2221n n π. ∴原式=⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓR n hdr r f r h 012)(22π.。

二重积分的变量变换

(1)
当 (即(t) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
广义极坐标变换
f (x)dx
f ((t))(t)dt . (2)
图 21 24
所以
x y
e x ydxdy
u
ev
1
dudv
D
2
1
1
dv
v
u
ev du
1
1v(e e1 )dv
e e1 .
20
v
20
4
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
广义极坐标变换
例2 求抛物线 y2 mx , y2 nx 和直线 y x , y
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
x y
例1 求 e x y dxdy , 其中
D
D是由 x 0, y 0, x y 1
广义极坐标变换
y
1
所围的区域(图21-23). 解为了简化被积函数, 令
D O
1x
u x y,v x y. 即作变换
图 21 23
2
f ( xy )d ln 21 f ( t )dt.
证
令
D
t xy, u
y
即 x t1 2u1 2 , y t1 2u1 2 . 则
x
(t, u) [1,2][1,4], 有

数学分析教案第二十一章重积分

数学分析教案第二十一章重积分一、教学目标1.掌握重积分的定义和性质。

2.了解重积分的计算方法和应用。

3.能够熟练运用重积分解决实际问题。

二、教学重难点1.重积分的计算方法。

2.重积分的应用。

三、教学内容和教学步骤1.重积分的引入通过提问引导学生回顾定积分的概念和计算方法，并对比定积分与重积分的异同之处，引出重积分的概念。

2.重积分的定义和性质定义：设D为平面上的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界，将D 分成许多小矩形，取其中任意一个小矩形，设其面积为ΔA，取小矩形的一些点(xi,yi)，使得(xi,yi)在小矩形内，记作(Pi)，则称Σf(xi,yi)ΔA为f(x,y)在D上的一个二重积分，记作∬D f(x,y)dxdy。

性质：（1）线性性质：∬D (αf(x,y)+βg(x,y))dxdy = α∬Df(x,y)dxdy + β∬D g(x,y)dxdy，其中α、β为常数。

（2）可加性质：D = D1 ∪ D2，则∬D f(x,y)dxdy = ∬D1f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。

（3）保号性质：若f(x,y)在D上非负，则∬D f(x,y)dxdy ≥ 0。

3.重积分的计算方法（1）累次积分法：先对一个变量积分，再对另一个变量积分。

（2）极坐标法：适用于具有极坐标形式的函数，通过变量代换，将重积分转化为二重积分。

（3）换元法：通过变量代换，将重积分中的积分区域变换为简单形式，然后计算二重积分。

4.重积分的应用（1）计算质量：对密度函数和有界闭区域进行重积分，得到物体的质量。

（2）计算重心：对密度函数、有界闭区域和轴线进行重积分，得到物体的重心坐标。

（3）计算面积：对平面区域的特定函数进行重积分，可以计算出该区域的面积。

（4）计算二重积分：通过重积分计算曲面的面积、曲面的体积以及曲面与平面的交线弧长。

四、课堂练习及讲评1.小组讨论解决以质量和重心为主题的实际问题。

《数学分析》第二十一章二重积分 7

U = ∫∫ f ( x , y )dσ
D
二,曲面的面积
实例实例一颗地球的同步轨道通讯
卫星的轨道位于地球的赤道平面且可近似认为是圆轨道. 内,且可近似认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同, 的角速率相同,即人们看到它在天空不动. 天空不动.若地球半径取为R , 应为多少? 问卫星距地面的高度h 应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大? 通讯卫星的覆盖面积是多大?
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
z z A = ∫∫ 1 + (x )2 + (y )2dxdy 曲面面积公式为: 曲面面积公式为: Dxy
同理可得 2.设曲面的方程为:x = g ( y , z ) 设曲面的方程为: 曲面面积公式为: 曲面面积公式为:A =
∫∫
Dyz
为 m1 , m 2 , , m n . 则该质点系对于 x 轴和 y 轴的转动惯量依次为转动惯量依次为
I x = ∑ m i yi
i =1
n
2
,
I y = ∑ mi xi
i =1
n
2
.
设有一平面薄片, 设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域 D ,在点( x , y ) 处的面密度为 ρ ( x , y ),假定上连续, ρ ( x , y )在 D 上连续,平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为
D
12
已知均匀矩形板( 例 5 已知均匀矩形板(面密度为常数 ρ )的长和宽分别为b 和h ,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 心且分别与一边平行的两轴的转动惯量
解先求形心 x = 1 ∫∫ xdxdy , AD

2108二重积分的变量变换公式

则有
J= (u , v) ∂( x , y) ≠ 0 , (u , v) ∈ ∆ , ∂(u, v)
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u,v), y(u,v)) | J (u,v) |dudv .
D
∆
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
广义极坐标变换
n
∑ σ = f (ξi , ηi )µ( Di )
i =1
n
∑ f ( x(ui , vi ), y(ui , vi )) | J (ui , vi ) | µ(∆i ).
i =1
这个和式是可积函数 f ( x(u, v), y(u, v)) | J (u, v) |
在 ∆ 上的积分和. 又由变换 T 的连续性可知, 当∆
的分割 T∆
:
{∆
1
,
∆
2
,
∆
n
}
的细度
||
T∆
||→ 0 时,
D的
相应分割 TD : {D1 , D2 , Dn } 的细度 || TD ||也趋于零. 因此得到
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u,v), y(u,v)) | J (u,v) |dudv .
第八讲二重积分的变量变换公式
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x)
在区间[a , b]上连续, x = ϕ (t)当 t 从α 变到 β 时严格

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第二十一章至第二十三章(圣才出品)

①Δi 上的点都是 P 的内点；
②Δi 上的点都是 P 的外点，即
；
③Δi 上含有 P 的边界点；
图 21-1
将所有介于直线网 T 的第①类小矩形（图 21-1 中阴影部分）的面积加起来，记这个和
数为 sp（T），则有
（这里ΔR 表示包含 P 的那个矩形 R 的面积）；将所有第①
类与笫③类小矩形（图 21-1 中粗线所围部分）的面积加起来，记这个和数为 Sp（T），则有
二、直角坐标系下二重积分的计算 1．定义在矩形区域 D＝[a，b]×[c，d]上二重积分计算问题（1）设 f（x，y）在矩形区域 D＝[a，b]×[c，d]上可积，且对每个 x∈[a，b]，积分
存在，则累次积分
也存在，且
4 / 153
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

三、格林公式、曲线积分与路线的无关性 1．格林公式（1）设区域 D 的边界 L 中一条或几条光滑曲线所组成边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域 D 总在它的左边；如图 21-2 所示，与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为－L．
图 21-2 （2）若函数 P（x，y），Q（x，y）在闭区域 D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则
（21-3）
2 / 153
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

则称 f（x，y）在 D 上可积，数 J 称为函数 f（x，y）在 D 上的二重积分，记作
（21-4）其中 f（x，y）称为二重积分的被积函数，x，y 称为积分变量，D 称为积分区域．
（2）f（x，y）在 D 上可积的充要条件是：（3）f（x，y）在 D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在 D 的某个分割 T，使得（4）有界闭区域 D 上的连续函数必可积．（5）设ε在有界闭域 D 上有界，且其不连续点集 E 是零面积集，则 f（x，y）在 D 上可积． 3．二重积分的性质（1）若 f（x，y）在区域 D 上可积，k 为常数，则 kf（x，y）在 D 上也可积，且

数学分析21.8反常二重积分（含习题及参考答案）

数学分析21.8反常⼆重积分（含习题及参考答案）第⼆⼗⼀章重积分 8 反常⼆重积分⼀、⽆界区域上的⼆重积分：定义1：设f(x,y)为定义在⽆界区域D 上的⼆元函数. 若对于平⾯上任⼀包围原点的光滑封闭曲线γ, f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D 的交集 D ∩E γ=D γ上恒可积. 令d γ=min{22y x +|(x,y)∈γ}. 若极限σγγd y x f Dd ??∞→),(lim存在且有限，且与γ的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛，并记σd y x f D),(=σγγd y x f Dd ??∞→),(lim，否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分发散，或简称σd y x f D),(发散.定理21.17：设在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, γ1, γ2,…, γn ,…为⼀列包围原点的光滑封闭曲线序列，满⾜：(1)d n =inf{22y x +|(x,y)∈γn }→+∞, (n →∞)；(2)I=σd y x f nD n),(sup <+∞, 其中D n 为γn 所围的有界区域E n 与D 的交集，则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛，且有σd y x f D),(=I.证：设γ’为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为E ’, 并记D ’=E ’∩D. ∵∞→n lim d n =+∞, ∴存在n, 使得D ’?D n ?D. 由f(x,y)≥0,有σd y x f D ??'),(≤σd y x f n),(sup , ?ε>0, ?n 0, 使得σd y x f nD ??0),(>I-ε. 对充分⼤的d ’, 区域D ’⼜可包含D 0n, 使得σd y x f D ??'),(>I-ε. 由I-ε<σd y x f D ??'),(≤I, 知f(x,y)在D 上的反常⼆重积分存在，且σd y x f D),(=I.定理21.18：若在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, 则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛的充要条件是：在D 的任何有界⼦区域上f(x,y)可积，且积分值有上界.例1：证明反常⼆重积分σd eDy x ??+-)(22收敛，其中D 为第⼀象限部分，即D=[0,+∞)×[0,+∞).证：设D R 是以原点为圆⼼, 半径为R 的圆与D 的交集，即该圆第⼀象限部分. ∵) (22y x e +->0，∴⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22关于R 递增.⼜σd eRD y x ??+-)(22=dr r e d Rr ??-0202πθ=)1(4D y x R ??+-+∞→)(22lim =)1(4lim 2R R e -+∞→-π=4π. 即对D 的任何有界⼦区域D ’, 总存在⾜够⼤的R ，使得D ’?D R , ∴σd e D y x ??' +-)(22≤σd e RD y x ??+-)(22≤4π.由定理21.18知，反常⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22收敛，⼜由定理21.17有，σd e Dy x ??+-)(22=4π.注：由例1结论，可推出反常积分?+∞-02dx e x 的值(常⽤于概率论). 考察S a =[0,a]×[0,a]上的积分σd eaS y x ??+-)(22=??--ay ax dy edx e22x dx e .由D a ?S a ?aD2(如图)知σd eaD y x ??+-)(22≤σd eaS y x ??+-)(22=202??? ???-ax dx e ≤σd e aDy x ??+-222)(. 令a →+∞, 则得202lim ??? ???-+∞→a x a dx e =σd e D y x ??+-)(22=4π, ∴?+∞-02dx e x =2π.例2：证明：若p>0, q>0, 则B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.证：令x=u 2, 则dx=2udu, Г(p)=?+∞--01dx e x x p =2?+∞--0122du e u u p , 从⽽ Г(p)Г(q)=4?+∞--+∞--?0ydx exy q x p =4??----+∞→?Ry q Rx p R dy e y dx ex1201222lim.令D R =[0,R]×[0,R], 由⼆重积分化为累次积分计算公式有σd eyxy x D q p R)(121222+---??=??----?Ry q Rx p dy e y dx ex1201222.∴Г(p)Г(q)= 4σd e y x y x D q p R R)(121222lim +---+∞2+---??, 其中D 为平⾯上第⼀象限部分. 记D r ={(x,y)|x 2+y 2≤r 2, x ≥0, y ≥0}. 于是有 Г(p)Г(q)=4σd e y x y x Dq p )(121222+---??=4σd e y x y x D q p r r)(121222lim +---+∞→??,应⽤极坐标变换，有Г(p)Г(q)=4??----++∞→rr q p q p r rdr e r d 012122)(2202sin cos lim θθθπ=4??--+--+∞→rr q p q p r dr e r d 01)(22012122sin cos lim πθθθ=2?+Γ?--201212)(sin cos πθθθq p d q p =B(p,q)Г(p+q). ∴B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.定理21.19：函数f(x,y)在⽆界区域D 上的反常⼆重积分收敛的充要条件是|f(x,y)|在D 上的反常⼆重积分收敛.证：[只证充分性]设σd y x f D|),(|收敛，其值为A. 作辅助函数f +(x,y)=2),(|),(|y x f y x f +, f -(x,y)=2),(|),(|y x f y x f -, 则0≤f +(x,y)≤|f(x,y)|, 0≤f -(x,y)≤|f(x,y)|.∴在D 的任何有界⼦区域σ上, 恒有σd y x f D+),(≤σd y x f D|),(|=A,σd y x f D即f +(x,y)与f -(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. ⼜f(x,y)=f +(x,y)-f -(x,y), ∴f(x,y)在D 上的反常⼆重积分也收敛.定理21.20：(柯西判别法)设f(x,y)在⽆界区域D 的任何有界⼦区域上⼆重积分存在, r 为D 内的点(x,y)到原点的距离r=22y x +. (1)若当r ⾜够⼤时, |f(x,y)|≤p rc, 其中常数c>0, 则当p>2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛；(2)若f(x,y)在D 内满⾜|f(x,y)|≥p rc,其中D 是含有顶点为原点的⽆限扇形区域, 则当p ≤2时，反常⼆重积分σd y x f D),(发散.⼆、⽆界函数的⼆重积分定义2：设P 为有界区域D 的⼀个聚点，f(x,y)在D 上除点P 外皆有定义，且在P 的任何空⼼邻域内⽆界，△为D 中任何含有P 的⼩区域，f(x,y)在D-△上可积. ⼜设d 表⽰△的直径，即 d=sup{221221)()(y y x x -+-|(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈△}. 若极限-→D d d y x f σ),(lim存在且有限，且与△的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. 记作-D d y x f σ),(=-→D d d y x f σ),(lim 0,否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分??Dd y x f σ),(发散.定理21.21：(柯西判别法)设f(x,y)在有界区域D 上除点P(x 0,y 0)外处处有定义, 点P(x 0,y 0)为瑕点，则： (1)若在点P 附近有|f(x,y)|≤a rc, 其中c 为常数, r=2020)()(y y x x -+-, 则当a<2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛； (2)若在点P 附近有|f(x,y)|≥a rc, 且D 含有以点P 为顶点的⾓形区域, 则当a ≥2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛.习题1、试讨论下列⽆界区域上⼆重积分的收敛性： (1)??≥++1σ?d y x y x y p≤≤++1022)1(),(, (0解：(1)令x=rcos θ, y=rsin θ, 则≥++12222)(y x m y x d σ=??+∞12201rdr r d m πθ=??+-+∞→d m d dr r d 11220lim πθ=-2π?+-+∞→d m d dr r 11 2lim . ∵?+-+∞→dm d dr r 112lim 当2m-1>1时, 收敛；当2m-1≤1时, 发散；∴≥++12222)(y x m y x d σ当m>1时, 收敛；当m ≤1时, 发散. (2)由区域的对称性和被积函数关于x,y 的偶性得原积分=4??+∞+∞++001111dy ydx x q p . ∵?+∞+011dx x p当p>1时, 收敛；当p ≤1时, 发散. ∴原积分当p>1, q>1时收敛，其它情况发散.(3)∵0y x y x )1(),(22++?≤p x M)1(2+,∴当p>21时, 由σd x My p ??≤≤+102)1(收敛，得原积分收敛；当p<21时, 由σd x my p ??≤≤+1∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x )cos(22)(22. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则+∞∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x)cos(22)(22=??+∞-0220cos 2dr r re d r πθ=π?-+∞→du d udu e 0cos lim=2π.3、判别下列积分的收敛性： (1)≤++12222)(y x m y x d σ；(2)??≤+--12222)1(y x m y x d σ. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则(1)??≤++12222)(y x m y x d σ=??102201rdr r d m πθ=2π?+-→1120lim d m d dr r . ∵?+-→1 120lim dm d dr r 当2m-1<1时, 收敛；当2m-1≥1时, 发散；∴??≤++1 2222)(y x m y x d σ2222)1(y x m y x d σ =??-10220)1(rdr r d d m σθπ=π?-→-d m d du u 01)1(lim . ∴当m<1时, 由?-→-dmd du u 01)1(lim 收敛知，原积分收敛；当m ≥1时, 由?-→-dm d du u 01)1(lim 发散知，原积分发散.。

第二十一章二重积分

第二十一章重积分§1二重积分概念1.把重积分Dxyd s 蝌作为积分和的极限，计算这个积分值，其中[0,1][0,1]D =?并用直线网,(,1,2,1)i ix y i j n n n===-分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为其节点。

证明：22n 24i=1j=111(1)1lim lim 44n xx Di j n n xydxdy n n n n +=鬃==邋蝌2.证明：若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，则(,)f x y 在D 上有界。

证明：假设(,)f x y 在D 上可积，但在D 上无界。

则对D 的任一分割T={}n 12s ,s ,s ,(,)f x y 必在某个小区间k s 上无界。

当i k ¹时，任取i i p 蝧，令G=(),(,),i i i kDf p I f x y dxdy ¹s =å蝌由于(,)f x y 在k s 上无界，即存在k k p 蝧使得1()k kI Gf p ++>s 。

从而1()())()()()2 1.(*)nii i i k k k ki k i i ki kf p f p f p f p f p =构s =s +s 硈-s >+邋?另一方面，由于(,)f x y 在D 上可积，取1e =，故存在0d >，对任意D 的分割n {}T 12=s ,s ,s 当T <δ时，i 1i=11*f x y D nT I ¹-<ååni i i i 的任一分f(p σ)都满足f(p )σ而（）式与此矛盾，所以，(,)在上有界3.证明二重积分中值定理（性质7）。

证明：函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上存在最大值M 与最小值m ，且对D 中一切(,)x y 点，有(,).m f x y M ＃有性质6知，,(,)D D DmS f x y d MS ££蝌σ即1(,)DDm f x y d M S ＃蝌σ有介值定理存在()D Îξ,η使得(,).()Df x y d f D S =蝌σξ,η4：若(,)f x y 为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则(,)0Df x y d >蝌σ证明：由已知，存在000(,)p x y D Î，使00(,)0f x y >则存在0>δ，对一切1(,)p x y D Î，其中10,(())D P D =?δ，有001(,)(,)02f x y f x y >> 而(,)f x y 在有界闭域D 上非负连续，则有111001(,)(,)(,)(,)02D D D D Df x y d f x y d f x y d f x y S -=+?蝌蝌蝌σσσ 其中（1D S 表示为1D 的面积）5.若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域'D D Ì上有'(,)0D f x y d=蝌σ 则在D 上(,)0.f x y º证明：用反证法：假设在D 内存在一点000(,)p x y 使00(,)0f x y ¹，不妨设00(,)0f x y >。

【精品】第二十一章重积分

《数学分析》第二十一章 二重积分 5

21-9——华东师范大学数学分析课件PPT

数学分析刘玉琏21-2

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)

数学分析课本-习题及答案第二十一章

数学分析刘玉琏21-6

数学分析第二十一章重积分第一次课

数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)

三 重 积 分

21.8 反常二重积分 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章

第二十一章重积分

数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)

二重积分的变量变换

数学分析教案第二十一章重积分

《数学分析》第二十一章 二重积分 7

2108二重积分的变量变换公式

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第二十一章至第二十三章(圣才出品)

数学分析21.8反常二重积分（含习题及参考答案）

第二十一章二重积分

《数学分析》第二十一章二重积分 5

三重积分

21.8 反常二重积分数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

《数学分析》第二十一章二重积分 7